二次函数的对称性
初二数学二次函数的轴对称性
初二数学二次函数的轴对称性二次函数是数学中常见的一种函数形式，具有很多独特的性质。
其中，轴对称性是二次函数最为显著的特征之一。
本文将介绍二次函数的轴对称性及相关概念，并以数学实例来加深理解。
一、轴对称性的定义及性质1. 轴对称性的定义：二次函数的图像关于某一条直线对称。
2. 轴对称性的性质：若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则有以下性质：- 对任意x，有f(a+x) = f(a-x)；- 若(x1, y1)是f(x)的图像上的任意一点，则(a+x1, y1)也是f(x)的图像上的一点；- 轴对称线的方程为x=a。
二、轴对称函数的图像轴对称函数的图像是一种特殊的图形，具有左右对称的特点。
以二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）为例，其轴对称线的方程为x = -b/2a。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，形如“U”字形，轴对称线为对称图形的最低点；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形如倒置的“U”字形，轴对称线为对称图形的最高点。
三、轴对称性的证明证明某一函数具有轴对称性可以采用以下两种方法。
1. 利用代数方法，求解f(x)与f(-x)的关系：若f(x) = f(-x)，则二次函数具有轴对称性。
例如，对于二次函数f(x) = x^2 - 4，有f(x) = f(-x)，因此该函数具有轴对称性。
2. 利用几何方法，观察二次函数的图像关于x轴对称：绘制二次函数的图像，并将图像沿x轴折叠。
如果左右对称，则二次函数具有轴对称性。
例如，对于二次函数f(x) = (x-1)^2 - 2，绘制其图像后，可以发现图像相对于x轴呈左右对称的关系，因此该函数具有轴对称性。
四、轴对称性在数学问题中的应用1. 轴对称性在函数图像的绘制中的应用：在绘制二次函数的图像时，可以利用轴对称性简化计算。
通过确定函数的最高点或最低点及其坐标，再结合对称性，可以得到更多其他点的坐标，从而绘制出准确的图像。
巧用二次函数对称性解题
巧用二次函数对称性解题
解题用二次函数的对称性，是一种非常有效的方法，也是数学中最常见的一类数学解题方法，它具有广泛的应用。
本文就来讨论二次函数的对称性在数学解题中的运用。
二次函数的对称性指的是，对某函数的函数值又特定的轴线上的特征而言，存在一条对称轴，使得当我们沿着该对称轴旋转时，所有的点不变。
一般来说，二次函数的对称性都是以一条直线或者129°角线作为对称轴。
因此，用二次
函数的对称性解题时，只需要找出函数在哪一条轴上存在对称效应即可。
例1：y＝2x2-4x+1。
此二次函数的对称轴是一条y轴中的x=1线，因为该函数在y轴上的x=1时存在对称效果，其图像的左侧和右侧的图像是相同的。
例2：y＝x2-3x+2。
此二次函数的对称轴是一条129°角线，因为该函数在y轴上的x=1时存在对称效果，其
图像的左侧和右侧的图像是相同的。
二次函数的对称性在很多数学考试题中都有着非常重要的地位，而且它在考试题解答中也
是最基本也是最有效的方法之一。
如果考生能够熟练掌握这种方法，就可以有效地提升自
己的解题能力。
在使用二次函数的对称性来解决数学解题时，考生需要注意的是，对函数的特征有充分的
理解，以及在存在两个或以上的函数的情况下，解题的思路清晰明确，并且要尽可能用函
数的方法来解决。
总之，二次函数的对称性实际上是一种很有用的解题方法，在解决很多数学解题问题时，
可以发挥它独特的数学优势。
正确运用二次函数的对称性，可以使考生有效地提升解题能力，为自己取得良好的成绩贡献自己的一份力量。
二次函数的对称性
(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。
2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。
4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。
二次函数对称性分析
二次函数对称性分析二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c这样的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数的对称性分析，有以下几个方面的内容可以展开：一、关于y轴对称:二次函数的图像关于y轴对称，当且仅当a = 0。
这是因为当a = 0时，二次函数变为一次函数，其图像为一条直线，直线与y轴显然是关于y轴对称的。
二、关于x轴对称:二次函数的图像关于x轴对称，当且仅当抛物线的顶点坐标的y值等于c，即f(x) = c。
这是因为顶点是抛物线的最高点或最低点，其对称轴为x轴。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于x轴对称的条件为y = k。
三、关于原点对称:二次函数的图像关于原点对称，当且仅当抛物线的顶点坐标为原点，即(h,k) = (0,0)。
这是因为原点是坐标轴的交点，关于原点对称就是说抛物线与坐标轴的交点在同一直线上。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于原点对称的条件为k = 0。
四、判定对称性的应用：通过对二次函数的对称性进行分析，可以得到二次函数的一些重要性质。
1. 对称轴的性质：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程可以通过两个方法确定：（1）当已知二次函数为标准式f(x) = ax^2 + bx + c时，对称轴的方程为x = -b/(2a)；（2）当已知二次函数为顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k时，对称轴的方程为x = h。
2. 零点的性质：二次函数的图像与x轴的交点称为零点或根。
若二次函数关于x轴对称，则其零点个数为0、2或无穷多个。
当抛物线与x轴相切时，有一个实根；当抛物线与x轴交于两个不同的点时，有两个实根；当抛物线在x轴上方时，无实根。
二次函数中的对称问题
二次函数中的对称问题一、引言二次函数是高中数学中的重要内容，它具有许多特殊的性质和应用。
其中，对称性是二次函数的一个重要特征，也是解题时常用到的一个概念。
本文将详细介绍二次函数中的对称问题，包括轴对称、顶点对称和直线对称等内容。
二、轴对称1. 定义轴对称是指图形关于某条直线对称，即将图形沿着这条直线翻转180度后与原图形完全重合。
在二次函数中，轴对称通常指函数图像关于x 轴或y轴对称。
2. 关于x轴的轴对称若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其图像关于x轴的轴对称可以通过以下步骤求出：（1）令y = f(x)，即将x作为自变量代入函数；（2）将y变为-y，即将y坐标取反；（3）得到新的函数f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c；（4）新函数f(-x)就是原函数f(x)关于x轴的轴对称。
3. 关于y轴的轴对称若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其图像关于y轴的轴对称可以通过以下步骤求出：（1）令x = -x，即将x坐标取反；（2）得到新的函数f(-x) = a(-x)^2 - b(-x) + c = ax^2 + bx + c；（3）新函数f(-x)就是原函数f(x)关于y轴的轴对称。
三、顶点对称1. 定义顶点对称是指图形关于某个点对称，即将图形沿着这个点翻转180度后与原图形完全重合。
在二次函数中，顶点对称通常指函数图像关于顶点对称。
2. 求解方法若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其顶点坐标为：（1）横坐标为-xb/2a，即顶点在直线x=-b/2a上；（2）纵坐标为f(-b/2a)，即将横坐标代入原函数得到的值。
3. 顶点对称公式根据轴对称的知识，可以得到二次函数关于顶点对称的公式：（1）若二次函数关于y轴对称，则其顶点为(0, f(0))；（2）若二次函数关于x轴对称，则其顶点为(0, f(0))；（3）若二次函数既不关于x轴对称也不关于y轴对称，则其顶点为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的对称性
一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。
类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。
例1. 判断下列函数的奇偶性。
（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。
二次函数的对称性与单调性
二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。
一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。
1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。
2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。
3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。
二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。
根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。
1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。
二次函数对称规律口诀
二次函数对称规律口诀二次函数是一种常见的数学函数，具有许多重要的特征和性质。
其中之一便是对称规律。
二次函数的对称规律是指图像关于其中一直线的对称性质。
对称规律可以通过口诀的方式记忆，方便学生在解题过程中应用。
下面是一份包含二次函数对称规律的口诀，详细阐述了其数学原理及应用方法。
口诀一：关于y轴的对称规律左等右翻对称规律是指当二次函数的图像关于y轴对称时，其函数式可以通过对变量x取相反数后的函数得到。
设二次函数的函数式为y = ax^2 + bx + c，那么它的对称函数为y = ax^2 - bx + c。
解释：在二次函数的图像中，如果将整个图像沿着y轴折叠，使得左半部分与右半部分完全重合，那么原函数和对称函数的图像将完全一样。
对称函数的函数式中的b系数与原函数相比取相反数，因为对称后左边的x值变为右边的相反数。
应用举例：已知二次函数y=2x^2+3x+1，求其关于y轴的对称函数。
根据对称规律口诀，函数的对称函数为y=2x^2-3x+1口诀二：关于x轴的对称规律上等下翻对称规律是指当二次函数的图像关于x轴对称时，其函数式可以通过对变量y取相反数后的函数得到。
设二次函数的函数式为y = ax^2 + bx + c，那么它的对称函数为y = -ax^2 - bx + c。
解释：在二次函数的图像中，如果将整个图像沿着x轴折叠，使得上半部分与下半部分完全重合，那么原函数和对称函数的图像将完全一样。
对称函数的函数式中的a和b系数与原函数相比取相反数，因为对称后上边的y值变为下边的相反数。
应用举例：已知二次函数y=3x^2+2x-4，求其关于x轴的对称函数。
根据对称规律口诀，函数的对称函数为y=-3x^2-2x-4口诀三：关于原点的对称规律中心对称等于交换符号对称规律是指当二次函数的图像关于原点对称时，其函数式可以通过对变量x和y取相反数后的函数得到。
设二次函数的函数式为y = ax^2 + bx + c，那么它的对称函数为y = -ax^2 - bx - c。
二次函数像的特征与变化规律
二次函数像的特征与变化规律二次函数是高中数学中非常重要且常见的一种函数类型，它的像可以通过一系列特征和变化规律来描述和分析。
本文将就二次函数的像的特征和变化规律展开讨论。
一、二次函数像的特征1. 对称性：二次函数的图像通常呈现出一种对称性，称为轴对称。
这种对称性是通过二次函数的顶点和对称轴来实现的。
对称轴是垂直于x轴过顶点的直线，它将图像分为两个对称的部分。
2. 极值点：二次函数的图像在对称轴上有一个极值点，称为顶点。
顶点是二次函数的最高点或最低点，可以通过变化规律来确定。
3. 开口方向：二次函数的图像可以是开口朝上或开口朝下的。
开口方向可以通过二次函数的系数a的正负来判断，如果a>0，则开口朝上；如果a<0，则开口朝下。
二、二次函数像的变化规律1. 平移：二次函数的图像可以进行平移，平移是指将整个图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
当二次函数的图像进行平移时，顶点和对称轴的位置都会发生相应的改变。
2. 缩放：二次函数的图像可以进行缩放，缩放是指将整个图像的大小进行变化。
缩放可以通过二次函数的系数来实现，系数a的绝对值越大，图像的曲率越大，即图像越“扁”。
3. 垂直方向的拉伸和压缩：二次函数的图像可以在垂直方向上进行拉伸和压缩，拉伸和压缩是指将图像在y轴方向上进行拉长或压缩。
拉伸和压缩可以通过二次函数的系数b来实现，b的绝对值越大，图像在y轴方向上的变化越明显。
4. 水平方向的拉伸和压缩：二次函数的图像可以在水平方向上进行拉伸和压缩，拉伸和压缩是指将图像在x轴方向上进行拉长或压缩。
拉伸和压缩可以通过二次函数的系数c来实现，c的绝对值越小，图像在x轴方向上的变化越明显。
根据以上的特征和变化规律，我们可以对二次函数的图像进行准确的描述和分析。
对于学习和理解二次函数来说，熟悉和掌握这些特征和变化规律是非常重要的。
通过对二次函数像的特征和变化规律的深入研究，我们可以更好地应用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
二次函数像的对称性与判别式
二次函数像的对称性与判别式二次函数的性质之一是对称性。
对称性是指二次函数的图像关于某个轴或点对称。
判别式是用来判断二次函数的图像与坐标轴的相交情况的一个参数。
本文将分别详细介绍二次函数的对称性和判别式，以及它们在解析几何中的应用。
**一、对称性**二次函数的对称性主要有三种：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
1. 关于x轴对称：二次函数若关于x轴对称，则其图像在x轴上对称。
对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，它的对称轴为x = -b/2a。
当二次函数的对称轴为x轴时，我们可以通过观察a的值来推断图像的开口方向：当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
2. 关于y轴对称：二次函数若关于y轴对称，则其图像在y轴上对称。
对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，当b=0时，二次函数关于y轴对称。
3. 关于原点对称：二次函数若关于原点对称，则其图像在原点对称。
对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，当c=0时，二次函数关于原点对称。
通过对二次函数对称性的分析，我们可以更好地理解和绘制二次函数的图像，从而解决与其相关的问题。
**二、判别式**判别式是用来判断二次函数与坐标轴的相交情况的一个参数。
对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，判别式的公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
根据判别式的值可以得到以下结论：1. 当$\Delta > 0$时，即判别式大于0，二次函数与x轴有两个不同的交点，图像与x轴相交于两个不同的点。
2. 当$\Delta = 0$时，即判别式等于0，二次函数与x轴有且仅有一个交点，图像与x轴相切于一个点。
3. 当$\Delta < 0$时，即判别式小于0，二次函数与x轴没有交点，图像在x轴上方或下方不与其相交。
二次函数性质总结
二次函数性质总结1。
定义域、值域：任意的实数都是二次函数的定义域；对任意的实数，在y=x（ t）图象上的任一点P（ x）都有唯一确定的位置。
2。
对称性：二次函数图象关于原点对称。
3。
顶点坐标公式： y=kx+b=kx。
2。
对称性：二次函数图象关于原点对称。
3。
顶点坐标公式：y=kx+b=kx。
4。
奇偶性：若一个二次函数y=kx+b=0，则该函数一定是偶函数，它的图象关于y轴对称，这与奇函数的定义相同。
4。
平移性：设二次函数的解析式为y=kx+b=kx+b，如果将k=0，即可得到原二次函数的图象平行于y轴，因此二次函数图象具有平移性。
5。
周期性：二次函数的图象关于点K=0对称，因此二次函数在[0， K]上单调增加，且其周期为2π（ k=0， 1）。
6。
最值：过(0， 1)并且不等于K的任何实数x， y， z都是二次函数的最值；其中最大值是y=0，最小值是y=K。
7。
最值，最大值，值域的求法：二次函数的最大值和最小值分别是：y=kx+b=kx；当k=0时， y=kx+b=kx，根据一元二次方程求最大值和最小值的方法，列出方程组： y=kx+b=kx，解得b， k为正整数，且b>0，所以y的最大值为最大值= k；当k=0时， y=kx+b=kx，根据方程组解得k>0，所以y的最小值为最小值=k。
二次函数值域为：当k=0，且b>0时，二次函数的值域是[-b， b];当k=0，且b<0时，二次函数的值域是[b， b]。
因此y=kx+b=kx是二次函数值域的一个充要条件。
8。
最大值和最小值的求法：最大值和最小值分别是： y=kx+b=kx；当k=0时， y=kx+b=kx，根据一元二次方程求最大值和最小值的方法，列出方程组： y=kx+b=kx，解得b， k 为正整数，且b>0，所以y的最大值为最大值=k；当k=0时，y=kx+b=kx，根据方程组解得k>0，所以y的最小值为最小值=k。
二次函数的对称性与像形态
二次函数的对称性与像形态二次函数是一个非常重要的数学概念，用于描述曲线的形状和性质。
其中，对称性和像形态是二次函数的两个重要方面。
本文将介绍二次函数的对称性和像形态，并分析它们对函数图像的影响。
一、二次函数的对称性对称性是指函数图像相对于某个特定的线、点或面的性质。
在二次函数中，存在三种常见的对称性，分别是关于x轴的对称、关于y轴的对称和关于原点的对称。
1. 关于x轴的对称二次函数y = ax^2 + bx + c 关于x轴对称，意味着如果点(x, y)位于函数图像上，那么点(x, -y)也位于函数图像上。
这种对称性可以用来确定函数图像的部分特征，如顶点、切线和对称轴。
2. 关于y轴的对称二次函数y = ax^2 + bx + c 关于y轴对称，意味着如果点(x, y)位于函数图像上，那么点(-x, y)也位于函数图像上。
这种对称性可以帮助我们判断函数图像的左右部分的性质和特征。
3. 关于原点的对称二次函数y = ax^2 + bx + c 关于原点对称，意味着如果点(x, y)位于函数图像上，那么点(-x, -y)也位于函数图像上。
这种对称性可以用来确定函数图像的整体形状和关键点的位置。
二、二次函数的像形态像形态是指函数图像的整体形状。
在二次函数中，像形态由二次项的系数a的正负和大小决定。
1. a > 0 的情况当二次项的系数a大于0时，函数图像开口向上，并且函数的最小值（顶点）在图像的最下方。
这种形状通常被称为"U型"形。
2. a < 0 的情况当二次项的系数a小于0时，函数图像开口向下，并且函数的最大值（顶点）在图像的最上方。
这种形状通常被称为"倒U型"形。
3. a = 0 的情况当二次项的系数a等于0时，函数图像为一条水平直线。
这种情况下，二次函数退化为一次函数。
三、对称性与像形态的影响对称性和像形态之间存在一定的关联。
具体来说，关于x轴的对称性和关于y轴的对称性会影响函数图像的对称轴、顶点和切线的位置；而a的正负和大小则决定了函数图像的开口方向和最值的位置。
二次函数的对称性与像特征
二次函数的对称性与像特征二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像形态与一次函数有很大的不同。
在学习二次函数时，我们需要理解其对称性与像特征，这对于解题和分析二次函数的性质非常重要。
1. 顶点对称性二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是凸起或凹陷的最高或最低点。
顶点对称性是指二次函数图像关于顶点对称。
具体而言，如果顶点的坐标为（h，k），则二次函数图像上任意一点P的坐标（x，y）满足关系式：y = k + a(x - h)^2其中，a是二次函数的参数，决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上，称为凸抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为凹抛物线。
2. y轴对称性二次函数的图像也具有y轴对称性，即图像关于y轴对称。
这意味着当图像中的一点P的坐标为（x，y）时，点P'的坐标为（-x，y）。
具体而言，对于二次函数图像的任意点（x，y），都有关系式：f(x) = f(-x)3. x轴对称性二次函数的图像也具有x轴对称性，即图像关于x轴对称。
这意味着当图像中的一点P的坐标为（x，y）时，点P'的坐标为（x，-y）。
具体而言，对于二次函数图像的任意点（x，y），都有关系式：f(x) = -f(-x)4. 零点与判别式二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式计算零点。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，b^2 - 4ac被称为判别式，通过判别式的正负可以判断二次函数的零点情况：- 当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实数根；- 当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实数根；- 当判别式小于0时，二次函数没有实数根。
5. 极值与开口方向对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其顶点坐标可以通过计算公式 h =-b / (2a) 和 k = f(h) 获得。
二次函数的对称性分析
二次函数的对称性分析一、对称轴对称轴是指二次函数图像上的一条直线，对称轴上的点关于该直线对称。
对称轴是二次函数的重要特征之一。
二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
对称轴的求法如下：1. 先求出二次函数的顶点坐标，顶点坐标的x坐标为x_s = -b / (2a)；2. 对称轴与顶点坐标的x坐标相等；3. 对称轴的解析式为x = x_s。
二、顶点顶点是二次函数图像上的一个点，也是对称轴上的一个点。
顶点是二次函数的另一个重要特征。
1. 顶点的x坐标为 x_s = -b / (2a)，其中a、b、c为二次函数的系数，且a≠0；2. 顶点的y坐标可通过将x_s代入二次函数的解析式计算得出。
三、对称性二次函数具有关于对称轴的对称性。
1. 对于对称轴上的点，其关于对称轴的对称点也在二次函数图像上；2. 对于任意一点P（x, y）在二次函数图像上，它的对称点P'（x', y'）也在二次函数图像上；3. 对称性使得我们可以通过研究对称轴上的点和一侧的点来得出整个二次函数图像的形状。
四、开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负确定。
1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个"U"；2. 当a < 0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个"∩"。
五、对称点和特殊情况1. 对称轴上的两个点关于对称轴对称，它们的y坐标相等；2. 在对称轴上，函数图像的两侧对称点的坐标关于对称轴对称；3. 当二次函数的系数满足特殊条件时，比如二次项系数a为0，此时二次函数为一次函数，对称轴和顶点的概念将失去意义。
六、例题分析举例分析一个二次函数图像的对称性：给定二次函数y = -2x^2 + 6x - 4。
1. 求对称轴：对称轴的解析式为x = -b / (2a)，带入a=-2、b=6可得x = -6 / (-4) = 3/2。
二次函数性质总结
二次函数性质总结二次函数是高中数学中经常遇到的一个函数类型，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
二次函数的性质有很多，下面就逐一进行总结：一、基本性质：1. 对称性：二次函数在抛物线的顶点处有对称轴，对称轴是图像的一条垂直线。
如果二次函数是y=ax^2+bx+c，则对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即使f(x)=0的解。
对于y=ax^2+bx+c，可以用求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a来求解。
3. 导函数：二次函数的导函数是一次函数，即f'(x)=2ax+b。
导数可以用来研究函数的变化趋势、极值等性质。
二、图像特征：1. 开口方向：当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，称为负向抛物线。
2. 顶点坐标：对于y=a(x-h)^2+k形式的二次函数，顶点坐标为(h,k)，其中h为对称轴的横坐标，k为对称轴的纵坐标。
3. 最值：当二次函数开口向上时，最小值为顶点值；当二次函数开口向下时，最大值为顶点值。
4. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换来进行位置调整，平移的方式有水平、垂直两个方向，可以通过更改常数c、h、k来实现。
三、根性质：1. 根的个数：二次函数的根的个数不会超过2个。
当判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根；当判别式D小于0时，方程没有实数根。
2. 根的关系：如果一个二次函数有两个根x1和x2，则有以下性质：根的和x1+x2=-b/a，根的积x1x2=c/a。
3. 根的位置：根的位置与二次函数的开口方向有关。
当二次函数开口向上时，如果根存在，则根的值在顶点的两侧；当二次函数开口向下时，根的值在顶点的外侧。
四、函数变化：1. 单调性：二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。
二次函数轴对称性质
二次函数轴对称性质二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在解决实际问题以及数学建模中具有广泛的应用。
在研究二次函数时，轴对称性质是其中一个重要的性质，它在图像的对称性、方程的解等方面具有重要的作用。
本文将详细介绍二次函数轴对称性质及其应用。
1. 轴对称性质的定义二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a≠ 0。
二次函数的轴对称性质即为其图像相对于某一直线的对称性。
这条直线称为二次函数的轴线。
2. 轴对称性质的表达式设二次函数的轴线方程为 x = p，那么对于任意 x，函数值相等：f(p + h) = f(p - h)其中 h 为任意实数，即函数在轴线两侧对称。
3. 轴对称性质与图像的关系对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其轴线方程为 x = -b/2a。
当 a > 0 时，二次函数图像开口向上，轴线是图像的最低点；当 a < 0 时，二次函数图像开口向下，轴线是图像的最高点。
轴对称性质使得二次函数图像关于轴线对称。
也就是说，对于图像上任意一点 (x, y)，关于轴线上的对称点 (-x, y) 也在图像上。
这意味着二次函数图像在轴线上两侧的形状是完全一样的。
4. 轴对称性质的应用轴对称性质可以用于求二次函数的性质、方程的解以及解决实际问题。
首先，通过轴对称性质，可以简单地确定二次函数的开口方向以及最值点的坐标。
其次，利用轴对称性质可以求解二次函数的方程。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，则对称轴为 x = -b/2a，方程与 x 轴的交点为相等的两个解；如果 a < 0，则对称轴依然为 x = -b/2a，方程无解。
最后，轴对称性质在实际问题中的应用十分广泛。
例如，某商品的销售量与商品售价之间可能存在二次函数的关系。
通过研究二次函数的轴对称性质，我们可以确定最佳售价，以最大程度地提高销售量。
二次函数的平移与对称性
二次函数的平移与对称性二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。
1. 平移的概念平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。
对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。
1.2 垂直平移垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其中k为平移的距离。
2. 平移的影响平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。
2.1 平移对顶点的影响顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。
当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。
对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。
2.2 平移对对称轴的影响对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。
当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。
对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。
2.3 平移对图像形状的影响平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。
二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。
平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。
3. 对称性的概念对称性是指图像在某种变换下仍旧保持原样。
对于二次函数来说，有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
3.1 轴对称轴对称是指图像相对于某一条直线对称。
对于二次函数来说，其图像关于对称轴对称。
对称轴的方程是x = -b/(2a)，这条直线将图像分为左右两部分，两部分关于该直线对称。
二次函数的轴对称性
二次函数的轴对称性二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在图像上呈现出特殊的轴对称性。
本文将介绍二次函数的轴对称性的定义、性质以及相关的数学推导。
一、二次函数的轴对称性的定义二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数形式，其中a、b、c 为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当抛物线在某条直线上对称，称为二次函数的轴对称线。
二、轴对称性的性质1. 轴对称线的方程设二次函数的轴对称线为x = p，则p是二次函数的顶点横坐标。
对于f(x) = ax^2 + bx + c型的二次函数，可以通过平方完成该函数与对称轴的性质推导，推导的步骤如下：Step 1: 将二次项配方将f(x) = ax^2 + bx + c中的项ax^2进行配方，得f(x) = a(x^2 +(b/a)x) + c。
Step 2: 提取完全平方项提取完全平方项，得f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
Step 3: 整理化简整理化简后，得f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c。
Step 4: 展开表达式展开表达式，得f(x) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
Step 5: 合并项合并项，得f(x) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2) - (b^2/4a) + c。
Step 6: 求和化简求和化简，得f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a]。
方程f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a]中，项(x + b/2a)^2表示一个完全平方项。
而当b^2-4ac = 0时，项(b^2-4ac)/4a为0，即f(x) = a(x +b/2a)^2，所以二次函数的轴对称线方程为x = - b/2a。
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数具有许多独特的性质，下面将逐一阐述。
一、图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(-b/(2a))为抛物线的最值。
二、轴对称性二次函数具有轴对称性，即抛物线以垂直于x轴的线为轴对称。
轴对称线的方程为x = -b/(2a)。
三、零点与解析式二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。
通过求解二次方程ax^2 +bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。
解析式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
四、判别式二次函数的判别式可以帮助我们判断二次方程的根的情况。
判别式的值为D = b^2 - 4ac，根据判别式的不同情况，可得到以下结论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。
五、函数的增减性与极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的增减性与a的正负有关。
当a > 0时，函数在抛物线的开口上方是递增的；当a < 0时，函数在抛物线的开口下方是递增的。
同时，函数的极值点即为抛物线的顶点，极值点的纵坐标为函数的最值。
六、对称轴与对称性二次函数的对称轴是垂直于x轴的轴线x = -b/(2a)，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
对称性质表明，若抛物线上存在点(x, y)，那么对称轴上也存在对应的点(-x, y)。
七、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程紧密相关。
二次函数y = ax^2 + bx + c的图像和性质与二次方程ax^2 + bx + c = 0的解密切相关，二者是一一对应的关系。
二次函数的轴对称性
二次函数的轴对称性二次函数的轴对称性是指二次函数在平面直角坐标系中，以某一直线为轴对称。
具体来说，对于一般的二次函数y = ax² + bx + c，如果存在一条直线x = h（h为实数），使得对于任意实数x，都有f(h + x) =f(h - x)，即对于任意实数x，有f(x + h) = f(-x + h)，那么这条直线x = h就是二次函数的轴对称轴。
二次函数的轴对称性可以从函数的解析式来推导，也可以通过几何方法来理解。
第一种推导方法是通过函数的解析式来证明。
设二次函数为f(x) =ax² + bx + c。
首先，我们通过计算可知，当 x = -b/2a 时，二次函数的值取得极值。
也就是说，当x = -b/2a 时，函数达到了最高点或最低点。
此时，对于任意实数x，f(x) = f(2(-b/2a) - x) = f(-x + b/a)，所以函数关于直线x = -b/2a 对称。
第二种推导方法是几何方法。
我们可以考虑二次函数的图像，观察其几何特征。
对于二次函数y = ax² + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。
根据抛物线的对称性，可以看出二次函数的图像关于直线x = -b/2a 对称。
有了二次函数的轴对称性，我们可以利用这个性质来简化一些计算。
例如，如果我们已知二次函数关于直线x = h 对称，我们只需要计算直线x = h 右侧的图像部分的内容，然后，将其关于x = h 对称得到的左侧的内容是完全一样的。
这样，我们就可以减少一半的计算量。
除了计算上的简化之外，二次函数的轴对称性在几何意义上也很重要。
它帮助我们理解二次函数的图像形态，并且在解决一些问题时提供了直观的指导。
通过研究二次函数的轴对称性，我们可以更好地理解关于二次函数图像的对称性、最值、根、切线等性质。
总结起来，二次函数的轴对称性是指二次函数关于某一直线对称。
它可以通过函数的解析式推导，也可以通过几何方法理解。
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一、探究二次函数的对称性
（3）如果在抛物线上有一点C的横坐标为x，则C点的坐标
怎么表示？_（___x_____，____-_x__2_+4） 则抛物线上与点C对称点的点D坐标是（ -x ，-x2+4 ）
观察以上各组对称点的坐标，其坐标有何特点？
一、探究二次函数的对称性
2、如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图像与x轴 的一个交点坐标为M（1，0）， （1）请写出抛物线与x轴的另一个交点N的坐标
（ 5 ， 4 ），
（2）若抛物线上有一点A的横坐标为2，则A点的坐标
为（ 2 ， 3 ）
你是怎样求出A点坐标的？写出过程。
一、探究二次函数的对称性
（3）你能写出A点在抛物线上的对称点B的坐标吗？（__5__，___3_）_
（4）如果有一点C在抛物线上，其横坐标为x，则C点怎样表示？
_ （ x ，-(x-3)2+4 ） 其对称点D怎样表示？ （ 6-x，-(x-3)2+4 _）_
（1）根据表格你能找出抛物线图像上的对称点吗？
（2）你能写出抛物线的对称轴吗？
（3）抛物线与x轴的两个交点坐标为（-2，0）（4，0） .
（4）如果图像上有一点的坐标为（m，n），则图像上与其对
称的点的坐标是（ 2-m， n ）
三、利用二次函数的对称性解决几何问题
4、若M是函数y＝-x2＋4图像上对称轴右侧x轴上方 的一个动点，其横坐标为x，四边形MNPQ为矩形， P、N在x轴上，Q、M在抛物线上，求四边形的周长 C与x之间的函数关系式。
五、课堂练习
(1)、如图，A(-1,0),B(5,0),以AB为直径画一个⊙O，抛物线的 顶点在⊙O上，且经过两点A、B两点，求其表达式。
五、课堂练习
2、有一个边长为2的等边三角形ABC，顶点A与坐标原点O重
合，AB在X轴正半轴上，有一条抛物线经过A、B、C三点，请
写出其表达式
。
3、有一个边长为2且有一个内角为60°的菱形ABCD，A点与平 面直角坐标系的坐标原点O重合，对角线AC在X轴正半轴上， 写出过A、B、C三点的抛物线的表达式。
三、利用二次函数的对称性解决几何问题
5、如果图像向右平移3个单位，其他条件不变，怎样 求C与x之间的关系式？
四、课堂小结
1、怎样找抛物线上的对称点？
2、对称点和对称轴有怎样的关系？
3、在利用抛物线对称性解决表格问题和几何问题时关键是什 么？
五、课堂练习
（1）、如图，A(-1,0),B(5,0),以AB为直径画一个⊙O，抛物 线的顶点在⊙O上，且经过两点A、B两点，求其表达式。
初中数学 九年级(上册)
二次函数图像的对称 性
一、探究二次函数的对称性
1、如图，抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一 个交点坐标为M（－2，0），请写出抛物线与x轴的另
一个交点坐标N（ 2 ， 0 ），若抛物线上有一点 A的横坐标为－1，则（1）A点的坐标为（－ 3
1， ），你是怎样求出来的？请说明理由； （2）在抛物线上与点A对称的 NhomakorabeaB的坐标是
五、课堂练习
4、在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）2 +k 的 图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个函数的图像的 对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60° 的菱形，求此二次函数的解析式。
观察并总结 一下，以上各组对称点的坐标有何特点？ 对称点的横坐标与对称轴方程有关系吗？ 解决这类问题的关键是什么？__________________________________ ____
二、利用二次函数的对称性解决表格问题
3、如图是二次函数（a不等于0）的函数值y与自变量x的对应 值。
x … -5 -3 -2 0 3 5 6 … y … 27 7 0 -8 -5 7 16 …