3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近ppt
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高等数学课件3-3泰勒公式
n
n 1
Rn( 2 ) n( n 1)( 2 x0 )
( 2在x0与1之间)
如此下去,经过( n 1) 次后,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1
R
n 1!
( 在 x0与 n之间 ,也在 x 0 与 x 之间)
$3-3Taylor公式 9
( n1 ) n
$3-3Taylor公式 2
例如, 当 x 很小时, e 1 x , ln( 1 x ) x
x
ye
ye
x
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
$3-3Taylor公式 3
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 问题:
寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) P ( x ) ,
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x 0 )
n1
在以 x 0 及 x 为
端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1
Rn ( x ) Rn ( x0 ) ( x x0 )
n1
0 ( 1 在 x 0 与 x 之间 )
R n ( 1 ) ( n 1 )( 1 x 0 )
f
(4)
(0) 0,
… ，
f
(n)
( 0 ) 依次取 0， ，， 1 . 1 0 -
若令n=2m,则
sin x x x
3
x
5
x
7
m 1 … ( 1)
x
2 m 1
3!
5!
7!
n 1
Rn( 2 ) n( n 1)( 2 x0 )
( 2在x0与1之间)
如此下去,经过( n 1) 次后,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1
R
n 1!
( 在 x0与 n之间 ,也在 x 0 与 x 之间)
$3-3Taylor公式 9
( n1 ) n
$3-3Taylor公式 2
例如, 当 x 很小时, e 1 x , ln( 1 x ) x
x
ye
ye
x
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
$3-3Taylor公式 3
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 问题:
寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) P ( x ) ,
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x 0 )
n1
在以 x 0 及 x 为
端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1
Rn ( x ) Rn ( x0 ) ( x x0 )
n1
0 ( 1 在 x 0 与 x 之间 )
R n ( 1 ) ( n 1 )( 1 x 0 )
f
(4)
(0) 0,
… ，
f
(n)
( 0 ) 依次取 0， ，， 1 . 1 0 -
若令n=2m,则
sin x x x
3
x
5
x
7
m 1 … ( 1)
x
2 m 1
3!
5!
7!
泰勒公式与函数的高阶多项式逼近
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
y pn ( x )
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
x
( x0 ) ( k 0,1,2,, n) 则 Pn ( x ) 与 f ( x ) 在 x0 附近有较高的接近程度 .
[ln( 1 x )]
( n 1)
( 1) n! ( x 1)n1
n
k 1 k
ln( 1 x ) ( 1)
k 1
n
( 1) x x . n1 k ( n 1)( 1)
n
n1
( 介于0 与 x 之间 )
带有拉格朗日型余项
的 麦克劳林公式 .
f ( x0 ) Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
Pn ( x )称为函数f ( x )在x0的n次泰勒多项式 .
Pn ( x )完全由f ( x )惟一确定！
(1 x ) 1 x
( 1)
2! ( 1)( n 1) n n x o( x ) ; n!
( R )
x2
1 2 n n 1 x x x o( x ) . 1 x
2 cos x 3 例 3 计算 lim . 4 x 0 x 1 4 x2 2 4 解 e 1 x x o( x ) 2! e
f ( k ) (0) k f ( n1) ( x ) n1 x x k! ( n 1)!
泰勒公式及函数逼近
及它的 n 阶泰勒多项式的图形。 ( n 1 , 3 , 5 , , 13 ) 故输入命令如下：
f( x ) sin x
t
Table Normal Series Sin x , x, 0, i
PrependTo t, Sin x ;
Pi, Pi
, i, 1, 13, 2
;
Plot Evaluate t , x,
上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]” sinx 添加到表t中。运行后得到图 是表示把函数 3-1。
3 2 1
-3
-2
-1 -1 -2 -3
1
2
3
图3-1
为了使图形比较更加生动，下面我们作出 sinx 和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较 图，并且在图中红色曲线表示函数 f( 的 x ) sin x 图形，蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如 下：
3 2 1
2
1
-3
-2
-1 -1 -2 -3
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
1
1
0.5
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-0.5
-1
-1
1
1
0.5
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-0.5
-1
图3－2
-1
（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点 x 0 时泰勒多项式对函数的逼近情况。 显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的 x 范围由 [ , ]分别改到 [ 2 ,2 ] ，并相应增 加阶数。故输入如 下命令：
D3_3泰勒公式(PPT)-文档资料
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 例1. 求 y ln cos x 在 x 处的带有拉格朗日余项 的2阶 4 泰勒公式. 解: 要求到3阶导数
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结束
1 2 f ln ln 2, 2 4 2
2
f x tan x f 1 4
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
O
x0 x
x
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结束
为了提高精确度，我们考虑用n次多项式来近似 f ( x)
pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 an ( x x0 ) n f x a0 f ( x0 ), 要求满足
3 5
f
(k )
f 0 1,
f 0 0, f 0 1,
π (0) sin k 2 4 f 0 0,
2 m 1 x x x sin x x (1) m1 R2m ( x) (2m 1) ! 3! 5!
f x sec x f 2, f x 2sec2 x tan x 4 2 1 ln cos x ln 2 x x 4 2 4 3 1 2 sec tan x 3 4
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f (3) ( ) ( x x0 )3 3!
3-3泰勒公式98788
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1(在 x0与 x之 间 )
f(x )P nx R n (x )
称为按 (xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.
其 中 P n f((x x )0 ) kn f0(fx (0 k ) k )( (!x x 0)x (0 x ) x f0 2 )( k ! x 0 )(x x 0 )2
由计算可知当 n = 9 时上式成立, 因此
e11 1 1 2.718281
2!
9!
例3 写 出 sin x 的 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f (k)(x) sin(xk )
2
f (k)(0)sink
2
0,
(1
)
m
1
,
k2m(m1,2, k2m1
f(x)f(0 ) ff (nn()0 !(0))x x n f(nn1)(1x! ) xn1
三、简单应用
麦克劳林(Maclaurin)公式
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n f(n 1 )(x )x n 1
n次泰勒多项式 余项
an ?
设 P n(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2
求an ?
an(xx0)n
(1)
假设 P n ( k ) ( x 0 ) f ( k ) ( x 0 ) ,k 0 , 1 ,2 ,n ( 2 )
对(1)求各阶导数,再分别将(2)式代入,得 P n ( x a ) 0 ,f af( n( x x 0 ) 0 n) 1,!a f 1 f( (nx )0 (f) x( (0x x ) 0)x ,a 0 ) 2 f 2 1 ! 2 ( ! x f0 ) (( x x 0 ),x 0 ) 2
高等数学(第二版)上册课件：泰勒公式
分析
近 1.若在 x0点相交
似 程
Pn (x) f (x0)
度 越
2.若有相同的切线
来
越 好
Pn' (x) f ' (x0)
3.若弯曲方向相同
Pn'' (x) f '' (x0 )
y
y f (x)
0 x0
x
（1） 求 n 次近似多项式
Pn (x0) f (x0)
p'n (x0 )
f
' n
所以
f (x) 8 10(x 1) 9(x 1)2 6(x 1)3 (x 1)4
【例3.3.4】 求 f (x) ex2 的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式
解
因为 ex 1 x x2 xn o(xn1)
2!
n!
用 x2代替公式中的 x，即得
ex2 1 x2 x4 x2n o(x2n2 )
2!
n!
【例3.3.1】 求 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式
解 由于 f ' (x) f ''(x) f (n) (x) ex，
所以 f '(0) f ''(0) f (n) (0) 1 ，
取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为
ex 1 x x2 xn e x xn1
则误差 R(x)= f (x) P(x)
设函数 f (x)在含有 x0 的开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数，P(x) 为
多项式函数
pn(x)
a 1
(x
x0
)
a2
(x
x0
)2
an(x x0)n
2025届高考数学复习专题--泰勒公式在高中数学中的应用 课件(共17张PPT)
2025届高考数学复习专题 ★★
泰勒公式
泰勒公式
➢ 什么是泰勒公式 ➢ 泰勒公式的应用：
@证明不等式 @求参数范围 @比较大小
➢ 什么是泰 勒公式
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶 导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信 里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经 常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
1 1 x2 cosx 1 1 x2 1 x4
2!
2! 4!
（请证明上面不等式）
站得更高，高山也矮小！
2
@求参数范围
证明不等式常用：
g(x) cosx 1 x2 1． 2
（1）当 a＝1 时，求证：当 x≥0 时，f（x）≥0；
对于x 0
（2）若 f（x）+g（x）≥0 在[0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围．
ex 1 x 1 x2 2!
x 1 x2 ln(1 x) x 2
x 1 x3 sin x x 3!
x 1 x2 ln(1 x) x 2
x 1 x3 sin x x 3!
1 1 x2 cosx 1 1 x2 1 x4
2!
2! 4!
（请证明上面不等式）
➢ 泰勒公式的应用：例 2：设函数 f (x) x(ex 1) ax2 ,当 x 0 时， f (x) 0 ,求 a 的取值范围. @求参数范围
泰勒公式
泰勒公式产生背景：
常见函数的泰勒展开式
泰勒展开式 记忆方法
特别地，有
切线放缩
泰勒公式
泰勒公式
➢ 什么是泰勒公式 ➢ 泰勒公式的应用：
@证明不等式 @求参数范围 @比较大小
➢ 什么是泰 勒公式
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶 导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信 里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经 常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
1 1 x2 cosx 1 1 x2 1 x4
2!
2! 4!
（请证明上面不等式）
站得更高，高山也矮小！
2
@求参数范围
证明不等式常用：
g(x) cosx 1 x2 1． 2
（1）当 a＝1 时，求证：当 x≥0 时，f（x）≥0；
对于x 0
（2）若 f（x）+g（x）≥0 在[0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围．
ex 1 x 1 x2 2!
x 1 x2 ln(1 x) x 2
x 1 x3 sin x x 3!
x 1 x2 ln(1 x) x 2
x 1 x3 sin x x 3!
1 1 x2 cosx 1 1 x2 1 x4
2!
2! 4!
（请证明上面不等式）
➢ 泰勒公式的应用：例 2：设函数 f (x) x(ex 1) ax2 ,当 x 0 时， f (x) 0 ,求 a 的取值范围. @求参数范围
泰勒公式
泰勒公式产生背景：
常见函数的泰勒展开式
泰勒展开式 记忆方法
特别地，有
切线放缩
《泰勒公式》PPT课件
Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
3,3泰勒公式-52页PPT精品文档
f ( x0) +
f ( x0 )( x - x0 ) +
f
( x0 2!
)
(x
-
x0 )2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0 )n
+
Rn
(
x)
其中 Rn( x) =
f (n+1)( ) ( x
(n + 1)!
-
x0 )n+1(
在
x0与
x之间).
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泰勒公式
证明: 由 假 设 , R n ( x )在 ( a ,b )内 具 有 直 到 ( n + 1 ) 阶
L+f(nn )(!x0)(x-x0)n=kn=0 f(kk)(!x0)(x-x0)k
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n次近开 似多的 项式 .
f(x)=kn =0f(kk )(!x0)(x-x0)k+R n(x)
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n阶泰 开 勒公的 式.
R n(x)=fn (n + + 1)1 (!)(x-x 0)n + 1(在 x 0 与 x 之 )间
x
以直代曲
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) x - ( x 0 ) + o ( x - x 0 )
例 如 ,当 x很 小 时 ,ex1+x,ln1+ (x)x
（如下图）
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泰勒公式
以直代曲
y = ex
y = ex
y=x
y=1+x
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
第22页，共27页。
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !
高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
泰勒公式ppt课件
详细描述
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
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( n 1)!
拉格朗日型余项
( 介于 x 与 x0 之间)
（） 1 式称为 f ( x ) 在 x0 点带有 拉格朗日型余项 的 泰勒公式 . 证明略
特别，当 x0 0 时, 有
f ( x)
k 0 n
f
(k )
( 0)
x
k
f
( n 1 )
( x )
k!
( n 1)!
(k )
( x0 ) f
(k )
( x0 ) ( k 0,1,2, , n) 则
Pn ( x ) 与 f ( x ) 在 x0 附近有较高的接近程度 .
假设 pn
(k )
( x0 ) f
(k )
( x0 ) ， ( k 0,1,2, , n)
2 n
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
寻找一个在 x0 附近与 f ( x ) 尽可能
n
接近的n 次多项式:
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )
怎样构造 pn ( x )（如何确定它的系数） ？
使得在 x0 附近 Pn ( x ) 与 f ( x ) 很接近！
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
推广了的微分中值定理 .
如 对 一 固 的 果 某 个 定
n， M 0,
x U ( x0 )
Rn ( x ) f
有
(n1)
f
( )
( n1)
(x) M .
n1
则
n1
( n 1 )!
( x x0 )
M
x x0
( n 1 )!
,
lim
Rn ( x ) ( x x0 )
2
n
分
析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x 0 点相交
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn ( x0 ) f ( x0 )
y pn ( x )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
x
如果 pn
f ( x)
k 0
n
f
(k )
( 0)
x o( x )
k n
.
k!
称为带有皮亚诺型
余项的 麦克劳林公式 .
二. 函数的高阶多项式逼近
f ( x ) e x 的 n 阶麦克劳林公式. 例1 求
解
f ( x ) f ( x ) f
( n)
( x) e ,
x
( n)
f ( x0 ) 2!
( x0 )
n!
( x x0 )
n
Pn ( x )称为函数 ( x )在x0的n次泰勒多项式 f .
Pn ( x )完全由f ( x )惟一确定！
） 定理1（泰勒中值定理 若函数 f ( x ) 在 U ( x0 )
具有直到n 1 阶的导数，则 x U ( x0 ) ，有
a0 f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ), 2!a2 f ( x0 ),
,
n!a n f
( n)
( x0 ) . a k
f
(k )
( x0 )
k!
( k 0,1, , n)
( x x0 )
2
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f
( n)
f (0) f (0) f (0) f
( n 1)
(0) 1
注意到 f
(x ) e
x
n
x
代入公式,得
e
x
n1
e 1 x
x
x
2
2!
n!
( n 1)!
x
(0 1).
例 2 求函数 f ( x ) cos x 的 n 阶麦克劳林公式
n 1
x
n
o( x ) ;
n
2
3
n
带有 皮亚诺型 余项 的 麦克劳林公式 .
[ln( 1 x )]
( n1)
( 1) n!
n
( x 1)
k 1
n1
k
ln( 1 x )
( 1)
k 1
n
x
( 1)
n
x
n1 n1
k
( n 1)( 1)
.
( 介于 0 与 x 之间)
x
n 1
( 0 1)
拉格朗日型余项 的 麦克劳林公式 称为带有 麦克劳林( Maclaurin,1698-1746，英国 ) 注意: 在（1）中，当 n 0 时, 即
.
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间 )
泰勒公式 1） （ 也称为含有高阶导数的
3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近
一. 泰勒公式 问题的提出：
附近时，有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
泰勒（Taylor ） 1685 1731 , 英国 .
如果 f ( x ) 在点 x0 可微，则当 x 在 x0
.
解
f
(n)
( x ) cos( x
n 2
), f
(n)
( 0 ) cos(
(4)
n 2
)
f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 , f
2 4 2n
( 0 ) 1,
)
x
2n2
cos x 1
x
x
( 1)
带有 拉格朗日型余项
的
麦克劳林公式 .
(1 x )
1 x
( 1)
2!
x
2
n n
( 1)( n 1)
n!
x o( x ) ;
( R )
1 1 x
1 x x x o( x ) .
2
n
n
例3
计算 lim
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 2!
n
( x x0 )
2
其中 Rn ( x )
f
f
( n)
( x0 )
( )
n!
( n 1 )
( x x0 ) Rn ( x ) （ ） 1
( x x0 )
n 1
n
n
n
0.
在不需要余项的精确
表达式时， n 阶泰勒公式可写为：
f ( x)
k 0
f
(k )
( x0 )
k!
( x x0 ) o[( x x0 ) ] .
k n
称为带有皮亚诺（Peano,1858-1932,意大利）
型余项的 泰勒公式 .
特别， x0 0 时, 有 当
x0
e
x
2
2 cos x 3 x
4
.
4
解
e
x
2
1 x
2
1 2!
x
4
x o( x )
4
cos x 1
x
2
o( x )
4
2!
4!
e
x
2
2 cos x 3 (
7 x o( x )
4 4
1 2!
2
7 12
1 4!
) x o( x )
4 4
n
x
cos( x
2n 2
2!
4!
( 2 n )!
2 ( 2 n 2 )! (0 1)
cos x 1
x
2
x
4
( 1)
n
x
2n
o( x
2n
)
2!
4!
( 2 n )!
常用函数的麦克劳林公式
e
x
1 x
x
2
x
n
o( x );
n
f 的线性近似 f ( x ) L( x ) ,
L( x )
所产生的误差是：
比 x x0 高阶的无穷小 ( x x0 ).
设 f ( x ) 在 x0 点具有直到n 阶的导数 .
问题: 办法:
能否用高次多项式 pn ( x ) f ( x ) ,
使误差 : Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) 可以估计！
2!
sin x x x
3
n!
x
5
( 1)
n
x
2 n1
3!
5!
( 2n 1)!
o( x
2 n1
) ;
cos x 1
x
2
x
4
( 1)
n
x
2n