武大管理运筹学讲义：运筹学简介及线性规划

29
采用图 解 法
(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立 直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一 点的坐标代表了决策变量的一组值，例1.3 的每个约束条件都代表一个半平面。
x2
X2≥0
x2
X1≥0
X1=0
X2=0
x1
x1
30
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等 式在坐标系中作直线，然后确定不等式 所决定的半平面。
6
课程内容
第一章 运筹学简介及线性规划 第二章 对偶理论和灵敏度分析 线性规划的进一步研究） （线性规划的进一步研究） 第三章 运输问题
7
第四章 整数规划 第六章 决策分析 第七章 存储论（EOQ，经济生产批量， 存储论（EOQ，经济生产批量， 经济订购批量折扣） 经济订购批量折扣） 第十章 网络计划技术 第十一章 目标规划 教材：龙子泉.管理运筹学. 教材：龙子泉.管理运筹学.武汉大学出版 .2002,12，2007年 月第5 社.2002,12，2007年6月第5次印刷
19
s .t .
1、标准型的几种不同的表示方式 标准型的几种不同的表示方式 1）和式
max z( x) = ∑c j x j
j =1 n
∑ a x = b , i j =1 ij j s.t. x j ≥ 0,
n
i = 1,2,⋯, m j = 1,2,⋯, n
20
2）向量式 ）
8
参考书目
1、韩伯棠.管理运筹学.北京：高等教育 出版社，2010 2、朱求长.运筹学及其应用.武汉大学出 版社.2006,7
9
参考网站
中国开放教育资源协会 http://www.core.org.cn/core/defa ult.aspx 兰州交通大学 管理运筹学 江西财经大学运筹学 北京理工大学管理运筹学 山东大学运筹学
5
： 四、运筹学的研究内容
运筹学的具体内容包括：规划论（ 运筹学的具体内容包括：规划论（包括线 性规划、非线性规划、 性规划、非线性规划、整数规划和动态规 ）、图论 决策论、对策论、排队论、 图论、 划）、图论、决策论、对策论、排队论、 存储论等 存储论等。本次课程讲授的主要和重点内 容包括： 容包括：
3
组织 联合航空 公司 法国国家 铁路 IBM
应用 满足乘客需求前提下, 满足乘客需求前提下,以最低成本 进行订票及安排机场工作班次
每年节支 美元） （美元） 600万 600万
1500万更多 制定最优铁路时刻表并调整铁路日 1500万更多 年收入 运营量 重组全球供应链， 7.5亿 重组全球供应链，保持最小库存的 7.5亿 同时满足客户需求 4000万 4000万
400 300 200 100 100 200 300 300
x1+x2=300
200 100
2x1+x2=400
2x1+x2≤400
100
200
300
x1+x2≤300
31
（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件 的公共部分，如P7图1-2所示。
x2
300 200 100 100 200 300
17
1.1.2 线性规划数学模型的一般表示方式
min( 或max) z( x) = c1x1 + c2 x2 + ⋯+ cn xn a11x1 + a12 x2 + ⋯+ a1n xn ≤ (=, ≥)b1 a x + a x + ⋯+ a x ≤ (=, ≥)b 22 2 2n n 2 21 1 s.t. ⋮ a x + a x + ⋯+ a x ≤ (=, ≥)b m2 2 mn n m m1 1 x1, x2 ,⋯, xn ≥ 0 z为目标函数 s.t.为约束条件 x1 , x2 ,⋯, xn为决策变量 n : 变量个数; m : 约束行数; n + m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数; b j : 右端项; aij : 技术系数 18
26
标准型： 标准型： max f(x)=-3x1+2x2-4x3´+4x3´´ +0x4 +0x5+0x6 s.t. 2x1+3x2 + 4x3´-4x3´´ x4 = 300, ´´x1+5x2 + 6x3´-6x3´´ + x5 = 400, x1+x2 + x3´-x3´´ +x6= 200, x1,x2, x3´,x3´´, x4 , x5 , x6 ≥0. ´´
荷马特发 优化商业区和办公楼销售程序 展公司
4
三、运筹学的研究对象
运筹学的研究对象是一个系统(如经济系统、 运筹学的研究对象是一个系统(如经济系统、 作战系统、工作系统等) 作战系统、工作系统等)的组织管理中可以定 量化的问题。 量化的问题。 方法：建立数学模型并求解； 方法：建立数学模型并求解； 目标： 目标：从各种可供选择的方案中找出一个最好 的或满意的方案， 的或满意的方案，以实现系统的某一或某些指 标整体最优化 研究成果：为各级管理(领导) 研究成果：为各级管理(领导)人员在作决策 时提供科学的依据。 时提供科学的依据。
1.1.3 线性规划数学模型的标准型
max z ( x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 a m1x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a 1n x n = b1 + ⋯ + a 2n xn = b2 ⋮ + ⋯ + a mn x n = b m x1 , x 2 ,⋯ , x n ≥ 0
11
1.1 什么是线性规划 （ Linear Programming) Lp的简单例子和模型 1.1.1 Lp的简单例子和模型
（1）数学模型
一个实际问题的数学模型， 一个实际问题的数学模型，是依据客 观规律， 观规律，对该问题中我们所关心的那些量 进行科学的分析后得出的反映这些量之间 本质联系的数学关系式。 本质联系的数学关系式。
10wk.baidu.com
线性规划简介
线性规划是运筹学的一个最基本的分支， 线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它 已成为帮助各级管理人员进行决策的一种十分重 要的工具． 要的工具．是一种目前最常用而又最为成功的定 性分析和定量分析相结合的管理优化技术。 性分析和定量分析相结合的管理优化技术。 管理工作中的大量优化问题可以用线性规划的 模型来表达；模型较为简单，容易建立， 模型来表达；模型较为简单，容易建立，容易学习 和掌握。求解方法采用成熟的单纯形法．目前， 和掌握。求解方法采用成熟的单纯形法．目前，用 单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现， 单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现，在 计算机上求解此类问题已十分容易
在例1.3（ 模型中中引入松弛变量s 在例1.3（P7)模型中中引入松弛变量s1 s2 s3模型化 1.3 为： Max z = 50x1 +100x2+0s1+0s2+0s3 s.t. x1 +x2+s1 = 300 2x1 +x2 +s2= 400 x2 +s3 = 250 x1,x2,s1 ,s2,s3≥0 可求解得其最优解为： 可求解得其最优解为： x1=50 x2= 250 s1 = 0 s2=50 s3 = 0 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ 50单位 250单位 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完 35 所有资源1 但资源2还剩余50 50。 所有资源1和3，但资源2还剩余50。
14
分别表示1 解：设由x1，x2 分别表示1，2型饼干每 设由x 天的生产量。 天的生产量。 Max s.t. z=5x1+4x2 3x1+5x2 ≤15, 2x1+x2≤5, 2x1+2x2≤11, x1,x2≥0.
max——maximize, s.t. maximize, s.t.——subject to15 max subject
27
1.2 线性规划问题的图解法 对于只有两个决策变量的线性规划 问题， 问题，可以在平面直角坐标系上作图表 示线性规划问题的有关概念，并求解。 示线性规划问题的有关概念，并求解。 如：P7例1.3
28
例1.3 Maxz = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2≤ 300 2 x1 + x2≤ 400 x2≤ 250 x1、 x2 ≥0
主讲：寇继虹
1
一、 运筹学起源与发展
运筹学的活动始于二次世界大战初期的 军事任务，成功地解决了许多重要作战问题， 军事任务，成功地解决了许多重要作战问题， 在战后工业恢复繁荣时转入工商企业和其它 部门， 50年代以后得到了广泛的应用 年代以后得到了广泛的应用。 部门，在50年代以后得到了广泛的应用。形 成了比较完备的一套理论， 规划论、 成了比较完备的一套理论，如规划论、存贮 决策论等等， 论、决策论等等，再加上电子计算机的问世 OR的实际应用提供了强有力的工具 的实际应用提供了强有力的工具， 为OR的实际应用提供了强有力的工具，由此 大大促进了运筹学的发展. 大大促进了运筹学的发展.
2
二 运筹学的应用
生产计划：最优生产计划的安排、 生产计划：最优生产计划的安排、日程表的编 合理下料、配料问题、物料管理等， 排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求 利润最大化和成本最小化 运输问题：确定最小成本的运输线路、 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的 调拨、 调拨、运输工具的调度 投资决策问题：项目选择、金融投资问题等。 投资决策问题：项目选择、金融投资问题等。 下页表显示了运筹学的一些实际应用成就： 下页表显示了运筹学的一些实际应用成就：
21
3）矩阵 ）
22
一般型变标准型的变换方法：
1.目标函数为 目标函数为min型时，价值系数 型时， 目标函数为 型时 一律反号。 一律反号。即令 z′(x) = -z(x) = CX
23
3.第 3.第i 个约束为 ≤ 型，在不等 式左边增加一个非负的变量xn+i ， 称为松弛变量（ 称为松弛变量（原有变量为构造 变量）； ）；同时令 变量）；同时令 cn+i = 0 4.第 4.第i 个约束为 ≥ 型，在不等式 左边减去一个非负的变量xn+i ，称 为剩余变量； 为剩余变量；同时令 cn+i = 0
x2=250
2x1+x2=400 x2=250
x2≤250
x1+x2=300
x2=0
x1=0 图1-2
x1
32
目标函数z=50x （4）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得 到一条直线， 到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函 数值，称之为“等值线” 平行移动等值线， 数值，称之为“等值线”。平行移动等值线，当移 动到B点时， 在可行域内实现了最大化。 动到B点时，z在可行域内实现了最大化。A，B，C， 是可行域的顶点， D，E是可行域的顶点，对有限个约束条件则其可行 域的顶点也是有限的。 域的顶点也是有限的。
12
例1.1-1 饼干生产问题
单位 时耗 产品 类型 一 二 现有工 时 15 5 11
13
资源 搅拌机/小时 搅拌机 小时 成形机/小时 成形机 小时 烘箱/小时 烘箱 小时
利润（百元 吨 利润（百元/吨）
3 2 2 5
5 1 2 4
如何制订生产计划， 问题 ：如何制订生产计划，才 能使资源利用充分并使厂方获最 大利润。 大利润。
24
4.若 无符号限制， 4.若xj 无符号限制，令 xj= xj′ xj″， xj′ ≥ 0，xj″ ≥ 0，代入非标 准型
25
例1
原非标准型 : min f ( x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 2x1 + 3x2 + 4x3 ≥ 300 x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 400 s.t. x1 + x2 + x3 ≤ 200 x3 ± 不限, x1 , x2 ≥ 0
Min s.t. Z=15x11+21x12+18x13+ 20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
例1.1-2 运输问题
B1 单台 (100) 运费 A1(200) 15 A2(150) 16 B2 (80) 21 25 B3 (90,120) 18 16
问题：如何调运才能即满足用户需要， 问题：如何调运才能即满足用户需要， 又使总运费最少？ 又使总运费最少？
16
设 xij 表示从 Ai 调到 Bj 的调拨 数
x2 B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E x1
A z=10000=50x1+100x2
图1-3
33
得到最优解： x1 = 50，x2=250 最优目标值z=27500 练习： 练习：P311. (1) (3)
34