理论力学 第十章 强度理论

最大正应力的因素,莫尔得出了
他自己的强度理论.
¢ Ð Ä û °Í • ¶ (O.Mohr),1835¡ 1918 ª «
二、莫尔强度理论：
任意一点的应力圆若与极限曲线 相接触,则材料即将屈服或剪断. 公式推导
M F O2 M´ [c]

L N T
O

O3 T´
O1 L´ [ t]
[ σ t ] σ1 σ 3 O1 N 2 2 [ σ c ] σ1 σ 3 O2 F 2 2 σ1 σ 3 [ σ t ] O3O1 2 2 σ1 σ 3 [ σ c ] O3O2 2 2
b 1 ( 2 3 ) [ ] n
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力 达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈 0 服。 max max－构件危险点的最大切应力
d －构件危险点的形状改变比能

0 －形状改变比能的极限值，由单拉实验测得 d
vd v
0 d
屈服条件 强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理
论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
§10-3 莫尔强度理论
一、引言
莫尔认为:最大切应力是使 物体破坏的主要因素,但滑移面 上的摩擦力也不可忽略（莫尔 摩擦定律）.综合最大切应力及
E 0.2m 2m
D
z
F /kN s 210 (b) A 208 8 C (d) E D B x (e) C (c) A 41.8 M./kN. m 45 E D B x (f) τ σ τmax σmax
13
10
250
(a)
A
B
F
q
F
118
C 0.2m
E 0.2m 2m
D
z
F /kN s 210 (b) A 208 8 C (d) E D B x (e) C (c) A 41.8 M. kN. m / 45 E D B x (f) τ σ τmax σmax
脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;
（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.
相当应力
把各种强度理论的强度条件写成统一形式 σr [ ]
r 称为复杂应力状态的相当应力.
r1 1
σ r 2 σ1 μ ( σ 2 σ 3 ) σ r 3 σ1 σ 3 1 σr 4 [( σ1 σ 2 )2 (σ 2 σ 3 )2 (σ 3 σ1 )2 ] 2
第十章 强度理论
§10-1 概述
一、强度理论的概念
1.引言
正应力强度条件
切应力强度条件
FN max 轴向拉压 σmax [σ ] A M max 弯曲 σmax [σ ] Wz FS [ ] 剪切 A Tmax 扭转 max [ ] Wt * FS max S z max 弯曲 max [ ] I zb
4E t p D( 2 )
4 210 109 0.01 350 10 6 3.36 MPa 0.5 ( 2 0.25 )
F
q
F
118
C 0.2m
E 0.2m 2m
D
z
F /kN s 210 (b) A 208 8 C (d) E D B x (e) τmax σmax




max ( 1 3 ) / 2
s /2
0
0 －极限切应力，由单向拉伸实验测得
3. 最大切应力理论（第三强度理论）3
s
ns

低碳钢拉伸
低碳钢扭转
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
例
为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片
测得容器表面环向应变 t =350×l06；容器平均直径
D = 500 mm，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25
求： 1.横截面和纵截面上的正应力表达式 2.内压力
y
1
m
p p l
x
D
p
x A
p O B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力( Longitudinal stress)
关。
构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂， 断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上， 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面 上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和最大畸变能密度理论
13
10
250
(a)
A
B
F
q
F
118
C 0.2m
E 0.2m 2m
D
z
F /kN s 210 (b) A 208 8 C (d) E D B x (e) C (c) A 41.8 M./kN. m 45 E D B x (f) τ σ τmax σmax
13
10
250
(a)
A
B
F
q
F
118
C 0.2m
2.强度计算的步骤 （1）外力分析:确定所需的外力值; （2）内力分析:画内力图,确定可能的危险面; （3）应力分析:画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体, 求主应力; （4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进
行强度计算. 3.应用举例
已知： 和 试写出第三和第四强度理论的表达式。 解：首先确定主应力
理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出
引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
材料之所以按某种方式破坏，是应力、应变或应
变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复
杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无
1
O1 N O3O1 代入 O2 F O3O2
[ t ] 3 [ t ] 强度条件 1 [ c ]
三、 各种强度理论的适用范围及其应用
1.适用范围 （1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论; （2）塑性材料选用第三或第四强度理论;
根据材料性质选择强度理论，在多数情况下是合适的。但 是，材料的脆性和塑性不是绝对的。例如低碳钢在单向拉 伸下以屈服的形式失效，但低碳钢制成的螺钉受拉时，螺 纹根部因受应力集中引起三向拉伸，就会出现断裂。 （3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生
上述强度条件具有如下特点 （1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定 试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度 条件.
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推
1 2 2 1 4 2 2 1 2 2 3 4 2 2

2＝0
r 3 1 3 2 4 2
r4
1 2 2 2 2 2 （ 1 2） 2 3 3 1 ] 3 [ 2
断裂。
1－构件危险点的最大伸长线应变

b / E
0
1
0
0 －极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
1 [ 1 ( 2 3 )] / E
断裂条件
即 强度条件
b 1 [ 1 ( 2 3 )] E E
1 ( 2 3 ) b
13
10
250
(a)
A
B
1 b
1 b
n
铸铁拉伸
铸铁扭转
缺点：这一理论没有考虑其它两个主应力的 影响，且对没有拉应力的状态(如单向压缩、 三向压缩等)也无法应用。
2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线
应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性
容器截开后受力如图所示,据平衡方程
m
p D
m D p D 4
2
x
pD m 4
m
y dq z O
2、环向应力
D p(l dq ) 2
纵截面将容器截开后受力
q t
t l2 pDl
t
p
D
t
外表面
m
pD t 2 3、内压（以应力应变关系求之） 1 pD 2 t t m E 4E
塑性变形或断裂的事实。 ( max 局限性：
1、未考虑
0)
2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，
4. 最大畸变能密度理论（第四强度理论） 最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密
度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。
。1924年德国的亨
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达 到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。