基本不等式专项基础练习

基本不等式专项基础练习

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1.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） C.32 D.432

2.设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 1

1

+的最小值为（

） D.41

3.若0>x ，则x x 2

+的最小值为 此时x 的值为( )

若x<0则x x 2

+有最（ ）值为_______

4.4.已知a,b 为正实数，且b a b a 1

1

,12+=+则的最小值为（ ）

A ．24

B ．6

C ．3－22

D ．3+22

；

5.若y

x y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为（ ） A ．9 B ．28 C ．249+ D ．24

6.已知，且满足，则xy 的最大值为_____

7.已知232=+y

x )0,0(>>y x ，则xy 的最小值是_____________。 8.已知,则函数的最小值为 ___________

9若21x y +=，则24x y +的最小值是______

10 正数,x y 满足21x y +=，则

y x 11+的最小值为______

11若x >0，求函数y ＝x ＋4x

的最小值，并求此时x 的值； (2)设0

，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； ·

(3)已知x >2，求x ＋4x －2

的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y

＝1，求x ＋y 的最小值．

,x y R +∈134x y +=t o >2t 41t y t -+=

11解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x

，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0

，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]

≤2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34

时，等号成立． ∵34∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，32. ?

∴函数y ＝4x (3－2x )(0

. (3)∵x >2，∴x －2>0，

∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2

＋2 ≥2 x －2·4x －2

＋2＝6， 当且仅当x －2＝

4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2

的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y

＝1，

∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y

＋10 ≥6＋10＝16，

当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y

＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．

》

故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.

方法二 由1x ＋9y

＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 可知x >1，y >9，

∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10

≥2x －1y －9＋10＝16，

当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.