第4章 方差分析

0.24
1.57 0.314
1.35
6.81 0.454
X
j 1
3.07
ij
( X ij )
Xi
0.614
(X )
2 ( X ij )
X
j 1
n
2 ij
2.0207 1.0587 0.5451 3.6245
分析变异
总变异: 组间变异（因素一的变异）: 误差（组内）变异（随机误差）: 配伍间变异（因素二的变异）:
三、统计量F 的计算及其意义
F=MS组间/MS组内
自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求出 对应的P值，与进行比较，以确定是否为小 概率事件。
第二节 完全随机设计的方差分析
(单因素方差分析)
何谓完全随机设计
是一种将研究对象随机地分配到处理因 素各水平组的单因素设计方法,其研究目的是 推断处理因素不同水平下的试验结果的差异 是否有统计学意义,即该处理因素是否对试验 结果有本质影响.
组间 4 1 3
SS组内 82.10 32.16 49.94, 组内 120 4 116
MS 组间 32.16 49.94 10.72 10.72, MS 组内 0.43, F 24.93 3 116 0.43
方差分析表见表4-5。 按 0.05 水准, 1 =3, 2=116 查附表3的F界值表,得
各种符号的意义
Xij第i 个组的第j 个观察值 I=1,2,…g J=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N
数据结构
处理因素的分组水平 水平 1 X11 X12 … X1n1 ni n1 水平 1 X21 X22 … X2n2 n2 … … … … … … 水平 k Xk1 Xk2 … Xknk nk
SS总-SS处理-SS区组
n g
n
SS处理
处理
MS处理 MS误差 MS区组 MS误差
组间 组内
自由度 119
3 116
SS 82.10
32.16 49.94
MS
F
P
10.72 0.43
24.93
<0.01
表4-4 完全随机设计资料的方差分析表
变异来源 自由度 总变异 N-1
g ni
SS
2 X ij C i 1 j 1
ni g
MS
F
P
组间
g-1

i 1
( X ij ) 2
、均方MS和F值。 按表4-8中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 C=6.812/15=3.0917 SS总=3.6245-3.0917=0.5328, 总 =15-1=14 1 SS 处理 (3.07 2 2.17 2 1.57 2 ) 3.0917 0.2280 5
三者之间的关系 • SS总= SS组内+ SS组间 • 总= 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
H 0：1 2 3 4
，即4个试验组的整体均数相等
H1： 4个试验组的整体均数不全相等
按表4-4中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 、均方MS和F值。 X ij =102.91+81.46+80.94+58.99=324.30 2 X ij =367.85+233.00+225.54+132.13=958.52
k
合计
n ni
i 1
Байду номын сангаасXi
X1
X2
…
Xk
1 k ni X X ij n i 1 j1
1 k ni 2 S X X ij n 1 i 1 j1
2
S i2
2 S1
S2 2
…
S2 k
各种变异（SS）的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
j 1
SS组间
C
组内
N-g
ni SS总-SS组间
组间
SS组内
MS组间 MS组内
组内
均方（MS)之比的意义
在满足下列条件下： 1）各处理组所代表的总体服从正态分布； 2）各处理组所代表的总体相互独立； 3）各处理组所代表的总体方差齐性； 4）各处理组所代表的总体均数相等。
F分布及其上侧F界值
表4-9 三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量(g)
区组 1 2 3 4 A药 0.82 0.73 0.43 0.41 B药 0.65 0.54 0.34 0.21 C药 0.51 0.23 0.28 0.31
X
i 1
g
ij
1.98 1.50 1.05 0.93
5
0.68
n
0.43
2.17 0.434
表4-6 15只小白鼠分5个区组的随机区组设计分配结果
区组号
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3 1
4 2 3 1
5 2 3
小白鼠
随机数
68 35 26 3 2 1
00 99 53 1 3 2
93 61 28 3 2 1
52 70 05 2 3 1
48 34 56 2 1 3
序号
分配结果
丙 乙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 甲
第一节
方差分析的基本概念
一、方差分析的几个名词

什么是方差？ 离均差 离均差平方和SS 方差（2 S2 ）均方（MS） 标准差：S 自由度： 关系： MS= SS/
二、方差分析的基本思想
原始数据对于总均数的离差平方和可分解 成几个部分，每一部分代表一种变异的来源， 自由度也可得到相应的分解。通过对不同来 源变差的均方的比较，以判断某种变异原因 的存在与否。
F0.01,(3,116) 3.98 ， 24.93 F0.01,(3,116) , P 0.01
结论:按 0.05水准,拒绝H0,接受H1,认为4个处理组患者的低密度脂 蛋白总体均数不全相等,即不同剂量药物对血脂中低密度脂蛋白降低有 影响.
表4-5 例4-2的方差分析表
变异来源 总变异
统计量F 的计算
F1=MS组间/MS组内 F2=MS区间/MS组内 自由度： 组间=组数-1=3-1=2 区间=区数-1=8-1=7 组内=（组数-1）（区数-1）=14
都是和随机误差进行比较。
H0 ： 1 2 3 即三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数相等 H1：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等 0.05
第四章 多个样本均数比较的方差分析
主要内容


第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
方差分析的基本概念 完全随机设计的方差分析 随机区组设计的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 两阶段交叉设计资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较 多样本方差齐性检验
3
2015/9/26
例4-3 如何按随机区组设计,分配5个区组的15只 小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？
方法为先将小白鼠的体重从轻到重编号，体重相近 的3只小白鼠配成一个区组，见表4-6。然后在随机数 字表（附表15）中任选一行一列开始的2位数作为1个 随机数，如从第8行第3列开始纪录，见表4-6；在每个 区组内将随机数按大小排序，各区组中内序号为1的接 受甲药，序号为2的接受乙药，序号为3的接受丙药， 分配结果见表4-6。
表4-2 120名患者等分为4组的完全随机设计分组结果
编号 随机数
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
．．．
１１９
１２０
２６０
８７３
３７３
２０４
０５６
９３０
１６０
９０５
８８６
９５８
．．．
２２０
６３４
序号
２４
１０６
３９
１５
３
１１４
１３
１０９
１０８
１１７
．．．
１６
７５
分组结果
甲
丁
乙
甲
甲
丁
甲
丁
丁
丁
．． ．
甲
丙

例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的临床 疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者， 采用完全随机设计方法将患者等分为4组（具 体分组方法见例4-1），进行双盲试验。6周后 测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问 4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数 有无差别？
处理 3 1 2
1 SS区组 (1.98 2 1.50 2 1.05 2 0.93 2 1.35 2 ) 3.0917 0.2284 3
区组 5 1 4
SS误差 0.5328 0.2280 0.2284 0.0764 误差 (5 1)(3 1) 8
C=(324.30)2/120=876.42 SS总=958.52-876.42=82.10, 总 =120-1=119
(102.91) 2 (81.46) 2 (80.94) 2 (58.99) 2 SS组间 876.42 32.16 30 30 30 30
0.05
f(F)
v1=vA，v2=ve

F(v1,v2)
第三节 随机区组设计资料的方差分析
也叫 配伍组设计的多个样本均数的比较 （双因素方差分析）
应用分层的思想，事先将全部受试对象按某种或
某些特性分为若干个区组，区组内的试验对象均衡，
区组之间试验对象具有较大的差异，这样利用区组控制
非处理因素的影响，并在方差分析时将区组间的变异从 组内变异中分解出来。当区组间差别有统计学意义时， 这种设计的误差比完全随机设计小，试验效率得以提高。 是配对（两个组）资料的扩充（两个以上组）。
方差分析表见表4 10。
表4-8 随机区组设计资料的方差分析表
变异来 源
总变异
自由度
N-1
g n
SS
2 X ij C i 1 j 1
g
MS
F
P
处理间
g-1
1 2 ( X ) C ij n i 1 j 1 1 ( X ij ) 2 C g j 1 i 1
表4-3 4个处理组低密度脂蛋白测量值（mmol/L）
分组 测
3.53 3.30 1.37 4.59 4.04 3.93 4.34 3.53 2.33 2.66 3.56 2.98
量
3.59 3.85 4.00 3.13 4.07 3.55 2.64 3.52 2.96 2.56 3.93 4.3 3.50 4.19 4.16
乙 丙 甲
乙 甲 丙

例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个 区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗 癌药物（具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重 量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同药物 的抑瘤效果有无差别？
新
4.32 2.86 2.52 2.39 2.61 2.41 1.08 2.16 1.88
药
2.34 2.93 2.27 2.28 3.64 2.66 1.27 3.37 1.41 2.68 2.17 2.98 2.48 2.58 3.29 1.63 2.97 3.19 2.95 2.72 3.72 2.28 3.65 2.70 1.89 1.69 1.92 1.56 2.65 2.80 3.21 2.66 3.04 1.19 0.94 2.47 3.11 2.22 3.57 2.23 3.68 2.81 2.17 2.11 1.02 1.81 2.90 4.02 2.32 2.65 1.97 2.28 2.81 2.10 1.77 2.97 2.31 2.68 3.02 1.68 1.72 2.52 3.71 30 1.97 58.99 132.13 30 2.70 80.94 225.54 30 2.72 81.46 233.00
例4-1 某医师为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统 一纳入标准选择120名患者，采用完全随机设计方法将患 者等分为4组进行双盲试验。问如何进行分组？ 分组方法：先将120名高血脂患者从1开始到120编号，见表 4-2第一行；从随机数字表中的任一行任一列开始，如第5行 第7列开始，依次读取三位数作为一个随机数录于编号下见表 4-2第二行；然后将全部随机数从小到大编序号（数据相同的 按先后顺序编序号），将每个随机数对应的序号记在表4-2第 三行；规定序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号61-90 为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。
值
3.25 2.96 2.59
统
n
计
量
安 慰剂 组
Xi
3.43
X
102.91
X
2
30
367.85
降
2.4 g 组 4.8 g 组 7.2 g 组
血
2.42 1.98 2.36 2.86 2.66 3.48 0.89 1.98 1.31
脂
3.36 2.63 2.56 2.28 2.32 2.42 1.06 1.74 2.51