梁弯曲时横截面上的正应力
梁的弯曲正应力公式
梁的弯曲正应力公式在我们学习力学的奇妙世界里，梁的弯曲正应力公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说梁是啥吧。
想象一下，你家里的房梁，或者是一座桥上的大梁，它们都是承受各种力量的重要结构。
梁在受到外力作用时，会发生弯曲，而这时候梁内部就会产生应力。
那梁的弯曲正应力公式到底是啥呢？它其实就是用来计算梁在弯曲时，不同位置处的应力大小的。
公式是：σ = My / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是惯性矩。
咱们来具体讲讲这个公式里的每个部分。
先说弯矩 M ，它就像是一个大力士，决定了梁弯曲的程度和力量大小。
比如说，在一个建筑工地上，一根钢梁要承受上面重重的建筑材料的压力，这个压力让钢梁产生弯曲，而这个弯曲的力量大小就是弯矩。
再看 y ，也就是所求应力点到中性轴的距离。
中性轴就像是梁的“平衡线”，上面的部分受压，下面的部分受拉。
比如说，你拿一根竹条弯曲，中间不怎么变形的那一条线就类似中性轴。
而应力点到中性轴的距离越大，应力也就越大。
惯性矩 I 呢，它反映了梁横截面的形状和尺寸对抗弯能力的影响。
比如说，同样长度的钢梁，如果一个是实心的粗钢梁，一个是空心的细钢梁，那实心的粗钢梁惯性矩就大，抗弯能力也就更强。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们正在加工一批钢梁。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着梁的弯曲正应力公式，计算着每根钢梁在不同工作条件下的应力情况。
他们神情专注，一丝不苟，因为哪怕一点点的误差，都可能导致钢梁在使用过程中出现问题，造成严重的后果。
在实际应用中，梁的弯曲正应力公式用处可大了。
比如在设计桥梁的时候，工程师得根据车辆的通行量、桥的跨度等因素，利用这个公式准确计算出桥梁中各个部位的应力，确保桥梁的安全稳固。
又比如在机械制造中，要设计一个能承受特定载荷的传动轴，也得靠这个公式来确定轴的尺寸和材料。
总之，梁的弯曲正应力公式虽然看起来有点复杂，但它可是力学世界里的宝贝，能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活更加安全和便捷。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
259
mm
所以a点的正应力为
a
M max ya Iz
375103 259103 65600108
148.1 MPa
例3 图示梁由工字钢制成。许用弯曲正应力[]
＝152 MPa, F＝75 kN，试选择工字钢的型号 。
解: 求约束反力, 作弯矩图 F F F
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 E E y
M z
y dA M
A
E y2dA EIz M
A
Iz
y2dA 为横截面对中性轴z轴的惯性矩。
A
1M
EIz
是梁中性层的曲率表达式。
EIz称为梁的抗弯刚度。
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
My
最大正应力的分析*********
1 当中性轴为对称轴时
以 ymax表示最大应力点到中性 轴的距离, 则横截面上的最大
正应力为：
max
M max ymax Iz
矩形截面梁横截面上正应
力分布如图所示
cmax t max max
C
ymax
z
ymax
y
c max
M
t max
最大正应力的分析
max
MC y2 Iz
( F 2) 0.086 4 5493108
90 106
120
180 40 134 86
C
形心
z
20 y
20
F
q＝F/b
A
CB
D
b
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力详解
剪切弯曲：横截面上既有剪力 又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而 无剪力。
4
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象 ① 两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互 倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。 ② 两条纵向线aa、 bb 变成 曲线 梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了， 外凸一侧的纵向线bb伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。
①纯弯曲 ( pure bending )
2
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
②横力弯曲
3
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲 ( pure bending )
横力弯曲 ( transverse load bending )
W I /y
Z z
max
14
《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲
3.1 平面弯曲的概念 3.2 直梁弯曲时的内力分析 3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力 3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量 3.5 梁的弯曲强度计算 3.7 提高梁弯曲强度的主要途径 3.8 梁的弯曲变形与刚度校核
1
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明，当跨 度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。 危险点应力：
max
M max ymax Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面 ymax： 在指定的横截上，选择离中性轴最远的点
纯弯曲梁的正应力实验参考书报告
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告一、实验目的1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式二、实验仪器设备和工具3.XL3416 纯弯曲试验装置4.力＆应变综合参数测试仪5.游标卡尺、钢板尺3、实验原理及方法在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ= My / I z式中M为弯矩，I z为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量σ实i=E△ε实i将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。
2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离y i。
见附表13.拟订加载方案。
先选取适当的初载荷P0（一般取P0 =10％P max左右），估算P max（该实验载荷范围P max≤4000N），分4～6级加载。
4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。
6.加载。
均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。
实验至少重复两次。
见附表27.作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。
附表1 （试件相关数据）附表2 （实验数据）P 50010001500200025003000载荷N △P 500500500500500εP -33-66-99-133-166△εP -33-33-34-334平均值-33.25εP -16-33-50-67-83△εP -17-17-17-162平均值16.75εP 00000△εP 00001平均值0εP 1532476379△εP 171516163平均值16εP 326597130163△εP 33323333 各 测点电阻应变仪读数µε5平均值32.75五、实验结果处理1.实验值计算根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算应变片至中性层距离（mm ）梁的尺寸和有关参数Y 1－20宽 度 b = 20 mm Y 2－10高 度 h = 40 mm Y 30跨 度 L = 620mm （新700 mm ）Y 410载荷距离 a = 150 mm Y 520弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ）泊 松 比 μ= 0.26惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4。
横力弯曲时的正应力计算公式
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
y
（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
梁弯曲时的正应力
梁弯曲时的正应力§7-1 梁弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。
在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。
在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
b )c )a )图7-2为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。
其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。
1、几何变形为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。
从实验中观察到如下现象：m n nma )b )d )ij i j图7-31）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。
2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。
根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设：1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。
2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。
各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。
根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。
由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。
§7 1 纯弯曲梁横截面上的正应力
Z
h
b
d
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉、压应力并不相等，这时 应分别进行计算。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 思考题1：
梁发生平面弯曲时，其横截面绕______旋转。 A.梁的轴线 B.中性轴 C.截面的对称轴 D.截面的上（或下）边缘
答案 B.
扭转时横截面才绕轴线旋转，A不对。弯曲时横截面是绕中性轴旋转。 中性轴不一定是对称轴，中性轴过形心，不会在上、下边缘，所以C、D不 对。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
思考题2：
图示截面的抗弯截面系数WZ =_________。 h
A. d 3 1 bh2
32 6
B. d 4 1 bh3
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
d
中性层
o1
Z
中性轴
y
O
o1
纵向对称面
dx
Y
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 三、正应力计算公式
1、几何关系 中性层：纤维长度不变 中性轴：中性层与横截面的交线。通常用Z表示。
cd cd cd
( y)d d yd cd yd y cd d
14.4 kN.m
2、计算横截面的惯性矩
Iz
BH 3 12
bh3 12
6 12 3 (
3 83
)cm4
12 12
736 cm4
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
3、计算应力
外max
M max Iz
H 2
14.4103 N m 736 10 8 m4
纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E Sz N Aσ dA A ydA o ρ ρ
(g)
E I yz E o M y A zσ dA A zydA ρ ρ E E Iz 2 M M z A yσ dA A y dA ρ ρ
(h)
(I)
E E Sz N Aσ dA A ydA o ρ ρ
o1
y
dx
o2
B1
B
B1B为 A B1 的伸长量
AB1
(c)
y (d θ ) AB1 B1 B ε dx O1 O2 AB1
为 A 点的纵向线应变。
C
d
O1 O2 dx 为中性层上纵向线段的
长度 A
o1
y
dx
o2
B1
B
中性层的曲率为
1 dθ ρ dx
(c)
y (d θ ) AB1 B1 B ε dx O1 O2 AB1
画两条相邻的横向线 mm 和 nn ,并在两横向线间靠近顶
面和底面处分别划将条纵向线 aa 和 bb （图5-1 a ） m
a b m n
m a b
n
m
(a)
(b)
根据观察，梁变形后： 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 2. 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且 与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；
m a b m n n a b b m
m
a
m
n
m
a b n
(a)
(b)
平面假设 ：梁在受力弯曲后，原 来的横截面仍为平面，它绕其上的 某一轴 旋转了一个角度，且仍垂 C
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
纯弯曲梁的正应力实验报告
姓名：班级：学号：实验报告纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的：1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力公式二、实验设备及工具：1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置2.数字测力仪、电阻应变仪三、实验原理及方法：在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：σ=My/I z为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。
采用增量法加载，每增加等量荷载△P（500N）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i，从而求出应力增量：σ实i=E△ε实i将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。
四、原始数据：五、实验步骤：1.打开应变仪、测力仪电源开关2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。
3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。
按清零键，使测力计显示零。
4.应变仪调零。
按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。
5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。
用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。
以后，加力每次500N，到3000N 为止。
6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。
六、实验结果及处理：1.各点实验应力值计算根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：σ实i=E△εPi×10-62.各点理论应力值计算载荷增量△P=500N弯矩增量△M=△P/2×a应力理论值计算σ理i=∆M∙YiI z（验证的就是它）3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图以横坐标表示各测点的应力σ实和σ理，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
建筑力学11梁的应力一
y2=3.28cm=32.8mm
(4) 计算正应力
最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处
σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa
最大压应力发生在跨中截面的上边缘处
σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa
图9.9
9.2 梁的正应力强度计算
9.2.1 最大正应力
在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应
力
τ=QSz/(Izb)
剪应力沿截面宽度方向均匀分布，沿截面高度方向
按抛物线规律分布，如图9.14(b)、(c)所示。在中性轴处
剪应力最大，其值为
τmax=3Q/2A
图9.14
(2) 工字形截面梁的剪应力
工字形截面由腹板和翼缘组成。腹板是一个狭长的
矩形，其剪应力可按矩形截面的剪应力公式计算，距中
图9.13
(3) 校核强度
由于梁的抗拉强度与抗压强度不同，且截面中性轴z不是对称
轴，所以梁的最大负弯矩和最大正弯矩截面都需校核。
校核B截面的强度：
B截面为最大负弯矩截面，其上边缘产生最大拉应力，下边缘
产生最大压应力。
σlmax=MB/Izy上=30.3MPa<［σl］
σymax=MB/Izy下=69MPa<［σy］
与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。
（2） 纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，
靠近底面的cd伸长了。
图9.2
根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内
部的变形，作出如下的两点假设：
(1) 平面假设
梁平面弯曲时横截面上的正应力,材料力学
Iz M
1 / 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / 越小 EI 梁的抗弯刚度
3、纯弯曲时正应力公式的推导
( y) E
y
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
4、纯弯曲时正应力分布关系 对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则 ( y )沿截面高度 的分布规律:
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁但公式中的M应为所研 究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
2.9 107 mm 4
y2 200 53.2 146.8 mm
4、应力计算 考察C截面，弯矩为正
C截面下边受拉上边受压
M C y1 12 106 53.2 22MPa 7 Iz 2.9 10
C
M C y2 12 106 146.8 60.74MPa 7 Iz 2.9 10
⑴
截面关于中性轴对称
z
t max
c max
M Wz
t
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
z
t
My max Iz
max
c
My max Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
梁的弯曲应力与强度计算
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽 钢。求最大拉应力和压应力。 解：（1）作弯矩图
28 . 8 MPa t
y2
( 2 . 5 10 N m )( 88 10 763 10
8
3
m)
Iz
m
4
故该梁满足强度条件。
8 梁的弯曲应力与强度计算 8.3.1 梁的弯曲剪应力
8.3 梁的剪应力及其强度条件
1. 矩形截面梁的弯曲剪应力
关于横截面上剪应力的分布
M
max
2F 3W z
Wz
3 2
( 237 10
6
)( 160 10 ) N 56 . 9 kN
6
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：一矩形截面木梁，已知 F =10 kN，a =1.2 m。木材的许用应力
=10MPa。设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选梁的截面尺寸。
bh 6
2
对于直径为 D 的圆形截面
Wz Iz y max
D / 64
4
D
32
3
D /2
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz Iz y max
D (1 ) / 64
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梁弯曲时横截面上的正应力
在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。
1、纯弯曲与横力弯曲
从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。
画其剪力、弯矩图（见图2-53b、c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。
在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q，梁的这种弯曲称为纯弯曲。
2、梁纯弯曲时横截面上的正应力
如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。
此时可以观察到如下变形现象：
⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。
⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。
由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。
可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。
从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。
由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点：
⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。
⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。
根据胡克定律，它们的正应力也必相等。
⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。
⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。
最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。
由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知
y E y E E •=•=•=ρρεσ
2-24
对于指定的横截面，ρ
E 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z
F )(=0，可得
图2-55 正应力分布图
图2-56 梁纯弯曲时横截面上的内力和应力
⎰=A M ydA σ
2-25 将公式(2-24)代入（2-25），得
M dA y E
dA y E
A A ==⎰⎰22ρρ
令
dA y I A
z ⎰=2 为截面对中性轴z 轴的轴惯性矩)(4mm ，则
z EI M =ρ
1 这是研究梁变形的一个基本公式，式中z EI 称为梁的抗弯刚度。
将公式（2-26）代入（2-24），即得到梁在纯弯曲时截面上任一点处的正应力计算公式：
z I My =σ 为计算梁横截面上的最大正应力，可定义抗弯截面系数m ax y I W z z =
，则式（2-27），可写作：
z W M =
max σ 式中 M ——截面上的弯曲（N ·mm ）；
W z ——抗弯截面系数（mm 3）.
I z 和W z 是仅与截面几何尺寸有关的量，常用型钢的I z 和W z 可在有关设计手册中查得。
式（2-27）和（2-28）是由梁受纯弯曲变形推导出的，但只要梁具有纵向对称面，且载荷作用在其纵向对称面内，梁的跨度又较大的，横力弯曲也可以应用上述两式。
当梁横截面上的最大应力大于材料的比例极限时，公式不在适用。
3、惯性矩和抗弯截面系数的计算
梁常见横截面的I z 、W z 计算公式表2-2。