D1_1映射与函数

9. 反正切函数
2) 奇函数，单调增加函数，非周期函数，
有界函数但无最大(小)值
(2) tan(arctan x) x, arctan( x) arctan x, x (, ) , 2 , 2 arctan(tan ) , , 2 2
1 如 y , D (, 0) (0, ) x D (,0) (0, ) 无界
I1 (,0) 无界，有上界而无下界
I 2 (0, ) 无界，有下界而无上界 I3 [1, 2] 有界
说明: 1) f ( x) 为有(无)界函数 如 y sin x, y 2 x 1
一般δ 取得比ห้องสมุดไป่ตู้小
2. 两个函数 (1) 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 (2) 取整函数
y
1
1
o
x
当
y
o
x
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3. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见 P6 )
7. 反正弦函数
(1) y sin x在[

, ] 上的反函数称为反正弦函数 y arcsin x 2 2
D [1,1], R f [
说明: 1)角
, ] 2 2 arc sin x [ , ], x 为其正弦值 2 2

2) 奇函数，单调增加函数，非周期函数，有界函数
x D, l 0 , 且 x l D,
若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 狄里克雷函数
周期为
1, 0,
x 为有理数
(1) y f (u ) u , u g ( x) 1 x 2 ; (2) y lg u, u sin x ; (3) y 1 u , u 2 ln 2 x ; (4) y eu , u sin v, v 1 x 2 .
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第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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1. 点a的邻域 (1) 点a的 邻域
a a a
(
)
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . (2) 点a的去心 邻域 (3) 点a的左 邻域 : 右 邻域 :

(2) sin(arcsin x) x, x [1,1] arcsin( x) arcsin x
, [ , ] 2 2 arcsin(sin ) , [ , ] 2 2
8. 反余弦函数
(1) y cos x在[0, ]上的反函数称为反余弦函数 y arccos x
(2) cos(arccos x) x, x [ 1,1] arccos( x) arccos x , [0, ] arccos(cos ) , [0, ]
(1) y tan x在 , 上的反函数称为反正切函数 y arctan x 2 2 D (, ), R f , 2 2 说明: 1)角 arctan x , , x 为其正切值 2 2
2) f ( x)在I 上有界 f ( x)在I 上既有上界又有下界
(2) 单调性
x1 , x2 I , x1 x2 时,
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x)在I 上是 单调增加的 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称
y
x1 x 2 x
f ( x) 为在I 上是 单调减少的. 说明: f ( x) 为单调增加(减少)函数，单调函数
y af ( x) b ( f ( x)为基本初等函数，a, b为常数且 a 0),
并且所分解的函数个数尽可能的少。
例2 下列函数可以看成由哪些函数复合而成的？
1) y 1 x ;
2 3 2
2) y e
a
sin 2 x
;
3) y cos (2x +1) .
(4) 复合函数的重要性
10. 反余切函数
(1) y cot x在(0, )上的反函数称为反余切函数 y arccot x
D (, ), Rf (0, )
说明: 1)角 arccot x (0, ), x 为其余切值
2) 非奇非偶函数，单调减少函数，非周期函数， 有界函数但无最大(小)值
D [1,1], R f [0, ]
说明: 1)角arccos x [0, ], x 为其余弦值
2) 非奇非偶函数，单调减少函数，非周期函数， 有界函数，且ymax |x1

ymin |x1 0
例4 把下列各式改写为反余弦的形式
2 3 2 (1) cos = ; (2) cos = ; (3) cos = 1 4 2 4 2 1 (4) cos =0; (5) cos = 2 3 2
结束
(2) 复合函数定义的推广
y h( x) : y f1 (u1 ), u1 f 2 (u2 ), , un f n1 (x )
其中 u1 , u2 , , un 为中间变量
5. 初等函数 (P12)
(1) 基本初等函数 (2) 初等函数 (3) 复合函数一般分解原则：所分解的每一个形为
如 y x2 , I1 [0, ) 单增，I 2 (,0] 单减 ，D (, ) 非单调
y x 1 为单调增加函数
(3) 奇偶性
y
则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数； 则称 f (x) 为非奇非偶函数。
x D, 且有 x D,
(2) cot(arc cot x) x, x (, ) arc cot( x) arc cot x , (0, ) arc cot(cot ) , (0, )
若 若 若
x o
xx
说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 则当 , f ( x) 为奇函数时 , 必有 f (0) 0.
如 f ( x) x2 cos x 为偶函数， f ( x) x6 sin x 为奇函数， f ( x) x2 x 为非奇非偶函数。
(4) 周期性
2 2 例3 把下列各式改写为反正弦的形式 1 1 (1) sin = ; (2) sin = ; (3) sin =1 6 2 2 6 2 3 (4) sin 0=0; (5) sin = 1 2 且ymax |x 1

,
ymin |x 1
x 为无理数
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4. 复合函数
引例.
D1
D
手电筒
D2
D 复合映射
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(1)设有函数链 y f (u ), u D1 ①;
且 g ( D) D1 ②．则
称为由①, ②
确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D1 不可少. 例1 下列各组中的两个函数能否构成复合函数？