运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛

1、引言

一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划(线性规划和非线性规划)，网络优化(含网络计划技术)，排队模型，动态规划等，请看下表

注：从年起，全国大学生数学建模竞赛开始设置专供大专院校学生做的题。

下而重点介绍运筹学模型的数学规划。

二、数学规划的一般形式

nin f(x) (ornnx f(x))

/l, (x) = 0, i = 1,2,…丿

s.t.<0, ) = 12…，加

lb

线性规划:

整数规划:

非线性规划:

三、数学规划问题举例

1下料问题

现要用100X50厘米的板料裁剪出规格分别为40X40厘米与50X20厘米的零件, 前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？

解：题意即要确立从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设X”表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费•则运输模型为：

min f = 2x H +X|2 +3^13 + 2x 2| + 2x 22 + 4x 23 ■

x H +x [2 +X13 S 50

x 21 + x 22 + x 23 < 30

X 11+X 2I =40'

s 』：X [2+X 22 =15需求量约束

+ AS j =25

列no 仃= 1,2；丿• = 123丿运输量非负约束

一般地，对于有m 个发点和门个收点的运输模型为

n

工® 5q(7 = h2,3,・・m)

m

/=i

Xq nO(j = 12・・〃;J = 12・・n)

其中q 为i 号发点的运出量，bj 为j 号收点的需求咼，5为从i 号发点到j 号收点的单位运 价。

m n n

特别当工％ =工耳时，存货必须全部运走.故上述约朿条件中的工耳可改为等式: r-1

j-1

n

工七=£（，= 1,2,...w ）

3选址问题

某地区有m 座煤矿，尸矿每年产量为q 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 。吨, 每年运行的固左费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为ho 元。现规划新建一个发电厂, m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有门个备选的厂址。若在尸备 选厂址建电厂，每年运行的固左费用为％元，每吨原煤从严矿运送到严备选厂址的运费为 5元（口j=1,2 -n ）o 每吨原煤从厂矿运送到原有电厂的运费为细（i=1,2,...m ）。 试问：

[1] 应把新电厂厂址选在何处？

[2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？

才能使每年的总费用（电厂运行的固左费用与原煤运费之和）为最小？

运岀量受存量约束

min m n f = H C u X

U

模型的建立

(1)变量的设置为了解决问题[1],我们使用0・1变量

[1选电/#备选厂址.“

y； =< — , / = 1,2< -n

70否则

目标函数的表达

m n

总运费工工勺勺(对不被选中的备选厂址运费x场将由约束条件限制为0)・r-l

每年总费用SW6jXij + 22h jy J +仏z-l J—O y-1

(3)约束条件的表达

(i)煤矿产量约束

n

工© = q i = 12…加m

(ii)旧电厂用煤量约束2>,。=九

(iii)新电厂用煤疑约束m m

记b =工山_叽,当严签选厂址被选中时工切=〃，当

r-l r-l

tn m

严备选厂址没被选中时工切=0,综合表达为工勺=b y） j = 1,2..../?

>-1 J-I

（iv）选址约束由于只选一个厂址，所以丈=1

7-1

x.j > 0 i = 1,2,…m j = 0丄2, - n

（V）非负及整数约束

y} =0或1 j = 12

综合得数学规划模型:

min乙=为为°护j +为山儿+心

/=! >=() ./=!

艺©=曲=1,…，加

7=0

m

工ho =6

z=l

m

工心=by j J = \,....n

Z = 1

s.t.

/=!

4布点问题

某市有6个区，每个区都可建消防站，为了肖省开支，市政府希望设置的消防站最少, 但必须保证在该市

任何地区发生火警时，消防车能在15分钟内赶到现场。假定各区的消防站要建的话，就建在区的中心，根据

实地测量,

1区2区3区4区5区6区

1区41016282720

2区10524321710

3区16244122721

4区28321251525

5区27172715314

6区20102125146

请你为该市制左一个设置消防站的最省的讣划。建模并求解。

解：本题实际上是要确泄各个区是否要建立消防站，使其既满足要求，又最卩省。这自然可 引入0・1变量，故设

1,当在第/区建消防站时 （・=]2 6）

0,当不在第/区建消防站时

若1区发生火警，按照“消防车要在15分钟内赶到现场”的要求，贝IJ I 区和2区至少 应有一个消防站，即為+£»1。同理得：

x x +x 2 +x 6 > 1,

从而得模型为：

7=1

X, +x 2 >1 x l + x 2 +x 6>\ x 3+x 4>\ S ・f S x 3+x 4+x 5>\

x 4 + x 5 +x 6 > 1

x 2 + x 5 +x 6 > 1 Xj =0,1,（ J = 1,2,…,6 丿

若满足第一、三个约束条件，则必然满足第二、四个约朿条件，故后者 从而化简得：

tnin

f = X X j

/-I

Xj +x 2 > 1 x 3 +x 4 > 1

s.t.< x 4 + x 5 + x 6 > 1

x 2 + x 5 + x 6 > 1

Xj =0,1,( j = 1,2,…,6 丿

此模型当然可用软件求解，但由于比较简单，故可直接试算。若要求只有一个厂=1,则显 然不可行；若要求只有两个Xj =1 f 则有唯一可行解x 2 =x 4 = 1, Xj = = x 5 = x 6 = 0 ,

故这就是最优解，即只需在2区和4区建立消防站。 附程序：

c=[1 11111]

a=-[1 1 OOOOjOO 1 1 0 O;O 0 0 1 1 1;O 1 00 1 1] b=-[1 1 1 1] v=zeros(1,6) u=[1 11111]

X ：=

6

目标是f = X X J 最少。

以下考虑约束条件。

x 3+x 4> 1, x 3+x 4 +x 5 > 1, x 4+x 5+x 6 > 1, x 2 + x 5 + x 6 >\

再仔细观察知, 是多余的，可省略。