中考动点问题综合归纳
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论等腰直角三角形 BPQ．
图2
2．如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点，那么 MQ＝NP，以 MQ、NP 为直角边可以构造全等的 直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程． ． 图文解析 （1）因为抛物线 y＝x ＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以
2
Q 两点同时停止运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当△BPQ 为直角三角形时，求 t 的值；
（3）如图 2，当 t＜2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由．
1 BB ＝2． 2
设 Q(x, x )，因为 D(0, 2)，根据 QD ＝4 列方程 x ＋(x －2) ＝4． 解得 x＝ 3 ．此时 Q ( 3,3) ． （3）如图 5，因为点 P、P′分别在抛物线 E1、E2 上，设 P(b, b )，P′(c,
2
1 2 c )． 2
1 2 c b2 2 PM P N 因为 O、P、P′三点在同一条直线上，所以 ，即 ． b c OM ON
2 2
1 1 2 ．所以 y＝ x ． 2 2
（2）点 Q 在第一象限内的抛物线 E1 上，直角三角形 QBB′存在两种情况：
图3
图4
①如图 3，过点 B 作 BB′的垂线交抛物线 E1 于 Q，那么 Q(2, 4)．
②如图 4，以 BB′为直径的圆 D 与抛物线 E1 交于点 Q，那么 QD＝
2 2 2 2 2
2
图1 思路点拨
图2
1． 判断点 P 是线段 OP′的中点是解决问题的突破口， 这样就可以用一个字母表示点 P、
P′的坐标．
2．分别求线段 AA′∶BB′，点 P 到 AA′的距离∶点 P′到 BB′的距离，就可以比较 △PAA′与△P′BB′的面积之比． 图文解析 （1）当 x＝1 时，y＝x ＝1，所以 A(1, 1)，m＝1． 设抛物线 E2 的表达式为 y＝ax ，代入点 B(2,2)，可得 a＝
图2
图3
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第 三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线， 可以构造两个新 的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
例 1
已知抛物线 E1：y＝x 经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B(2,2)，点 A、B 关 于 y 轴的对称点分别为点 A′、B′． （1）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B′为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛 物线 E2 相交于点 P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
2 2 2 2 2 2 2
图5 考点延伸
2
图6
第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x )的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ ＋B′Q ＝B′B ． 所以(x－2) ＋(x －2) ＋(x＋2) ＋(x －2) ＝4 ． 方法三，作 QH⊥B′B 于 H，那么 QH ＝B′H·BH． 所以(x －2) ＝(x＋2) (2－x)．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
例 2
如图 1，二次函数 y＝x ＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于 点 C，连结 BC．动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒 2 个 单位长度的速度从点 B 向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、
1 AC AB cos A ； 2
1 AB AC cos A ． 2
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来， 那 么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 （直角三角形）
1.因动点产生的三角形问题
课前导学（等腰三角形） 我们先回顾两个画图问题： 1． 已知线段 AB＝5 厘米， 以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是 什么？ 2． 已知线段 AB＝6 厘米， 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹 是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得 解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示 出来，那么就用几何法． ①如图 1， 如果 AB＝AC， 直接列方程； ②如图 2， 如果 BA＝BC， 那么 ③如图 3，如果 CA＝CB，那么
所以 c＝2b．所以 P′(2b, 2b )． 如图 6，由 A(1, 1)、B(2,2)，可得 AA′＝2，BB′＝4． 由 A(1, 1)、P(b, b )，可得点 P 到直线 AA′的距离 PM ′＝b －1． 由 B(2,2)、P′(2b, 2b )，可得点 P′到直线 BB′的距离 P′N′＝2b －2． 所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b －1)∶4(2b －2)＝1∶4．
图2
2．如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点，那么 MQ＝NP，以 MQ、NP 为直角边可以构造全等的 直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程． ． 图文解析 （1）因为抛物线 y＝x ＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以
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Q 两点同时停止运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当△BPQ 为直角三角形时，求 t 的值；
（3）如图 2，当 t＜2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由．
1 BB ＝2． 2
设 Q(x, x )，因为 D(0, 2)，根据 QD ＝4 列方程 x ＋(x －2) ＝4． 解得 x＝ 3 ．此时 Q ( 3,3) ． （3）如图 5，因为点 P、P′分别在抛物线 E1、E2 上，设 P(b, b )，P′(c,
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1 2 c )． 2
1 2 c b2 2 PM P N 因为 O、P、P′三点在同一条直线上，所以 ，即 ． b c OM ON
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1 1 2 ．所以 y＝ x ． 2 2
（2）点 Q 在第一象限内的抛物线 E1 上，直角三角形 QBB′存在两种情况：
图3
图4
①如图 3，过点 B 作 BB′的垂线交抛物线 E1 于 Q，那么 Q(2, 4)．
②如图 4，以 BB′为直径的圆 D 与抛物线 E1 交于点 Q，那么 QD＝
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图1 思路点拨
图2
1． 判断点 P 是线段 OP′的中点是解决问题的突破口， 这样就可以用一个字母表示点 P、
P′的坐标．
2．分别求线段 AA′∶BB′，点 P 到 AA′的距离∶点 P′到 BB′的距离，就可以比较 △PAA′与△P′BB′的面积之比． 图文解析 （1）当 x＝1 时，y＝x ＝1，所以 A(1, 1)，m＝1． 设抛物线 E2 的表达式为 y＝ax ，代入点 B(2,2)，可得 a＝
图2
图3
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第 三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线， 可以构造两个新 的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
例 1
已知抛物线 E1：y＝x 经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B(2,2)，点 A、B 关 于 y 轴的对称点分别为点 A′、B′． （1）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B′为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛 物线 E2 相交于点 P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
2 2 2 2 2 2 2
图5 考点延伸
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图6
第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x )的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ ＋B′Q ＝B′B ． 所以(x－2) ＋(x －2) ＋(x＋2) ＋(x －2) ＝4 ． 方法三，作 QH⊥B′B 于 H，那么 QH ＝B′H·BH． 所以(x －2) ＝(x＋2) (2－x)．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
例 2
如图 1，二次函数 y＝x ＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于 点 C，连结 BC．动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒 2 个 单位长度的速度从点 B 向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、
1 AC AB cos A ； 2
1 AB AC cos A ． 2
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来， 那 么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 （直角三角形）
1.因动点产生的三角形问题
课前导学（等腰三角形） 我们先回顾两个画图问题： 1． 已知线段 AB＝5 厘米， 以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是 什么？ 2． 已知线段 AB＝6 厘米， 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹 是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得 解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示 出来，那么就用几何法． ①如图 1， 如果 AB＝AC， 直接列方程； ②如图 2， 如果 BA＝BC， 那么 ③如图 3，如果 CA＝CB，那么
所以 c＝2b．所以 P′(2b, 2b )． 如图 6，由 A(1, 1)、B(2,2)，可得 AA′＝2，BB′＝4． 由 A(1, 1)、P(b, b )，可得点 P 到直线 AA′的距离 PM ′＝b －1． 由 B(2,2)、P′(2b, 2b )，可得点 P′到直线 BB′的距离 P′N′＝2b －2． 所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b －1)∶4(2b －2)＝1∶4．