刘顺兰数字信号处理--第三章
合集下载
数字信号处理课后第三章习题答案
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
题3解图
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］， 证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k) 证： 因为
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
1 x(n) N
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
n 0
N 1
n( m k ) WN
N 0
m N k m N k , 0≤ m ≤ N 1
k=0, 1, …, N－1
所以 DFT［X(n)］=Nx(N－k)
5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
证: 由IDFT定义式
1 N 1 x(0) X (k ) N k 0
- j mn - j kn 1 j N mn 2π kn (6) X (k ) cos mn WN (e e N )e N 2 N n 0 n 0
N 1
N 1
2π
2π
2π
1 e 2 n 0
N 1
j
2π ( mk ) n N
1 e 2 n 0
1knnknnnnknnnnknnwkx2j2j102j10e1e1e1??????????????????????12100nkkn?离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章211001011nnknnnnxknwnkn????????????30010010011nknnnnknknnnxknnwwnnwkn?????????????00nnn??1j10sin1e1sinkmmmkknnnnnknnmkwnxkwrkwkn??????????????????????4离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章52j2j102j102je1eekmnkmnnnnkmnknnnnmnnwkx??????????????je1kmn?????????mkmkn00kn1离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章6knnnnnnmnnmnnknnwmnnkx2j10102j2jeee212cos????????????????2211jj0011ee22nnmknmknnnnn?????????????????????????????????2j2j2j2je1e1e1e121kmnnkmnkmnnkmn离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章20nkmknmkmknm????????????0kn170002j211jj71eeeknnnnknnknnnxkw?????????????072j00ee1enknnnxkw???????0210j202sin2e0112sin2nknnknknkn???????????????????????离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章或110e1e12jj700??????nkkxknn????8解法一直接计算
《数字信号处理教程》(第三版)第三章
N 1 N 1
~ km ~ kn x1 (m ) WN X 2 (k ) WN n 0 m 0
1 N
N 1
N 1 m 0
~ ~ (m ) X (k ) W ( m n)k x1 2 N
n 0
N 1
~ ~ x1 ( m ) x2 ( n m )
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
3.3 周期序列的离散傅立叶级数（DFS）
~ 设x (n)是周期为N的一个周期序列 ~ ~ x ( n) x (n rN ) ，r为任意整数
注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周
第三章
离散傅立叶变换
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷 积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共 轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程
了解序列的抽取与插值过程
3.2Leabharlann 傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换
~ x (n) x(n模N ) x(( n)) N
其中，(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。
~ ~ 和 ~ 所对应的x(n)。 例： ( n)的周期为N=9，求 x ( 25) x ( 5) x
~ x (25) x(25模9) x(( 25))9 x(7) ~ x (5) x(5模9) x(( 5)) x(4)
数字信号处理 答案 第二版 刘顺兰 西安科技
与图 T1-7 给出的 y 3 (n) 不一致，因此系统 L 不是时不变的。
对于 x(n) = δ (n) ， 只能通过当 x(n) = δ (n) = x3 (n) −
1 [x2 (n) − x1 (n)]，必有 2
y ( n) = y 3 ( n) −
1 [ y 2 (n) − y1 (n)] 2 = {2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 3δ (n) + 2δ (n − 2)} 1 − {[− δ (n + 1) + δ (n) − 3δ (n − 1) − δ (n − 3)] − [− δ (n + 1) + 3δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 3)]} 2 = 2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 3δ (n) + 2δ (n − 2) + δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 3) = 2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 2δ (n) + 3δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + δ (n − 3)
= ∑ e −α (n + rN )T ⋅ R N (n)
r =0
=
e −αnT ⋅ R N ( n) 1 − e −αNT
《数字信号处理》2010-2011-1 作业-2
教材《数字信号处理》 （第二版）刘顺兰
1. P76：1.24： （1） ， （2） 参照教材 p21 至 p21 的叙述，判断方法参看 p21 例 1-3 和例 1-4 （1） 根据 y (n) = 2 x(n) + 3 ； 可得： y1 (n) = T [x1 (n)] = 2 x1 (n) + 3 ； y 2 (n) = T [x 2 (n)] = 2 x 2 (n) + 3 ； 对于任意常数 a1 ， a 2 因为： a1 y1 (n) + a 2 y 2 (n) = a1 [2 x1 (n) + 3] + a 2 [2 x 2 (n) + 3]
数字信号处理(第四版)第三章--上ppt
2
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
Objective of this lecture
Time domain representation of a DT signal x[n] = sum_k(a_n delta[n-k])
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.1 Review of CTFT
Dirichlet conditions
(1) finite discontinuities, finite number of maxima and minima in any finite interval
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.2 Discrete-time Fourier transform (DTFT)
Convergence condition
(3) Dirac delta function: for sequences that are neither absolutely summable nor square-summable.
Signal energy and energy density spectrum Energy definition in time domain
(1) Parseval’s theorem (2) Energy density spectrum
6
Digital Signal Processing
Amplitude
第3章 完整版习题解答
第三章 部分习题解答
（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）
3.1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需 100μs，每次复加需 20μs，今用来计算 N=1024 点的
DFT[x(n)] ，问用直接运算需要多少时间，用 FFT 运算需要多少时间？
N 1
解： X (k) x(n)WNnk , N 1024 210 , n0 直接运算所需的总时间为 Td N 2 100s N (N 1) 20s
3.11 以 20kHz 的采样率对最高频率 10kHz 的带限信号 xa (t) 采样，然后计算 x(n) 的 N 1000 个采样点的
DFT，即
X
(k)
N 1
x(n)e
j 2 N
nk
，
N
1000 .
n0
（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?
（2）在 X (k) 中， k 200 对应的模拟频率是多少?
信号
x2 (n) 的两个余弦信号的频率间隔为： 2
21 64
4
5 64
2 64
故利用 64 点 DFT 来估计信号谱时，能够分辨 x2 (n) 中两个正弦信号的谱峰。
信号 x3 (n) 的两个余弦信号的频率间隔为： 3
21 64
4
5 64
2 64
，但由于频率为 21 64
（2） f
fs N
4096 4096
1Hz
（3）直接用 DFT 计算，所需要的复乘次数为
M d (300 200 1)N 101 4096 413696
（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）
3.1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需 100μs，每次复加需 20μs，今用来计算 N=1024 点的
DFT[x(n)] ，问用直接运算需要多少时间，用 FFT 运算需要多少时间？
N 1
解： X (k) x(n)WNnk , N 1024 210 , n0 直接运算所需的总时间为 Td N 2 100s N (N 1) 20s
3.11 以 20kHz 的采样率对最高频率 10kHz 的带限信号 xa (t) 采样，然后计算 x(n) 的 N 1000 个采样点的
DFT，即
X
(k)
N 1
x(n)e
j 2 N
nk
，
N
1000 .
n0
（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?
（2）在 X (k) 中， k 200 对应的模拟频率是多少?
信号
x2 (n) 的两个余弦信号的频率间隔为： 2
21 64
4
5 64
2 64
故利用 64 点 DFT 来估计信号谱时，能够分辨 x2 (n) 中两个正弦信号的谱峰。
信号 x3 (n) 的两个余弦信号的频率间隔为： 3
21 64
4
5 64
2 64
，但由于频率为 21 64
（2） f
fs N
4096 4096
1Hz
（3）直接用 DFT 计算，所需要的复乘次数为
M d (300 200 1)N 101 4096 413696
数字信号处理(第四版)第三章-下ppt
Nyquist frequency:
Also folding frequency, cut off frequency
Nyquist rate:
Over sampling
Under sampling Critical sampling
Example 3.18
14
Digital Signal Processing
9
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Signals in Frequency Domain 3.8 Sampling theorem Form 1 of Gp(jOmega)
10
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Signals in Frequency Domain 3.8 Sampling theorem
G1( j)
G1 p ( j)
10
(a)
6
0
G 2( j)
Hr ( j)
6
(d )
0.1
20 c 6 0 6 c
P( j)
Ga ( j)
1
1
…
m
0 (a)
m
…
T
0
T
2T
3T
(b)
G p ( j )
1T
T
...
0
T
2T
T mmΒιβλιοθήκη 13Fig.3.15
Digital Signal Processing
《数字信号处理》第三版课后习题答案
数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章
生物医学信号处理
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理，如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类，理解离散时间系统的描述方式，掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开，掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质，了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程，直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接， 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n)，然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应，计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质，能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义，掌握其求解方法 ，并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法，能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时，注意审题和理解题意，明确 题目要求和已知条件，选择合适的公式和方法进 行求解。同时，注意计算过程和结果的准确性， 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变，即 输入信号延迟或提前一定时间后，输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的，即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理，如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类，理解离散时间系统的描述方式，掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开，掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质，了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程，直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接， 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n)，然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应，计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质，能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义，掌握其求解方法 ，并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法，能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时，注意审题和理解题意，明确 题目要求和已知条件，选择合适的公式和方法进 行求解。同时，注意计算过程和结果的准确性， 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变，即 输入信号延迟或提前一定时间后，输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的，即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧
[教育学]刘顺兰数字信号处理--第三章
![[教育学]刘顺兰数字信号处理--第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/4ef4bfd39e314332396893ae.png)
其中
X 5 (k ) X 6 (k )
N / 4 1
i 0 i 0
kl x5 (l )WN / 4 DFT [ x5 ( l )]
N / 4 1
kl x6 (l )WN / 4 DFT [ x6 (l )]
x5 (l ) x2 (2l )
, l 0,1, N / 4 1 x6 (l ) x2 (2l 1)
例如，N=210=1024时
N2 1048576 204.8 ( N / 2)log2 N 5120
3.4 按频率抽取（IDFT）的基－2FFT算法
算法原理：把序列X（k）按奇偶分解为越来越短的序列。
M 设X（k）序列的点数为 N 2 ,
M 为自然数
在把输出序列按奇偶分组前，先把序列x（n）按前一 半后一半分开，把N点DFT写成两部分：
i 0
kl x4 (l )WN /4
x3 ( k ) W
X 4 ( k ), k 0,1, N / 2 1
式中 x (k ) 3
N / 4 1
i 0 i 0
kl x3 (l )WN / 4 DFT [ x3 (l )]
x4 (k )
N / 4 1
N 1
N 1
一次复数乘法需要四次实数乘法和两次实数加法 一次复数加法需要两次实数加法。
对某一个k值，计算X(k)值需要4N次实数乘法
N点DFT的实数乘法次数等于4N2 、2N(2N-1)次实数加法。
二、如何减小运算量
1、根据 WN e
j 2 N
的周期性，对称性，可约性，减小DFT运算量
WN
0
数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答
数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。
1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。
时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。
时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。
为Ts。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。
5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。
1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。
频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。
频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。
为Δf。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。
5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。
1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。
零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。
零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。
2.计算需要填充的长度L，L > 0。
《数字信号处理导论_第3章》
4.
离散周期
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
四种傅立叶变换
（三）性质
1. 线性
2. 移位
3. 奇偶、虚实性质
如果 x(n) 是实信号，即
如果 x(n) 是实偶信号，即
X (e j ) 是 则
的实函数！
4. 时域卷积定理 如果
则：
5. 如果
则：
时域卷积定理
频域卷积定理！
6. 时域相关定理 互相关：
1 Px 2
Px (e j )d
说明：
Px (e j ) 在 ~ 内的积分等于信号的功 1. j j 率，所以称 Px (e ) 为功率谱，同理，Ex (e ) 为能量谱；
2. Px (e ) 始终是 的实函数；
j
3. 相关函数和功率谱是随机信号分析与处 理的主要工具，它们都需要靠“估计”得 到，这就形成了丰富的“估值理论”。
k
X (k )e
0
jk 0t
离散、非周期
0 2 T
离散化
e
jk
jk 0t 2 nTs NTs 2 j nk N
令： 则：
x(n) cos(0 n)
X (e j ) 是周期的线谱，与 D(e j )
卷积后，频谱将发生失真，影响 其分辨率(Resolution)
两个线谱和 sin c 函数的卷积：
f1 0.226 f 2 0.274
8 6
f1
f2
N 31
4 2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
4.
Px (e )
j
第3章 完整版习题解答
（2） f
fs N
4096 4096
1Hz
（3）直接用 DFT 计算，所需要的复乘次数为
M d (300 200 1)N 101 4096 413696
若用按时间抽取 FFT 则需要的复乘次数为
MF
N 2
log10
N
2048 12
24576
3.13 下面是三个不同的信号 xi (n) ，每个信号均为两个正弦信号的和：
DFT 在加窗后会有两个可区分的谱峰？
解：利用
64
点
DFT
来估计信号谱时，其频率分辨率为
Hale Waihona Puke 2 64信号 x1 (n) cos( n / 4) cos(17 n / 64) 的两个余弦信号的频率间隔为：
1
17 64
4
64
2 64
故利用 64 点 DFT 来估计信号谱时，不能分辨 x1(n) 中两个正弦信号的谱峰。
2M
时，DIF-FFT
共需
M
级分解，每级运算要计算的碟形运算有
N 2
个。
3.4 考虑图 T3-1 中的蝶形。这个蝶形是从实现某种 FFT 算法的信号流图中取出的。从下述论述中选择出最 准确的一个：
（1）这个蝶形是从一个按时间抽取的 FFT 算法中取出的。 （2）这个蝶形是从一个按频率抽取的 FFT 算法中取出的。 （3）由图无法判断该蝶形取自何种 FFT 算法。
N 2
1
[x(n)
n0
x(n
N 2
)]WNnr/
数字信号处理 答案 第三章
解： x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 （1）绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
j [(2π k /10) + (π /10)]
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 （1） x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
（2） x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
解： （1） X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
（2） X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
（3） （4）
X (k ) = ∑ a W
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
数字信号处理 第三章08
I0(.) is zero order modified Bessel function of the first kind, β is window shape parameter.
Shape of commonly used window functions.
主瓣宽度v.s.副瓣高度
Rectangular N = 51 Hamming N = 51
13dB
2π N
2.三角形窗 （巴特利特Bartlett窗）
26dB
4π N
3.汉宁窗（Hanning Window）余弦平方窗，升余弦窗
4.海明窗（Hamming Window）
§3-8 加权技术与窗函数
5.布拉克曼窗（Blackman Window） （二阶升余弦窗） 式(3-151)、 (3-152)，P114图3－32 6.布拉克曼－哈利斯窗（Harris） 式(3-146)&表3－2、 (3-152)&表3－2 ， P116图3－34，P117图3－35 7.最优化窗 详见P116－118图3－36
消除办法：
fs ≥ 2 fh取样Βιβλιοθήκη 频率 信号最 高频率取样 周期
1 T≤ 2 fh
fs 1 F= = NT N
频率分量 间的增量 （频率 分辨率）
1 t p = = NT F
最小记 录长度
实际中通常：
f s = (3 ~ 4) f h
2 fh N≥ F
P71：在自变量为t和f的情况下，在一个域中对函数进行取 样，必是另一个域中函数的周期。 关键字：模拟域谱间距；数字域谱间距
解：
(1) x(t ) = cos ( 400π t )
Fs = 0.8KHz 400π n πn x(n) = cos ( 400π nT ) = cos = cos F 2 s 2π n 2π n j ( 256−64) j 64 1 jπ n 2 − j π n 2 1 256 − jπ n 2 256 = +e = e +e e , n = 0 ~ 255 2 2 DFT { x(n)} = 128 [δ (k − 64) + δ (k − 192)] Fs = 0.4 KHz 400π n x(n) = cos ( 400π nT ) = cos == cos(π n) Fs DFT { x(n)} = 256δ (k − 128)
数字信号处理第3版课后答案市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件
（1）在h(n)尾部加L－N个零点， 在x(n)尾部加L－M个零
（2）计算L点H(k)=FFT［h(n)］和L点X(k)=FFT［x(n)］;
（3） 计算Y(k)=H(k)X(k) （4） 计算Y(n)=IFFT［Y(k)］， n=0，1，2，3，…，L-1。 但当h(n)和x(n)中任一个长度很长或者无限长时， 需用书 上介绍重合相加法和重合保留法。
说明： 如上计算过程中DFT和IDFT均采取FFT算法时，
才称为快速算法， 不然比直接在时域计算循环卷积运算量
大3倍以上。
13/157
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
3.3.2 线性卷积快速计算——
序列h(n)和x(n)长度分别为N和M， L=N+M－1， 求 y(n)=h(n)*x(n)方法以下：
ze N
n
ze N
n
所以
~xN (n)
1 N
N
x(m)e
j
2π N
km
k 0 n
j2π k(nm)
eN
x(m)
m
1 N
N 1 j2π k (nm)
eN
k 0
19/157
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
因为
1
N
N 1 j2π k (nm)
eN
k 0
1 0
m n rN, r为整数 其它m
2X (0) [x(n) x(N 1 n)] 0
n0
23/157
所以
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
X(0)=0 （2） 因为x(n)=x(N－1－n)， 所以
（2）计算L点H(k)=FFT［h(n)］和L点X(k)=FFT［x(n)］;
（3） 计算Y(k)=H(k)X(k) （4） 计算Y(n)=IFFT［Y(k)］， n=0，1，2，3，…，L-1。 但当h(n)和x(n)中任一个长度很长或者无限长时， 需用书 上介绍重合相加法和重合保留法。
说明： 如上计算过程中DFT和IDFT均采取FFT算法时，
才称为快速算法， 不然比直接在时域计算循环卷积运算量
大3倍以上。
13/157
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
3.3.2 线性卷积快速计算——
序列h(n)和x(n)长度分别为N和M， L=N+M－1， 求 y(n)=h(n)*x(n)方法以下：
ze N
n
ze N
n
所以
~xN (n)
1 N
N
x(m)e
j
2π N
km
k 0 n
j2π k(nm)
eN
x(m)
m
1 N
N 1 j2π k (nm)
eN
k 0
19/157
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
因为
1
N
N 1 j2π k (nm)
eN
k 0
1 0
m n rN, r为整数 其它m
2X (0) [x(n) x(N 1 n)] 0
n0
23/157
所以
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
X(0)=0 （2） 因为x(n)=x(N－1－n)， 所以
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3N 4
j
WN W
n(N k )
WN e
WN
N 2 )
(k N / 2) N
j
(k
e
j
k
e
j
W N
K
2、当N很大时，将N点DFT分解为几个较短的DFT进行计算
如：分解为M个N/M点DFT
则：复数乘法运算量为
来的1/M。
M (
N M
)
2
N M
2
,下降到原
nk
nk
周期性 : W N
n(k N )
WN
mnk
k (n N )
WN
可约性 : W N W mN , W N W N / m
nk nk
nk / m
另外 : W
0 N
W
kN N
1, W N
k (N n) 2 N
N 2
1, W N
nk 2 N
N 4
j,W N
N 1
nk N
nk N
x(n
N 2
)W N
n0 1
n0
N 2
[ x(n) x(n
N 2
)W N
Nk / 2
]W N
nk
n0
k 0 ,1, , N 1
1 k
X (k )
[ x ( n ) ( 1) x ( n
n0
N 2
)]W N
nk
k 0 ,1, , N 1
W
0 N
W
A (3 ) A (4 ) A (3 )
0 N
2 N
X (2 ) A (3 ) A (4 ) X (3 )
W
0 N
W
A (4 ) A (5 )
W
A (5 )
W
0 N
1 N
X (4 ) X (5 ) X (6 ) A (7 ) X (7 )
W
0 N
A (6 )
A (6 )
W
A (7 )
W
0 N
{Re[ x ( n )] Re[ W N ] Im[ x ( n )] Im[ W N ]
nk nk nk nk
n0
j (Re[ x ( n )] Im[ W N ] Im[ x ( n )] Re[ W N ])}
一次复数乘法需要四次实数乘法和两次实数加法 一次复数加法需要两次实数加法。
k
i0
x 4 ( l )W N / 4
i0
x 3 ( k ) W N / 2 X 4 ( k ), k 0,1, N / 2 1
式中 x ( k ) 3
x4 (k )
N / 4 1
i0
x 3 ( l )W N / 4 D F T [ x 3 ( l )]
0 N
1 N
X (0 ) X (1 ) X (2 ) X (3 )
W
W
N / 4点 DFT
1 N 2
W
W
X (4 ) X (5 ) X (6 ) X (7 )
X 2 (1 )
0 N 2
N / 4点 DFT
W
X 2 (2 ) X 2 (3 )
W W
2 N 3 N
W
1 N 2
N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8)
X (k )
N 1
x ( n )W N , k 0,1, , N 1
kn
n0
对某一个k值，计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。 N点DFT的复数乘法次数等于N2 、N(N-1)次复数加法。
X (k )
N 1
x ( n )W
nk N
n0
N 1
X (k )
N 1
x ( n )W N , k 0,1, , N 1
对某一个k值，计算X(k)值需要4N次实数乘法
N点DFT的实数乘法次数等于4N2 、2N(2N-1)次实数加法。
二、如何减小运算量
1、根据 W N
e
j 2 N
的周期性，对称性，可约性，减小DFT运算量
* nk nk N 2
对称性 : (W N ) W N
nk
,W N
W N
N / 4 1
x 5 ( l )W N / 4 D F T [ x 5 ( l )]
kl
i0
N / 4 1
x 6 ( l )W N / 4 D F T [ x 6 ( l )]
kl
i0
x5 (l ) x2 ( 2 l )
, l 0,1, N / 4 1 x 6 ( l ) x 2 ( 2 l 1)
按时间抽取（DIT）的基－2FFT算法
FFT
按频率抽取（IDFT）的基－2FFT算法
3.3 按时间抽取（DIT）的基－2FFT算法
算法原理：把序列x（n）按奇偶分解为越来越短的序列。 设序列x(n)的长度为N，且满足 N 2 M ,
M 为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x 1 ( r ) x ( 2 r ), x 2 ( r ) x ( 2 r 1), r 0,1, N 2 r 0,1, N 2 1 1
k
•
用同样的方法可计算出
, k 0,1, N / 4 1 k X 2 ( k N / 4 ) X 5k W N / 2 X 6 ( k ) X 2 (k ) X 5 (k ) W N / 2 X 6 (k )
k
其中
X 5 (k ) X 6 (k )
本章内容
一、FFT变换的思想
※ 二、如何利用FFT分析时域连续信号频谱 三、FFT变换的简单应用
3.1 引言
FFT不是一种新的变换，而是DFT的一种快速 算法。
3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
一、直接计算DFT的运算量
二、如何减小运算量
一、直接计算DFT的运算量
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
n ( 2 r 1)
n0
1
{[ x ( n ) x (n
nr 2
r 0 ,1, , N / 2 1
x1 ( n ) x ( n ) x ( n x2 (n) [ x(n) x(n
N 2
N 2
)
N 2
n=0,1, …N/2-1
W
A (7 )
2 N 3 N
2 N
W
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶 形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘 次数为
C M (2) N 2 M N 2 log 2 N
复数加次数为
那么，X1(k)又可表示为
N / 4 1
X 1(k )
N / 4 1
N / 4 1
x 1 ( 2 l )W N / 2
2 kl kl k
i0
i0
x 1 ( 2 l 1)W N / 2
kl
k ( 2 l 1 )
N / 4 1
x 3 ( l )W N / 4 W N / 2
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
WN
WN
2
1
WN
3
N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个 N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l ) x2 (2l ) N 1 , l 0,1, , x 4 ( l ) x 1 ( 2 l 1) 4
kr
r0
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
k N 2
WN
W N
k
k
X (k ) X 1(k ) W N X 2 (k ) X (k N 2
k
k 0,1,
N 2
1 N 2 1
) X 1(k ) W N X 2 (k )
k 0,1,
x (0 ) x (4 ) x (2 ) x (6 ) x (1 ) x (5 ) x (3 ) x (7 )
X 3 (0 ) N / 4点 DFT X 3 (1 ) X 4 (0 ) N / 4点 DFT X 4 (1 )
0 N 2
X 1 (0 ) X 1 (1 ) X 1 (2 ) X 1 (3 ) X 2 (0 )
第三章 快速傅里叶变换（FFT）
3.1 引言
3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
※ 3.3 按时间抽取（DIT）的基－2FFT算法 ※ 3.4 按频率抽取（IDFT）的基－2FFT算法 3.5 N为复合数的FFT算法－混合基算法
3.6 线性调频Z变换（Chirp-z变换）算法
※ 3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用
X 1 (k )
· ·
WN
k
· ·
-1
· ·
X 1 (k ) W N X 2 (k )
k
X 2 (k )
X 1 (k ) W N X 2 (k )
k
时间抽取法蝶形运算流图符号
x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) N/2点 N/2点