复杂网络理论与应用研究
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• 而对于节点度数变化范围小的随机网络（节点度数通
常服从指数分布— —在累积分布概率与节点度数的半 对数曲线图上表现为一条直线）而言，情况却相反。
5 复杂网络的邻域演化模型
邻域现象
例如：在科学家合作网络中，当一个学生开始涉足某个 领域的时候，他/她会首先与自己的导师合作，而不是 与知名的但是素不相识的人合作。在这种情况下，与新 加入的节点相连接的节点在网络中呈均匀分布，这可以 通过随机连接来描述。逐渐地，这个学生可能会与其导 师的合作者中比较知名的人合作，这种情况就呈现出一 种“邻域”的特点，这种现象可以称为“与朋友的朋友 交朋友”。
在复杂网络领域的一个重大发现是很多大型的复杂网络呈 现出无标度特性，这些网络中的节点度数呈现幂分布规律， 比如互联网、万维网、新陈代谢网等。为了解释这种幂分 布规律，Barabási和Albert构建了一种无标度网络模型， 即BA模型。
Barabási和Albert指出无标度网络自组织的两个重要因素 是增长和择优连接，即不断地有新的节点加入网络中，新 加入的节点优先与网络中已有节点中度数较大者连接（即 所谓的“富者更富”现象）。
深度为p的“邻域”用N p (i) 表示，定义为：
N p (i) { j | dij p; j G, j i}
邻域的定义（2）
图4 不含权网络，其中，N1(1) = {2， 3}, N2(1)= {2， 3， 4， 7}
邻域演化网络模型的生成
开始于少量节点（m0）和少量的边（e0）
的形式，推导出度数为k的节点数遵从平
均值为 的泊松分布，即
P(k) eλλk k!
Connect with probability p
p=1/6 N=10 k
~ 1.5 Poisson distribution
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随机 网络的转移过程，Watts和 Strogatz（WS） 提出了一个新模型，通常称为小世界网络 模型。
的连接数目为Ｏ（N ^2）,而实际大型网络的连接数目通常为 Ｏ(N)。
• 连接结构的复杂性: 网络连接结构既非完全规则也非完全随机,
但却具有其内在的自组织规律。
• 网络的时空演化的复杂性: 复杂网络具有空间和时间的演化复
杂性, 展示出丰富的复杂行为,特别是网络节点之间的不同类 型的同步化运动。
1 引论
其中 这样，经(q过 N每p一) 个siz时e(N间p间(i))隔/(m，0 一 t个) 新的节点就连接到网络中的
m个节点上。这m个节点包括一个随机选择的节点及其深度为p
的邻域中的m-1个节点，而不像BA无标度网络模型那样从所有
已存在的节点中选择m个节点。
邻域演化网络模型的数值仿真（1）
构成的一张图。
中国教科网
中国教科网拓扑结构
网络（图）的基本概念
• 关联与邻接 • 度、平均度 • 节点的度分布 • 最短路径与平均路径长度 • 群系数
网络(图)的基本概念
a
b
c
d
e
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 度为 k 的节点的概率 p(k) 随
节点度 k 的变化规律。
邻域的定义（1）
BA无标度模型计算网络中每一个节点的连接概率，然而， 实际的网络中存在着“邻域”现象，即新加入网络的节 点优先与某个邻域中的节点连接。基于这种邻域现象， 我们提出了邻域演化网络模型。
在不含权网络中，定义节点与节点之间的距离为 dij ，即 连接两个节点之间的最短路径所经过的边数。定义 dij ≥1，当节点与节点直接相连的时候，则：dij =1。节点i
小世界模型
当p等于0时，对应的网络规则图。两个节点间 的平均距离<L>线性地随N增长而增长，集群系 数大。
当p等于1时，系统变为随机图。 <L>对数地随 N增长而增长，且集群系数随N减少而减少。
在p等于（0，1）区间任意值时，模型显示出 小世界特性，<L>约等于随机图的值，网络具 有高度集群性。
随机图的特征 如果系统中节点及其与边的关系不确定， 就只能用随机图来表示这个系统。
规则图的特征
平均度为3
随机图的特征
节点确定，但边以概率 p 任意连
接。 节点不确定，点边关系也不确定。
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
尽管网络是如此重要和普遍，但科学家对它的 结构和属性却知之不多。
• 在复杂的基因网络中，故障节点是如何相互作
用而引发癌症的?
• 在特定的社会和通信系统中，疾病和电脑病毒
如何快速传播而导致流行?
• 某些网络即便大部分节点失效，还能维持运行，
原因何在?
2 复杂网络(图)的基本概念
• 节点通常用来表示系统中的部件； • 边通常用来表示系统中部件之间的关系。 • 网络(图)就是由节点与节点之间的关系
表1 各电网拓扑结构统计特性参数表
电网名称
节点个 数
中国北方电网 中国东北电网 中国华北电网 中国华中电网 美国西部电网 中国川渝电网 中国广东省电
网
8092 1144 3706 2379 4941 853 1871
边条数
9018 1309 4045 2756 6594 898 2000
平均度
C
数
生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）
p(k) ~ k
Scale-free网络的特性
度分布呈幂率分布 中枢节点出现 稳健性 脆弱性
无标度网络与随机图特性比较
Network WWW Internet Actor Coauthorship Metabolic Foodweb C. elegance
度数成幂律分布： P(k ) 2m2 / k 3
分布曲线的形状不随网络大小的变化而变化。
BA模型的生成(2)
图3 BA模型的节点度分布，N=10000，m=m0=3，5，7
信息或传染病在无尺度网络中的传播性能
• 网络中节点度数的分布对信息或传染病在网络中的传 播性能有很大的影响。对于无尺度网络（scale-free network，在分布概率与节点度数的双对数曲线图上表 现为一条直线）来说，它的节点度数变化范围很大 （因而被称为异构网络），当传染病在这样的网络传 播时，没有感染率和传播率的门限值，往往造成爆发 式的流行；
2.23 2.29 2.18 2.32 2.67 2.11 2.14
0.0017 0.00342 0.00123 0.0044
0.080 0.0017 0.00084
L
32.0 14.0 20.7 21.08 18.7 19.63 15.1
Crandom
0.00028 0.002 0.0006 0.001 0.0005 0.0025 0.0011
小世界网络模型
小世界特性是指网络具有如下式的拓扑特点：
CLLCrarnadnodmom
Crandom
~
k n
Lrandom
~
ln n ln k
小世界网络具有与随机网络大致相近的特征路径长 度，但具有大得多的聚类系数。
小世界电网所特有的较小特征路径长度和较高聚类 系数等特性，对故障的传播起推波助澜的作用。
网络(图)的基本概念
2 5 3
7 2
5
3 1
5
5
1 7
网络(图)的基本概念
节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47， 平均度为3.4，集群系数为0.48。
3、规则图和随机图
规则图的特征 如果系统中节点及其与边的关系是固定的， 每个节点都有相同的度数，就可以用规 则图来表示这个系统。
WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接点 相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
C(p) : clustering coeff. L(p) : average path length （Nature 1998）
P(k)=0.1 p(k)=0.3
4. 复杂网络的演化模型
复杂网络是大量互联的节点的集合，节点 是信息的载体，比如互联网，万维网，以 及各种通信网、食物网、生物神经网、电 力网、社会经济网、科学家合作网等。
最近的研究文献揭示了复杂网络的许多重 要特性，其中最有影响的是小世界 (small-world)特性和无标度(scale-free) 特性。
从网络中随机选取一个节点i，确定它深度为p的邻域 N p (i) 。
增加一个度数为m的节点，连接到节点i和 N p (i) 中的m-1个节点。
择优连接：在
中选择m-1个新节点时，连接到节点j的概
率为
N p (i)
Np (k j ) (q N p (i))
kj k qN p (i) q
1 引论
复杂网络具有如下5个特征：
• 网络的大规模性和行为的统计性:网络节点数可以有成百上千
万,甚至更多,超大规模网络的行为具有统计特性。
• 节点动力学行为的复杂性: 各个节点本身可以是各非线性系统
（可以有离散的和连续微分方程描述）, 具有分岔和混沌等非 线性动力学行为。
• 网络连接的稀疏性:一个有N个节点的具有全局耦合结构的网络
复杂网络理论与应用研究
曹一家 浙江大学 2005年12月9日
提纲
1. 引论 2. 复杂网络(图)的基本概念 3. 规则图和随机网络 4. 无标度(Scale-free)网络 5. 复杂网络的邻域演化模型 6. 无标度网络的抗毁性
1 引论
在现实世界中，网络无处不在
• 大脑，是由轴突相连结的神经细胞网络，而细
网络(图)的基本概念
最短路径就是从指定始点到指定终点的 所有路径中总权最小的一条路经。
平均路径长度是指所有点对之间的最短 路径的算术平均值。
网络(图)的基本概念
集群系数(Clustering coefficient)反 映网络的群集程度，定义为网络的平均 度与网络规模之比。
C k N
胞本身，又是由生化反应相连结的分子网络。
• 社会也是一个网络，它由友情、家庭和职业关
系彼此连结。
• 在更大的尺度上，食物链和生态系统可以看作
由物种所构成的网络。
• 科技领域的网络更是随处可见:因特网、电力
网和运输系统都是实例。
因特网是一个复杂网络。（本图绘制于2003年 2月6日，描绘了从某一测试站点到其他约10万 个站点的最短连结路径。图中以相同的颜色来 表示相类似的站点。Nature 2000）
C
Crand
L
N
0.1078 0.18-0.3
0.79
0.00023 0.001
0.00027
源自文库
3.1 3.7-3.76
3.65
153127
30156209
225226
0.43 0.00018 5.9
52909
0.32
0.026
2.9
282
0.22
0.06
2.43
134
0.28
0.05
2.65
282
Barabási-Albert无标度网络模型
早期网络模型-ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网络 模型并对模型进行了深入研究，他们是 用概率统计方法研究随机图统计特性的 创始人。
在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
ER-模型
Erdös和Rényi（1959）首先研究了在随 机网络中最大和最小度的分布， Bollobás(1981) 随 后 得 到 了 所 有 度 分 布
Lrandom
11.2 8.50 10.55 9.238 12.4 9.038 9.92
根据表1中数据可以判定美国西部电网和中国北方电网均属 于小世界网络，而中国川渝电网和中国广东省电网不属于小 世界网络。
Scale-free网络
信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电 力网）
社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文 网、人类性接触网、语言学网）
BA模型的生成(１）
增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间间隔增加一个具 有m（≤m0）条边的新节点，连接这个新节点到m个不同的已经存在 于系统中的节点上。
择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点的概
率取决于节点的度数即：
(ki )
ki jkj
经过t时间间隔后，该算法产生一个具有N=t+m0个节点，mt条边的网 络，经过足够长的时间间隔后，生成一个无标度网络，网络中节点
常服从指数分布— —在累积分布概率与节点度数的半 对数曲线图上表现为一条直线）而言，情况却相反。
5 复杂网络的邻域演化模型
邻域现象
例如：在科学家合作网络中，当一个学生开始涉足某个 领域的时候，他/她会首先与自己的导师合作，而不是 与知名的但是素不相识的人合作。在这种情况下，与新 加入的节点相连接的节点在网络中呈均匀分布，这可以 通过随机连接来描述。逐渐地，这个学生可能会与其导 师的合作者中比较知名的人合作，这种情况就呈现出一 种“邻域”的特点，这种现象可以称为“与朋友的朋友 交朋友”。
在复杂网络领域的一个重大发现是很多大型的复杂网络呈 现出无标度特性，这些网络中的节点度数呈现幂分布规律， 比如互联网、万维网、新陈代谢网等。为了解释这种幂分 布规律，Barabási和Albert构建了一种无标度网络模型， 即BA模型。
Barabási和Albert指出无标度网络自组织的两个重要因素 是增长和择优连接，即不断地有新的节点加入网络中，新 加入的节点优先与网络中已有节点中度数较大者连接（即 所谓的“富者更富”现象）。
深度为p的“邻域”用N p (i) 表示，定义为：
N p (i) { j | dij p; j G, j i}
邻域的定义（2）
图4 不含权网络，其中，N1(1) = {2， 3}, N2(1)= {2， 3， 4， 7}
邻域演化网络模型的生成
开始于少量节点（m0）和少量的边（e0）
的形式，推导出度数为k的节点数遵从平
均值为 的泊松分布，即
P(k) eλλk k!
Connect with probability p
p=1/6 N=10 k
~ 1.5 Poisson distribution
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随机 网络的转移过程，Watts和 Strogatz（WS） 提出了一个新模型，通常称为小世界网络 模型。
的连接数目为Ｏ（N ^2）,而实际大型网络的连接数目通常为 Ｏ(N)。
• 连接结构的复杂性: 网络连接结构既非完全规则也非完全随机,
但却具有其内在的自组织规律。
• 网络的时空演化的复杂性: 复杂网络具有空间和时间的演化复
杂性, 展示出丰富的复杂行为,特别是网络节点之间的不同类 型的同步化运动。
1 引论
其中 这样，经(q过 N每p一) 个siz时e(N间p间(i))隔/(m，0 一 t个) 新的节点就连接到网络中的
m个节点上。这m个节点包括一个随机选择的节点及其深度为p
的邻域中的m-1个节点，而不像BA无标度网络模型那样从所有
已存在的节点中选择m个节点。
邻域演化网络模型的数值仿真（1）
构成的一张图。
中国教科网
中国教科网拓扑结构
网络（图）的基本概念
• 关联与邻接 • 度、平均度 • 节点的度分布 • 最短路径与平均路径长度 • 群系数
网络(图)的基本概念
a
b
c
d
e
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 度为 k 的节点的概率 p(k) 随
节点度 k 的变化规律。
邻域的定义（1）
BA无标度模型计算网络中每一个节点的连接概率，然而， 实际的网络中存在着“邻域”现象，即新加入网络的节 点优先与某个邻域中的节点连接。基于这种邻域现象， 我们提出了邻域演化网络模型。
在不含权网络中，定义节点与节点之间的距离为 dij ，即 连接两个节点之间的最短路径所经过的边数。定义 dij ≥1，当节点与节点直接相连的时候，则：dij =1。节点i
小世界模型
当p等于0时，对应的网络规则图。两个节点间 的平均距离<L>线性地随N增长而增长，集群系 数大。
当p等于1时，系统变为随机图。 <L>对数地随 N增长而增长，且集群系数随N减少而减少。
在p等于（0，1）区间任意值时，模型显示出 小世界特性，<L>约等于随机图的值，网络具 有高度集群性。
随机图的特征 如果系统中节点及其与边的关系不确定， 就只能用随机图来表示这个系统。
规则图的特征
平均度为3
随机图的特征
节点确定，但边以概率 p 任意连
接。 节点不确定，点边关系也不确定。
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
尽管网络是如此重要和普遍，但科学家对它的 结构和属性却知之不多。
• 在复杂的基因网络中，故障节点是如何相互作
用而引发癌症的?
• 在特定的社会和通信系统中，疾病和电脑病毒
如何快速传播而导致流行?
• 某些网络即便大部分节点失效，还能维持运行，
原因何在?
2 复杂网络(图)的基本概念
• 节点通常用来表示系统中的部件； • 边通常用来表示系统中部件之间的关系。 • 网络(图)就是由节点与节点之间的关系
表1 各电网拓扑结构统计特性参数表
电网名称
节点个 数
中国北方电网 中国东北电网 中国华北电网 中国华中电网 美国西部电网 中国川渝电网 中国广东省电
网
8092 1144 3706 2379 4941 853 1871
边条数
9018 1309 4045 2756 6594 898 2000
平均度
C
数
生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）
p(k) ~ k
Scale-free网络的特性
度分布呈幂率分布 中枢节点出现 稳健性 脆弱性
无标度网络与随机图特性比较
Network WWW Internet Actor Coauthorship Metabolic Foodweb C. elegance
度数成幂律分布： P(k ) 2m2 / k 3
分布曲线的形状不随网络大小的变化而变化。
BA模型的生成(2)
图3 BA模型的节点度分布，N=10000，m=m0=3，5，7
信息或传染病在无尺度网络中的传播性能
• 网络中节点度数的分布对信息或传染病在网络中的传 播性能有很大的影响。对于无尺度网络（scale-free network，在分布概率与节点度数的双对数曲线图上表 现为一条直线）来说，它的节点度数变化范围很大 （因而被称为异构网络），当传染病在这样的网络传 播时，没有感染率和传播率的门限值，往往造成爆发 式的流行；
2.23 2.29 2.18 2.32 2.67 2.11 2.14
0.0017 0.00342 0.00123 0.0044
0.080 0.0017 0.00084
L
32.0 14.0 20.7 21.08 18.7 19.63 15.1
Crandom
0.00028 0.002 0.0006 0.001 0.0005 0.0025 0.0011
小世界网络模型
小世界特性是指网络具有如下式的拓扑特点：
CLLCrarnadnodmom
Crandom
~
k n
Lrandom
~
ln n ln k
小世界网络具有与随机网络大致相近的特征路径长 度，但具有大得多的聚类系数。
小世界电网所特有的较小特征路径长度和较高聚类 系数等特性，对故障的传播起推波助澜的作用。
网络(图)的基本概念
2 5 3
7 2
5
3 1
5
5
1 7
网络(图)的基本概念
节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47， 平均度为3.4，集群系数为0.48。
3、规则图和随机图
规则图的特征 如果系统中节点及其与边的关系是固定的， 每个节点都有相同的度数，就可以用规 则图来表示这个系统。
WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接点 相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
C(p) : clustering coeff. L(p) : average path length （Nature 1998）
P(k)=0.1 p(k)=0.3
4. 复杂网络的演化模型
复杂网络是大量互联的节点的集合，节点 是信息的载体，比如互联网，万维网，以 及各种通信网、食物网、生物神经网、电 力网、社会经济网、科学家合作网等。
最近的研究文献揭示了复杂网络的许多重 要特性，其中最有影响的是小世界 (small-world)特性和无标度(scale-free) 特性。
从网络中随机选取一个节点i，确定它深度为p的邻域 N p (i) 。
增加一个度数为m的节点，连接到节点i和 N p (i) 中的m-1个节点。
择优连接：在
中选择m-1个新节点时，连接到节点j的概
率为
N p (i)
Np (k j ) (q N p (i))
kj k qN p (i) q
1 引论
复杂网络具有如下5个特征：
• 网络的大规模性和行为的统计性:网络节点数可以有成百上千
万,甚至更多,超大规模网络的行为具有统计特性。
• 节点动力学行为的复杂性: 各个节点本身可以是各非线性系统
（可以有离散的和连续微分方程描述）, 具有分岔和混沌等非 线性动力学行为。
• 网络连接的稀疏性:一个有N个节点的具有全局耦合结构的网络
复杂网络理论与应用研究
曹一家 浙江大学 2005年12月9日
提纲
1. 引论 2. 复杂网络(图)的基本概念 3. 规则图和随机网络 4. 无标度(Scale-free)网络 5. 复杂网络的邻域演化模型 6. 无标度网络的抗毁性
1 引论
在现实世界中，网络无处不在
• 大脑，是由轴突相连结的神经细胞网络，而细
网络(图)的基本概念
最短路径就是从指定始点到指定终点的 所有路径中总权最小的一条路经。
平均路径长度是指所有点对之间的最短 路径的算术平均值。
网络(图)的基本概念
集群系数(Clustering coefficient)反 映网络的群集程度，定义为网络的平均 度与网络规模之比。
C k N
胞本身，又是由生化反应相连结的分子网络。
• 社会也是一个网络，它由友情、家庭和职业关
系彼此连结。
• 在更大的尺度上，食物链和生态系统可以看作
由物种所构成的网络。
• 科技领域的网络更是随处可见:因特网、电力
网和运输系统都是实例。
因特网是一个复杂网络。（本图绘制于2003年 2月6日，描绘了从某一测试站点到其他约10万 个站点的最短连结路径。图中以相同的颜色来 表示相类似的站点。Nature 2000）
C
Crand
L
N
0.1078 0.18-0.3
0.79
0.00023 0.001
0.00027
源自文库
3.1 3.7-3.76
3.65
153127
30156209
225226
0.43 0.00018 5.9
52909
0.32
0.026
2.9
282
0.22
0.06
2.43
134
0.28
0.05
2.65
282
Barabási-Albert无标度网络模型
早期网络模型-ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网络 模型并对模型进行了深入研究，他们是 用概率统计方法研究随机图统计特性的 创始人。
在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
ER-模型
Erdös和Rényi（1959）首先研究了在随 机网络中最大和最小度的分布， Bollobás(1981) 随 后 得 到 了 所 有 度 分 布
Lrandom
11.2 8.50 10.55 9.238 12.4 9.038 9.92
根据表1中数据可以判定美国西部电网和中国北方电网均属 于小世界网络，而中国川渝电网和中国广东省电网不属于小 世界网络。
Scale-free网络
信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电 力网）
社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文 网、人类性接触网、语言学网）
BA模型的生成(１）
增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间间隔增加一个具 有m（≤m0）条边的新节点，连接这个新节点到m个不同的已经存在 于系统中的节点上。
择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点的概
率取决于节点的度数即：
(ki )
ki jkj
经过t时间间隔后，该算法产生一个具有N=t+m0个节点，mt条边的网 络，经过足够长的时间间隔后，生成一个无标度网络，网络中节点