空间几何平行与垂直证明

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE

练习：

1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点，

（1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。

P A B

C

D E

C

B

2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD .

(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD .

3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为

AB,BC,CD,DA 的中点.

求证：AC//平面EFG.

4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH.

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点.

求证：OE //平面ADP

A B C D

E

F

G H

A B

C

D E F

G

H

P

A

B

C

D

E O

2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B

练习

1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点

证明：直线MN ‖平面O C D ；

2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点.

求证：//A F 平面PC E

3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．

求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1；

G

E D 1

C 1

B 1

A 1A D

C

B

O A

M D

C

B N P B C

D

A E F

D 1O

D B

A C 1

B 1

A 1

C

4. 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ，

60

=∠DAB ，11AD AA ==，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，

（1）求证：//MF 面ABCD ；（2）判断直线M F 与平面11B BDD 的位置关系，并证明你的结论；

方法三：构造平面法

例：1.如图， ,,E F O 分别为P A ，P B ，A C 的中点．

G 是O C 的中点，证明：//F G 平面B O E

方法四：线段比例法

例1、如图所示,已知正方形ＡＢＣＤ与正方形ＡＢＥＦ不共面，ＡＮ＝ＤＭ .求证：ＭＮ∥平面ＢＣＥ.

A

B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

F

M

面面平行

题1、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．

(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值．

练习

1．如图，在正方体ＡＢＣＤ－1A 1B 1C 1D 中，ＡＢ＝a 求证：平面Ａ1D 1B ／／平面1C ＤＢ．

2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，过M 作MH ⊥AB 于H ，

求证：平面MNH//平面BCE ；

A 1 A

B C

B 1

C 1 E F M

N

D 1 D

1

A 1C

D

3、已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上, 且P M ：MA=BN ：ND=PQ ：QD. 求证：平面MNQ ∥平面PBC .

线面垂直

例：1．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，且1A A ⊥底面ABC ，D 为

1C C

的中点，1A B 与1A B 相交于点O ，连结O D ，

求证：//O D 平面ABC ；（2）求证：1A B ⊥平面1A B D 。

2．如图所示，四边形A B C D 为矩形，AD ⊥平面A B E ，F 为C E 上的点，2AE EB BC ===，且B F ⊥平面AC E （1）求证：A E ⊥平面BC E ； （2）求证：//A E 平面BFD ；

G Ｂ

Ａ

Ｄ

Ｃ

Ｆ

Ｅ

3.如图，正方形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCE ；

（Ⅱ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥平面BCE ；

4．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC AB ⊥，E 是A 1C 的中点，

ED A C

⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 122

==

(如图11) ．

（I ）证明：B C 11//平面A BC 1；

（II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．

5.如图，在四棱锥

P A B C D

-中，底面

A B C D

是边长为a 的正方形，侧面

PAD ^底面ABCD

，且2

PA PD AD ==，若E 、F 分别为P C 、BD 的中点.

（1）求证：EF ∥平面P A D ； （2）求证：PA ⊥平面PDC .

图11

D

E A 1

C B

A

C 1

B 1