高三数学 函数的单调性专题复习 教案
高中数学函数单调性教案
高中数学函数单调性教案
一、教学目标：
1.了解函数的单调性概念；
2.掌握函数单调递增和单调递减的定义；
3.能够根据函数图像确定函数的单调性；
4.能够应用函数的单调性解决实际问题。
二、教学重点：
1.函数的单调性定义；
2.函数单调递增和单调递减的判定方法；
3.函数单调性在实际问题中的应用。
三、教学难点：
1.理解函数的单调性概念；
2.根据函数图像确定函数的单调性。
四、教学准备：
1.教师准备：课件、黑板、粉笔等；
2.学生准备：课本、笔记、习题册等。
五、教学步骤：
1.引入：教师通过举例子引入函数的单调性概念，并与学生讨论函数单调递增和单调递减
的定义。
2.讲解：教师详细讲解函数单调递增和单调递减的判定方法，包括导数的应用。
3.练习：教师让学生进行练习，通过观察函数图像判断函数的单调性，并完成相关计算题。
4.拓展：教师引导学生探讨函数单调性在实际问题中的应用，并展示相关案例。
5.归纳：教师与学生一起总结本节课的内容，强化理解和记忆。
6.作业：布置相关习题作为课后作业，以巩固学生的学习成果。
六、教学反馈：
1.教师及时回答学生提出的疑问；
2.对学生的作业进行批改，并及时反馈；
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。
(3) 举例说明函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。
(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。
1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。
教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。
(3) 举例说明函数单调性性质的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。
(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。
教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。
(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。
(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)章节一：函数单调性的引入1. 引入概念：单调增加和单调减少2. 讲解实例：设f(x) = x，则f(x)在实数集上单调增加设g(x) = -x，则g(x)在实数集上单调减少3. 总结：函数单调性是描述函数值变化趋势的重要性质，分为单调增加和单调减少两种情况。
章节二：函数单调性的定义1. 定义单调增加：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上单调增加。
2. 定义单调减少：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上单调减少。
3. 举例说明：设h(x) = 2x + 3，则h(x)在实数集上单调增加设k(x) = -x^2 + 1，则k(x)在区间[-1, 1]上单调增加，在区间(-∞, -1]和[1, +∞)上单调减少章节三：函数单调性的判断方法1. 导数法：若函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x) ≥0（单调增加）或f'(x) ≤0（单调减少），则f(x)在区间I上单调增加或单调减少。
2. 图像法：绘制函数图像，观察函数值的变化趋势，判断单调性。
3. 表格法：列出函数在不同x值下的函数值，观察函数值的变化规律，判断单调性。
章节四：函数单调性的应用1. 最大值和最小值：对于单调增加的函数，最大值出现在定义域的右端点；对于单调减少的函数，最小值出现在定义域的左端点。
2. 函数的切线：单调增加的函数在切点处的切线斜率为正；单调减少的函数在切点处的切线斜率为负。
3. 函数的图像：单调增加的函数图像上升，单调减少的函数图像下降。
章节五：单调性在实际问题中的应用1. 线性规划：利用函数的单调性确定最优解的位置。
2. 优化问题：求函数的最值，利用函数的单调性判断最值的位置。
3. 经济学：分析市场需求和供给的单调性，预测市场变化趋势。
4. 物理学：研究物体运动的速度和加速度，利用单调性分析物体的运动状态。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。
3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。
二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。
2. 单调性的判断方法及应用。
3. 实际问题中的单调性应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。
2. 单调性在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。
五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。
3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。
3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。
2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。
八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。
2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。
3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。
4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。
九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。
高三数学 函数的单调性专题复习 教案
芯衣州星海市涌泉学校三仓中学2021届高三数学函数的单调性专题复习教案导学目的：①理解函数的单调性、最大〔小〕值及其几何意义；②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的断定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题．自主梳理1.增函数和减函数一般地，设函数()f x的定义域为I：假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x x<，那么就说函数()f x在区间D上是___________.假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x x>，那么就说函数()f x在区间D上是___________.2.单调性与单调区间假设一个函数在某个区间M上是_____________或者者是____________，就说这个函数在这个区间M上具有_____________〔区间M称为____________〕。
3.最大〔小〕值〔前面已复习过〕4.判断函数单调性的方法〔1〕定义法：利用定义严格判断。
〔2〕导数法①假设()f x在某个区间内可导，当'()0f x>时，()f x为______函数；当'()0f x<时，()f x为______函数。
②假设()f x在某个区间内可导，当()f x在该区间上递增时，那么'()f x______0，当()f x在该区间上递减时，那么'()f x______0。
〔3〕利用函数的运算性质：如假设(),()f xg x为增函数，那么①()()f xg x+为增函数；②1()f x为减函数〔()0f x>〕；③()f x为增函数〔()0f x≥〕；④()()f xg x为增函数〔()0,()0f xg x>>〕；⑤()f x-为减函数。
〔4〕利用复合函数关系判断单调性法那么是“___________〞即两个简单函数的单调性一样，那么这两个函数的复合函数为_______，假设两个简单函数的单调性相反，那么这两个函数的复合函数为_______，〔5〕图像法〔6〕奇函数在两个对称区间上具有____的单调性；偶函数在两个对称区间上具___的单调性；自我检测1.设函数()(21)f x a x b=-+是R上的减函数，那么a的取值范围为.2．函数)(xfy=在定义域R上是单调减函数，且)1(|)1(|fxf>，那么实数x的取值范围是.3．函数2()45f x x mx=-+在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，那么)1(f=．4．：函数()()2411f x x a x=+-+在[)1,+∞上是增函数，那么a的取值范围是_____5．函数132+-=xxy在区间)1,(--∞上是单调________函数.〔填“增〞或者者“减〞〕探究点一函数单调性的判断及应用：【例1】函数,1)(2axxxf-+=其中.0>a假设),1()1(2-=ff求a的值；证明：当1≥a时，函数)(xf在区间),0[+∞上为单调减函数；假设函数)(xf在区间),1[+∞是增函数，求a的取值范围探究点二求函数的单调区间：【例2】求函数)23(log221+-=xxy的单调区间.变式训练：(1)求函数62-+=xxy的单调区间.(2)求函数)352(log)(2+-=xxxfa的单调区间.探究点三函数单调性的应用：【例3】〔1〕假设)(xf是R上的增函数，那么满足)()2(2mfmf<-的实数m的取值范围是.(2)函数)(xfy=是偶函数，)2(-=xfy在[0,2]上是单调减函数，那么)2(),0(),1(fff-的大小顺序是.(3)函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,2,0,2)(22xxxxxxxf假设)()2(2afaf>-，那么实数a的取值范围是.探究点四抽象函数的单调性：﹡【例4】函数)(xf对任意的a,b∈R，都有1)()()(-+=+bfafbaf，并且当x>0时，)(xf>1.(1).求证：)(xf是R上的增函数；〔2〕.假设5)4(=f，解不等式3)23(2<--mmf.1．给出如下三个函数：①)2ln(+=xy；②1+-=xy；③xxy1+=.其中在区间),0(+∞内为增函数的是(写出所有增函数的序号)2．函数)(xf是定义在),0[+∞上的函数，且在该区间上单调递增，那么满足不等式)31()12(fxf<-的x的取值范围是.3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,)1(,2,)21()(xkxkxkxfx对于任意的21xx≠，都有)()(2121<--xxxfxf，那么k的最大值为.4.设函数)(xf定义在实数集上，它的图象关于直线1=x对称，且当1≥x时，,13)(-=xxf那么)23(),32(),31(f f f 从小到大的顺序为.。
高中优秀教案高三数学教案：《函数的单调性复习》教学设计
高三数学教案：《函数的单调性复习》教学设计本文题目：高三数学复习教案：函数的单调性复习教案一、课前检测1. 下列函数中，满意 "对 ,当时，都有 '的是( B )A. B. C. D.2. 函数和的递增区间依次是( C )A. B. C. D.3. 已知函数在内单调递减，则的取值范围是( C )A. B. C. D.二、学问梳理1.函数的单调性：一般地，设函数的定义域为，区间，假如对于区间内的任意两个值，当时都有，那么就称函数在区间上是单调 ( )函数，区间称为的 ( )区间.解读：2.推断函数单调性的常用方法：(1)定义法： (2)图象法： (3)导数法： (4)利用复合函数的单调性：解读：3.关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性;③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性;解读：4.求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等解读：三、典型例题分析例1 求证：在上是增函数.答案：略变式训练：对于给定的函数，有以下四个结论：①的图象关于原点对称;②在定义域上是增函数;③在区间上为减函数，且在上为增函数;④有最小值2。
其中结论正确的是 . 答案：①③④小结与拓展：对 "对勾函数'的熟悉。
例2 已知函数 .满意对任意的都有成立，则的取值范围是( A )A. B. C. D.变式训练：已知函数 ,若则实数的取值范围是 .解析：在上是增函数，由题得，解得小结与拓展：推断函数单调性的基本方法是定义法。
例3 (1)函数的递增区间为___________; 答案：(2)函数的递减区间为_________。
答案：变式训练1：求函数的单调区间;答案：递增区间为 ;递减区间为变式训练2：已知在[0, 1]上是减函数，则实数的取值范围是____。
函数的单调性优秀教案
函数的单调性优秀教案一、教学目标1、知识与技能目标理解函数单调性的概念，能够根据函数的图象判断函数的单调性。
掌握函数单调性的证明方法，能运用定义证明函数的单调性。
2、过程与方法目标通过观察函数图象，引导学生发现函数单调性的特征，培养学生的观察能力和归纳能力。
通过函数单调性的证明，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，提高学生的逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在自主探究中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
通过函数单调性的应用，让学生感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点1、教学重点函数单调性的概念。
运用定义证明函数的单调性。
2、教学难点函数单调性定义的理解。
利用定义证明函数的单调性。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课展示函数图象，如一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，二次函数 y ＝ x²的图象。
引导学生观察图象的上升和下降趋势，提问：“从图象中，你能发现函数值随着自变量的变化有什么规律吗？”2、讲授新课给出函数单调性的定义：设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。
强调定义中的关键词：定义域、区间、任意、都有。
通过具体例子，如 f(x) ＝ x²在区间 0, ＋∞）上是增函数，在区间（∞， 0 上是减函数，帮助学生理解函数单调性的概念。
3、例题讲解例 1：判断函数 f(x) ＝ 2x 1 在区间（∞，＋∞）上的单调性。
分析：设 x₁，x₂是区间（∞，＋∞）上的任意两个实数，且 x₁＜ x₂，计算 f(x₂) f(x₁)，判断其符号。
解：f(x₂) f(x₁) ＝（2x₂ 1) （2x₁ 1) ＝ 2(x₂ x₁)因为 x₁＜ x₂，所以 x₂ x₁＞ 0，所以 2(x₂ x₁) ＞ 0，即 f(x₂) f(x₁) ＞ 0，所以 f(x) ＝ 2x 1 在区间（∞，＋∞）上是增函数。
高三文科数学复习教案：函数的单调性
函数的单调性一、基础知识梳理:1.函数的单调性定义：2.单调区间：3.一些基本函数的单调性（1）一次函数b kx y +=（2）反比例函数xk y = （3）二次函数c bx ax y ++=2（4）指数函数x a y =()1,0≠>a a（5）对数函数x y a log =()1,0≠>a a二、基础能力强化：1.下列函数中，在），（0∞-内是减函数的是（ ）A.21x y -=B.x x y 22+=C.21xy =D.1-=x x y 2.x x x f -=1)(在（ ） A.），（），（∞+∞-11 上是增函数 B.），（），（∞+∞-11 是减函数C.），）和（，（∞+∞-11是增函数D.），）和（，（∞+∞-11是减函数3.函数3)1(22+--=x a x y 在区间(]1，∞-内递减，在），（∞+1内递增，则a 的值是（ ）A.1B.3C.5D.-14.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)∞+-，2上是增函数，在区间(]2-∞-，上是减函数，则)1(f =（ ）A.-7B.1C.17D.255.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间4，（∞-]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）3-≤a B.3-≥a C.5≤a D.3≥a6.设函数b x a x f +-=）（12)(是R 上的增函数，则有（ ） A.21>a B.21≤a C.21->a D .21<a7.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3()0()(x a x a x a x f x ，满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 B.）（,10 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡141， D.）（3,0 三、课堂互动讲练：考点一、函数单调性的证明方法：（1）定义法：（2）求导法：（3）定义的两种等价形式：例1:证明：函数)(x f =x x -+12在定义域上是减函数.例2：求函数()m x x x x f ++=9-6-23的单调区间.例3：试讨论函数)(x f =)0(>+a xa x 的单调性.考点二、复合函数的单调性：例1：求下列函数的单调区间，并指出其增减性。
高三数学第一轮总复习函数的单调性教案
新安中学2008届高三数学第一轮总复习函数的单调性教案课题：函数的单调性教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 教学过程： （一）主要知识：1．函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
2．设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。
3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数； （4）单调函数的性质法；（5）图象法；（6）复合函数的单调性结论等 （三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．例2．设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为 ．例4．（2004福建）定义在R 上的偶函数f x 满足2f x f x ，当3,4x 时，2f x x ，则（ ）11sinsincos223333sin1cos1sincos22A f f cosB f fC f fD f f例5．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．（五）高考回顾：考题1（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 考题2（2005上海） 若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是( A )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值考题3（2005天津）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(考题4 (2005重庆)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (∞,2)； (B) (2,∞)； (C) (∞,2)⋃(2,∞)；(D) (2,2)。
高中数学函数单调性的教案
高中数学函数单调性的教案一、教学目标1. 理解函数的单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义及特点。
2. 能够通过函数的导数或图像来判断函数的单调性。
3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
二、教学重点1. 函数的单调性的概念和特点。
2. 通过导数或图像判断函数的单调性。
三、教学难点1. 如何通过导数或图像来判断函数的单调性。
2. 应用函数的单调性解决实际问题。
四、教学内容1. 函数的单调性的定义和特点。
2. 利用导数判断函数的单调性。
3. 利用图像判断函数的单调性。
4. 单调性在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入教学：通过一个生活实例引入函数的单调性的概念。
2. 讲解函数的单调性的定义和特点，引导学生理解。
3. 通过对几个函数的图像进行观察，讨论函数的单调递增和单调递减的特点。
4. 讲解如何通过导数或导数图像判断函数的单调性。
5. 练习：让学生通过计算导数或观察导数图像判断给定函数的单调性。
6. 应用：给学生一个实际问题，让他们利用函数的单调性来解决问题。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调函数的单调性在解决问题中的重要性。
六、教学资源1. 课件2. 教科书3. 练习题七、教学评估1. 课堂练习题2. 作业布置并检查八、拓展延伸1. 思考函数的极值点与单调性的关系。
2. 探究其他函数性质与单调性的联系。
以上是本节课的教学内容和组织安排，希望能够帮助学生更好地理解和掌握函数的单调性。
祝学习顺利！。
高考数学函数的单调性复习教案
高考数学函数的单调性复习教案考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。
函数单调性可以从三个方面理解〔1〕图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，那么称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，那么称函数在该区间上单调递减。
〔2〕定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，那么称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，那么称函数在该区间上单调递减。
〔3〕定量刻画，即定义。
上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数〔或减函数〕。
与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕那么说()f x 在这个区间上是增函数〔或减函数〕。
其几何意义为：增〔减〕函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于〔或小于〕0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕那么说()f x 在这个区间上是增函数〔或减函数〕。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数〔或减函数〕，就说()f x 在这一区间上具有〔严格的〕单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的引入1.1 概念理解引导学生回顾初中阶段的一次函数、二次函数的图像，理解函数值随着自变量变化的大致趋势。
引出函数单调性的概念：在某区间内，若函数值随着自变量的增大（或减小）而增大（或减小），则称该函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
1.2 实例分析通过具体的一次函数、二次函数图像，让学生识别函数的单调递增区间和单调递减区间。
分析实际问题中的应用场景，如商品价格随销量变化的关系等，让学生感受函数单调性的实际意义。
第二章：函数单调性的证明2.1 概念理解引导学生掌握单调递增和单调递减的定义，理解其数学表达式。
引出函数单调性证明的方法：定义法、图像法、导数法。
2.2 证明方法学习通过具体例子，让学生学会使用定义法、图像法、导数法证明函数的单调性。
分析各种方法的优缺点，让学生在实际问题中能灵活选用合适的证明方法。
第三章：函数单调性与最值3.1 概念理解引导学生理解函数最值的概念，即函数在定义域内的最大值和最小值。
引出函数单调性与最值的关系：在单调递增区间内，函数值随着自变量增大而增大，在单调递减区间内，函数值随着自变量增大而减小。
3.2 实例分析通过具体例子，让学生学会利用函数单调性求解最值问题。
分析实际问题中的应用场景，如成本控制、收益最大化等，让学生感受函数单调性与最值在实际问题中的重要性。
第四章：函数单调性的应用4.1 概念理解引导学生理解函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
引出函数单调性在解不等式、求解实际问题中的作用。
4.2 实例分析通过具体例子，让学生学会运用函数单调性解决实际问题。
分析实际问题中的应用场景，如利润最大化、成本最小化等，让学生感受函数单调性在实际问题中的价值。
第五章：函数单调性的综合练习5.1 练习题解析提供一系列关于函数单调性的练习题，让学生独立解答。
对学生解答过程中遇到的问题进行讲解和指导，帮助学生巩固函数单调性的知识点。
函数单调性复习教案
函数单调性复习教案教案标题：函数单调性复习教案教学目标：1. 确定学生对函数单调性的理解程度，并能够准确地定义函数的单调性。
2. 帮助学生回顾和巩固函数单调性的相关概念和性质。
3. 培养学生通过图像、表格和符号等多种方式判断函数的单调性的能力。
4. 提供练习和应用机会，以加深学生对函数单调性的理解和运用。
教学准备：1. 教师准备多媒体投影仪、电脑和投影屏幕。
2. 教师准备白板、白板笔和彩色粉笔。
3. 教师准备教材、教辅资料和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一个函数图像的方式引入本节课的话题。
2. 引导学生回顾函数的基本概念和性质，例如定义域、值域、图像、奇偶性等。
二、概念复习（10分钟）1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的定义和相关概念。
2. 引导学生参与讨论，共同理解函数单调性的含义和特点。
3. 教师通过示例函数的图像和数学表达式，引导学生判断函数的单调性。
三、性质讲解（15分钟）1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的性质和判断方法。
2. 引导学生思考和讨论函数单调性与导数的关系，进一步理解函数单调性的特点。
3. 教师通过具体的例子和练习题，帮助学生掌握函数单调性的判断方法。
四、练习与应用（20分钟）1. 教师提供一些练习题，要求学生通过图像、表格和符号等方式判断函数的单调性。
2. 学生个别或小组合作完成练习，教师及时给予指导和反馈。
3. 教师引导学生应用函数单调性的概念和性质解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、总结与拓展（10分钟）1. 教师与学生一起总结本节课的重点内容和学习收获。
2. 教师提供一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索函数单调性的相关问题。
3. 教师布置课后作业，巩固和拓展学生对函数单调性的理解和应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。
2. 教师检查学生完成的练习题和课后作业，评估学生对函数单调性的掌握情况。
3. 教师与学生进行互动问答，检验学生对函数单调性的理解和运用能力。
“函数的单调性”教案
“函数的单调性”教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够运用函数单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对函数知识的兴趣。
二、教学内容1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究函数单调性的定义与性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 结合实际问题，培养学生运用函数单调性解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的定义与性质：详细讲解函数单调性的概念，引导学生理解并掌握函数单调性的性质。
3. 判断函数单调性的方法：讲解如何判断函数的单调性，引导学生通过实例分析来掌握判断方法。
4. 运用函数单调性解决实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数单调性进行解决，培养学生的应用能力。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的作业，巩固学生对函数单调性的理解和掌握。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解程度，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的困惑。
2. 作业批改：重点关注学生对函数单调性概念的掌握和判断方法的运用，及时给予反馈和指导。
3. 课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生在课堂上独立完成，检验学生对函数单调性的掌握情况。
七、教学拓展1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 介绍函数单调性在实际应用中的重要作用，如经济学、物理学等领域。
3. 鼓励学生进行课外阅读，了解函数单调性的更多相关知识，提高学生的知识面。
八、教学反思1. 反思教学过程中的优点和不足，总结经验教训，为今后的教学提供参考。
高中高考函数的单调性教案
例 2：求证：函数 f(x)= －x +1 在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数 证明：设 x1，x2∈R 且 x1<x2，则 f(x1) －f(x2)= －x1 +1+x2 －1
3 3 2 2
=(x2－x1)(x2 +x1x2+x1 )
2 2
因为 x2>x1，x2 +x1x2+x1 >0 所以 f(x1) －f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) 所以 f(x)在(－∞,+ ∞)上递减
f ( x1 ) > f ( x2 ) ， 那么就说 y = f ( x)
4．函数单调性证明的步骤： 函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 x1 < x2 ； ；
（2） 比较 f ( x1 ), f ( x2 ) 大小 (3)
下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂
.
【
【选修延伸】 选修延伸】 如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集： 如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：
例３: 函数 y =
1 在其定义域 ( −∞, 0) U (0, +∞) 上是减函数吗？ x
分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格 的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的 x1 , x2 ，并加以说明． 【解】 该命题是假命题；例如 x1 = −1, x2 = 1 时， f ( x1 ) = −1, f ( x2 ) = 1 ，显然 x1 < x2 且 f ( x1 ) < f ( x2 ) ，所 以＂函数 y = 点评: 点评: 1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域； 2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增 区间，又有单调减区间，必须分别写出来。
高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案-人教版高三全册数学教案
第二节 函数的单调性与最值教学目标：知识与技能：理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义 ；会运用函数的图象理解和研究图象的性质过程与方法：会画初等函数的图象，能利用图象的单调性研究函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。
教学重点：函数的单调性，最大（小）值教学难点：利用图象的单调性研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D ⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,都有:(1)f(x)在区间D 上是增函数⇔f(x1)<f(x2)(2)f(x)在区间D 上是减函数⇔f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M ∈R,① 对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M （或f(x)≥M ）② 存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M 是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______. (2)试讨论函数 x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1） (-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则 ∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a ＞0时,f(x1)-f(x2)＞0. ()2ax f x ,x 1=-()()12122212ax ax f x f x x 1x 1-=---()()()21122212a x x x x 1x 1(x 1)-+=--21122212(x x )(x x 1)0.(x 1)(x 1)-+--＞即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a ＞0时,f ′(x)<0;当a ＜0时,f ′(x)>0.∴当a ＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为 试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为 在t ∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x ∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数 的单调递减区间为(-1,+∞). 【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x ∈R), 则f(x)的值域是( ) (A)［ ］∪(1,+∞) (B)［0,+∞) (C)［ ) (D)［ ］∪(2,+∞) 【变式训练】用定义法判断函数.【解析】由x2-1≥0得x ≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. ()()()()()2222222a x 12ax a x 1f x x 1x 1---+'==--()()12f x log x 1,=+12y log t =()12f x log (x 1)=+()()()()()g x x 4,x g x ,f x g x x,x g x ,⎧++⎪=⎨-≥⎪⎩＜9,04-9,4+∞9,04-y =()()12f x f x -=22x x x x -+==0,+>(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域. 【变式训练】(1)函数 在区间［a,b ］上的最大值是1,最小值是31 ， 则a+b=________.【解析】易知f(x)在［a,b ］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·某某模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[21 ,2]都成立,则实数a 的取值X 围是. (2)已知 满足对任意x1≠x2,都有 成立，那么a 的取值X 围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规X 解答】(1)因为f(x)为R 上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a ≤1-x 3 在[ 21 ,2]上恒成立, 令g(x)=1- x 3 ,则由于g(x)在[ 21 ,2]上为增函数, 所以g(x)min=g( 21 )=1- =-5, 所以a ≤-5,即a ∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5] 2)∵对任意x1≠x2,都有 成立,∴函数f(x)是R 上的增函数.答案：【小结】 ()1f x x 1=-()()1f a 1,1,a 1111f b ,.3b 13⎧⎧==⎪⎪⎪-∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩即a 2,a b 6.b 4,=⎧∴∴+=⎨=⎩()()x 2a x 1x 1f x a x 1⎧-+⎪=⎨≥⎪⎩，＜，，，()()1212f x f x 0x x --＞312()()1212f x f x 0x x --＞()12a 0,a 1,a 2a 11,⎧∴-⎪⎨⎪≥-⨯+⎩＞＞3a 2.2∴≤＜“f ”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f ”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.对于分段函数的单调性,不仅要注意每一段上的单调性,还应注意端点处函数值的大小关系.【变式训练】已知函数 若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()22x 4x,x 0,f x 4x x ,x 0,⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()()()2222x 4x x 24,x 0,C.f x 4x x x 24,x 0,⎧+=+-≥⎪=⎨-=--+<⎪⎩。
高中数学函数单调问题教案
高中数学函数单调问题教案
一、知识点梳理
1. 单调递增函数：若对于任意的x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤ f(x2)
2. 单调递减函数：若对于任意的x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)
3. 单调性的判断方法：函数的导数是否大于0（单调递增）或者小于0（单调递减）
二、教学目标
1. 了解函数的单调性的概念
2. 能够通过函数的导数判断函数的单调性
3. 能够解决相关的单调性问题
三、教学过程
1. 引入单调性概念：通过实例让学生了解单调递增函数和单调递减函数的定义
2. 讲解单调性的判断方法：介绍通过函数的导数判断函数的单调性的方法
3. 案例演练：提供一些单调性问题的练习题，让学生通过计算导数，判断函数的单调性
4. 反思总结：让学生总结函数的单调性判断方法，并应用在解决问题中
四、拓展练习
1. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，判断其在区间[-1,1]上的单调性
2. 设函数g(x) = e^x，判断其在整个实数域上的单调性
3. 解决以下问题：若f(x) = x^3 + 3x^2 - 6x + 5，求f(x)在实数域上的单调区间
五、教学反馈
1. 对学生在实际应用中学习单调性的重要性进行强调
2. 收集学生对于单调性问题的疑问和困惑，及时进行解答和引导
六、总结提醒
1. 单调性是数学中重要的性质之一，掌握好函数的单调性有助于解决各种问题
2. 多进行练习，加深对函数单调性的理解和应用。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》教案章节：一、函数单调性的概念教学目标：1. 了解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数的单调性；2. 给出函数单调性的定义，解释单调递增和单调递减的概念；3. 讲解函数单调性的判断方法，引导学生进行判断；4. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
教案章节：二、函数单调性的判断方法教学目标：1. 学会判断函数的单调性；2. 掌握函数单调性的判断方法；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 回顾函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 复习函数单调性的概念，引导学生回顾上一节课的内容；2. 讲解函数单调性的判断方法，如导数法、图像法等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；4. 练习判断函数的单调性，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
教案章节：三、函数单调性与最优化问题教学目标：1. 了解函数单调性与最优化问题的关系；2. 学会应用函数单调性解决最优化问题；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 引入函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用，如求函数的最大值、最小值等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如成本最小化问题、收益最大化问题等；4. 练习解决最优化问题，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
江苏省滨海中学高三数学总复习教学案2.3函数的单调性
2.3 函数的单调性要点集结1.单调性的概念如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1<x 2时,①都有 ,则称f (x )在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个 ；②都有 ,则称f (x )在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 . 若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调区间,则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1)定义法,其步骤为：① ；② ；③ .(2)导数法,若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ,则f (x )在这个区间上是减函数.基础自测1．若函数f (x )＝x 2－2(1＋a )x ＋8在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为___________．2．函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)的单调增区间为__________．3. 若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是___________．4. 已知函数f (x )＝2x ＋ln x ，若f (x 2＋2)≤f (3x )，则x 的取值范围是____________．5. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，在[0,＋∞)上是增函数，三角形的一个内角A 满足：f (cos A )<0，则A 的取值范围是考点探究例1.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间[12,1]上是减函数,求实数a 的取值范围.例2.已知函数f (x )对于任意x ,y R,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)=-23.(1)判断f (x )在R 上的单调性,并加以证明; (2)解不等式:f (x 2-x )+f (3x )+2>0.例3.已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立． (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f ⎝⎛⎭⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．例4.已知函数()442)(≤≤-+-=a x a x x x f(1)求单调区间; (2)若对任意[]2,1∈x ，12)(+<x x f 恒成立，求a 的范围.热点研习1.给定函数①y ＝21x ；②y ＝)1(log 21+x ；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．2.已知a ＝π2－1，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为 3.若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34,＋∞)上是单调增函数,则实数a 的取值范围___________． 4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． 5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．6.若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为____ 7.讨论函数f (x )＝ax x 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．8.已知函数f (x )对任意的实数m ，n 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，且当x ＞0时，有f (x )＞0.(1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f (1)＝1，解不等式：f (log 2(x 2－x －2))＜2.9.已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2,试证f(x)在(－∞,－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1,＋∞)内单调递减,求a的取值范围．10.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b为常数且a≠0)满足条件f(x－3)＝f(5－x)，且方程f(x)＝x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．。
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江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习
教案
导学目标：
①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题．
自主梳理
1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________.
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________.
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。
3.最大（小）值 （前面已复习过）
4.判断函数单调性的方法
（1）定义法：利用定义严格判断。
（2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当
'()0f x <时，()f x 为______函数。
②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在
该区间上递减时，则'()f x ______0。
（3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1
()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。
（4）利用复合函数关系判断单调性
法则是“___________”即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为_______，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为_______，
（5）图像法
（6）奇函数在两个对称区间上具有____的单调性；偶函数在两个对称区间上具___的单调性； 自我检测
1.设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的取值范围为 .
2．已知函数)(x f y =在定义域R 上是单调减函数，且
)1(|)1(|f x f >，则实数x 的取值范
围是 . 3． 函数
2()45f x x mx =-+在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则)1(f = ．
4．已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是_____
5．函数132+-=
x x y 在区间)1,(--∞上是单调________函数.（填“增”或“减”）
探究点一 函数单调性的判断及应用：
【例1】已知函数
,1)(2ax x x f -+=其中.0>a 若),1()1(2-=f f 求a 的值；
证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上为单调减函数；
若函数)(x f 在区间),1[+∞是增函数，求a 的取值范围
探究点二 求函数的单调区间：
【例2】求函数)
23(log 221+-=x x y 的单调区间.
变式训练：(1)求函数
62-+=x x y 的单调区间. (2)求函数
)352(log )(2+-=x x x f a 的单调区间. 探究点三 函数单调性的应用：
【例3】（1）若)(x f 是R 上的增函数，则满足
)()2(2m f m f <-的实数m 的取值范围是 .
(2)已知函数)(x f y =是偶函数，)2(-=x f y 在[0,2]上是单调减函数，则)2(),0(),1(f f f -的大小顺序是 .
(3)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,2,0,2)(22x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围
是 .
探究点四 抽象函数的单调性：
﹡【例4】函数)(x f 对任意的a,b ∈R ，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当x>0时，)(x f >1.
(1).求证：)(x f 是R 上的增函数；
（2）.若5)4(=f ，解不等式
3)23(2<--m m f .
1．给出如下三个函数：①)2ln(+=x y ；②1+-=x y ；③
x x y 1+=.其中在区间)
,0(+∞内为增函数的是 (写出所有增函数的序号)
2．已知函数)(x f 是定义在),0[+∞上的函数，且在该区间上单调递增，则满足不等式)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 .
3．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,)1(,2,)21()(x k x k x k x f x 对于任意的21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f ，则k
的最大值为 .
4.设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x 时，
,13)(-=x x f 则)23(),32(),3
1(f f f 从小到大的顺序为 .。