《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明
高中数学多面体与欧拉公式(教学设计)新人教版必修2
《多面体与欧拉公式》教学设计方案一．教学目标设计（1）认知目标：了解多面体的相关概念，在探究欧拉公式的过程中经历猜测、试验、分析试验结果、检验等活动。
（2）能力目标：通过学生对多面体的观察，使学生经历观察、猜想、验证、推理等数学活动过程，发展学生动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。
（3）情感目标：学生在自主探究、合作交流的学习过程中体验到数学活动充满着探索和创造。
使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学兴趣，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。
二．教材分析1．教学内容分析《多面体与欧拉公式》是高等教育出版社中职教材《数学》第二册第九章第四部分开篇，是高中新课程改革中的新增内容，目的是通过实际的操作活动发展学生的动手实践能力，激发学生学习兴趣；通过学生自主进行数学实验，培养学生主动探索新知的能力。
本节课通过引导学生动手，利用实际操作活动，让学生体会到多面体的面数、顶点及棱数之间的关系，培养学生体会“观察——猜想——验证”的数学活动过程，提高学生的观察、操作、推理、交流合作的能力。
2．教学重点与难点教学重难点：1.重点：多面体的概念的理解，欧拉公式及其应用。
解决办法：通过实物模型理解多面体的概念，努力弄懂欧拉公式的发现过程，搞清V、E、F的含义。
2.难点：多面体的概念，欧拉公式的发现过程，欧拉公式的应用。
解决办法：注意相互讨论，大胆探索。
学法引导：注意由特殊到一般、由具体到抽象的归纳猜想，注意复习平面图形中多边形的特点，向三维空间拓展让学生理解多面体的概念。
教学用具：实物模型，多媒体教学课件三．教学对象分析教学过程是师生互相交流的活动过程，教师起主导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。
中职学校的学生从认知的特点来看具有爱问好学、求知欲强，想象力丰富的特点，他们有一定的电脑操作及上网浏览、查询资料的能力，他们希望探索能力得到充分的展示和表现，因此，在学习方法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件及网络资源自主探索等方式，激发学习兴趣，让学生主动地学习。
多面体欧拉公式的发现教学设计
《多面体欧拉公式的发现》教学设计黄石三中吴娅内容提要本文是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计。
我设计的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。
在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。
欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己完成，要求学生用“自己”的头脑“亲自”获取知识，教师仅仅是教学活动中的组织者、参与者与合作者。
同时，学生研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。
作为一种现代化的教学手段，本次课多媒体教学有着神奇而独特的作用。
它可以运用图象、声音、颜色、技巧等多种方法把知识展现给学生，既具有直观、形象、生动的特点，又能调动学生的多种感官同时参与学习，便于学生理解知识，并能留下深刻印象，把教学内容制成动画，让学生亲自动手，使他们喜闻乐见，激发了学习兴趣。
正文：一、教学目标（一）认知目标简单多面体的顶点数、面数、棱数关系的发现，欧拉公式的猜想、证明及其应用。
（二）能力目标1．使学生能通过观察、验证具体多面体的顶点数、面数、棱数，从中寻找规律，归纳得出关于欧拉公式的猜想。
2．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质。
3．使学生了解欧拉公式的证明思路。
4．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力。
（三）情感目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对科学的热爱和对理想的追求。
2．通过多媒体展示获取知识的现象和过程，激发学生的求知欲望和探究精神。
3．让学生学会交流与合作，形成合作与分享的意识。
教学目标一览表二、课型：课题研究课三、教学重难点重点是欧拉公式的发现，难点是使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法。
四、教材分析本节课“多面体欧拉公式的发现”采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点。
高二数学最新教案-多面体欧拉公式的发现1 精品
多面体欧拉公式的发现教案●教学目标（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的发现.●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.●教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.●教具准备投影片三张第一张：课本P56的问题1及表1（记作§9.9.1 A）第二张：课本P57的问题2及表2（记作§9.9.1 B）第三张：课本P57的问题3及P58的问题4（记作§9.9.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.Ⅱ.讲授新课［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1（打出投影片§9.9.1 A）（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1）［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问）［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？［生］不一定.［师］请举例说明.［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.［师］此时棱的数目呢？［生］棱数都是一样的.［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.［师］举例说明.［生甲］如图中（1）和（2）的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8.［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的.［师］请试说说你归纳出来的规律.［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加.［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？（可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导）［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.［生］（积极验证，得出）V+F－E=2［师］以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.［生］（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n+（2+n）－3n=2,故满足V+F－E=2这个关系式.［师］请继续来观察一些其他图形的情况.（打出投影片§9.9.1 B）请同学们观察后，将所得数据填入表2中.（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？［生］（1）符合，（2）、（3）不符合.［师］一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？（打出投影片§9.9.1 C）［生］问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.［师］请同学们继续设想问题2中（2）（3）在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？［生］问题2中第（2）个图形；表面经过连续变形能变为环面.问题2中第（3）个图形；表面经过连续变形能变为两个对接球面.［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？（有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出）［生］简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F－E=2.［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）Ⅲ.课堂练习课本P练习1、2.611.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=9∵6+5－9=2，∴V+F－E=2在四棱锥中：V=5，F=5，E=8∵5+5－8=2，∴V+F－E=22.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有F=2V －4的关系.解：∵V+F－E=2又∵E =23F ，∴V +F －23F =0，∴F =2V －4 Ⅳ.课时小结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F －E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.Ⅴ.课后作业（一）课本P 61习题9.9 1、2（二）1.预习内容预习课本P 59的问题52.预习提纲（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.（2）如何用欧拉公式解决“有没有棱数是7的简单多面体？”（3）为什么正多面体只有五种呢？。
多面体欧拉公式的发现”教学设计
多面体欧拉公式的发现”教学设计“多面体欧拉公式的发现”教学设计一、研究性课题：多面体欧拉公式的发现二、教学目标：1、使学生经历欧拉公式的发现与证明的历程，体验公式发现与证明过程中体现的数学思维方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2、培养学生实验、观察、归纳及大胆猜想的能力和主动参与探究的学习意识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生善于发现、勇于探索的创新精神。
3、学会用计算机进行学习，能访问Internet，成功收集Internet上的相关资料，学会数学主题阅读；对所收集的资料进行分析整理、归纳，并制作电子讲稿或网页来与他人交流共享。
4、能与他人合作，加强协作学习的能力与团队意识、合作精神。
三、教材分析欧拉公式是高中二年级立体几何第9.10节中的研究性课题。
欧拉公式的探讨使学生更深刻理解多面体的性质。
本节内容是大学拓扑学领域内的知识，欧拉示性数刻划了多面体的不变性质。
同时本节内容的学习，对化学学科中分子结构的研究具有重要作用。
因此它具有承上启下、逐类旁通的作用，是不可多得的研究性学习课题之一。
四．教学设计原则：本设计以建构主义理论为指导，充分利用信息技术手段，进行基于资源、基于问题、基于研究、基于活动等方面的教与学，使学生在意义丰富的情景中主动建构知识。
本设计遵循《普通高中数学课程标准》的要求，注重信息技术与数学课程的整合。
本设计的基本原则是：①以学生为中心，设计让学生主动参与学习活动，自主探索，教师是学习的促进者，引导、帮助、监控和评价学生的学习过程。
②改变教师是唯一的“信息源”，充分利用各种信息资源、人力资源来支持学生。
③以“任务驱动”与“问题解决”作为学和研究活动的主体。
④强调“协作学习”。
五、教学时间：一周（两课时及一些课余时间）六、必备技能：Windows 98的操作、上网查阅资料的技能，PorwerPoint演示文稿的制作能力。
七、教学过程：1、准备工作分好若干小组，要求每个小组用纸和细棍（或火柴）等材料制作五种正多面体和一些棱柱、棱锥、棱台的模型。
多面体欧拉公式的发现
研究性课题：多面体欧拉公式的发现一、教学目标1、认知目标：了解简单多面体有关概念，探索多面体的欧拉公式。
2、能力目标：培养学生观察、归纳的能力3、情感目标：让学生学会合作、交流，体会学习和研究数学的方法。
4、创新素质：激发学生对体验式学习的兴趣，增强创新意识。
二、教材分析与处理1、重点: 探索公式，体验数学公式的发现过程。
2、难点: 欧拉公式的发现过程。
3、德育点: 实践出真知，激发学生对数学、对科学的热爱。
4、空白点: 课前让学生做模型，寻找有关欧拉事迹资料，课后反思小结，让学生回忆公式的探索过程。
5、创新点: 课前让学生做模型，课堂上让学生体验公式的发现过程。
三、教学内容9.9 多面体欧拉公式的发现简单多面体欧拉公式教学具选择：多媒体课件、自制多面体实物模型四、教学过程学生课前做多面体模型，寻找资料。
三人一组（创新点，合作学习）。
1、创设情境，提出目标，提供信息和条件（1）多媒体演示多面体实物，如金字塔、三棱镜，最后定格在图形C60上。
（创新点，学习背景化）（2）提供信息条件。
师：每个多面体由若干个顶点、棱和面构成，它们之间有没有关系？是什么样的规律？板书课题（创新点，利用设疑导课技术切入课题）（3）一名同学介绍欧拉的有关资料，其它同学进行补充（实施德育点，略停几秒钟，让学生回味，采用留白技术，以增加学生对数学史的了解）。
以下环节通过教师引导—提示—设疑；学生观察—归纳—猜想—再观察，借以突破难点，掌握重点。
2、学生研究探索师：数学家的探索过程是什么样的？（1）各组展示模型，初步观察、研究，填表见板书（一人记录、一人观察、一人检查）。
教师巡视，提示把结果记准确。
（2）用表格的形式展示实验结果。
（3）小组分析讨论，写出发现的规律。
（4）引导学生发表不同意见：有的图形不符合规律。
（5）把不符合规律的图形集中展示，观察讨论它们的共同点，捕捉学生思维的闪光点，并渗透拓扑变换思想。
师：大家想知道欧拉是怎样研究多面体的吗？观念上创新，把多面体的表面看成用橡皮薄膜制的，方法上创新，向它的内部充气，那么它就会连续（不破裂）变形，把平面变成曲面。
高二数学教案：多面体欧拉定理的发现(1)
多面体欧拉定理的发现（1）一、课题：多面体欧拉定理的发现（1） 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；2．掌握欧拉定理．三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程：（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体．说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2．填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：正多面体 顶点数V面数F 棱数E 正四面体 44 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：2F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=．（欧拉公式） 4．定理的证明：（方法一）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形 后都没有变。
因此，要研究V 、E 和F 的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．ABCDEA 'B 'C 'D 'E '对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。
例如去掉BC ，就减少一个面ABC ． 同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ． 由于1F E -、V 的值都不变，因此1V F E +- 的值也不变．（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少 一个顶点。
多面体欧拉定理的发现
高中新课标选修3－5《多面体欧拉定理的发现》教学设计温州中学黄振【教学背景】数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。
因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。
过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。
可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。
本节课试图在这一方面做一个尝试。
【教学目标】1.知识目标了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。
2.能力目标①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。
②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。
③发展学生的创新意识和创新能力。
3.情感目标①以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。
②体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】欧拉定理的发现和证明。
【教学难点】欧拉定理的证明。
【教学设计】一.创设情境，提出问题播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。
你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗?（设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。
）二.探究猜想，导入定理多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。
那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。
首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。
学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。
《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明
假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现一、教学目的1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。
2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象；3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力；4、让学生再次体验几何体的美；5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。
二、教学重点1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面；2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。
三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。
四、教学过程t教案设计说明本节课设计为“研究性学习课题”。
以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。
本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。
在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。
并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。
在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。
其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。
通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。
多面体欧拉定理的发现(1)教学设计
1《多面体欧拉定理的发现（1）》教学设计温州第51中学 谢尚鸽教学设计前记: 1.教学实践:前年我上过该课,发现该课有下面几个地方比较难处理.(1)引入课题时怎样更好地激发学生的求知欲及探索欲.(2)课堂上如何省时,准确地数出多面体的顶点数,面数与棱数.（3）怎样引导学生构造反例(4)如何自然地提出简单多面体地概念(5)如何更生动地介绍欧拉(6)如何构造平台，让学生自然地证明欧拉公式 (7)课堂上如何有效地促进学生参与(8)如何完整地展现 “发现—猜想—证明”的探索过程. 2.教育理论:美国著名心理学家布鲁纳针对传统的讲授式教学，提出了发现学习的基本模式。
其主要环节是：⑴创设问题情景⑵提出假设⑶检验假设针对以上教学实际中碰到的8个问题,再结合布鲁纳的发现学习理论,下面我谈谈《多面体欧拉定理的发现》第1课时的教学设计. 一.教学目标 (1)知识目标识记欧拉公式，了解公式的发现过程。
(2)能力目标① 培养学生动手、观察、发现、归纳、猜想、探索、解决数学问题的能力。
② 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力. ③ 培养学生的团结协作能力、创新意识和创新能力. （3）德育与美育目标① 以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。
② 通过数学家业绩的介绍，培养学生学习数学大师严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神,从而促进学生非智力因素的发展.③ 体验数学的简洁美（2=-+E F V ）和对称美，激发学生学习数学的兴趣。
二.教学的重点与难点重点是组织全体学生积极地参与多面体欧拉公式的发现。
难点是欧拉公式的证明 三．教学过程 课前准备:课前先把学生分成8个学习小组，确定组长，负责组织讨论及收集数据.上课时把有关多面体顶点数,棱数,面数的数据统计表发给每位同学,同时发给每组一个足球。
1.创设情境:让学生观察足球,提问足球表面有哪些图形?你们知道足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。
“多面体欧拉定理的发现”教学活动设计
“多面体欧拉定理的发现”教学活动设计作者：王怀昌来源：《信息技术教育》2006年第09期背景材料介绍背景：北京时间6月9日22点30分，2006年德国世界杯的开幕式在慕尼黑的安联体育场拉开序幕，随着德国总统克勒宣布大赛开幕，万众瞩目的世界杯大赛正式开始。
首场揭幕战6月10日零点，德国VS哥斯达黎加，比赛地点是慕尼黑。
问题提出足球虽然是球体，但实际是由正五边形、正六边形橡胶粘合成的多面体加工而成。
试问：正五边形、正六边形橡皮各有多少块呢？观察每个小组发一个足球，让学生进行观察。
各个小组仔细观察足球的构造，回答上述问题。
结论：(1)每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮。
(2)每两个相邻的多边形恰有一条公共的边。
(3)每个顶点处都有三块橡皮，而且都遵循一个正五边形、两个正六边形。
(4)共32个面，更进一步可以得到60个顶点，90条棱……思考仅有上面1～3的信息，能不能求出来足球共有多少个面？这个问题，希望通过本节课的学习之后，你能够进行回答。
打开互动程序——多面体/check.do?func=1&moduleID=87。
多面体欧拉公式的发现实验探索，归纳猜想运行“多面体”互动程序（/check.do?func=1&moduleID=87），通过拖动鼠标可以旋转多面体，以便从不同角度观察多面体，通过三维模型直观性更强。
如图1所示。
学生分小组进行观察、讨论、总结，然后表述各自的观点，最后共同总结出下述的结论。
发现规律以小组为单位对上面的表格进行讨论，研究各个数值的关系。
结果：V+F-E=2。
引申问题图２图３图２是带洞的多面体，图３是两个顶部相连的四面体，这时前面的结论还成立吗？引导学生讨论，引出前面结论的限制条件。
教师说明：上面的反例都不能被看成是“真正的”多面体，因为一个真正的多面体应当是无空穴的、无重叠的。
归纳简单多面体的定义：连续变形中表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体。
欧拉公式：对任何简单的多面体，V+F-E=2成立。
多面体欧拉定理的发现教学设计-周南中学
《多面体欧拉定理的发现》教学设计长沙市周南中学任元奇新课程倡导教师对学生最重要的价值引导就是“会做数学”比“会说数学”更重要，课堂始终以“做数学”为主旋律，教师不断地创设有意义的问题情境或教学活动，激励学生在解决问题中学习。
与传统数学相比，现代数学的巨大变化还表现在，通过观察作出猜想、建立模型、然后进行修改调整，成为现代数学家以及应用数学家、工程技术人员的基本思维。
那么，当今的数学课堂教学应尽可能让学生参与实验、合情推理、模型模拟、矫正与调控、逐步优化等一系列科学活动过程。
基于上述理解，笔者在“多面体欧拉定理的发现”教学中，设计了以下几个环节，愿与大家探讨。
一、教学过程设计〖1〗问题情境在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；若进一步考虑多边形在空间的类似：多面体；我们需揭示哪些元素的关系呢？注：此环节意在让学生体验从二维到三维的类比推广，把问题引向未研究过的更广阔的领域，引伸出不平凡的、有价值的命题。
〖2〗尝试猜想师生简要交流从特殊到一般的探究“规律”的方案后，开展以下的系列活动：活动一：学生分组探索规律通过学生画具体的多面体，数多面体的顶点数V、面数F、棱数E，列出表格，寻找变化“规律”。
活动二：师生交流、整理归纳在汇总的各个方案中，教师宜从一些不成立的猜想着手，引导学生找出问题所在，在逐步矫正中，培养学生“合理”的猜想。
我在各组的反馈的材料中，先选择了其中一组，这一组同学对四面体、三棱锥和长方体（如图）的情况进行了如下统计：四面体：F=4，V=4，E=6；三棱柱：F=5，V=6，E=9；平行六面体：F=6，V=8，E=12。
则猜想得出：面数增加，顶点数和棱数也增加。
当这一问题呈现在学生面前时，另一组的同学马上进行了纠正，出示以下图表：(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)增加，顶点数反而减少，而棱数未变。
并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱却减少，也是它的反例，同时指出：V与E同增减的结论也不对；根据这两组同学的交流，此时教师应适当进行引导，为此，我设置了以下针对性的问题：问题1：你能从增减性的角度揭示三个元素的关系吗？经过思考后，有同学发表了自己的看法：对比立方体与八面体时，发现E未变，但F 与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。
多面体欧拉定理的发现
验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子， 它的结构为简单多面 体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条 棱，面的 形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少 个五边形和六 边形吗？
多面体欧拉公式的发现
《多面体欧拉公式的发现》教学设计广西柳城县实验中学梁卷明设计指导思想：本课内容是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计片段。
我设计的指导思想是以“新课程标准”、“人本主义心理学”和“问题探究教学模式”。
在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。
欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己去思考，要求学生在研究的过程也是体验数学大师数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。
作为一种现代化的教学手段，本次课利用玲珑3D几何画板引导学生探究欧拉定理，激发学习兴趣。
教学过程：1.介绍数学家欧拉：数学家欧拉：瑞士著名的数学家欧拉,16岁获硕士学位，是数学史上的最多产的数学家,他毕生从事数学研究,他的论著几乎涉及18世纪所以的数学分支.比如在初等数学中，欧拉首先把符号正规化，如 f(x)表示函数，i表示虚数单位，e表示自然对数的底，a.b.c表示三角形的三边等。
数学中有欧拉公式,欧拉方程.欧拉常数,欧拉方法.欧拉猜想等.欧拉晚年不幸双目失明，在失明后的17年里，他还口述了几本书和约400篇论文．正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
2.提出问题：本节课我们研究多面体的顶点数、面数、棱数三者有什么关系？3.引导学生探究欧拉公式：（1）打开玲珑3D几何画板，画一个任意四面体，提问学生：四面体的顶点数、面数、棱数各是多少？并填入表格的相应位置：（2）利用玲珑3D几何画板切割所画的任意四面体的一个顶点，即得五面体，引导学生探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（3）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意五面体的一个顶点，即得六面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（4）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意六面体的一个顶点，即得七面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（5）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意七面体的一个顶点，即得八面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？由（2）、（3）、（4）、（5）引导学生发现：增加的顶点数+增加的面数=增加的棱数；再结合(1)可猜想：V+F-E=2 ，（6）让学生自主探究，验证猜想；（7）得出：欧拉公式：多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2 。
多面体欧拉公式的发现(2)
【课 题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（2）【教学目标】要求掌握用欧拉公式解决实际问题，特别是用来证明正多面体有且只有五种这一结论。
【教学重点】欧拉公式的应用.【教学难点】【教学过程】一、 复习引入1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=．二、 讲解新课【例1】 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。
证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nF E = （1） 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mV E =（2） 由（1）（2）得：2E F n =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n+-=． ∴11112m n E +-= （3）， ∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，否则，若3m >，3n >，则有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的。
∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，则1111032m E +-=>，∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤． 同样若3m =可得35n ≤≤．【例2】 欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家60是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y ）－21（3×60）=2 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）=21（3×60） 由以上两方程可解得：x =12,y =20答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.【例3】 一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数解：由题意设每一个面的边数为m ,则(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+, 将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n , 则62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m +=（1）, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或4n =时（1）中m 无整数解；当5n =,由（1）得3m =,∴30E =, ∴20F =，综上可知:30E =，12V =，20F =.【例4】 有没有棱数是7的简单多面体？具体说明理由。
《多面体欧拉公式的发现》教学设计
⑶列方程时除了欧拉公式，还应注意提问之中的两个等式。
例3，（见课本P59，问题5（2））
四、巩固练习：1、课本P6习4。
2、求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，而以面数为偶数。
五、小结：前面我们学习了一个研究性课题：欧拉公式的发现，我们从中应学到：
教学方法：指导自学法
教学过程：一、旧知回顾
1、什么叫做多面体。
2、多面体通常如何分类？多面体至少有几个面？
3、什么叫做正多面体？正多面体有几种？
二、新课引入：下面我们对多面体的顶点数V,面数F和棱数E的关系进行研究，请大家注意研究的过程。
三、新课讲授
问题1：课本P56图9-82中有5个多面体，分别数出它们的顶点数V,面数F和棱数E，并填表1：
六、作业：P61，2。
高一数学：9.9.2研究性课题：多面体欧拉公式的发现
执笔人：郭炜2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100）
个人备课笔录
课题：9.9.2研究性课题：多面体欧拉公式的发现
教学目标：1、进一步认识理解欧拉公式；
2、掌握多面体欧拉公式并能灵活运用。
教学重点：欧拉公式的应用
高一数学：9.9.1研究性课题：多面体欧拉公式的发现
执笔人：郭炜2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100）
个人备课笔录
课题：9.9.1研究性课题：多面体欧拉公式的发现
教学目标：1、通过一些具体多பைடு நூலகம்体研究V、F、E的关系；
2、对欧拉公式进行证明。
教学重点：欧拉公式的发现
教学难点：研究方法
1、发现欧拉公式的过程，观察——猜想——证明——应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
假如我是欧拉……
——多面体欧拉定理的发现
一、教学目的
1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。
2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象；
3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力；
4、让学生再次体验几何体的美；
5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。
二、教学重点
1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面；
2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。
三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。
四、教学过程
t
教案设计说明
本节课设计为“研究性学习课题”。
以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。
本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。
在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。
并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。
在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。
其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。
通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。
最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。