幂函数及其性质

[跟进训练]
1.(1)在函数 y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中，幂函数的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
(2) 若 函 数
f(x) 是 幂 函 数 ， 且 满 足
f(4) ＝ 3f(2) ， 则
f
1 2
的
值
等
于
________．
(1)B
1 (2)3
[(1)∵y＝x12＝x－2，
＝12log23＝13.]
幂函数的图象及应用
【例 2】 (教材改编题)点( 2，2)与点－2，－21分别在幂函数 f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
解：设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象 知， (1)当 x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当 x＝1 时，f(x)＝g(x)； (3)当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
m2＋2
2．已知 f(x)＝(m＋1)x 是幂函数，则 m＝( )
A．2
B．1
C．3
D．0
D [由题意可知 m＋1＝1，即 m＝0， ∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点2，
22，则f(4)＝
________.
1 2
[由f(2)＝ 22可知2α＝ 22，
即α＝－12，
∴f(4)＝4－12＝12.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题] 1．幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上的单调性与 α 有什么关系？ 提示：当 α>0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增；当 α<0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1 和 23.2 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关 系如何？
给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数
增大，所以 a>b>c>d.故选 B.
1
(2)y＝x2的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，
1
1
函数 y＝x2－1 的图象可看作由 y＝x2的图象向下平移一个单位得到的(如
1
选项 A 中的图所示)，将 y＝x2－1 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B.]
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.3 幂函数
学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数
核心素养
的解析式．(重点、易混点)
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝ 1.结合幂函数的图象，培养
x3，y＝1x，y＝x12的图象，掌握它们
直观想象的数学素养． 2．借助幂函数的性质，提
的性质．(重点、难点)
升逻辑推理的数学素养.
∴是幂函数；
y＝2x2 由于出现系数 2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数 y＝1 的图象比幂函数 y＝x0
的图象多了一个点(0,1)，所以常函数 y＝1 不是幂函数．
(2)设 f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得 α＝log23，∴f12
合作 探究 释疑 难
幂函数的概念
1
【例 1】 已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3 是幂函数，求 m，n
的值．
[解]
m2＋2m－2＝1， 由题意得m2－1≠0，
2n－3＝0，
m＝－3， 解得n＝32，
所以 m＝3，n＝32.
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xαα 为常 数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为 常数；2底数为自变量；3系数为 1.
[跟进训练] 2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中 的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
1
(2)函数 y＝x2－1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是( )
A
B
C
D
(1)B (2)B [(1)令 a＝2，b＝12，c＝－31，d＝－1，正好和题目所
提示：23.1 和 23.2 可以看作函数 f(x)＝2x 的两个函数值，因为函数 f(x)＝2x 单调递增，所以 23.1＜23.2.
3．2.3－0.2 和 2.2－0.2 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的 大小关系如何？
提示：2.3－0.2 和 2.2－0.2 可以看作幂函数 f(x)＝x－0.2 的两个函数值， 因为函数 f(x)＝x－0.2 在(0，＋∞)上单调递减，所以 2.3－0.2＜2.2－0.2.
3．能利用幂函数的单调性比较指
数幂的大小．(重点)
自主 预习 探新 知
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？
提示：幂函数是形如 y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函 数是形如 y＝ax(a>0 且 a≠1)，自变量在指数上．
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指 数越大，幂函数图象越靠近 x 轴简记为指大图低；在1，＋∞上， 指数越大，幂函数图象越远离 x 轴简记为指大图高.
2依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在
1
第一象限内的图象类似于 y＝x－1 或 y＝x2或 y＝x3来判断.
2．幂函数的图象, 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x错误!，y＝x－1 的图象如图所示：
3．幂函数的性质,
y＝x y＝x2
定义域 值域
奇偶性
R
R
R [0，＋∞)
奇
偶
y＝x3
R R _奇__
1
y＝x2 [0，＋∞)
[0，＋∞)
非奇非偶
y＝x－1 {x|x≠0} {y|y≠0}
_奇__
x∈[0，＋∞) 单增
时， 增 函数 调函
x∈(－∞，0] 性数
时， 减 函数
x∈(0，＋∞) 时， 减 函数 增 函数 增 函数 x∈(－∞，0) 时，减函数
1．下列函数中不是幂函数的是( ) A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x
D．y＝x－1
C [只有 y＝3x 不符合幂函数 y＝xα 的形式，故选 C.]