一元二次方程整数根问题的几种思维策略

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【最新整理，下载后即可编辑】一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名__________ 1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

解：∵方程2440mx x -+=有整数根， ∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴22164(445)0m m m =---≥ 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1∴x 可取的整数值是-1，0，1 当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。

解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数） ∴22(2)8m k +-= 即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=- 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+即12241,142x x k k =--=----由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++两式相减，得1224211x x -=++ 即12(3)2x x +=- 由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。

一元二次方程的整数根问题--数不清

设(5p－132)2－17 404＝n2(n＞0，n为自然数).移项分解可得
(5p－132＋n)(5p－132－n)
＝22×19×229. 又(5p－132＋n)，(5p－132－n)同奇偶，所以，
解得p＝76.
注：从表面上看，此题中的p是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.
各位博友，请留下您的足迹，让我不断学习、成长！数不清谢谢您！
听课+开课+反思=成长!
态度决定一切！
一元二次方程的整数根问题
数不清
[ 2011-3-5 22:15:00 | By: 数不清 ]
一元二次方程的整数根问题
1
推荐迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.
例4
设m为整数，且4＜m＜40，又方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8
＝0有两个整数根.求m的值及方程的根.
(1993,天津市初中数学竞赛)
分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，故例1，例2的方法均不可用 .
广 Re:期末宣誓词 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:我心目中的好老师(29号的家长 Re:真情献给党 Re:我心目中的好老师(29号的家长 Re:真情献给党 Re:信封?关爱?感悟
有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式
△ ＝232＋36(n2＋2n＋2)
＝36(n＋1)2＋565.

一元二次方程结题12种思路

初三数学一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一. 利用判别式例1.（黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥V 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m ≠0 ∴ m=1例2．（四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。

解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m =－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-V 一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

二. 利用求根公式例3．（全国联赛题）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-V 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略邹振兴　(江苏省兴化市城西中学　225700) 含有字母系数的一元二次方程整数根问题,一般要求待定字母值或整数根.这类问题涉及的知识面广,其解法灵活多样,技巧性强,需要有较强的综合分析问题的能力,是近几年各地数学竞赛及中考的热门问题.本文试图在已有常用解法的基础上,再作新的探索,并归纳出这类问题的思考策略.1　利用判别式例1　当m是什么整数时,关于x的一元二次方程m x2-4x+4=0与x2-4m x+ 4m2-4m-5=0的根都是整数.(2000年黑龙江省中考试题)解　∵方程m x2-4x+4=0有整数根,∴∃=16-16m≥0,得m≤1.∵方程x2-4m x+4m2-4m-5=0有整数根,∴∃=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,得m ≥-54.综上有-54≤m≤1.∴m可取的整数值为-1,0,1.将此三个数分别代入原方程,可知:当m =1时,已知的两方程的根都是整数.例2　已知方程x2+m x-m+1=0有两个不相等的正整数根,求m的值.(1996年四川省初中数学竞赛题)解　设原方程的两个正整数根为x1, x2,则m=-(x1+x2)为负整数.∴原方程为整系数一元二次方程,它有整数根,从而判别式∃=m2+4m-4一定是完全平方数.设m2+4m-4=k2(k为正整数),∴(m+2)2-k2=8,即(m+2+k)(m+2-k)=8.注意到m+2+k>m+2-k,且这两式同奇偶性,可得m+2+k=4,m+2-k=2或m+2+k=-2,m+2-k=-4.解得m=1>0(舍去)或m=-5.当m=-5时,原方程为x2-5x+6=0,两根分别为x1=2,x2=3.2　利用求根公式例3　设关于x的二次方程(k2-6k+ 8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值.(2000年全国初中数学联赛试题)解　∃=(2k2-6k-4)2-4(k2-4)(k2-6k+8)=4(k-6)2,由求根公式可得x=-2k2+6k+4±2(k-6)2(k2-6k+8).即x1=-1-2k-4,x2=-1-4k-2.由于x≠-1,则有k-4=-2x1+1　①,k-2=-4x2+1　②.②-①得:2x1+1-4x2+1=2.即x1(x2+3)=-2.由于x1,x2是整数,故可求得x1=2,x2 =-4;或x1=-2,x2=-2;或x1=1,x2= -5.分别代入①,②并检验可得k=103,6,3. 3　利用方程根的定义例4　b为何值时,方程x2-bx-2=0和x2-2x-b(b-1)=0有相同的整数根?并且求出它们的整数根.(1992年四川省初中数学竞赛试题)解　设相同的整数根为Α,由根的定义,它们适合于两方程,有Α2-bΑ-2=Α2-2Α-b(b-1),整理得(2-b)Α=(2-b)(1+b).当b≠2时,Α=1+b,代入第一个方程得(1+b)2-b(1+b)-2=0,解得b=1,Α=2;・43・中学数学月刊 2001年第12期当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根为2.4　利用因式分解例5　已知关于x的方程(a-1)x2+2x -a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有个.(2000年全国初中数学竞赛试题)解　当a=1时,x=1.当a≠1时,原方程左边因式分解得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0,即得x1=1,x2=-1+21-a.∵x是整数,∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3.由上可知符合条件的整数a有5个.例6　当m是什么整数时,关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数?(1994年福州市初中数学竞赛试题)解　设方程的两整数根分别是x1,x2,由韦达定理得x1+x2=m-1　①,x1x2=m +1　②,②-①消去m,可得x1x2-x1-x2 =2.∴(x1-1)(x2-1)=3=1×3=(-1)×(-3).则有x1-1=1,x2-1=3,即x1=2,x2=4;或x1-1=-1,x2-1=-3,即x1=0,x2=-2.由此x1・x2=8或0,分别代入②得:m=7或m=-1.∴当m=7或-1时,原方程两根都是整数. 5　利用根与系数的关系例7　求所有正实数a,使得方程x2-ax +4a=0仅有整数根.(1998年全国初中数学联赛试题)解　设方程两整数根为x1,x2,且x1≤x2,由根与系数关系得x1+x2=a>0　①,x1x2=4a>0　②.由①得　a2≤x2≤a　③.将③代入②得4a=x1x2≤x1a;4a=x1x2≥x1・a2,∴4≤x1≤8.显然x1≠4,故x1可取5,6,7,8,依次代入原方程可得a1=x21x1-4=25,x2=20;a2=x21x1-4=18,x2=12;a3=x21x1-4=493不是整数;a4=x21x1-4=16,x2=8.∴a取25或18或16.6　构造新方程例8　方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整数根,求a的值.(1996年全国初中数学联赛试题)解　原方程变为(x-8)2+(8-a)(x-8)-1=0.设y=x-8,则得新方程为y2+(8-a)y-1=0.设它的两根为y1,y2,则y1+y2=a-8,y1y2=-1.∵x是整数,∴y1,y2也是整数,则y1,y2只能分别为1,-1或-1,1,即y1+y2=0,∴a=8.7　构造等式例9　求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.(2000年全国初中数学联赛试题C卷)解　设三个方程的正整数解分别为x1与x2,x3与x4,x5与x6,则有x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2);x2-3bx+2c=(x-x3)(x-x4);x2-3cx+2a=(x-x5)(x-x6).令x=1并将三式相加,注意到x i≥1(i=1,2,…,6),有3-(a+b+c)=(1-x1)(1-x2)+(1-x3)(1-x4)+(1-x5)(1-x6)・53・2001年第12期中学数学月刊 ≥0+0+0=0,但a≥1,b≥1,c≥1,又有3-(a+b+c)≤0,∴3-(a+b+c)=0.故a=b=c=1.8　分析等式例10　n为正整数,方程x2-(3+ 1)x+3n-6=0有一个整数根,则n=.(1993年安徽省初中数学竞赛试题)解　不妨设已知方程的整数根为Α,则Α2-(3+1)Α+3n-6=0,整理得Α2-Α-6=3(Α-n).因为Α为整数,所以Α2-Α-6为整数, 3(Α-n)也一定为整数,要使3(Α-n)为整数,必有Α=n,由此得Α2-Α-6=0,即n2-n-6=0.解得n=3或-2(舍去).∴n=3.9　反客为主例11　求出所有正整数a,使方程ax2+ 2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解.(第三届《祖冲之杯》初中数学竞赛试题)解　由原方程知x≠2,不妨反客为主,将原方程整理成关于a的一元一次方程(x2+4x+4)a=2x+12,得a=2x+12(x+2)2≥1(因a是正整数).则得(x+4)(x-2)≤0,解得-4≤x≤2.因此,x只能取-4,-3,-1,0,1,2.将这六个值分别代入a的表达式得x=-4, a=1;　x=-3,a=6;x=-1, a=10;　x=0,a=3;x=1,a=149;x=2,a=1.故所求a的正整数值是1,3,6,10.10　利用配方法例12　已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根,则整数a 的值是.(第四届《祖冲之杯》初中数学竞赛试题)解　原方程可变为a2x2-10ax-x2-2x+24=0,即a2x2-10ax+25=x2+2x+1,亦即(ax-5)2=(x+1)2.∴ax-5=±(x+1),得x1=6a-1,x2=4a+1　(a≠±1).当a-1=-1,-2,-3,-6,即a=0, -1,-2,-5时,x1为负整数.但a=0时,x2>0;a=-5时,x1=x2=-1,又a≠-1,∴a=-2.11　利用奇偶分析例13　已知方程x2-1999x+a=0有两个质数根,则常数a=.(1999年江苏省第十四届初中数学竞赛试题)解　设方程的两个质数根为x1,x2(x1< x2).由根与系数关系得:x1+x2=1999,故x1,x2不可能均为奇数,其中必有一个偶数,而2是唯一的偶质数,于是x1=2,x2=1997 (也是质数),所以a=p q=2×1997=3994. 12　利用反证法例14　不解方程,证明方程x2-1997x +1997=0无整数根.证明　假设方程有两个整数根Α,Β,则Α+Β=1997,ΑΒ=1997,由第二式知Α,Β均为奇数,于是Α+Β为偶数,但这与第一式相矛盾,所以Α,Β不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则Α+Β不可能是整数,也与第一式矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.综上可知,原方程无整数根.・63・中学数学月刊 2001年第12期。

一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。

解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。

而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。

2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。

2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

一元二次方程整数根问题的解法技巧

6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、利用一元二次方程根与系数的关系求解
・94・重庆
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期)
一元二次方程整数根问题的解法技巧
( 云南省曲靖市会泽县大井镇一中 654222) 朱家海
在近些年来的初中数学竞赛中, 经常出现含参数的一个或几个一元二次方程有整数根的问题, 这类试题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值, 其类型繁多涉及的知识面广, 解法灵活多样且技巧性极强. 本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下, 供读者参考.
x2 0 x2 0 bx 0 -
( 1) 判别式 ∃ = b2 - 4ac 为参数的一次式
① 结合已知, 利用 ∃ ≥ 0 求出参数的范围. 例 3 ( 1997 年江西省赣州地区初三数学竞赛题) k 为何整数时, 关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 4x + 4 = 0 和 x 2 - 4kx + 4k 2 - 4k - 5 = 0 的根都是整数. 解析: 设两方程的判别式分别为 ∃ 1 , ∃ 2 , 则依题意, 有
- x ± 28 - 3x 2 , ∴ 当x 2 (x 2 - 7)
四、方程中参数均为一次则分离参数求解
11 分离参数后, 依参数范围列不等式求解

初中数学-一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根.解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k+的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（） A ．1 B ．1- C ．21-D ．21 8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（） A ．100 B ．400 C ．700 D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.。

初中数学一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种自招考试的热点。

下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。

故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：（1）先求参数范围。

可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。

当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

中考数学一元二次方程的整数根与公共根问题小结精编

特殊根问题题型对应题目题型目标整数根问题例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；公共根问题例5，例6，练习4，练习5．题型一：整数根问题解决整数根问题的思路： 1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0； 2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值； 3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b -∆2a 的整数倍．以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．【引例】已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数．【解析】法1：将原方程直接因式分解求出两根 ()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意．法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数 ()()222242930m m m m ∆=-⨯-==≥，且29m m -2的倍数，故符合题意. 【例1】已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=． ⑴讨论此方程根的情况； ⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例2】已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．⑴求k 的取值范围；⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【例3】当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例4】当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．题型二：公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题．两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．【引例】已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．【解析】设a 为两方程公共根，则2200a ma n a na m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①② ①-②得()()0m n a n m -+-=()()10m n a --=∵有且只有一个公共根，则0m n -≠∴1,a =即1x =将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．【例5】已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由．【例6】已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围；⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求2288b c b c-+的值．题型一整数根问题巩固练习【练习1】已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.【练习2】当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．【练习3】设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．题型二公共根问题巩固练习【练习4】已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-仅有一个相同的实根？【练习5】设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.。

一元二次方程的整数解

一元二次方程的整数解姓名：一、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：1、从求根入手：求出根的有理表达式，利用整除求解。

【例1】若关于x的方程（6-k）（9-k）-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个。

同类拓展：（1）、已知关于x的方程（a-1）+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a的值有个。

（2）、方程+px+1997=0恰有两个整数根、，则的值是2、从判别式入手：运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设△=），通过穷举，逼近求解。

【例2】当m为整数时，关于x的方程（2m-1）-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由。

同类拓展：边长为整数的直角三角形，若其两直角边是方程-（k+2）x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。

3、从韦达定理入手：从根与系数的关系中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解。

【例3】若a、b都是整数，方程a+bx-2008=0的相异两根都是质数，则3a+b的值为（）A、100B、400C、700D、1000同类拓展：求使关于x的方程k+（k+1）x+k-1=0的根都是整数的k值。

4、从变更主元入手：当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。

【例4】试求出所有这样的正整数a，使得二次方程a+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根。

二、巩固练习1、关于x的一元二次方程4+4mx++m-10=0（m为正整数）有整数根时，则m的值可以取个。

2、若整数m使方程-mx+m+2006=0的根为非零实数，则这样的整数m的个数为个。

3、设m为整数，且4＜m＜40,方程-2(2m-3）x+4-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根。

4、已知k是整数，且方程+kx-k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值。

5、已知方程-6x-4-32n=0的根都是整数，求整数n的值。

一元二次方程的整数根问题讲解

一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评（1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1）求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。

新一元二次方程的整数解

一元二次方程的整数解解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整数求解，形成12()()0x x x x --=的形式；2、从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设2k ∆=），通过穷举，逼近求解3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因式分解求解。

4、从变换主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。

1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值。

2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根，求a b b a+的值。

3、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。

4、当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有求出m 的值；如果没有，请说明理由。

5、已知a 是正整数，如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。

6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根，求非负整数a 的值。

解析：①当0a ≠时，变换主元得到2136(1)x a x -=-，此时1a ≥，则21361(1)x x -≥-，得到(6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠，因为至少有一个x 的值为整数，则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2， ②当0a =时，136x =（舍）课后作业1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数，求符合条件的所有整数a 。

一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名__________1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥ 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。

解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。

聚焦一元二次方程的整数解问题

聚焦一元二次方程的整数解问题一元二次方程是一种形式为ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。

求解一元二次方程的整数解问题是数学中的一个重要课题。

在本文中，我们将讨论一元二次方程的整数解问题，并介绍一些解决这类问题的方法和技巧。

要解决一元二次方程的整数解问题，我们需要首先了解整数解的概念。

在数学中，整数解指的是使方程成立的整数。

对于一般的一元二次方程，它可能有零个、一个或两个不同的整数解。

我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法来求解一元二次方程，但是对于整数解问题，我们需要特别注意解的整数性。

对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，为了求解其整数解，可以通过观察其因式分解的形式来选择适当的方法。

首先，我们可以先对系数进行约定，确保a、b、c都是整数。

然后，我们可以考虑方程的因式分解的形式，如(x+d)(x+e)=0，其中d、e为整数。

如果方程确实可以表示为这种形式，那么我们可以利用因式分解的性质来求解。

具体地，当我们观察到方程的系数b和c满足b=-(d+e)和c=de时，我们可以得到(x+d)(x+e)=0的形式。

这时，我们就可以通过考察d和e的不同组合来找到使方程成立的整数解。

我们可以通过列举d和e的可能取值来尝试求解整数解。

例如，当c=6时，我们可以通过列出所有的因子对(1,6)(2,3)(-1,-6)(-2,-3)来尝试求解。

此外，我们还可以通过配方法来求解一元二次方程的整数解问题。

配方法的核心思想是通过添加适当的常数项将方程转化为一个可以因式分解的形式。

具体地，我们可以根据方程的系数来求得配方法的加法因子，然后将方程转化为完全平方的形式。

例如，对于方程x²+9x+18=0，我们可以观察到18=3*6、为了使方程的系数能够与3和6相加，我们可以在方程中添加3²-3²=0这一恒等式，并将方程转化为(x+3)²-9=0的形式。

17.6一元二次方程的整数根问题

第十七章第6讲一元二次方程整数根问题知识精要对于有理数系数的一元二次方程02=++c bx ax (c b a 、、为有理数，且0≠a )，可以通过对方程两边同时乘以一个适当的数(零除外)，将有理数系数的方程化为整系数方程.因此，我们常将有理数系数一元二次方程转化为整系数一元二次方程.整数根的问题是有关整系数一元二次方程的一个重点.常需要多角度、全面地思考问题，灵活地运用方程的判别式、根与系数的关系等各种性质来解决问题.1.判别式法使一元二次方程有整数根的前提条件是：0≥∆且∆是完全平方数.因此，求解一元二次方程整数根的问题常常可以从判别式情况出发分析、研究.2.韦达定理法在一元二次方程有解的条件下，利用根与系数的关系，构造适当的因式关系式，利用整数的约数进行分类讨论，进而求得一元二次方程的整数根.经典题型精讲(一)判别式法例1.已知关于x 的一元二次方程03)2(2=-+--m x m mx 有整数根，求整数m 的值.例2.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(2=-+++k x k x 有两个整数根，求整数k 的值.例3.已知关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x m mx 有有理数根，求整数m 的值.例4.设方程03)2(2=-+--m x m mx 有整数解，试确定整数m 的值，并求出此时方程的所有整数解.(二)根与系数的关系例5.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(2=-+++k x k x 有两个整数根，求整数k 的值.例6.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.例7.已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根是非零整数，且198=+q p ，求p 的值.例8.若关于x 的方程062)1()1(322=-++-+a x a x a 的根都是整数，求所有整数a 的值.能力提升1.已知关于x 的一元二次方程05112822=+-+-a a x x 的根都是整数，求整数a 的值.2.设m 为整数，且404<<m ，关于x 的一元二次方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 及方程的根.3.求x 为何有理数时，代数式22392-+x x 的恰好为两个连续的偶数乘积.4.已知关于x 的一元二次方程)0(0)6(2≠=+-+a a x a x 的两根都是整数，试求整数a 的值.5.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且它们是方程0122=+--m x mx 的两个根(m 为整数)，那么这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由.6.若一元二次方程012=++-m mx x 的两根都是整数，求整数m 的值.7.已知关于x 的一元二次方程024)15(2)1(22=++--x a x a 有两个不相等的负整数根，求实数a 的值.。

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。

关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。

分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。

说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。

二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。

分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。

说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

解决一元二次方程问题时常用的四种数学思想

解决一元二次方程问题时常用的四种数学思想作者：渠英来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期数学思想和方法是数学知识的精髓，而掌握数学思想和方法是解决数学问题的关键，是对数学内容的一种本质认识，它在学习和运用数学知识的过程中，起着关键性的指导作用. 下面举例说明四种重要的数学思想和方法在解决一元二次方程问题中的应用.一、转化思想转化也称化归，它是指将未知的、陌生的、复杂的问题，根据知识间内在的联系，从一种形式转化为另一种形式，问题就可能比较顺利地得到解决，这就是转化的思想方法. 它能够帮助我们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解决过的比较简单或熟悉的问题.例1 （2013·山东菏泽）解方程：（x+1）·（x-1）+2（x+3）=8.【解析】观察本题的特点，可以看出解方程的几种方法均不能处理此题，因而应利用整式的乘法及加、减把一元二次方程化成一般形式，然后再利用因式分解法.解：原方程可化为x2+2x-3=0，即（x-1）·（x+3）=0，解之，得x1=1，x2=-3.【点评】在解一元二次方程时，一般情况下先观察其特点，判断是否能直接应用开平方法、因式分解法，当二次项系数为“+1”且一次项系数为偶数时，利用配方法，最后才考虑公式法. 这四种方法都不能直接应用时，注意把方程变为一般形式去求解.二、整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征. 对本章的学习来说，就是要善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理. 采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的.例2 （1）（2013·黑龙江绥化）设a，b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值______.（2）（2013·荆州）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，则x3 1+2014x2-2013的值______.【解析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，由根的定义得ax2 1+bx1+c=0，ax2 2+bx2+c=0，以及x1+x2=-，x1·x2=等结论. 结合所求代数式的特点，再利用这些结论中的某些结论，进行整体代入，往往可使所求问题变得简单.解：（1）因为a，b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，所以，由根的定义，得a2+a-2013=0，即a2+a=2013，由根与系数的关系可知：a+b=-1，所以，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013+（-1）=2012.（2） x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，所以，x2 1-x1-2013=0，即x21=x1+2013，x1+x2=1，所以x3 1+2014x2-2013=x2 1·x1+2014x2-2013=（x1+2013）·x1+2014x2-2013=x2 1+2013x1+2014x2-2013=x1+2013+2013x1+2014x2-2013=2014（x1+x2）=2014.【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点. 如第（1）小题，将a2+a=2013及a+b=-1作为整体进行代入计算. 第（2）小题利用x2 1=x1+2013进行降幂，再利用x1+x2=1求出代数式的值.三、分类讨论思想所谓分类讨论思想，就是在研究解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，我们就要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为能用不同形式来解决的小问题，将这些小问题逐一解决，从而使整个问题得到解决，这种处理问题的思想方法称为分类思想. 它既是一种数学思想方法，又是一种重要的解题策略.例3 （2013·四川内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q. 请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.【解析】可综合应用上面的三种解题方法求解本题. （1）抓住两方程的根互为倒数利用转化思想构造方程即可. （2）应考虑a，b相等与a、b不相等两种情况分类讨论. 当它们相等时，，的值都等于1；当它们不相等时，a，b可以理解为是关于x的方程x2-15x-5=0的两个不相等的实根，然后对+通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解. （3）由a+b+c=0，abc=16，得a+b=-c，ab=，构造以a，b为根的一元二次方程，然后利用根的判别式b2-4ac≥0构造不等关系求解.解：（1）设x2+mx+n=0（n≠0）的根为x，所求方程根为y，则y=，即x=，把x=代入x2+mx+n=0，得2+m·+n=0. 即ny2+my+1=0.（2）①当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2-15x-5=0的两实根，∴a+b=15，ab=-5.∴+====-47.②当a=b时，+=1+1=2.∴+=-47或2.（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=-c，ab=.∴a，b是方程x2+cx+=0的两实根.∴c2-≥0.∵c>0，∴c3≥64. ∴c≥4.∴c的最小值为4.【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，难度较大. 数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为大家铺设好解决问题所需要的知识和方法，可以有效考查同学们的自学能力，灵活应用能力，具有一定的区分度.四、建模思想建模思想其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量，将其转化为数学问题来表达.例4 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格. 某种药品经过连续2次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？【解析】对于降价问题，一般是降价后的量=降价前的量×（1-下调的百分率），设出平均每次下调的百分率，根据从200元下调到128元，列出一元二次方程求解即可；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得200×（1-x）2=128.解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，故舍去.符合题目要求的是x1=0.2=20%.答：平均每次下调的百分率是20%.【点评】关于两次增长（或降低）率问题，要注意其固定的等量关系. 一般形式为：a（1+x）2=b，a（1-x）2=b. 其中x为增长（或降低）百分率，a表示为增长（或降低）前的数据，b表示经过两次增长（或降低）后得到的数据，“+”表示增长，“-”表示降低.小试身手1. 设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x2 1+3x1x2+x2 2的值为______.2. 已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为______.3. 关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（）.A. a≥1B. a>1且a≠5C. a>1D. a≠54. 已知关于x的方程x2=（2m+2）x-（m2+4m-3）中的m为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m的值，并解方程.5. 长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元. 请问哪种方案更优惠？。

一元二次方程的整数根的四种思维方法-

一元二次方程的整数解形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

一、利用因式分解构造不定方程解题当c bx ax ++2能够直接分解因式时，可以将原方程化为0))((2211=++n x m n x m 的形式，求出两根，消去两根中表示已知量的字母，得到关于两根的不定方程，通过解不定方程求解。

例1 设关于x 的二次方程-++-2222()86(k x k k 4)462=+-k x k 的两个根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

练习：m 是什么整数时，方程(m 2-1)x 2-6(3m -1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根．通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，若二次项系数是含字母的代数式时，要分它为0和不为0的两种情况讨论，当它不为0时，将方程化为0))((2211=++n x m n x m 的形式；第二步，求出方程的两根；第三步，消去表示已知量的字母，构造关于两根的不定方程；第四步，解不定方程，并检验。

二、利用“若两根为整数，则其和、积必为整数”解题当形如02=++c bx ax 的方程中，所含的表示已知量的字母是整数时，先利用韦达定理求出两根之和与积，然后利用“若两根为整数，则其和、积必为整数”，以及整除的有关知识解题。

例2 求使关于x 的方程062)1()1(322=-++-+a x a x a 的根均为整数的所有整数a .练习：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，讨论二次项系数的情况，若二次项系数不为0时，由韦达定理求出两根的和与积；第二步，将两根之和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式，并且分式的分子一定为整数；第三步，根据整除的性质，可知分式的分母一定是分子的约数，从而求出字母的可能取值；第四步，将字母的可能值分别代入原方程检验确定结果。

浅谈一元二次方程的整数根问题

此文发表在《中学数学杂志》2012年第6期（总第272期、教研版）上浅谈一元二次方程的整数根问题在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1、整系数一元二次方程整数根的求法：➊利用判别式：整系数一元二次方程有整数解时，判别式是完全平方数，利用这条性质可以确定整参数的值，但需验证这些值是否使方程的根为整数。

例1、设m 是整数，4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值。

解：已知方程的判别式⊿=4(2m+1),它是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数。

又∵4<m<40，∴9<2m+1<81,从而2m+1=25或49, ∴m=12或者24。

代入已知方程，得：x=16,26或x=38,52.综上所述，所求m 的值为12，24。

➋利用韦达定理：利用韦达定理处理二次方程有两整数根，其思路是由x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 消去其中的参数，得整数根x 1,x 2的一个不定方程，解这个不定方程可求得其整数根，从而可确定方程中参数的值，最后需验证所求的参数值满足⊿≥0。

例2、求一切实数k,使得关于x 的方程:5x 2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数。

解：设x 1,x 2是方程的正整数解，则⎩⎨⎧x 1+x 2=kx 1x 2=66k-15消去k,得：5x 1x 2=66(x 1+x 2)-1 ∴(5x 1-66)(5x 2-66)=4351=19×229不妨设x 1≤x 2,则 ⎩⎨⎧5x 1-66=195x 2-66=229∴x 1=17, x 2=59. ∴k=x 1+x 2=76又⊿=25k 2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0 ∴k=76为所求。