武大管理运筹学讲义：运筹学简介及线性规划

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4.若 无符号限制， 4.若xj 无符号限制，令 xj= xj′ xj″， xj′ ≥ 0，xj″ ≥ 0，代入非标 准型
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例1
原非标准型 : min f ( x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 2x1 + 3x2 + 4x3 ≥ 300 x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 400 s.t. x1 + x2 + x3 ≤ 200 x3 ± 不限, x1 , x2 ≥ 0
1.1.3 线性规划数学模型的标准型
max z ( x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 a m1x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a 1n x n = b1 + ⋯ + a 2n xn = b2 ⋮ + ⋯ + a mn x n = b m x1 , x 2 ,⋯ , x n ≥ 0
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标准型： 标准型： max f(x)=-3x1+2x2-4x3´+4x3´´ +0x4 +0x5+0x6 s.t. 2x1+3x2 + 4x3´-4x3´´ x4 = 300, ´´x1+5x2 + 6x3´-6x3´´ + x5 = 400, x1+x2 + x3´-x3´´ +x6= 200, x1,x2, x3´,x3´´, x4 , x5 , x6 ≥0. ´´
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线性规划简介
线性规划是运筹学的一个最基本的分支， 线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它 已成为帮助各级管理人员进行决策的一种十分重 要的工具． 要的工具．是一种目前最常用而又最为成功的定 性分析和定量分析相结合的管理优化技术。 性分析和定量分析相结合的管理优化技术。 管理工作中的大量优化问题可以用线性规划的 模型来表达；模型较为简单，容易建立， 模型来表达；模型较为简单，容易建立，容易学习 和掌握。求解方法采用成熟的单纯形法．目前， 和掌握。求解方法采用成熟的单纯形法．目前，用 单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现， 单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现，在 计算机上求解此类问题已十分容易
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例1.1-1 饼干生产问题
单位 时耗 产品 类型 一 二 现有工 时 15 5 11
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资源 搅拌机/小时 搅拌机 小时 成形机/小时 成形机 小时 烘箱/小时 烘箱 小时
利润（百元 吨 利润（百元/吨）
3 2 2 5
5 1 2 4
如何制订生产计划， 问题 ：如何制订生产计划，才 能使资源利用充分并使厂方获最 大利润。 大利润。
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3）矩阵 ）
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一般型变标准型的变换方法：
1.目标函数为 目标函数为min型时，价值系数 型时， 目标函数为 型时 一律反号。 一律反号。即令 z′(x) = -z(x) = CX
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3.第 3.第i 个约束为 ≤ 型，在不等 式左边增加一个非负的变量xn+i ， 称为松弛变量（ 称为松弛变量（原有变量为构造 变量）； ）；同时令 变量）；同时令 cn+i = 0 4.第 4.第i 个约束为 ≥ 型，在不等式 左边减去一个非负的变量xn+i ，称 为剩余变量； 为剩余变量；同时令 cn+i = 0
x2=250
2x1+x2=400 x2=250
x2≤250
x1+x2=300
x2=0
x1=0 图1-2
x1
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目标函数z=50x （4）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得 到一条直线， 到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函 数值，称之为“等值线” 平行移动等值线， 数值，称之为“等值线”。平行移动等值线，当移 动到B点时， 在可行域内实现了最大化。 动到B点时，z在可行域内实现了最大化。A，B，C， 是可行域的顶点， D，E是可行域的顶点，对有限个约束条件则其可行 域的顶点也是有限的。 域的顶点也是有限的。
x2 B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E x1
A z=10000=50x1+100x2
图1-3
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得到最优解： x1 = 50，x2=250 最优目标值z=27500 练习： 练习：P311. (1) (3)
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例1.1-2 运输问题
B1 单台 (100) 运费 A1(200) 15 A2(150) 16 B2 (80) 21 25 B3 (90,120) 18 16
问题：如何调运才能即满足用户需要， 问题：如何调运才能即满足用户需要， 又使总运费最少？ 又使总运费最少？
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设 xij 表示从 Ai 调到 Bj 的调拨 数
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s .t .
1、标准型的几种不同的表示方式 标准型的几种不同的表示方式 1）和式
max z( x) = ∑c j x j
j =1 n
∑ a x = b , i j =1 ij j s.t. x j ≥ 0,
n
i = 1,2,⋯, m j = 1,2,⋯, n
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2）向量式 ）
Min s.t. Z=15x11+21x12+18x13+ 20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
在例1.3（ 模型中中引入松弛变量s 在例1.3（P7)模型中中引入松弛变量s1 s2 s3模型化 1.3 为： Max z = 50x1 +100x2+0s1+0s2+0s3 s.t. x1 +x2+s1 = 300 2x1 +x2 +s2= 400 x2 +s3 = 250 x1,x2,s1 ,s2,s3≥0 可求解得其最优解为： 可求解得其最优解为： x1=50 x2= 250 s1 = 0 s2=50 s3 = 0 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ 50单位 250单位 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完 35 所有资源1 但资源2还剩余50 50。 所有资源1和3，但资源2还剩余50。
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分别表示1 解：设由x1，x2 分别表示1，2型饼干每 设由x 天的生产量。 天的生产量。 Max s.t. z=5x1+4x2 3x1+5x2 ≤15, 2x1+x2≤5, 2x1+2x2≤11, x1,x2≥0.
max——maximize, s.t. maximize, s.t.——subject to15 max subject
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： 四、运筹学的研究内容
运筹学的具体内容包括：规划论（ 运筹学的具体内容包括：规划论（包括线 性规划、非线性规划、 性规划、非线性规划、整数规划和动态规 ）、图论 决策论、对策论、排队论、 图论、 划）、图论、决策论、对策论、排队论、 存储论等 存储论等。本次课程讲授的主要和重点内 容包括： 容包括：
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课程内容
第一章 运筹学简介及线性规划 第二章 对偶理论和灵敏度分析 线性规划的进一步研究） （线性规划的进一步研究） 第三章 运输问题
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第四章 整数规划 第六章 决策分析 第七章 存储论（EOQ，经济生产批量， 存储论（EOQ，经济生产批量， 经济订购批量折扣） 经济订购批量折扣） 第十章 网络计划技术 第十一章 目标规划 教材：龙子泉.管理运筹学. 教材：龙子泉.管理运筹学.武汉大学出版 .2002,12，2007年 月第5 社.2002,12，2007年6月第5次印刷
400 300 200 100 100 200 300 300
x1+x2=300
200 100
2x1+x2=400
2x1+x2≤400
100
200
300
x1+x2≤300
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（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件 的公共部分，如P7图1-2所示。
x2
300 200 100 100 200 300
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二 运筹学的应用
生产计划：最优生产计划的安排、 生产计划：最优生产计划的安排、日程表的编 合理下料、配料问题、物料管理等， 排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求 利润最大化和成本最小化 运输问题：确定最小成本的运输线路、 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的 调拨、 调拨、运输工具的调度 投资决策问题：项目选择、金融投资问题等。 投资决策问题：项目选择、金融投资问题等。 下页表显示了运筹学的一些实际应用成就： 下页表显示了运筹学的一些实际应用成就：
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1.2 线性规划问题的图解法 对于只有两个决策变量的线性规划 问题， 问题，可以在平面直角坐标系上作图表 示线性规划问题的有关概念，并求解。 示线性规划问题的有关概念，并求解。 如：P7例1.3
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例1.3 Maxz = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2≤ 300 2 x1 + x2≤ 400 x2≤ 250 x1、 x2 ≥0
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1.1.2 线性规划数学模型的一般表示方式
min( 或max) z( x) = c1x1 + c2 x2 + ⋯+ cn xn a11x1 + a12 x2 + ⋯+ a1n xn ≤ (=, ≥)b1 a x + a x + ⋯+ a x ≤ (=, ≥)b 22 2 2n n 2 21 1 s.t. ⋮ a x + a x + ⋯+ a x ≤ (=, ≥)b m2 2 mn n m m1 1 x1, x2 ,⋯, xn ≥ 0 z为目标函数 s.t.为约束条件 x1 , x2 ,⋯, xn为决策变量 n : 变量个数; m : 约束行数; n + m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数; b j : 右端项; aij : 技术系数 18