奥数精讲与测试(七年级)

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七年级奥数例题及答案解析

【导语】奥数能够有效地培养学⽣⽤数学观点看待和处理实际问题的能⼒，提⾼学⽣⽤数学语⾔和模型解决实际问题的意识和能⼒，提⾼学⽣揭⽰实际问题中隐含的数学概念及其关系的能⼒等等。

使学⽣能够在创造性思维过程中，看到数学的实际作⽤，感受到数学的魅⼒，增强学⽣对数学美的感受⼒。

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七年级奥数题1：把1⾄2005这2005个⾃然数依次写下来得到⼀个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少? 解：⾸先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。

解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除 10~19，20~29……90~99这些数中⼗位上的数字都出现了10次，那么⼗位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同样的道理，100~900百位上的数字之和为4500同样被9整除也就是说1~999这些连续的⾃然数的各个位上的数字之和可以被9整除; 同样的道理：1000~1999这些连续的⾃然数中百位、⼗位、个位上的数字之和可以被9整除(这⾥千位上的“1”还没考虑，同时这⾥我们少200020012002200320042005 从1000~1999千位上⼀共999个“1”的和是999，也能整除; 200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。

最后答案为余数为0。

七年级奥数题2： A和B是⼩于100的两个⾮零的不同⾃然数。

求A+B分之A-B的最⼩值... 解： (A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B) 前⾯的1不会变了，只需求后⾯的最⼩值，此时(A-B)/(A+B)。

七年级奥数下册第七讲

第七讲线与角一．知识点拨1．角的概念：具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。

2．与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。

3．构成平面的基本元素是点与线，在线中最简单、最常见的就是线段，解决的有关问题常用到线段的中点。

4．角平分线是进行角的计算、推理的一个重要的知识二．典例选讲例1如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，求MN：PQ的值ACNBMPQ7-17-2（b）7-2（a）例2在直线l上取A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图7－2)．7-3例3 如图7－3所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？ACOBDE例4如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分ÐAOD，OE在ÐBOC内，ÐBOE＝ÐEOC，ÐDOE＝70°，求ÐEOC的度数。

例5一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定例6 已知Ða的余角是Ðb的补角的，Ðb＞110°，求Ða的范围。

例7 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？例8．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于第八讲相交线与平行线一、知识点拨1．平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2．两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3．垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

初一奥数练习题及答案解析

普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。

欧德谟认为角是相对一直线的偏差，安提阿的卡布斯认为角是二条相交直线之间的空间。

欧几里得认为角是一种关系，不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。

正角和负角以上角的定义均未考虑数值为负的角。

不过在一些应用时，会将角的数值加上正负号，以标明是相对参考物不同方向的旋转。

在二维的笛卡儿坐标系中，角一般是以轴的正向为基准，若往轴的正向旋转，则其角为正角，若往轴的负向旋转，则其角为负角。

若二维的笛卡儿坐标系也是轴朝右，轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角。

一般而言，− θ 角和一圈减去 θ 所得的角等效。

例如− 45°和 360°− 45°=315°等效，但这只适用在用角表示相对位置，不是旋转概念时。

旋转− 45°和旋转 315°是不同的。

在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量为基准。

在导航时，导向是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向 45°对应东北方。

导向没有负值，西北方对应的导向为 315°。

角的静态定义具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

角的动态定义一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

角的符号∠角的度量方法用量角器的中心对准角的定点，量角器的零刻度线对齐角的一边，角的另一边所指的刻度就是角的大小。

角的性质对称性角具有对称性，对称轴是角的角平分线所在的直线。

角的定理相等角平分线上的一点到角两边的距离相等角平分线反向延长线上的点到角两边反向延长线的距离相等【练习题】1、下列关于角的说法正确的是两条射线组成的图形叫做角延长一个角的两边;角的两边是射线，所以角不可以度量角的大小与这个角的两边长短无关 2、下列关于平角、周角的说法正确的是平角是一条直线周角是一条射线反向延长射线，就形成一个平角两个锐角的和不一定小于平角 3、 2572°=______°______′_______″4、15°48′36″=_______°5、3600″=______′=______°【参考答案】123254312415815601【初一奥数练习题及答案解析】。

七年级奥数竞赛讲座含答案

初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789) =1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲:绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a ＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以a3-b3-3ab(-1)=-1，即a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介一种不必求出a，b的值的解法．解14a-2b=2(7a-b) =2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即(a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k ＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足方程组试确定3x 4+2x 5的值．3．将式子3x 2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c 的形式，试求4．k 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m 的值第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．。

七年级数学奥数题[五篇模版]

七年级数学奥数题[五篇模版]第一篇：七年级数学奥数题数学奥数1.下列判断正确的是()A.平角是一条直线 B.凡是直角都相等C.两个锐角的和一定是锐角D.角的大小与两条边的长短有关3.下列哪个角不能由一副三角板作出()A.105° B.12° C.175°D.135°4.若∠a=90°-m°,∠B=90°+m°,则∠a与∠B的关系是()A.互补B.互余 C.和为钝角 D.和为周角5.如图所示,∠AOC=90°∠COB=a,0D平分∠AOB则∠CD的度数为()6.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40°方向,那么这艘船位于这个灯塔的()A.南偏西50°方向 B.南偏西40°方向 C.北偏东50°方向 D.北偏东40°方向7.如果∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是()A.1/2∠1B.1/2∠2C.1/2(∠1-∠2)D.1/2(∠1+∠2)8.将两块直角三角板的直角顶点重合,如图所示,若∠AOD=128,则∠BOC的度数是9.如图,B,C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,则AD的长是10.把一张长方形纸条按图中那样折叠后,若得到∠AOB=70°则∠BOG= 11.已知线段AB=8cm,延长AB至C,使AC=2AB,D是AB中点,则线段CD= 12.已知线段AB=acm,点A1平分AB,A2平分AA1,A3平分AA2,…,An平分AAn-1则AAn= 14.小明每天下午5:46回家,这时分针与时针所成的角的度数为度15.如果∠a=26°,那么∠a余角的补角等于16.已知∠AOB=30°,又自∠AOB的顶点0引射线0C.若∠AOC:∠AOB=43,那么∠BOC=17.已知线段AB=6cm,在直线AB上画线段AC=2cm,则BC的长是 cm 18.火车往返于A、B两个城市,中途经过4个站点(共6个站点),不同的车站来往需要不同的车票(1)在A,B两站之间最多共有种不同的票价;共有种不同的车票(2)如果共有n(n≥3)个站点,则需要种不同的车票19.若∠A=20°18,∠B=20°1530°,∠C=2025°,则（）A.∠A>∠B>∠CB.∠B>∠A>∠CC.∠A>∠C>∠BD.∠C>∠A>∠B 20.如图,直线AB、CD交于0点,且∠BOC=80°°,OE平分∠BOC,OF为OE 的反向延长线(1)求∠2和∠3的度数:(2)0F平分∠AOD吗?为什么?21.已知∠AOB是一个直角,作射线OC,再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE。

初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD =S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND ＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP =S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP =S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，② AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，② BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。

七年级奥数测试卷(七份及答案)

七年级奥数测试卷一姓名班别一．选择题1．a --是（）（A ）正数（B ）负数（C ）非正数（D ）0 2.在下面的数轴上（图1）表示数（—2）—（—5）的点是（）（A ）M （B ）N . （C ）P. （D ）Q. 3.49914991+-----的值的负倒数是（）（A ）314. （B ）133-（C ）1. （D ）—1 4.)9187()8176()7165()6154()5143(+++++++++)10198(-+ （）（A ）0. （B ）5.65. （C ）6.05 （D ）5.855.22)34(34⨯--⨯-等于（）（A ）0 （B ）72 （C ）—180 （D ）1086.x 的54与31的差是（）（A ）x x 3154- （B ）3154-x （C ）)31(54-x （D ）345+x 7.n 是整数，那么被3整除并且商恰为n 的那个数是（）（A ）3n （B ）3+n （C ）n 3 （D ）3n8.如果2:3:=y x 并且273=+y x ，则y x ,中较小的是（A ）3 （B ）6（C ）9（D ）129.20°角的余角的141等于（）（A ）ο)731( （B ）ο)7311( （C ）ο)767( （D ）5°10.7)71()7(71⨯-÷-⨯等于（）（A ）1 （B ）49 （C ）—7 （D ）7二、A 组填空题11．绝对值比2大并且比6小的整数共有__________________个。

12．在一次英语考试中，某八位同学的成绩分别是93，99，89，91，87．81，100，95，则他们的平均分数是__________________。

13．||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=__________________。

14．数：-1．1，-1．01，-1．001，-1．0101，-1．00101中最大的一个数与最小的一个数的比值是__________。

初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP=S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，②AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。

七年级数学奥数题八套(附答案)

七年级数学奥数试题（一）一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-332. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( )(A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2(c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+21b)2-4(a 2＋b 2)23．若a 是负数，则a+|-a|( )，(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点7.已知a+b ＝0，a≠b，则化简a b(a+1)＋ba (b+1)得( )． (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-28．已知m<0，-l<n<0，则m ，mn ，mn 2由小到大排列的顺序是 ( )．(A)m ，mn ，mn 2 (B)mn ，mn 2，m (C)mn 2，mn ，m (D)m ，mn 2，mn 二、填空题(每小题?分，共84分)9．计算：31a －(21a －4b －6c)+3(－2c+2b)= 10．分解因式=ll.某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是 12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是 13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，则表中问号“?”表示的数是14．某学生将某数乘以-1．25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0．25，则正确结果应是 .15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表示的数是 .16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x = 17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在年月．18．银行整存整取一年期的定期存款年利率是2．25％，某人1999年12月3日存入1 000元，2000年12月3日支取时本息和是元，国家利息税税率是20％，交纳利息税后还有元．19．有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，其中a 1＝6×2+l；a 2＝6×3+2；a 3＝6×4+3；a 4＝6×5＋4；则第n 个数a n ＝；当a n ＝2001时，n ＝ .20．已知三角形的三个内角的和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是七年级奥数试题（一）答案一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D 二、9.一6a+1 06，10．一43．6， 11．男生比女生多的人数，1 2．90， 13．1 6，14．0．1 2 5，15．-151,16．1，17．1988；1． 18．1022．5；101 8，,19．7n+6；2 8 520．2，8 9，8 9或2，7 1，1 07(每填错一组另扣2分)．七年级奥数试题（二）一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是( ) (A)5 (B)-5 (C)1 (D)-12．已知a+2=b-2=2c =2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为( )。

面积问题-奥数精讲与测试7年级

例1．如图，两个半径为1的14圆扇形¼''A OB 与¼AOB叠放在一起，POQO'是正方形，求整个阴影图形的面积。

例2．如图，四边形ABCD被AC与BD分成甲、乙、丙、丁4个三角形。

已知BE=80厘米，AE=30厘米，CE=60厘米，DE=40厘米，问丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？例3．如图，△ABC中，点P在边AB上，AP=13AB；点Q在边BC上，BQ=14BC；点R在边AC上，CR=15AC。

已知阴影△PQR的面积是19平方厘米，求△ABC的面积。

例4．将任意三角形分成面积相等的五个小三角形，你能给出几种不同的分法？例5．如图，平行四边形ABCD的面积为64cm2，E、F分别为AB、AD的中点，求△CEF的面积。

例6．如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，且AD:DC=2:3。

BD与CE交于F，S△ABC=40，求S△AEFD。

例7．如图，在△ABC中，P是∠BAC平分线上一点，BE∥CP交AC于点E，CF∥BP交AB于点F。

求证：BF=CE。

例8．如图，P为△ABC内一点，AP、BP、CP分别交对边于D、E、F。

记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6，求证：135246111111S S S S S S++=++。

A卷一、填空题01．若长方形的长增加了a％以后，为了使长方形的面积保持不变，则这个长方形的宽应该减少________。

02．已知凸四边形ABC D的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG，HF交于点O，四边形AEOH与OFCG面积和是________。

03．如图1，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形。

已知A的面积是2平方厘米，B的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米，原来矩形的面积是________平方厘米。

超级资源：七年级数学竞赛讲义附练习及答案(12套)

七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0；2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

七年级奥数不等式测试题及答案

【导语】⼀般地，⽤纯粹的⼤于号“>”、⼩于号“<”连接的不等式称为严格不等式，⽤不⼩于号（⼤于或等于号）“≥”、不⼤于号（⼩于或等于号）“≤”连接的不等式称为⾮严格不等式，或称⼴义不等式。

总的来说，⽤不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式⼦叫做不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的⼀般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≤,≥，> 中某⼀个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达⼀个命题，也可以表⽰⼀个问题。

下⾯是⽆忧考为⼤家带来的七年级奥数不等式测试题及答案，欢迎⼤家阅读。

⼀、选择题1. 若a＜b，则下列各式中，错误的是（）A. a-3＜b-3B. -a＜-bC. -2a＞-2bD. a＜ b2. 若m＞n，则下列不等式中⼀定成⽴的是（）A. m+2＜n+3B. 2m＜3nC. a-m＜a-nD. ma2＞na23. 数a、b在数轴上的位置如图所⽰，则下列不等式成⽴的是（）A. a＞bB. ab＞0C. a+b＞0D. a+b＜04. 若关于x的⼀元⼀次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（）A. m≥5B. m＞5C. m≤5D. m＜55. 某商品的标价⽐成本价⾼m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满⾜（）A. n≤mB. n≤C. n≤D. n≤6. 某种记事本零售价每本6元，凡⼀次性购买两本以上给予优惠，优惠⽅式有两种，第⼀种：“两本按原价，其余按七折优惠”；第⼆种：全部按原价的⼋折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第⼀种办法⽐第⼆种办法得到的优惠多，最少要购买记事本（）A. 5本B. 6本C. 7本D. 8本7. 不等式组的解集在数轴上表⽰正确的是（）8. 不等式组的解集是（）A. x＞4B. x≤3C. 3≤x＜4D. ⽆解9. 如果不等式组只有⼀个整数解，那么a的范围是（）A. 3＜a≤4B. 3≤a＜4C. 4≤a＜5D. 4＜a≤510. 如果不等式（1+a）x＞1+a的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A. a＞0B. a＜0C. a＞-1D. a＜-111. 若⽅程2x=4的解使关于x的⼀次不等式（a-1）x＜a+5成⽴，则a的取值范围是（）A. a≠1B. a＞7C. a＜7D. a＜7且a≠1⼆、填空题12. 如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是______．13. 已知不等式组的解集如图所⽰，则不等式组的整数解为______ ．14. 若3-4x6-5n＞2是⼀元⼀次不等式，则n= ______ ．15. 已知关于x的不等式9x-a≤0的正整数解为1、2、3、4，则a的取值范围______ ．16. 不等式组的整数解为______．17. ⼩明原有63元，如图记录了他今天所有⽀出，其中饮料⽀出的⾦额被涂⿊．若每瓶饮料的售价为5元，则⼩明可能剩下的钱数为______ 元．⽀出⾦额（元）早餐 10午餐 15晚餐 20饮料■18. “x的3倍与2的差是⾮负数”⽤不等式表⽰为______ ．19. 已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的⽅程ax+b=0的解为______．20. 若a＞b，则-2a ______ -2b．（⽤“＜”号或“＞”号填空）三、计算题21. 解不等式组．22. 解不等式 -（x-1）≤1，并把解集在数轴上表⽰出来．23. 解不等式组 -（x-1）≤1．24. 解不等式组 -（x-1）≤1．25. 是否存在整数k，使⽅程组的解中，x⼤于1，y不⼤于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．26. 已知关于x、y的⼆元⼀次⽅程组（1）求这个⽅程组的解；（⽤含有m的代数式表⽰）（2）若这个⽅程组的解，x的值是负数，y的值是正数，求m的整数值．27. 学校为了奖励初三优秀毕业⽣，计划购买⼀批平板电脑和⼀批学习机，经投标，购买1台平板电脑⽐购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费⽤不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪⼏种购买⽅案？哪种⽅案最省钱？参考答案1. B2. C3. D4. A5. B6. C7. B8. C 9. A 10. D 11. D12. a＜-113. -1，014. 115. 36≤a＜4516. -1，0，117. 3、8或1318. 3x-2≥019. -20. ＜21. 解：，由①得：x＞-1；由②得：x≤1；∴不等式组的解集是-1＜x≤1．22. 解：去分母得：x+1-2（x-1）≤2，∴x+1-2x+2≤2，移项、合并同类项得：-x≤-1，不等式的两边都除以-1得：x≥1把不等式组的解集在数轴表⽰为：．23. 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞-2，∴不等式组的解集为-2＜x≤1．24. 解：，解不等式①得，x＞-2；由不等式②得，x≥3，故此不等式组的解集为；x≥3．25. 解：解⽅程组得∵x⼤于1，y不⼤于1从⽽得不等式组解之得2＜k≤5⼜∵k为整数∴k只能取3，4，5答：当k为3，4，5时，⽅程组的解中，x⼤于1，y不⼤于1．26. 解：（1），①+②得，2x=4m-2，解得x=2m-1，①-②得，2y=2m+8，解得y=m+4，所以，⽅程组的解是；（2）据题意得：，解之得：-4＜m＜，所以，整数m的值为-3、-2、-1、0．27. 解：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意得：，解得：，则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元，800元；（2）设购买平板电脑x台，学习机（100-x）台，根据题意得：，解得：37.03≤x≤40，正整数x的值为38，39，40，当x=38时，y=62；x=39时，y=61；x=40时，y=60，⽅案1：购买平板电脑38台，学习机62台，费⽤为114000+49600=163600（元）；⽅案2：购买平板电脑39台，学习机61台，费⽤为117000+48800=165800（元）；⽅案3：购买平板电脑40台，学习机60台，费⽤为120000+48000=168000（元），则⽅案1最省钱．。

7年级奥数选讲

七年级数学精讲与测试第1课代数式的化简与求值 (2)第2课整式的运算 (6)第3课待定系数法 (11)第4课因式分解(1) (15)第5课因式分解(2) (19)第6课线段与角 (24)第7课面积问题 (29)第8课一次不等式 (35)第9课一次不等式组 (39)第10课含绝对值的方程与不等式 (44)第11课奇数与偶数 (49)第12课质数与合数 (55)第13课整数的整除性 (59)第14课二元一次不定方程 (65)第15课全等三角形及其应用 (69)第16课方程组的解法 (77)第1课代数式的化简与求值例1．当a=−12，b=−13时，求(9a2+4b2)−(3a2+3ab)−(9ab−2b2)的值.例2．已知代数式ax5+bx3+c当x=0时的值为64，当x=−5时的值为1，求当x=5时该代数式的值. 例3．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且(a+c)(a+d)=1，(b+c)(b+d) =1,求(a+c)(b+c)的值. 例4．设实数a、b、c满足a+b+c=2，a2+b2+c2=3，a3+b3+c3=4，求a4+b4+c4的值.例5．已知a+2b+3c＝0，a−2b+4c＝20，求a+10b+c的值.例6．已知非零实数a、b满足ab=a−b，求ab+ba−ab的值.例7．已知2x y +=3y z +=4z x +，且x +2y +z =12，求x −2y +z 的值.【巩固练习】A 卷一.填空题1．已知4x −3y =7，3x +5y =12，则6x −19y =_____________.2．已知x 2+x =13，则6x 4 +15x 3+10x 2=_____________. 3．当x =−24125时，代数式(3x 3−5x 2+6x −1)−(x 3−2x 2+x −2)+(−2x 3+3x 2+1)的值是_____________. 4．当a =−0.2，b =0.04时，代数式7273(a 2−b )−7172(b +a +0.16)−14(a +b )的值是_____________. 5． x =3，y =−1时，()333x y x y ++=_____________.6．1x +1y =4，则323535x xy y x xy y-+++=_____________. 7．2118a a a =++，则2421a a a ++=_____________. 8．已知x 、y 为正整数，且xy +x +y =71，x 2y +xy 2=880，则x 2+y 2=___________.9．a =2008x +2007，b =2008x +2008，c =2008x +2009，则(a −b )2+(b −c )2 +(c −a )2=___________.10．f (x )=ax +3，f (3)=−3，则f (2007)= ___________.二.解答题11．已知x =y =11，求(xy −1)2+(x +y −2)(x +y −2xy )的值.12．已知12301650x y z x y z⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，求x y +y z +z x 的值.B 卷一.填空题1．M 表示a 与b 的和的平方，N 表示a 与b 的平方的和，则当a =7，b =−5时，M −N = ___________.2．代数式ax 3+bx +c 当x =0，x =3时的值分别为2和1，则当x =−3时，ax 3+bx +c = ___________.3．x +y =4，xy =−12，则(x −y )2= __________，x 3+y 3= __________.4．如果−0.3m x n 3与12m 4n y 是同类项，那么(−5x 2y −4y 3−2xy 2+3x 3)−(2x 3−5xy 2−3y 3−2x 2y )的值是___________. 5．12+22+32+⋯+n 2=16n (n +1)(2n +1)，那么22+42+62+⋯+502=___________. 6．已知xy x y +=2，3533x xy y x xy y-+-+-=___________. 7．a 、b 均为正数，ab =1，则11a b a b +++=___________. 8．a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足：a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，a +b +c +d 的最大值是___________.9．x −1x =3，则x 3−31x +3x−3x =___________. 10．若x y z a b b c c a ==---，则x +y +z =___________. 二.解答题11．已知a +b +c =3，a 2+b 2+c 2=4，a 3+b 3+c 3=5，求a 4+b 4+c 4的值.12．已知a −b =−1，求a 3+3ab −b 3的值.C 卷一.填空题1．x =5时，ax 2+bx −5的值是10，则x =5时，ax 2+bx +5的值是___________.2．若345x y z ==，且4x −5y +2z =20，则2x −5y +z =___________. 3．23y z x ==，x +y +z =12，2x +3y +4z =___________.4．a +b =2，则a 3+b 3+6ab =___________.5．已知a +b +c =0，(a +b )(b +c )(c +a )+abc =___________.6．已知3x −2y =6，2x −3y =17，6x 2−13xy +6y 2−24x +11y −90=___________.7．在等式y =ax 2+bx +c 中，当x =1时，y =−2；x =−1时，y =20，那么ab +bc +9b 2=___________.8．如果x +y =2z ，且x ≠y ，则x y x z y z +--=___________.9．若a +1b =1，b +1c =1，则c +1a=___________.10．a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，且a =1，则(a +b −c )2007=___________.二.解答题11．若14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，且a =1，求b 与c 的值.12．若a 、b 、c 、d 是四个正数，且abcd =1，求1a abc ab a ++++111b c d bcd bc b cda cd c dab da d +++++++++++的值.第2课整式的运算例1．已知多项式A=(5m+1)x2+(3n−2)xy−5x+17y，B=6x2−5mxy−11x+9.当A与B的差不含二次项时，求(−1)m+n ［−3m+4n−(−n)m］的值.例2．若m=−1998，求∣m2+11m−999∣−∣m2+22m+999∣+20的值.例3．已知m2+m−1=0，求m3+2m2+2007的值.例4．当x=−5时，多项式ax7+bx5+cx−9的值等于7.求x=5时，多项式ax7+bx5+cx+2024的值.例5．计算(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)例6．设N=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，求N的个位数字.例7．计算(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3−3(a−b)(b−c)(c−a)例8．计算(x l0 +x9 +x8+⋯+x+1)(x l0−x9 +x8−⋯−x+1)展开式中奇数次各项的系数之和．例9．计算：⑴(x3−6x2+11x−6)÷(x−2)；⑵(x4+3x3+16x−5)÷(x2−x+3)【巩固练习】A卷一．填空题1．下列代数式x、13-、215xy-、9a b+、2xyx y+、12abc+、21123xx++、219t-、2t，单项式有_________________，多项式有_________________.2．单项式54xyz-的系数为___________，次数是___________.3．将多项式−x2y+6xy−15x3−7y3+4按x的升幂排列是________________，按y的降幂排列为_____________.4．多项式−y4+2x2y3−12x3+ x4y6是按_________________排列.5．一个关于字母y的四次五项式，奇数次项的系数都是1，偶数次项的系数都是−1，则这个多项式是______________.6．多项式−7(a+b)2+2−(a+b)3+(a+b)按a+b的降幂排列为______________________________.7．(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)＝_________________.8．化简(x−12)( x2+12x+14)(x3+18)＝_________________.9．x285−x83+x7l+x9−x3+x除以x−1所得的余数为______________. 10．已知x−by=y−ax=bx+ay=1，且ab≠1，a2+b2+ab+a+b=____________.11．已知正整数a 、b 、c (其中c ≥3)，a 除以c 余1，b 除以c 余2，ab 除以c 的余数是__________.12．三次多项式f (x )除以x 2−1的余式是2x −5，除以x 2−4的余式是−3x +4，则f (x )=____________.二．解答题13．求x 2008−x 2007+5x 2006−x 3被x +1除，所得的余数.14．已知x −y +4是x 2−y 2+mx +3y +4的一个因式，求m 的值.15．已知x +y +z =a ，x 2+y 2+z 2=b 2， x 3+y 3+z 3−3xyz =c 3.求证：3ab 2＝a 3+2c 3B 卷一、填空题1．若多项式7xy 2−13x 3y 4+(m −5)x 5y 3+1与多项式−3x n y 4+5xy −3y +4次数相同，且最高次项的系数也相同，则3m +2n =__________.2．将十进制下的四位数abcd 写成按10的幂降幂排列的形式为________.3．下列说法中：⑴0与2001是同类项；⑵2a 3b 与−4ba 3是同类项；⑶3x 5与5x 3是同类项；⑷12(a +b )4与(a +b )4可看作是同类项，其中正确的说法的序号________.4．合并−3x +6x 2+6−5x 2−4x −5同类项，并按x 的降幂排列为_________________________.5．已知1999x n +7和10x 2m +3是同类项，(2m −n )2=____________.6．若3x 3m +5n +9+4y 3m −2n −7是关于x 、y 的二元一次方程，则m n 的值等于_________. 7．设m 2+m −1=0，则m 3+2m 2+2000=_________.8．式子−{−[x −(y −z )]}去括号应为___________.9．(1−212)(1−213)(1−214)⋯(1−2110)=_________.10．已知实数a和b适合a2b2+a2+b2+1=4ab，a+b=_________. 11．a2+2b2+2c2−2ab−2bc−6c+9＝0，abc＝_________.12．a−b＝1+m，b−c＝1−m，则a2+b2+c2−ab−bc−ca＝_________. 13．a+b+c = 1，a2+b2+c2＝2，a3+b3+c3＝3，a4+b4+c4＝_________. 14．已知x2+3x+2能整除了x4+ax2−bx+2，ab+a+b＝_________.15．实数x、y、z满足(y−z)2+(x−y)2+(z−x)2＝(y+z−2x)2+(x+z−2y)2+(x+y−2z)2，()()() ()()() 222111111yz zx xyx y z++++++＝_________.二．解答题16．已知(c−a)2−4(a−b)(b−c)＝0，求证：2b＝a+c. 17．求x21+x15+x12+x9+x6+x3+1被x2+x+1除所得的余式. 18．求证：(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)=1+x+x2+…+x15C卷一、填空题1．已知a−b=−1，则a3+3ab−b3＝_________.2．已知xyx y+=3，代数式272x xy yx xy y-+-+-＝_________.3．合并同类项：12a2−3a3+14−2a+7a3−13−23a2＝_________.4．当50−(2a+3b)2达到最大值时，1+4a2−9b2＝_________. 5．已知x+y=−1，xy=-5，x5+y5=_________.6．若a+b+c＝0，a3+b3+c3＝0，则a19+b19+c19＝_________.7．若(3x+1)5= ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a−b+c−d+e−f＝_________. 8．分解因式a3b−ab3+a2+b2+1＝_________.9．已知a+2b+3c+4d＝3，a−2b+4c+5d＝2，则a+10b+c+2d＝_________.10．(x+2)(x−1)整除2x4−3x3+ax2+7x+b，则ab＝_________.11．2a·5b＝2c·5d＝10，则(a−1)(d−1)−(b−1)(c−1)＝_________.12．(1+x)20除以1−x2的余式是_________.二.解答题13．已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1−a)2=b(1−b)2=c(1−c)214．求证：a1+(1−a1)a2+(1−a1)(1−a2)a3+⋯+(1−a1)(1−a2)⋯(1−a n−1)a n＝1−(1−a1)(1−a2)⋯(1−a n) 15．设a、b、c、d满足a≤b，c≤d，a+b=c+d≠0，a3+b3=c3+d3.求证：a=c，b=d.第3课待定系数法例1．设−1≤2a−b≤3，2≤4a+b≤7，求7a−3b的取值范围.例2．某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋共用9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋则共用3.2元，问若此人分别买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一只需多少钱？例3．a、b、c分别是什么数时，多项式ax2+bx+c与(x−1)(x+5)恒等？例4．已知x4+2x2−x+2≡(x2+mx+2)(x2+nx+1)，求m与n的值.例5．已知x2−2xy−3y2+3x−5y+2≡(ℓx+y+2)(x−3y+1)，求、ℓ、的值.例6．如果x2+x+1∣x4−4x2+ax+b，求a、b的值及商式.【巩固练习】A卷1．已知−3≤4a−3b≤3，5≤9a+b≤17，求2a+7b的最小值和最大值.2．已知ax3+bx2−18x+8≡(ax+2)(x2+3x+4)，求a和b的值.3．已知一个关于x的三次多项式，当x取2和3时，多项式的值都为0；当x取−2、−3时，多项式的值分别为40与30，求这个三次多项式.4．已知2x+3∣2x3−9x2+n，求n的值.5．已知x2−4∣3x3+2x2+ax+b，求a+b的值.6．已知x−2、x＋3都能整除多项式x4+ax3−4x2+bx−12，求a、b的值.1．有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机3台、钢笔6支、书包2个共需302元；若购买收录机5台、钢笔11支、书包3个共需508元，问购买收录机、钢笔、书包各一个共需多少元？2．已知x+1、x+2都能整除多项式x3+ax2+bx+8，求a+b的值.3．若x3+ax2+4x+c≡(x+d)(x2+3x−4)，求7a−b+c的值.4．已知x2−y2+mx+5y−6≡(x+y+n)(x−y+k)，求m、n、k的值.5．已知x4−6x3+13x2+ax+b是完全平方式，求a、b的值.6．一个多项式除以x+2余1，除以x+3余−1，求这个多项式除以(x+2)(x+3)的余式.1．将5x 2+8x −7表示成a (x −1)2+b (x −1)+c 的形式.2．将x 4+2x 3+2x 2表示成两个次数不同的多项式的平方差.3．设p (x )=x 2+bx +c ，b 、c 是整数.若p (x )︱x 4+6x 2+25，且p (x )︱3x 4+4x 2+28x +5，则当x =1时p (x )的值(即p (1))是多少？4．已知221A B 3212x x x x x +≡+-+--，求A 与B 的值.5．已知()2258A B 4422x x x x x -≡+-+--，求A 与B 的值.第4课因式分解(1)例1．分解因式：⑴a6−b6；⑵a2＋b2＋c2−2bc＋2ca−2ab；⑶a7−a5b2＋a2b5−b7例2．分解因式：⑴a3＋b3＋c3−3abc；⑵x3＋y3＋3xy−1.例3．分解因式：(x−1)3＋(x−2) 3＋(3−2x) 3例4．分解因式：x3−5x＋4.例5．分解因式：x5n＋x n＋1.例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2−1)2+(x−1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2【巩固练习】A卷一．填空题1.分解因式(a＋b)2＋(a−b) 2＋c(a2+b2)＝_________.2．计算()222200220012003 2002200220012001-⨯-⨯+的结果等于_________.3.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008+2x2000＋5x1996的值是_________.4.分解因式（x2＋3x−3)(x2+3x＋4)−8=_________.5.将多项式x2−4y2−9z2−12yz分解成因式的积，结果是_________.6.把(1−x2)(1−y2)＋4xy因式分解，结果是_________.7．已知x−1是多项式x3−3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________.8.分解因式(x2−1)(x4＋x2＋1) − (x3＋1)2 =_________.9.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________.10.分解因式(x−2y)x3−(y−2x) y3=_________.二．解答题11．分解因式a3＋b3＋c3−3abc.12.已知x y≠，且x3−x=7，y3−y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？B卷一．填空题1．分解因式ab(c2−d2) −cd(a2−b2)＝_________.2. 若x2＋y2＋54=2x＋y，那么x y＋y x= _________.3.分解因式x4＋x3＋6x2＋5x＋5=_________.4.分解因式x2(y−z)十y2 (z−x)＋z2 (x−y) =_________.5.已知a为正数，且a[a(a＋b)＋b]＋b=1，则a+b的值是_________.6．若x＋1x=t，则x3＋31x=_________.7.若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)，则A−2002的末位数字是_________.8.分解因式(c2−b2＋d2−a2)2−4(ab−cd)2=_________.9.若两个不等实数m、n满足：m2＋2m=a，n2＋2n=a，m2＋n2=3，那么实数a的绝对值是_________. 10．分解因式(x−1) 3＋(x−2)3＋(3−2x) 3=_________.二．解答题11.分解因式ab2＋bc2＋ca2＋a2b＋b2c＋c2a＋2abc.12.是否存在两个正整数m和n，能使m2−n2= 2002C卷1.分解因式(x＋y) (x＋y＋2xy)＋(xy＋1) (xy−1).2.分解因式(xy−1)2−(x+y−2xy) (2−x−y)．3.分解因式(a＋b−2x)3− (a−x) 3− (b−x) 3．4.设a、b、c、d都是整数，且m=a2＋b2，n=c2＋d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是什么？5.若a、b、c满足a2＋b2＋c2＝9，那么代数式(a−b)2＋(b−c) 2＋(c−a) 2的最大值是多少？6.已知x3＋y3−z3=96，xyz=4，x2＋y2＋z2−xy＋xz＋yz=12：则x＋y−z的值是多少？7.立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对两个面所写两数之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面是b，35的对面写的是c，试求a2＋b2＋c2−ab−bc−ca的值.8.已知a≠0，且14(a2＋b2＋c2)＝(a＋2b＋3c) 2，求a：b：c.9.已知1x aa=+，x3−2x2−3x＋6=0，求2212aa++的值.10．若m、n是整数，且n2＋3m2n2＝30m2＋517，求3m2n2的值.第5课因式分解(2) 例1．分解因式：(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)−12.例2．分解因式：(x2＋3x＋2)(4x2＋8x＋3) −90.例3．分解因式：6 x4＋7 x3−36 x2−7x＋6.例4．分解因式：(xy−1) 2＋(x＋y−2) (x＋y−2xy)．例5．分解因式：⑴x2−3xy−10y2＋x＋9y−2；⑵xy＋y2＋x−y−2. 例6．求证：x2−2xy＋y2＋x＋y−4不能分解为两个一次因式的乘积.【巩固练习】A卷解答题1.分解因式a3＋3a2＋3a＋2.2．已知二次三项式x2−mx−8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，求m的可能取值.3.分解因式(x＋1) (x＋2) (x＋3) (x＋4) −24.4.分解因式(x＋1) (x＋2) (x+3) (x＋6) −3x2．5.分解因式x5＋x＋1.6.若(x−a) (x−b) −k中含有因式x＋b，求用a、b表示k的代数式.7.分解因式x4＋4.8.已知x2＋2x＋5是x4＋a x2＋b的一个因式，求a＋b的值.9.若多项式8x2−2xy−3y2可写成两个整系数多项式的平方差M2−N2，求用x、y表示M、N的一种形式.10.已知n为正整数，求证：n3−n的值必是6的倍数.B卷1.分解因式6x2−13xy＋6 y2＋22x−23y＋20.2.分解因式(x2＋4x＋8)2＋3x(x2＋4x＋8)＋2x2．3.分解因式2x2＋7xy＋3y2−5y−2.4.分解因式x5n＋x n＋1.5.分解因式(x＋1)4＋(x2−1)2＋(x−1) 4.6.已知n是正整数，且n4−16n2＋100是质数，求n的值.7．分解因式x3＋(2a＋1)x2＋(a2＋2a−1)x＋a2−1.8.分解因式x3(y−z)＋y3 (z−x)＋z3 (x−y).9．求证：(n＋2002)(n＋2003)(n＋2004)(n＋2005)＋1是一个完全平方数(这里n为正整数).10.观察：33333713371337243724++=++，33334319431943244324++=++，33335329532953245324++=++，思考：用字母表示数的方法，写出一个等式，揭示所述的规律，并用因式分解的知识证明你的结论.C卷1．分解因式a4＋b4＋c4−2a2b2−2b2c2−2c2a22．分解因式a3b−ab3＋a2＋b2＋1.3．若x2＋xy＋y=14，y2＋xy＋x=28，求x＋y的值．4.分解因式x 3＋y 3＋3xy −1.5.若代数式x (x ＋1) (x ＋2) (x ＋3)＋p 洽好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1且一次项系数相同)，则p 的最大值是多少？6.分解因式(x ＋5) 4＋(x ＋3) 4−82.7．计算：()()()()()()()()444444441064186426643464664146422643064++++++++8.若a 为正整数，则a 4−3a 2+9是质数还是合数？给出你的证明.9.分解因式(x 4−4x 2＋1)(x 4＋3x 2＋1)＋10x 4．10. 求证：形如111111n 个L 1442443的数不能表示成两个整数的平方和.第6课线段与角例1．如图，O是直线AB上的一点，∠AOD=120°，∠AOC=90°，OE平分∠BOD，间图中彼此互补的角共有多少对？例2．时钟里，时针从4点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分针与时针第一次重合？例3．设有一个边长为1的等边三角形，记作A1，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作等边三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3；将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是多少？例4．如图，已知AB∥CD，∠C＝100°，EF为∠CEB的平分线，EG⊥EF，求∠CEG.例5．如图，AB∥CD，E是AB与CD之间的任意一点，试问∠A、∠AEC、∠C之间有何关系？例6．平面内有10条直线，问这10条直线最多有几个交点？例7．如图，B是AC上一点，E是DF上一点.∠1=∠2，∠A=∠D，求证：∠C=∠F.例8．如图，已知直线AB分别交a与b于A、B，∠1与∠2的平分线相交于C.若AC⊥BC，求证：a∥b.【巩固练习】A卷一、填空题1．给出以下四个命题：⑴如果两个角互补，那么这两个角都是锐角；⑵两条直线被第三条直线所截，同旁内角不互补，同位角相等；⑶如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角互补；⑷平面上3条直线，最多可把平面分成7个部分.其中正确命题的序号为____________.2．数一数图1中共有多少条线段_________.3．如图2，已知AB∥CD，∠1=40°，∠2=55°，∠4=________.4．如图3，已知AB∥CD∥EF，PS⊥GH于P.当∠FRG=120°时，∠PSQ=________.5．如图4，已知∠1＝72°，∠2=72°，∠3=60°，∠4=________.6．如图5，l1∥l2，∠1=105°，∠2=140°，∠α=________.7．如图6，已知AB∥EF∥CD，CG⊥CF，∠ABC=45°，∠EFC=70°，∠BCG=________.8．如图7，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，∠E与∠F的关系是________(填“＞”、“=”或“＜”). 9．如图8，a∥b，直线AB交a于A，交b于B，CA平分∠1，CB平分∠2，∠C=________.10．如图9，已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，∠DEG=________.二．解答题11．时钟里，时针从5点整的位置起，分针、时针第一次重合时是什么时候？12．如图，已知∠ABC =∠CDA，BF、DE分别平分两角，∠1=∠2.求证：AD∥BC.13．如图，在△ABC中，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=60°，∠A=46°，求∠BDC的度数.14．如图，∠C=90°，CA平分∠1，CB平分∠2，证明：a∥b.B卷一．填空题1．如图1，已知AB∥CD，∠B+∠E+∠D=_________.2．如图2，已知FD∥BE，∠1+∠2−∠3=_________.3．如图3，已知BI、CI是∠ABC和∠ACB的三等分线，EF过点I且平行于BC，分别交AB、AC于E、F，∠ABC+∠ACB=111°，∠BIC=________.4．平面上5条直线相交，最多有________个交点.5．如图4，AE∥BC，∠1=4∠2，∠2=23°，∠C=_________.6．如图5，已知AB∥CD，∠AMP=150°，∠PND=60°，∠P =_________.7．如图6，直线BC∥DE，AD⊥DF，∠α=30°，∠β=50°，∠A=_________.8．如图7，AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF、EG三等分∠AEC，直线EF与AB的关系是_________.9．平面上有5个点，无三点共线，以任意两点连线，则以这5个点为端点的线段有________条.10．时钟表面3点半时，时针和分针所夹角的度数是_________.二、解答题11．⑴下图中一共有多少个长方形？⑵所有这些长方形的面积和是多少(单位：厘米)？12．如图，已知AA1∥BA3，证明：∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.13．如图，在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF，求证：∠AGD=∠ACB.14．如图,已知DA⊥AB.DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,∠1+∠2=90°，求证：BC⊥AB.15．如图所示，已知∠2=∠B，ED∥AC，求证：∠A=∠1.C卷一、填空题1．钟表在12点钟时三针重合，则经过________分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分.2．一个角的补角的13等于它的余角，这个角等于_________.3．如图1，AB∥CD∥PN，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠BCP=_______.4．如图2，已知CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D=50°，∠BOF=_______.5．如图3,AB∥CD,EF交CD于H,EG⊥AB，垂足为G.若∠CHE=125°，则∠FEG=_______.6．如图4，l1∥l2，∠1＝130°，∠2=110°，∠ACE=_______.7．如图5，AB∥CD∥EF，EG、EH三等分∠BED,∠B=45°,∠D=30°，∠GEF=_______.8．如图6，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，∠AED_______∠C(填“＞”、“=”或“＜”).9．如图7，AB∥CD，∠B=100°，EB、EF三等分∠CEG，∠DEG=_______.10．如图8，F是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，∠A与∠F的大小关系为_______. 二．解答题11．如图，直线l上有A1、A2、A3三个点，欲在l上找一点M使M到这三点的距离之和最小，问M应放在何处？若四个点呢？若n个点呢？12．7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中至少有一个角小于26°.第7课面积问题例1．如图，两个半径为1的14圆扇形¼''A OB与¼AOB叠放在一起，POQO'是正方形，求整个阴影图形的面积.例2．如图，四边形ABCD被AC与BD分成甲、乙、丙、丁4个三角形.已知BE=80厘米，AE=30厘米，CE=60厘米，DE=40厘米，问丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？例3．如图，△ABC中，点P在边AB上，AP=13AB；点Q在边BC上，BQ=14BC；点R在边AC上，CR=15AC.已知阴影△PQR的面积是19平方厘米，求△ABC的面积.例4．将任意三角形分成面积相等的五个小三角形，你能给出几种不同的分法？例5．如图，平行四边形ABCD的面积为64cm2，E、F分别为AB、AD的中点，求△CEF的面积.例6．如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，D 是AC 上一点，且AD :DC =2:3.BD 与CE 交于F ，S △ABC =40，求S △AEFD .例7．如图，在△ABC 中，P 是∠BAC 平分线上一点，BE ∥CP 交AC 于点E ，CF ∥BP 交AB 于点F .求证：BF =CE .例8．如图，P 为△ABC 内一点，AP 、BP 、CP 分别交对边于D 、E 、F .记△PBD 、△PDC 、△PCE 、△PEA 、△P AF 、△PFB 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4、S 5、S 6，求证：135246111111S S S S S S ++=++.【巩固练习】 A 卷一．填空题1．若长方形的长增加了a ％以后，为了使长方形的面积保持不变，则这个长方形的宽应该减少________.2．已知凸四边形ABCD 的面积是a ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG ，HF 交于点O ，四边形AEOH 与OFCG 面积和是________.3．如图1，一个矩形被分成A 、B 、C 、D 四个矩形.已知A 的面积是2平方厘米，B 的面积是4平方厘米，C 的面积是6平方厘米，原来矩形的面积是________平方厘米.4．如图2，线段BD 、DE 、EC 的长分别是2厘米、3厘米、2厘米，F 是线段AD 的中点，△ABC 的边BC 上的高为6厘米，△DEF 的面积为________平方厘米.5．如图3，梯形ABCD 的面积等于72平方厘米，AB =4厘米，DC =8厘米△ABD 的面积为________平方厘米.6．如图4，平行四边形ABCD的面积是34平方厘米.已知AB长为17厘米，AE长为5厘米，梯形BCDE 的面积为________平方厘米.7．如图5所示是三个半圆，两个小圆的直径分别为12厘米和6厘米，阴影部分的面积为________平方厘米(结果保留π).8．如图6所示，阴影部分的面积是36平方厘米，三角形ABC的面积与平行四边形CDEF的面积之比为3 : 2，三角形ABC的面积为_______平方厘米.9．如图7所示，△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，连结DE、DC.若△ABC的面积为48平方米，则△DEC的面积为_______平方米.10．如图8，一个圆内接最大正方形的面积是24平方分米，这个圆的面积为_______平方分米(结果保留π).二、解答题11．如图，在平行四边形ABCD中，OB=2OE，三角形AOB的面积为30平方分米，求平行四边形ABCD 的面积.12．如图，AD、BE、CF交于△ABC内一点O，且△BOF、△BOD、△AOF、△COE的面积分别为30、35、40、84，求△ABC的面积.B卷一．填空题1．△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且△BDE、△CDE、△ABE的面积分别为7、5、16，则△ACE 的面积为________.2．如图1，已知长方形ABCD中，F是CD的中点，BC=3BE，AD=4HD.若长方形的面积是300平方米，则阴影部分的面积等于________平方米.3．如图2所示，ABCD是梯形，△AOD的面积是4平方厘米，△COD面积是9平方厘米，梯形面积为________平方厘米.4．如图3，ABCD是直角梯形，AB与EC平行，AD长为10厘米，BC长为6厘米△ABD的面积比△CDE 的面积大12平方厘米，△CDE的面积为________平方厘米.5．如图4，五环图由内圆直径为8，外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等.已知五个圆环盖住的总面积是132.5，每个小曲边四边形的面积为_______ (π值取3.14).6．如图5，有三个等边三角形△ABE、△AED、△CDE组成的等腰梯形AF=2FB.若△CEF的面积为1，则梯形的面积为_______.7．如图6，在△ABC中，BD=2DC，AE=2BE.已知△ABC的面积是36平方厘米，四边形AEDC的面积为_______平方厘米.8．如图7，ABCD是正方形，边长为6分米，E、F分别是BC、AD的中点，P是正方形内任意一点，阴影部分的面积为_______平方分米.9．如图8，已知△ABC是直角三角形，三条边长分别为6厘米、8厘米、10厘米，AD =3AE，阴影部分的面积为_______平方厘米.10．如图9，ABCD是平行四边形，其面积等于15平方厘米.另一个平行四边形DEFG的边EF过A点，G 在线段BC上，平行四边形DEFG的面积是_______平方厘米.二．解答题11．如图，已知△DEF的面积为1，且DC=2BD，FD=2AF，EF=2EC，求△ABC的面积.12．如图，平行四边形ABCD ，F 在DA 的延长线上，CF 与AB 相交于E ，连结DE ，求证：△ADE 与△BEF 的面积相等.C 卷一、填空题1．在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点.若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是________平方厘米(这里A 、B 、C 、D 四点按逆时针方向排列).2．如图1，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是________.3．如图2，△ABC 的而积为1，若把△ABC 的各边分别延长一倍，连得一个△A 'B 'C '，则△A 'B 'C '的面积等于________.4．如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD .若△DCE 的面积是△DCB 面积的14，则DCE ABD S S =________.5．如图4，一个矩形分成4个不同的三角形，已知C 的面积占矩形面积的15％，A 的面积为21平方米，矩形面积为________平方米.6．如图5所示，图中每个小长方形的面积都等于1，图中阴影部分的面积为________.7．如图6，长方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 边长的任意点，△ABG 、△DCH 的面积分别为15和20，阴影部分的面积为________.8．如图7，ABCD 是一个矩形，AE 9ED 5=，BF 7FC 4=，甲、乙两块图形的面积和________丙、丁两块图形的面积和(填“＞”、“＝”或“＜”).9．如图8，正方形ABCD 的面积为1，E 为BC 的中点，AE 与BD 交于F ，图中阴影部分的面积为________.10．如图9，四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点.若四边形EFGH 的面积为1，那么四个小三角形△AHQ 、△BME 、△CNF、△DPG面积和为_______.二、解答题11．如图，P 为△ABC 内任意一点，三边a 、b 、c 的高分别为h a 、h b 、h c ，且P 到a 、b 、c 的距离分别为t a 、t b 、t c ，求证：1a b c a b ct t t h h h ++=.12．如图，四边形ABCD 中，E 、F 在DC 上，G 、H 在AB 上，DE =EF =FC ，AC =GH =HB .若四边形ABCD 的面积为27，求四边形EFHG 的面积.第8课一次不等式例1．解下列关于的一次不等式(组)，必要时加以讨论. ⑴124816x x x x -+-+≥ ； ⑵233122x x a a +-->例2．已知不等式(2a −b )x +3a −4b ＜0的解为x ＞49，求不等式(a −4b )x +2a −3b ＞0的解.例3．如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a ，b )共有多少对？例4．设a 、b 、c 、d 均为整数，且关于x 的方程(a −2b )x ＝1、(b −3c )x ＝1、(c −4d )x ＝1、x +100＝d 的根都是正数，试求a 的最小值.例5．设a 、b 是正整数，求满足89910a b <<，且b 最小的分数a b.例6．从1开始，写出一组连续的正整数，擦去一个数后，其余整数的平均值为73517，问擦去的数是多少？【巩固练习】A 卷一、填空题1．不等式7−x ＜2(6−x )的正整数解为_________.2．不等式(1−a )x ＞1的解为_________.3．不等式∣x +7∣−∣x −2∣＜3的解为_________.4．如果−a ＞−b ，用“＜”或“＞”号填空.⑴a −2002_______b −2002； ⑵−2002a _______−2002b ； ⑶2002a _______2002b .5．满足不等式x ≥−3.9的最小的整数x 是________；满足x ≤4.2的最大整数x 是_________.6．如下4个判断⑴如果a ＝0，b ＞0，则ax ＝b 无解； ⑵如果a ＞0，b ＝0，则ax ＝b 无解；⑶如果a ＞0，b ＜0，则ax ＞b 的解为x ＞b a ； ⑷如果a ＜0，b ＞0，则abx ＜b 的解为x ＜1a . 其中正确的序号是_________.7．如果x ＞0，那么1177x -+________ 1166x-+ (填“＞”、“＝”或“＜”).8．19＜5x ＜21的正整数解为_________.9．已知2(x −2)−3(4x −1)=9(1−x )，且y ＜x +9，试比较1πy 与1031y 的大小_________. 10．不等式x +5+16x -＞3+16x -的解是_________. 二．解答题 11．解关于x 的不等式233122x x a a+-->.12．如果关于x 的不等式(2a −b )x +a −5b ＞0的解为x ＜107，求关于x 的不等式ax ＜b 的解.B 卷一．填空题1．判断正误：1a ＜1b，则a ＞b _______. 2．设a ＞b ，−5a ＿＿＿−5b (填“＞”或“＜”).3．用不等式表示：m 的6倍与7的差的绝对值不大于5__________.4．不等式x ≥−5的解的最小值是_________，不等式x ＜−2的整数解的最大值是_________.5．若1＜x ＜2，则代数式()2121x x x x x x---+--的值是_________. 6．已知不等式2x −1＞x 与ax −6＞5x 同解，a =＿＿＿. 7．不等式组1235a x a x -<<+⎧⎨<<⎩的解集是3＜x ＜a +2，a 的取值范围是________.8．已知关于x 的不等式3x −a ≤0的正整数解恰是1、2、3，a 的取值范围是_________.9．设a 、b 、c 的平均数为M ，a 与b 的平均数为N ，N 与C 的平均数为P .若a ＞b ＞c ，则M 与P 的大小关系是_________.10．关于x 的不等式43x a +＞1的解都是不等式213x +-＜0的解，a 的取值范围是_________. 二．解答题11．某出租车的收费标准是3千米之内的起步费是10.8元，以后每增加1千米增收1.2元(不足1千米也算一个1千米)，现从A 地到B 地共支出24元(不计等候时间所需费用).如果从A 地到B 地是先步行460米，然后再乘车也是24元(同样不计等候时间所需费用)，求AB 的中点C 到B 地需多少车费.12．当x 、y 、z 为非负数时，3y +2z =3+x ，3y +z =4−3x ，求w =3x −3y +4z 的最大值和最小值.C卷一、填空题1．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人.若全部安排在底楼，每间4人，房间不够；每间5人，有房间没有住满5人.又若全安排在二楼，每间3人，房间不够；每间4人，则有房间没有住满4人，该宾馆底楼有________间客房.2．设p、q均为正整数，且710＜pq＜1115，当q最小时pq的值为_________.3．某次数学测验，共有16道选择题.评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答则不给分.某学生有一道题未答，且其成绩在60分以上，这位学生至少答对_______道题.4．若方程212x ax+=--的解是正数，则a的取值范围是______________.5．已知正整数a、b、c、d满足a＜2b，3b＜4c，5c＜6d，7d＜1990，a的最大值是___________.6．适合不等式1989＜9n＜9919的正整数n的个数有___________.7．代数式1−k的值大于−1而不大于3，则k的取值范围是___________.8．如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b＞0的解集为x＜107，那么关于x的不等式ax＞b的解集为___________.9．当k为_________时，关于x的方程3(x+1) = 5−kx有不大于1的解.10．关于x的不等式3x−a≤0只有六个正整数解，且最大的一个不超过8，那么这时a的取值范围是___________.二．解答题11．求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使815＜nn k+＜713成立.12．货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨.为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重量为3吨的汽车？第9课一次不等式组例1．解不等式组1102343525121714x x x x x x -⎧-+>⎪⎪-≤+⎨⎪--⎪->-⎩例2．a 为什么数时，方程组48326ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解为正数？例3．解不等式76223x x ->+例4．解关于x 的不等式组()365128mx mx mx x m x -<-⎧⎨+>-+⎩例5．设x、y、z均为正整数，且x＜y＜z，111x y z++=a(其中a为整数)，试求x、y、z的值.例6．一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位.生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊和小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高，请分析总售价是否可能达到2200元？【巩固练习】A卷一、填空题1．已知“a＞b，a−1a＞b−1b”同时成立，则ab应满足的条件是_________.2．若q＜0＜p，则不等式q＜1x＜p的解为_________.3．设方程组3223x y ky x+=⎧⎨-=⎩的解满足x＜l，y＞1，则整数k的个数为_________.4．能使4m+3、2m−1、19−m这3个数作为三角形三边长的整数m共有_________个.5．m为_________时，方程组2397mx yx my-=⎧⎨+=⎩的解满足x＞0，y＜0.6．不等式组()121522541x xx a⎧+≤+⎪⎨⎪-<-⎩的解是−1＜x≤1，则a=_________.7．若∣2a−b+1∣+(a+b−4)2≤0，则不等式组()()2715463ax x bab x⎧--<⎪⎨+->⎪⎩的解集是_________.8．不等式组312728x xx+>-⎧⎨->⎩的解集是_________.9．不等式告12＜∣2x−1∣＜3的解为_________.10．不等式组()24431172233x xxx⎧->-⎪⎨+--<-⎪⎩的整数解为_________.二、解答题11．求适合下列混合组的所有正整数解324 2267 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪++<⎩12．解关于x的不等式组()231232x x aaxx⎧->-⎪⎨->-⎪⎩B卷一、填空题1．已知m和n是整数，3m+2=5n+3，且3m+2＞30，5n+3＜40，mn的值是_________.2．把若干个苹果分给几个孩子.如果每人分给3个，则余8个；如果每人分给5个，则最后一个分得的数不足5个，孩子和苹果的个数分别为_________.3．不等式组25323649x xx x->-⎧⎨->-⎩的解集是_________.4．不等式组42078x yy x y=+⎧⎨<<⎩的整数解为_________.5．a为_________时，方程组2448x ayx y+=⎧⎨+=⎩的解是正整数.6．若x+y+z=30，3x+y−z=50，x、y、z皆为非负数，则M=5x+4y+2z的取值范围是_________.7．设方程组3223x y k y x +=⎧⎨-=⎩的解满足x ＜1，且y ＞1，则整数k 的个数有_________个. 8．如果1x ＞−3，且1x＜2，则x 的取值范围是_________. 9．不等式组1102343525121714x x x x x x -⎧-+>⎪⎪-≤+⎨⎪+-⎪->-⎩的解集为_________.10．a 为_________时(a 为整数)，方程组372520x y a x y +=⎧⎨+=⎩的解为正数. 二、解答题11．只有两个正整数介于分数8819和8819n n++之间，则正整数n 的所有可能值之和是多少？12．解关于x 的不等式组()()48322214ax ax a x a x -<-⎧⎨+->-+⎩C 卷一．填空题1．m 为_________时，方程组()14352m x my x y ⎧+-=⎨-=⎩有满足x −y < 2的解. 2．x 、y 、z 都是正整数，且满足不等式1322008x z y y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩，则x 的最小值是________.3．不等式组312423110x x x x +≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪+<⎪⎩的整数解为________.4．不等式组1220x x ⎧+<⎪⎨+>⎪⎩的解集为________. 5．已知d −a ＜c −b ＜0，且d −b = c −a ，a 、b 、c 、d 之间的大小关系是________.6．不等式组1131533132x x x x x ⎧++≥-+⎪⎪--⎨+⎪<⎪⎩的整数解为________. 7．a 为________时，方程组48326ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解为正数.8．若x 为整数，且满足2≤∣5−3x ∣＜9，则这样的x 共有_______个.9．同时满足4x +13＜0和x 2+3x ＞16的最大整数是_______.10．不等式315x x --＜2的解为_______. 二．解答题11．已知关于x 的不等式组()21413x ax x -<+⎧⎨+>⎩⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解.12．已知x 1、x 2、x 3、x 4、x 5是非负实数，且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=100. M 是x 1+x 2、x 2+x 3、x 3+x 4、x 4+x 5的最大值，求M 的最小值m ．第10课含绝对值的方程与不等式例1．解方程∣x−2∣+∣2x+1∣=7例2．求方程∣x−∣2x+1∣∣=3的不同的解的个数.例3．若关于x的方程∣∣x−2∣−1∣有三个整数解，则a的值是多少？例4．解方程组6321 34211x y x yx y x y⎧--+=⎪⎨+-+=⎪⎩例5．解不等式1＜∣3x+4∣≤6例6．解不等式∣x∣＜∣x−1∣例7．解不等式∣2−3x ∣+∣2x −1∣+∣4x −3∣＜1例8．解不等式∣2x −3∣＞x【巩固练习】A 卷一、填空题1．∣x +2∣−∣x ∣=x 的解是__________.2．方程∣3x −2∣=∣5x −3∣的解集是__________.3．方程∣4x −5∣=7的解是__________.4．方程∣2x −3∣−3x =1的解是__________.5．不等式∣2x +5∣≤10的解集是__________.6．不等式∣3x +1∣＞2x 的解集是__________.7．不等式∣x −1∣＞5的解集是__________.8．若∣x −y ∣=y −x ，且∣x ∣=3，∣y ∣=−4，则(y −x )3=__________.9．若0＜x ＜10，则满足条件∣x −3∣=a 的所有整数a 的值的和为__________.10．方程∣x −∣2x +l ∣∣=3的不同的解的个数是__________.二、解答题11．解不等式∣x +3∣−∣2x −1∣＜2x +112．已知方程∣x ∣=ax +1有一负根，且无正根，求a 的取值范围.一、填空题1．a、b满足∣a+b∣＜∣a−b∣，则a、b之间的关系是__________. 2．不等式16＜∣x−10∣＜20的整数解的个数为__________.3．方程∣x+3∣−∣x−1∣=x+1的解集是__________.4．方程∣x+2∣+∣2x∣+∣x−2∣=0的解集是__________.5．方程∣∣2x−1∣+4∣=8的解集是__________.6．方程组3223x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解是__________.7．不等式∣x+5∣−∣3x−2∣≤4的解集是_________.8．不等式∣∣x−1∣−∣x +2∣∣＞1的解集是__________.9．不等式∣x∣+∣y∣＜100有__________组整数解.10．不等式∣x−5∣−∣x+7∣＜3的解集是__________.二．解答题11．若∣x∣≤1,∣y∣≤1,那么不等式3≤∣x+y∣+∣y+1∣+∣2y−x−4∣≤7是否始终能成立？12．⑴当a在什么范围内取值时，任何实数x都不能使不等式∣x−2003∣+∣x−2007∣＜a成立？⑵如果∣x−1∣−∣x+2∣≤2a+3对一切实数x恒成立，求实数a的最小值；⑶如果∣x−a∣＜∣x∣+∣x+1∣对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.一、填空题1．如果∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣+⋯+∣1−2007∣≥a对一切实数x成立，则实数a的取值范围是__________.2．关于x的方程∣∣x−2∣−1∣=a有三个整数解，则a的值是__________.3．(1−∣x∣)(1＋x)＞0的解集是__________.04．关于x的不等式∣x−4∣+∣x−3∣＜a的解集不是空集，则正数a的范围是__________.05．方程∣3x−2∣−∣2x+3∣= 4x−5的解是__________.06．方程组3228x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解是__________.07．不等式∣x−1∣＞5的解集是__________.08．不等式∣2x+3∣－∣x−5∣≤4的解集是__________.09．不等式∣x+1∣+∣x−1∣＜∣x∣+∣x+2∣的解集是__________.10．不等式∣∣x+3∣−∣x−3∣∣＞3的解集是__________.二、解答题11．已知0＜a＜b＜c.求y=∣a−x∣−∣b−x∣−∣c−x∣的最大值.12．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示∣x1−x2∣的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P，试求出P的最大值，并说明理由.第11课奇数与偶数例1．在1、2、3、⋯、2007中的每个数前面任意添上一个正号或负号，试判断它们的代数和是奇数还是偶数.例2．1、2、3、⋯98共98个自然数中，能够表示成两整数的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？例3．将图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？说明理由.例4．在6张纸片的正面分别写上整数1、2、3、4、5、6.打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1~6这六个整数.然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的.例5．设1、2、3、…、9的任一排列的a1、a2、…、a9，求证：(a l−1)(a2−2)…(a9−9)是一个偶数.。

初一奥数精选题及答案

初中奥数题及答案初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

705.列方程(组)解应用题-奥数精讲与测试7年级1105

例1．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟。

回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，问A、B两地相距多少千米？例2．某校初一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍。

如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2:1，求参加竞赛的人数与初一年级的总人数。

例3．两个容器内共有48千克水，从甲容器内给乙容器加水一倍，然后乙容器又给甲容器加甲容器剩余水的一倍，则两个容器内的水量相等，问最初两个容器内各有水多少千克？例4．一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件。

若他每天多做10个，则提前142天完成；若他每天少做5个，则要误期3天，问他要做多少个零件？定期是多少天？例5．某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米。

团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那一部分人。

已知步行时速8千米，汽车时速40千米，问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？例6．旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。

若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，问旅行者一共行多少千米？例7．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中1人解出的题叫做难道，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？例8．游泳者在河中逆流而上，于桥A下将水壶遗失被水冲走。

继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回，在桥A下游距桥A 2千米的桥B下追到水壶，求该河水水流的速度。

A卷一、填空题01．三个数的和是22，甲数是丙数的2倍，乙数的10倍等于甲、乙两数和的4倍加2，则这三个数是______________。

七年级数学奥数练习试卷(通用)

“奥数”第二十讲:二元一次方程组的特殊解法解一次方程组的基本思想是消元”,常用的方法有代入消元法”和加减消元法”.另外,结合方程组的特点,还有整体处理”.设辅助未知数(既换元法)”等方法例1. 解方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--+27)107(5)5(2020)5(8)107(5y x x y例2. 解方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+513220311xy y x y x y x例3. 关于x,y 的方程组⎩⎨⎧+=+=-123m y x m y x 的解,也是方程 2x-y=3的解,求m 的值例4. 若x,y 是方程组⎩⎨⎧=+=+598719951997598919971995y x y x 的解则_____________2223=+yx y x 例5. 已知关于x,y 的方程组⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 32253 的未知数 x,y 的和等于2,求m 的值及方程组的解.练习:1.若关于x,y 的方程组 ⎩⎨⎧=+=-m y x y x 233 的解中y=1,能否求出对应x 的值及m 的值?若能,试求出x ,m 的值.2. 若方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(134y a ax y x 的解 x 与 y 相等,求 a 的值.3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+==331:2:1:2:z y x z y y x4.解方程组⎩⎨⎧=+=44325:10:7::y x z y x5.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧c z y x b y x z a x z y 232323=-+=-+=-+6.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+++43)2)(1(32221z y z y z x x xz y x x xy7若⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200020012000199902001200019990222z y x z y x z y x , 求2x+y+2z 的值8. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+27432z y x z y x z y x9. 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++05610321zy x z y x 试求x z z y y x ++的值.。

七年级数学奥林匹克数学思维能力训练检测卷：第01讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：（1）864718.75120461525⎡⎤⎛⎫--÷⨯÷⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）3199821(2)(1)|12|[()]241(1)()154-⨯---÷---÷-⨯例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数例5计算 3001×2999的值．例6计算 103×97×10 009的值．例7 计算：224690123461234512347-⨯例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．例9 计算：22221111(1)(1)(1)(1)23910--⋅⋅⋅--例10 计算：1111111111()(1)(1)()2319992199821999231998++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+3．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例14 计算：1111 12233419981999 +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；（5）111113355719971999+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯(6)1+4+7+ (244)（7）232000*********++++⋅⋅⋅+（8）179111315131220304256-+-+-2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第一讲有理数的巧算参考答案在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789) =1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得 4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。

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