数学思维导引-六年级-立体几何 (5)

【分析】题中表面积没有发生变化，仍为6 10 10 600 ； 观察上图，再从上图切去一个边长为 6 的正方体后，其少了 2 个 4 4 16 的正方形，此时
剩下的立体图形的表面积为 568。 5、一个正方体被切成 24 个大小形状一模一样的小长方体（如图所示），这些小长方体的表
面积之和为 162 平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？
【分析】各挖去一个正方体，挖一个正方体，其表面积多了 4 个平面。则该玩具的表面积为 6×4×4+6×4×1=120 平方厘米。
如 若 挖 空 ， 则 可 先 求 最 外 面 的 面 积 为 6 4 4 6 90 ， 而 内 部 的 表 面 积 之 和 为 32 2 3 2 2 3 2 2 36 ，所以把这些洞打穿后，整个表面积变为 126 平方厘米。
平方分米
9、有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是 6 米、3 米、2 米。三个池子 都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升 高了 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升 高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）
【分析】这两堆碎石的体积之和为：0.06 32 0.04 22 0.7 ,如果均投入大水池的话，大水
2
5
1 4
。所以最后得到的立体图形的表面积为
29
1 4
平方
厘米。
6、（1）如图所示，将 4 块棱长为 1 的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后 这个长方体的表面积，比原来 4 个正方体的表面积之和少了多少？
（2）一个正方体形状的木块，棱长为 1，如图 1 所示，将其切成两个长方体。这两部分 的表面积总和是多少？如果在此基础上再切 4 刀（如图 2 所示），将其切成大大小 小共 18 块长方体。这 18 块长方体表面积总和又是多少？
（2）如图所示，将一个棱长为 5 的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为 5、4、 3 的长方体，它的表面积减少了百分之几？
【分析】 （1）切去该长方体之后，整个表面积没有发生变化，则其表面积总和还为原表面积，为
6 66 216 平方厘米。 （2）原正方体的表面积为 6 55 150 ；现在表面积减少了 243 24 ；相当于减少了 16%。 5、如图所示，有一个棱长为 2 厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为 1 厘
拓展篇
1、如图所示，将三个表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的铁质正方 体熔铸成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。
【分析】根据题意，最小正方体的边长为 3，次小的正方体边长为 6，大正方体的边长为 5， 则他们的体积为：27+64+125=216 立方厘米。
1
【分析】 三视图法： 从前往后看： 7 2 14 ； 从左往右看： 7 2 14 ； 从上往下看： 9 2 18 ； 则这个图形的表面积为：14 14 18 46 （平方厘米）。 4. （1）如图所示，将一个棱长为 6 的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为 4、3、
5 的长方体，剩余部分的表面积是多少？
2、一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体 积增加 90 厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 厘米。求这个长方体的表面积。
【分析】根据题意，宽×高=20；长×高=30；长×宽=24； 则长方体的表面积为：2×宽×高+2×长×高+2×长×宽=148 平方厘米 3、如图所示，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形。请问：这个立体图
米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 1 厘米的小洞；第三个小 2
2
洞的挖法与前两个相同，棱长为 1 厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 4
米？
【分析】 原正方体的表面积为 622 24 ，向下不断的挖正方体之后，会增加四个面，则增加的表面
积之和为
4
12
4
12
2 4
41
122 20 4 ，高为 2；下面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积也为一个
正方形，底面边长为 6，高为 13。所以这 8 个立方体的公共部分的也是一个小长方体，
其底面为一个正方形，底面边长为 4，高位 5。所以这个公共部分的体积为：4 4 5 80 。
8
2、地上有一堆小立方体，从上面看时如图 1 所示，从前面看时如图 2 所示，从左边看时如 图 3 所示。这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为 1 厘米，那么这堆立 方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？
正方体的表面积为： 622 24 ；体积为： 2 2 2 8 所以长方体与正方体的表面积之比为：11:12 ，长方体的体积比正方体的体积少 2 立方厘米。
2. 如图所示，将长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为 2 厘米的正 方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去 掉边长为 3 厘米的正方形呢？
6
这个木盒的容积为： 10 28 25 1192 立方厘米
8、有一根长为 20 厘米，直径为 6 厘米的圆钢，在它的两端各钻一个 4 厘米深，底面直径 也为 6 厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示）。这个零件的体积为多少立方厘 米？（取 3.14）
【分析】这个零件的体积为：32 20 1 2 32 4 156489.84 立方厘米。 3
【分析】四个角都截去边长为 2 的正方形之后，长方体容器的长为13 4 9 ；宽为9 4 5 ， 其体积为9 52 90 （立方厘米）。 如果四个角去的都是边长为 3 的正方形，则新形成的长方体的长为13 6 7 ，宽为9 6 3 ， 高为 3， 则新长方体的体积为 7 33 63 （立方厘米）。
3. 用棱长是 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方 厘米？
【分析】每切一刀，即增加两个面，途中共增加 12 个面。则 18 个面的面积为 162 平方厘米。 所以正方体的边长为 3 厘米，则原正方体的体积为 27 立方厘米。
6、图中是一个棱长为 4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖 去一个棱长 1 厘米的小正方体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果 把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
右边正方形旋转所围成的体积为：
1 62 6 18 34
7
所以两者所围成的体积只比为：8:9。 12、如图，一个底面长 30 分米，宽 10 分米，高 12 分米的长方体水池，存有四分之三水池，
请问： （1）将一个高 11 分米，体积 330 立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米？ （2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？ （3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
【分析】
（1） 若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为： 30109 2700 立方分米，而现在放 入的圆柱的底面积为： 330 1130 平方分米。将圆柱放入后，除去现在的圆柱即
为有水部分，则水面高度为： 2700 300 3010 分米。
（2） 若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱 ，则除去两个圆柱为有水部分， 有水部分的底
7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为 10 厘米、8 厘米、5 厘米。已知木板厚 1 厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？
【分析】由于此无盖木盒的外部体积为 810 5 400 立方厘米，而木盒的容积为192 立方
厘米。则根据题意，可知需要这样的木板 400 1921208 立方厘米。
池的池面会升 0.7 62 0.0194 ，即增加 1.97 厘米。
4
10、有一个高 24 厘米，底面半径为 10 厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长 30 厘米，底面半径为 2 厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容 器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？
【分析】令水面升高了 x 厘米，则 π102 x π22 12 x，解之得 x=0.5 厘米.
形的表面积等于多少？
【分析】三视图法： 从上往下看：其面积为：4×4×2=32； 从左往右看：其面积为：10×2=20； 从前往后看：其面积为：10×2=20。 则其表面积和为 72 平方米。
4、如图 1 所示，将一个棱长为 10 的正方体从顶点 A 切掉一个棱长为 4 的正方体，得到如
5
图 2 所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点 B 切掉一个棱长为 6 的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？
（2）如果沿经过中轴线 AB 的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积 之和又是多少？
【分析】 （1） 蛋糕的表面积为：
2 π1 2
1
2 π1 1
2π3 2
1
2
π23
2
10.5
π32.97
（平方分米）
（2）
新切一刀，表面积增加了
2
2
1 2
2
1
2
3 2
12
，则现在的表面积变为
44.97
超越篇
1、有一个棱长为 20 的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体， 于是得到 8 个小立方体。在这些立方体中，上面 4 个的棱长为 12，下面 4 个的棱长为 13。请问：所有这 8 个小立方体公共部分的体积是多少？
【分析】上面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积为一个正方形，底面边长为
面积为： 300 302 240 平方分米，则水面高度为： 2700 240 11.25 平方分米。
由于在此种情况下，已超过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为
2700 330 2 3360 立方分米。则高应为3360 300 11.2 分米；
（3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过 12，有水溢出，此时水面高度应为 12 分米。
第 5 讲 立体几何
兴趣篇
1. 一个长方体的长、宽、高分别为 3 厘米、2 厘米、1 厘米。若它的棱长总和等于另一个 正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体 积少多少立方厘米？
【分析】该长方体的棱长总和为： 3 2 14 24 ；则正方体的边长为 24 12 2 ； 长方体的表面积为： 32 3 12 12 22 ，体积为： 32 1 6 ；
10、张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年 他改用长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问： 今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
【分析】长
2
米
、宽
1
米所能围成的容积最大的圆柱体粮囤的体积为： 22 2 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
；
9、现有一块长、宽、高分别为 10 厘米、8 厘米、6 厘米的长方体木块，把它切成体积尽可 能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（取 3）
【分析】根据题意，所切成的圆柱体木块的体积为r2 h ，则要让半径尽可能的大，最 大让 r 4，此时 h 6 ，此时圆柱体的体积为 288 立方厘米。
长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇围成的容积最大的圆柱体粮囤，其体积应为
232 2
9 ，则今年的粮囤的体积为去年粮囤体积的 2
4.5
倍。
11、左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6。如果按照图中所示的方式旋转， 那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？
【分析】
左边正方形旋转所围成的体积为：22 4 16；
【分析】 （1）每一次拼合会少两个面，拼了 3 次，表面积之和少了 32 1 6 平方厘米； （2）原正方体的表面积为 6 1 6 ，且一刀会增加两个面，增加的面积为 2，则两部分的表
面积之和为 8；根据图 2，总共切了 5 刀，表面积增加了 10，则这 18 块长方体的表面积 总和为 16。 （第四届华杯赛初赛第 3 题） 7、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：
3
圆锥体积与圆柱体积的比是多少？
【分析】
圆锥体积 圆柱体积
1 π22 4 3π42 8
1 24
。
（第三届华杯赛初赛第 5 题）
8、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为 1 分米，底面直径分别为 1.5 分米、1 分米
和 0.5 分米的圆柱体组成。请问：
（1）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（取 3.14）