立体几何练习题

D A
E C B
2
2
1 正视图
1 侧视图
1
1 俯视图
18、如图，已知 AB 平面 ACD ，DE 平面 ACD ，△ ACD 为等边三角形， AD DE 2AB ，F 为 CD 的
中点.
(1) 求证： AF // 平面 BCE ； (2) 求证：平面 BCE 平面 CDE ；
B E
A
(3) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.
1 6
，
解得 PA 1，存在
AB 的中点 P ，使VPAB1C1
1 6
. ……………（12 分）
6. 解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱……1 分
又∵俯视图中 A1C1=3，B1C1=4，A1B1=5 ∴A1C12+B1C12=A1B12
∴∠A1C1B1=∠ACB=90°
6 3
3. 【解】在 RtABC 中， AB 2 ， BC 1，∴ AC 3 ．∵ AA1 3 ，∴四边形 ACC1A1 为正方
形．
1
11
1
V V 3V 3 2 A1AB1C1
A A1B1C1
ABC A1B1C1
3 1
3 2
----6 分
（Ⅱ）当点 E 为棱 AB 的中点时， DE 平面 AB1C1 ------8 分
证明: DE // 平面AB1C1
C B
D C1
B1
4．如图，在棱长均为 2 的三棱柱 ABC DEF 中，设侧面四边形 FEBC 的两对角线相交于 O ，若 BF ⊥平面 AEC ，
AB AE .
D
A
(1) 求证： AO ⊥平面 FEBC ； (2) 求三棱锥 B DEF 的体积.
F
C
O
E
B
又 BF GF F 平面 AD1E // 平面 BGF ……………6 分
(Ⅱ) AA1 2 AD1 A1A2 A1D12 5 ,同理 AE 2, D1E 3 AD12 D1E2 AE2 D1E AE ……………9 分
AC BD, AC D1D AC 面 BD1 又 D1E 平面BD1 , AC D1E
∴ AO ⊥ EC , 且 BF EC O ∴ AO ⊥平面 BCFE .………6 分
（2） DA∥ BE , BE BCFE DA ∥平面 BCFE
∴点 D 、 A 到面 BCFE 的距离相等
………8 分
VBDEF VDBEF VABEF ∵ AE AB ，AO=AO
∴ AOE≌ AOB，得 OE=OB ，即 EC=FB，而 BCFE 为菱形，则 BCFE 是正方形，
D G A
D1
A1
C1 B1
E C
B
C1 B1
D
A
E
C B
3.如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 ABC, ACB 90 ， AB 2 BC 1 AA1 3 ．
（Ⅰ）求三棱锥 A1 AB1C1 的体积；
A
A1
（Ⅱ）若 D 是棱 CC1 的中点，棱 AB 的中点为 E ，
又 AC AE A , AC 面 AEC , AE 面 AEC D1E 面 AEC ………12 分
2. （1）连接 BD，由已知有 D1D 平面ABCD 、得 AC D1D
又由 ABCD 是正方形，得： AC BD、
∵ D1D 与 BD相交，∴ AC 平面BDD1
（2）∵ A1 AE CBE ∴ A1E CE 5 又∵ A1C 2 3
1 6
.
VABC A1B1C1
1 AB 11 1， 2
AB 2
.
………………………（7 分）
又 AC AB, AA1 AC 且 C1A1 平面 ABB1A, BB1 AB ，
V 由 P AB1C1
VC1PAB1
1 6
，
知1S 3
PAB1
C1A1
11 32
PA BB1
1 1 PA1 32
D
C
F
A
·M
B
E
（19 题图）
14．已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的三视图如图所示.
A1
D1
A1
B1
（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的 体积；
22
（2）若 E 为 AA1 上一点， EB // 平面 A1CD ，
A
DA
B
试确定 E 点位置，并证明 EB 平面 AB1C1D
正视图
AC AA1 1， 四边形 A1ACC1 为正方形， AC1 CA1 .
AC1 AB A ， CA1 平面 AC1B . …………………………（5 分）
又 C1P 平面 AC1B ，CA1 C1P . …………………………………（6 分）
（Ⅱ）设在线段
AB 上存在一点 P ，使VPAB1C1
侧视图
A
D
2
2
B1 C
俯视图
15.如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，且 AB AD a ，
BF DH b ． （Ⅰ）证明：截面四边形 EFGH 是菱形；
H
G
（Ⅱ）求三棱锥 F ABH 的体积．
F E
D C
A
16．正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AB 边的中点，F 是 BC 边上一点，将△AED 及 DCF 折起(如下图)，使 A、C 点重合于 A’点．
A1
∴AC⊥BC 又∵AC⊥CC1，CC1∩BC=C
∴ 点 E 到 A1C 的距离
d
53
2
，有： S A1EC
1 2
A1C d
6
S A1EB
1 2
EB
A1 A 1 ，
又由VBA1EC VCA1EB ， 设点 B 到平面 A1EC 的距离为 h ，
则
1 3
S A1EC
h
1 3
S A1EB
CB
，有
6h 2，h
6 3
，
所以点
B 到平面 A1EC 的距离为
证明如下：
如图，取 BB1 的中点 F ，连 EF 、 FD 、 DE ，
∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点，
∴ EF AB1 ．
∵ AB1 平面 AB1C1 ， EF 平面 AB1C1 ，
∴ EF 平面 AB1C1 ．
------10 分
同理可证 FD 平面 AB1C1 ．∵ EF FD F ，
立体几何练习题
1．在直四棱住 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 2 ，底面是边长为1的正方形，E 、F 、 G 分别是棱 B1B 、 D1D 、 DA 的中点.
D1
(Ⅰ)求证：平面 AD1E // 平面 BGF ; (Ⅱ)求证： D1E 面 AEC .
A1
F
2．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为 AB 的中点． (1)求证： AC 平面BDD1 （2）求点 B 到平面 A1EC 的距离.
6
明理由. 6．已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的直观图和三视图如图所示，其主视图 BB1A1A 和侧视图 A1ACC1 均为矩形，其中 AA1=4。 俯视图ΔA1B1C1 中，B1C1=4，A1C1=3，A1B1=5，D 是 AB 的中点。
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面 CDB1；
计算得 AO= 2 ， EFB 的面积等于正方形 BCFE 的一半 2 ，
……………12 分
因此
VBDEF
12 3
2 2 3
2
……………14 分
5. 解：（Ⅰ）证明：连结 AC1 ， 侧棱 AA1 底面 ABC，
AA1 AB 又 AB AC .AB 平面 A1ACC1 .
又 CA1 平面 A1ACC1 ， AB CA1 . ………（3 分）
＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD︿BC （2）在直线 AC 上是否存在一点 E，使 ED 与面 BCD 成 30角？若存在确定 E 的位置；若不存在，说明理由。
A
B
立体几何参考答案
1. 证明:(Ⅰ) E, F 分别是棱 BB1, DD1 中点 BE // D1F且BE D1F 四边
D C
B
△
(1)证明：A’D EF； (2)当 BF= 1 BC 时，求三棱锥 A’一 EFD 的体积． 4
17、已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示， E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ABCD 的体积； (2) 是否不论点 E 在何位置，都有 BD AE ？证明你的结论； (3) 若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D AE B 的大小. P
（1）求证：PA//平面 EFG ； （2）求证： GC 平面PEF ；
（3）求三棱锥 P EFG 的体积．
10．如图 6，已知四棱锥 P ABCD中， PA⊥平面 ABCD， ABCD是直角梯形， AD// BC ， BAD=90º，
BC 2AD．
P
（1）求证： AB ⊥ PD；
（2）在线段 PB上是否存在一点 E ，使 AE //平面 PCD，
若存在，指出点 E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．
C
D
11.
如图(1),ABC是等腰直角三角形, AC BC 4,ACB 90, E, F分别是AC, AB的 中点, 将A E F折起, 使点A到达A位置, 且A在平面B CE F上的射影恰为点E, 如图(2). . (1) 求证EF AC; (2) 求点F到平面ABC的距离.
A
B
图6
C
B
E
F
图(1) A
A'
C
B
E
F
图
(2)
12．如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图 C 尺寸
如图 所示）。
（Ⅰ）求四棱锥 P ABCD 的体积； （Ⅱ）若 G为BC 上的动点，求证： AE PG 。
13．如图，四边形 ABCD为矩形， DA 平面 ABE , AE EB BC 2 ， BF 平面 ACE 于点 F ， 且点 F 在 CE 上. （Ⅰ）求证： AE BE ； （Ⅱ）求三棱锥 D AEC 的体积； （Ⅲ）设点 M 在线段 AB 上，且满足 AM 2MB ， 试在线段 CE 上确定一点 N ，使得 MN // 平面 DAE .
（3）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值。
7. 如 图 ， 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的 四 棱 锥 P ABCD 中 ， AB AC ， PA 面ABCD，点 E 是 PD的中点。
（Ⅰ）求证： AC PB（Ⅱ）求证： PB // 平面AEC
8． 如图，在四棱锥 P ABCD中，ABCD 是矩形，PA 平面ABCD，PA AD 1, AB 3 ， 点 F 是 PD
5.如图，在体积为 1 的三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC， AC AB， AC AA1 1，E 为线
段 AB 上的动点.
C1
C
A1
B1
A
E
B
（Ⅰ）求证：CCAA11 CC1E1P； （2）线段 AB 上是否存在一点 E，使四面体 E-AB1C1 的体积为 1 ？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说
∴平面 EFD 平面 AB1C1 ．∵ DE 平面 EFD ，∴ DE 平面 AB1C1 ． ------12 分
4. （1）证明：∵ BF ⊥平面 AEC ，而 AO 平面 SEC ∴ BF ⊥ AO ………2 分
∵ AE AB , AB AC ∴ AE AC ，而 BCFE 为菱形，则 O 为 EC 中点，
形 BED1F 为平行四边形 D1E // BF 又 D1E 平面AD1E, BF 平面AD1E BF // 平面 AD1E ……………3 分 又 G 是棱 DA 的中点GF // AD1 又 AD1 平面AD1E，GF 平面AD1E
D1
A1
F
D G A
C1 B1
E C
B
GF // 平面 AD1E ……………5 分
C
D F
19、如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为 a 的正三角形，且平面 PDC⊥底面
ABCD，E 为 PC 的中点。
（I）求异面直线 PA 与 DE 所成的角；
（II）求点 D 到面 PAB 的距离.
20．如图，在三棱锥 A－BCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD＝ 3 ，BD＝CD
的中点，点 E 在 CD 上移动。
Fra Baidu bibliotek（1）
求三棱锥 E PAB体积；
（2）
当点 E 为 CD 的中点时，试判断 EF 与
平面 PAC 的关系，并说明理由；
（3）
求证： PE AF
P
A B
F
D E C
9．如图所示，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ， PD AB 2 ， E ， F ，G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点．