不等式的证明分析法与综合法习题

2.3不等式的证明（2）——分析法与综合法习题

知能目标锁定

1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式;

2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法;

重点难点透视

1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点.

方法指导

1. 分析法

⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”.

⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ⇐⇐⇐⇐⇐ 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆.

⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法

⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件

B

B B B A n ⇒⇒⇒⇒⇒ 21(结论),后一步是前一步的必要条件.

⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式.

一.夯实双基

1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b

A.=

B. <

C.>

D.不能确定

2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是（ ） A.0

lg

>b a B.a b a b ->- C.

a

a a

a ++<

+211 D.

1

1++<

a b a

b

3.若a,b,c +

∈R ,且a+b+c=1,那么

c

b

a

111+

+

有最小值( )

A.6

B.9

C.4

D.3

4.设2

6,37,2-=-==

c b a ,那么a,b,c 的大小关系是（ ）

c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>.

5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A.

2

y x + B.

y

x xy +2 C.xy D. )11(21y

x

+

二.循序厚积

6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m

y

x

≥+

41恒成立的实数m 的取值范

围是________;

7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c +

∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________;

9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b

a n

b a m b a -=

-

=

>>,,0若,则m 与n 的大小关系是______.

三、提升能力

11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证：(a b+cd)(ac+bd)>abcd

12.设x>0,y>0,求证: 2

2

y x y

x +≤

+

13.已知a,b +

∈R ,且a+b=1,求证：2

25)1()1(2

2

≥

+

++

b

b a

a .

14.设a,b,c 是不全相等的正数, 求证：c b a c a c b b a lg lg lg 2

lg

2

lg

2

lg

++>+++++.

15.如果直角三角形的周长为2,则它的最大面积是多少?

易错点：乱用均值不等式;误用分析法,把”逆求”作为”逆推”,以证” p ⇒q 为例,这时的推理过程就是:p q q q q n ⇒⇒⇒⇒⇒ 21.证明的结果是证明了逆命题”q ⇒p ”.而正确的推证过程是:p q q q q n ⇐⇐⇐⇐⇐ 21. 易忽视点：均值不等式中能否取道”=”的条件分析易被忽视导致出错. 解题规律：用定理,抓步骤,重格式.