数学思维导引-六年级-立体几何 (5)
小学六年级总复习之立体几何
数学问题中的立体几何应用
计算几何图形面积和体积 判断几何图形的形状和大小 解决几何图形的最值问题 确定几何图形的位置关系
科学问题中的立体几何应用
天文学：行星、 恒星和星系的形 状和运动规律可 以用立体几何来
描述。
物理学：电磁场、 引力场等物理现 象可以用立体几
何来描述。
化学：分子结构 可以通过立体几 何来描述，如分 子的键角、键长
立体几何中的基本概念
点、线、面的定义
平面几何的性质
空间几何体的构造
空间几何体的表面积和体积
03
立体图形的性质和 分类
立体图形的性质
定义：立体图 形是三维空间 中占据一定空 间的图形，具 有长度、宽度
和高度。
分类：根据几 何形状，立体 图形可以分为 多面体、旋转 体和组合体等。
性质：立体图 形具有三维性、 封闭性、占有 空间等性质。
特征：立体图 形具有空间感、 立体感和三维
性等特征。
立体图形的分类
柱体：包括圆柱、棱柱等 锥体：包括圆锥、棱锥等 球体：包括实心球、空心球等 其他多面体：包括长方体、正方体、三棱锥等
常见立体图形介绍
立方体：具有六个面，每个面都是正方形 球体：只有一个曲面，没有平面 圆柱体：由两个平行圆形面和一个曲面组成 圆锥体：由一个圆形底面和一个曲面组成
定义：立体几何是研究三维空间中图形和物体性质的一门学科。 基础概念：点、线、面、体等基本元素，以及它们的性质和关系。 目的：培养空间想象能力和逻辑思维能力。 应用：在建筑、工程、科学等领域有广泛应用。
立体几何中的基本元素
点：表示空间中的一个位置 直线：表示空间中一条无限延伸的线 平面：表示空间中一个无限延展的面 空间：表示三维的立体空间
思维导图之立体几何
向量法向量化平面空间一样算！点的坐标中点、重心坐标、两点距离公式直线的方向向量v 终点减起点加、减法平面的法向量n与平面垂直的向量判定线线、线面、面面平行、垂直的向量判定三点共线、四点共面平行线线：共线,v 1→v 2→线面：⊥v n面面：共线,n 1→n 2→垂直线线：⊥v 1→v 2→线面：共线,v n 面面：⊥n 1→n 2→计算长度|AB |=||=AB →AB→2−−−−√角度线线角θcosθ=|cos <,>|=v 1→v 2→|⋅|v 1→v 2→||||v 1→v 2→线面角αsinα=|cos <,>|=v n |⋅|v n ||||v n 面面角β|cosβ|=|cos <,>|=n 1→n 2→|⋅|n 1→n 2→||||n 1→n 2→距离点P、面α距A ∈αd =|⋅|AP →n ||n 垂直建系向量坐标直接求坐标设坐标解方程P∈AB设AP=λAB已知长度、距离设P(x,y,z)列方程组几何证明求坐标运算公式知识概念研究空间图形的形状、大小及位置表示图像语言平面表示直观图作图：x轴不变；轴外点作垂直，转45°，长取半还原：x轴不变；轴外点作45°，还垂直，长翻倍三视图作图：长对正、宽相等、高平齐还原：看轮廓、点切除、线补充文字语言符号语言A∈l，A∈α；l ⊂α；l∩α=P，α∩β=l 性质表面积、体积切接球外接球多面体的所有顶点都在球面上球心到所有顶点的距离相等外接：空间中到两点、三点距离相等的点的轨迹三点取外心垂线两点取中垂面找同外接球的正(长)方体对棱都相等的四面体策略规则几何体转化为规则几何体面顶点外心垂线直角、等边△正弦定理顶底点等距内切球球面与所有面都相切球心到所有面的距离相等多面体每个面到球心的距离相等体积法求内切球半径棱切球球面与所有棱都相切球心到所有棱的距离相等多面体的每条棱到球心的距离相等截面过三点的面的延展平行共面过A作BC的平行线相交共面过A作AD交BC于DD在BC及A所在面的公共线上公理3几何法共线、共面公理1A、B∈l，A、B∈α，则l∈α公理2不共线三点确定一个平面直线与直线外一点两相交直线两平行直线公理3A∈α，A∈β，则α∩β=l且A∈l三点共线三线共点等角定理两角的两边平行，则两角相等或互补平行线线平行定义：平面上，无公共点判定及性质：平几 中位线 □ 成比例线面平行定义无公共点判定定理 a ⊄α，b ⊂α，a //b ⇒a //α性质定理a //α，a ⊂β，α∩β=b ⇒a //b 面面平行定义无公共点判定定理a//α，b//α，a∩b=P，a、b β⇒α//β⊂性质定理α//β，α∩γ=a，β∩γ=b ⇒a//b 其它平行传递a//b，b//c ⇒a//b 公理4α//β，β//γ⇒α//γ垂直证平行a⊥α，a⊥β⇒α//βa⊥α，b⊥β⇒a//b推理关系线线平行⇔线面平行⇔面面平行⇒线线平行垂直（可算）线线垂直定义平几判定、性质、计算线面垂直定义直线垂直于平面内任意直线判定定理a⊥m，a⊥n，m∩n=P，m、n α⇒a⊥α⊂性质定理a⊥α，b⊥α⇒a//b面面垂直定义(直二面角)判定定理a⊥α，a β⇒α⊥β⊂性质定理α⊥β，α∩β=l，a α，a⊥l ⇒a⊥β⊂其它平行证垂直a⊥α，α//β⇒a⊥βa⊥α，a//b ⇒b⊥α推理关系线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直⇔线线垂直空间角线线角等角定理找平行线面角找面的垂线二面角找平面角找交线的垂面找面的垂线，作交线的垂线，证平面角面积法|cosθ|=α上的平面图在β上的投影面积与原面积的比值通常找△长度(距离)、空间角的计算应用三视图、切接球、体积表面积空间平行垂直证明；长度(距离)、空间角计算点线面的存在性探究问题载体空间几何体、折叠问题、截面问题注意点策略立体图形模型化规则几何体对称、垂直等正方体点线面常见位置关系空间问题平面化几何问题代数化易错平几立几区别如何作辅助线步骤识图作图化繁为简，只留底面及垂线化生为熟，补立方直柱正锥选法几何辅线面代数向量系。
六年级奥数-第五讲.几何-立体部分.教师版
第五讲 几何——立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥例题精讲：【例 1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯12⨯4=1(平方厘米)，1 4⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2563168(cm)⨯=．【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例 6】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b=2h时，如何打包？⑵当b<2h时，如何打包？⑶当b>2h时，如何打包？【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h+6b，图3的周长是12h+4b.两者的周长之差为2（b-2h）.当b=2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b<2h时，按图2打包；当b>2h时，按图3打包.图3图2图1hba【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【解析】考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：5010064214++=(平方分米)．【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：2222(1235)6396234+++⨯=⨯=(平方厘米)，重叠部分的面积为：22222222213(221)(321)(321)39141440⨯+⨯+++++++=+++=(平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为：23440194-=(平方厘米)．(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为22253238++=平方厘米,从左右两个面观察到的面积为225334+=平方厘米，从上下能观察到的面积为2525=平方厘米．表面积为()3834252194++⨯=(平方厘米)．【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．【例 10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【解析】44(1234)456⨯++++⨯=(平方米)．【例 11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有3m个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12，而131225+=，所以小正方体的总数是25的倍数，即3m是25的倍数，那么m是5的倍数．当5m =时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265⨯+⨯⨯=个，表面没有红色的小正方体有1256560-=个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m 的最小值是5．【例 12】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？ 【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3(42)8-=(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有2(42)624-⨯=(个)，其中30822-=个用黑色．这样，在表面的44696⨯⨯=个11⨯的正方形中，有22个是黑色，962274-=(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？ 【解析】 每个长方体的棱长和是288396÷=厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424÷=厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个87⨯面，有8756⨯=个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个87⨯面，有872112⨯⨯=个；若两面相邻，应涂一个87⨯面和一个97⨯面，此时有()7892105⨯+-=个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87⨯面、一个97⨯面，有()78894147⨯++-=个；若三面两两相邻，有()()()()()()718171918191146-⨯-+-⨯-+-⨯-=个，所以涂三面的最少有146个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307++=个．【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100a b =⨯，那么分成的小正方体个数为()()()()221242104a b ab a b a b +⨯+⨯=+++=++，为了使小正方体的个数尽量少，应使()a b +最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当10a b ==时它们的和最小，此时共有()()102102144+⨯+=个小正方体．当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331÷+⨯=．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227=++，此时共有2227108⨯⨯=个小正方体．因为108144<，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．【例 15】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有52422222⨯+⨯+⨯=（个）． （另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值．对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：⑴ ⑵ ⑶ ⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色． ⑶剩下633839212⨯⨯-⨯-⨯=个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色． 综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622++=个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况．【例 16】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：()33321151212961107⨯⨯-++=（立方厘米）.12129996663121263912【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.【巩固】这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？【解析】 每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】 求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔， 挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔， 挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=． 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为 138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向：32上下方向：30 左右方向：40总表面积为()2323040204⨯++=．【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个）小正方体．【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227⨯+⨯=个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227⨯+⨯+⨯=个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273-=，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”． 这里，化虚为实的思想方法很重要． 解法二：(用“切片法”来解) 可以从上到下切五层，得： ⑴从上到下五层，如图：⑵或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：【例 19】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．⑷⑶⑵⑴ ⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套． 对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵ 【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：图⑴ 图⑵对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：1和图3一致！60°图⑶ 图⑷由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是1111112222348⨯⨯⨯⨯=，所以切掉8个角后的体积是1518486-⨯=．再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为12的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为12的立方体里的话是可以放进去的．12这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为148，所以图⑵的体积是：1111142224824⨯⨯-⨯=，那么前者的体积是后者的5120624÷=倍．【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．。
六年级数学思维训练教材
第一讲立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题,帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。
这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1：图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便,我们将正方体六个面分别标上序号1、2、３、４、5、6,如果将l作为底面,那么4就是后面,5为右面,6为前面,2则是左面，3就是上面,(如图２)。
从图中不难看出点F与点Ｎ，重合,点G与点Ｓ重合。
还有一种方法就是动手制作一张展开图,折一折,结果就一目了然了，同学们不妨试试吧！例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发,沿长方体的表面爬行,依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。
请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行,所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。
又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”,所以连接AP，则线段ＡP为小虫爬行的最短路线。
练习与思考1．如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合？2．如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块,一只蚂蚁从Ａ点沿表面爬向B点。
请画出蚂蚁爬行的最短路线。
问：这样的路线共有几条?３.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后,折叠成一个棱长为l厘米的正方体。
这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?4.一块长方形的铁皮,长2８厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。
已知这个盒子的容积是9６0立方厘米,求原来长方形铁皮的面积。
5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数,使其对面两数之和为7,则A、B、c处填的数各是多少？第二讲长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。
数学思维导五单元六年级上册
数学思维导五单元六年级上册在六年级上册的数学学习中，数学思维导是非常重要的一个单元。
通过学习数学思维导，学生们将能够培养自己的数学思维能力，提高解决问题的能力。
本文将针对六年级上册的数学思维导进行详细解析。
在数学思维导的第一个单元中，学生们将学习如何分析问题，提炼问题中的关键信息，并且运用逻辑思维来解决问题。
这是数学思维的基础，通过学习这个单元，学生们将能够在解决实际问题中更加游刃有余。
在第二个单元中，学生们将学习如何运用图形思维来解决问题。
图形思维是数学思维中的一种重要思维方式，通过学习这个单元，学生们将能够培养自己的观察力和空间想象力，提高解决几何问题的能力。
第三个单元是关于数学模型的学习。
数学模型是数学思维的一种应用，通过建立数学模型，学生们能够将实际问题抽象成数学问题，从而更好地解决问题。
在这个单元中，学生们将学习如何建立数学模型，并且将其运用到实际问题中去。
在第四个单元中，学生们将学习如何运用推理思维来解决问题。
推理思维是数学思维中的一种重要思维方式，通过学习这个单元，学生们将能够提高自己的推理能力，培养自己的逻辑思维能力，从而更好地解决问题。
最后一个单元是关于创新思维的学习。
创新思维是数学思维中的一种高级思维方式，通过学习这个单元，学生们将能够培养自己的创新意识，提高自己的创新能力，从而在解决问题中能够更加独立地思考，并且提出自己的创新性的解决方案。
通过学习数学思维导的这五个单元，学生们将能够全面提升自己的数学思维能力。
数学思维是培养学生综合素质的重要途径，通过数学思维的学习，学生们将能够培养自己的逻辑思维能力、观察力、空间想象力、推理能力和创新能力。
这些能力不仅对于数学学科的学习有着重要的作用，同时也对于学生的其他学科学习以及实际生活中的问题解决有着积极的影响。
因此，六年级上册的数学思维导是非常重要的一个单元。
通过学习数学思维导的这五个单元，学生们将能够全面提升自己的数学思维能力，培养自己的逻辑思维能力、观察力、空间想象力、推理能力和创新能力。
《仁华学校数学思维训练导引》解析(六年级)
仁华学校数学思维训练导引》解析（六年级）仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三仁华思维导引解析９讲：计数综合之二仁华思维导引解析１０讲：逻辑推理之二仁华思维导引解析１１讲：方程与方程组仁华思维导引解析１２讲：行程与工程仁华思维导引解析１３讲：应用题综合之二仁华思维导引解析１４讲：数论综合之二仁华思维导引解析１５讲：数论综合之三仁华思维导引解析１６讲：几何综合之二仁华思维导引解析１７讲：计数综合之三仁华思维导引解析１８讲：最值问题仁华思维导引解析１９讲：构造与论证之二仁华思维导引解析２０讲：构造与论证之三仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一［分新与解I以下用E tS惡示E部舒播向的扶度・E菱表示EsE分竖向的长胆其曲下嫌富义粪饥耳f⅛%=E A tS B fl(T2.i^⅛+⅛=D fi+⅛,翩育吋D fll A m B fli="412∙HT1 A∣j+B橈+C1懂=E懂+州|对应为5+1 ~6＜那么C.对应⅛⅛3.而积CE积=1:2X 所以 A fi=B fi-C fi-^+c S対应肉岔所以桂=C整对应为3・那么快;⅛形的竖边渝^C S对应知，∙K方形笹也拘Eβ+!5*D fll对应天只6+4F5. 所以檢右形的妖导宽陆比丸5 9=5 3.第54页共179页仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三。
数学思维训练导引(六年级答案部分)
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数学思维训练导引（六年级答案部分）
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六年级【小升初】小学数学专题课程《立体图形的认识》（含答案）
六年级【小升初】小学数学专题课程《立体图形的认识》（含答案）24.立体图形的认识知识要点梳理一、立体图形的展开图正方体的展开图长方体的展开图圆柱的展开图圆锥的展开图二、观察物体在实际生活中，常常需要对一个物体从不同角度、不同方位进行观察，来获得其形状、大小、颜色等各方面的信息。
1．从不同的角度、不同的方位观察物体，看到物体的形状可能是不同的。
2．能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的物体的形状。
三、立体图形的认识1.长方体与正方体特征的区别与联系名称图形相同点不同点面棱顶点面的特点棱长长方体 6个 12条8个 6个面一般都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，相对棱长相等每组（有3 组，分别叫长、宽、高）互相平行的４条棱相等正方体6个 12条8个 6个面都是相等的正方形 12条棱都相等 2、圆柱、圆锥的特征考点精讲分析典例精讲考点1立体图形的认识【例1】一个长方体的棱长总和是40厘米，其中长5厘米，宽3厘米，高是多少厘米？【精析】根据长方体棱长总和的计算公式，计算出长方体的高。
名称图形特征圆柱由3个面围成，上、下两底面是面积相等的圆。
侧面是一个曲面，沿高展开是长方形或正方形。
两个底面之间的距离叫做高，有无数条高。
圆锥由2个面围成，底面是一个圆形。
侧面是一个曲面，展开后是扇形。
顶点到底面圆心的距离叫做高，只有一条高【答案】40÷4－5－3＝2（厘米）答：高是2厘米。
【归纳总结】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
【例2】把一个大正方体木块表面涂上红色的漆（如图），锯成完全一样的27块小正方体木块。
小正方体中一面红色、二面红色、三面红色各有多少块？【精析】我们可以想象一下，大正方形被切割成小正方体后，一面有红色的在大正方体每个面的最中间（如A处），两面有红色的在大正方体每条棱的中间（如B处），三面有红色的在大正方体的8个角上（如C处），没有红色的在中心内部。
六年级下册数学课件 - 第5课时 立体图形的认识
七
总复习
立体图形的认识
整理反思
说出下面每个立体图形的名称、特征及图 中字母的含义，再试着把它们分成两类。
d
r
r
整理反思
图形 名称
图例
长方体
正方体
长方体、正方体的特征：
特
征
①有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有 两个面是正方形，相对的两个面面积相等。
②有12条棱，相对的四条棱互相平行且相等。
ha r
l
展开图
练习实践
练习实践
练习实践
练习实践
练习实践
练习实践
√
练习实践
练习实践
思考题
√
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。
运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些 总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 生命的目的是享受生命。 世界上只有想不到的事，没有做不成的事；世界上只有想不通的人，没有走不通的路。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。
①有一个底面，是个圆形。 ②有一个侧面，是个曲面，展开是个扇形。 ③有一个顶点。 ④有一条高。
整理反思 d
r
长方体
正方体
圆柱
六年级上册数学第六单元思维导
引思维导向是数学教学的核心内容之一，在六年级上册数学教学中，思维导向更是被重视。
本文将从思维导向的定义、重要性以及在六年级上册数学教学中的具体应用等方面展开讨论，旨在理清思维导向在数学教学中的地位和作用。
一、思维导向的定义思维导向是指通过对问题进行分析、推理和解决，培养学生的创新意识、问题意识和探索意识的教育思想和方法。
在数学教学中，思维导向的目的是培养学生的逻辑思维能力，提高学生的问题解决能力，激发学生对数学的兴趣和热爱。
二、思维导向的重要性1. 培养学生的批判性思维思维导向的核心是通过分析和解决问题来培养学生的批判性思维。
在数学教学中，学生不仅要学会运用已有的知识解决问题，更要培养学生主动思考、质疑和探索的能力，从而提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
2. 激发学生的学习兴趣传统的数学教学往往以死记硬背为主，容易让学生产生学习疲劳和厌学情绪。
而思维导向的教学方法更加注重启发学生的思考，在学习的过程中激发学生对数学的兴趣和热爱，使学生在主动学习中快乐成长。
三、六年级上册数学中思维导向的具体应用1. 案例分析教学法六年级上册数学中的案例分析教学法非常重要，通过给学生提供实际问题，引导学生通过分析问题、提出解决方法、总结规律等方式，培养学生的批判性思维，并激发学生的学习兴趣。
2. 课堂讨论与启发式教学法在数学教学中，课堂讨论和启发式教学法能够有效地引导学生思考问题解决的方式，通过学生之间的交流和讨论，激发学生的学习兴趣，培养学生的分析和解决问题的能力。
3. 科学实验和数学建模六年级上册数学中的科学实验和数学建模教学法，旨在通过实际操作和模型构建等方式，帮助学生将数学知识与实际生活通联起来，培养学生的创新意识和问题意识。
四、思维导向在数学教学中的挑战和应对策略1. 学生自主学习能力不足在实际的数学教学中，学生的自主学习能力较差，需要老师在教学中加强引导和培养学生的自主思考能力，可以通过布置开放性问题、引导学生自主探索等方式来提高学生的自主学习能力。
六年级数学专题思维训练—立体几何(含答案及解析)
六年级数学专题思维训练—立体几何1、下面四个图形都是由六个相同的正方形组成的，其中，折叠后不能围成正方体的是______________．（填序号）2、如下图所示，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是平方厘米．3、下图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形，问这个直三棱柱的体积是多少？4、有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．在水槽中放人一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么此时油层的层高是厘米。
5、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是立方厘米。
（结果用兀表示）6、如下图所示，从正方形ABCD 上截去长方形DEFG ，其中AB=1厘米，DE=21厘米， DG=31厘米，将ABCGFE 以GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 平方厘米，体积是 _____________ 立方厘米。
（结果用兀表示）7、若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是 。
8、一个圆柱和一个圆锥（如下图所示），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。
请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？9、如下图所示，一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分，已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008平方厘米，则这个圆柱体木棒的侧面积是 平方厘米。
（兀取3. 14）10、两个同样材料做成的球A 和B ，一个实心，一个空心。
A 的直径为7、重量为22，B 的直径为10.6、重量为33.3。
问：哪个球是实心球？（球的体积公式V=34πr ³）11、铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示．问：该油罐车的容积是多少立方米？（兀=3. 1416）（球的体积公式V=34πr ³）12、某工厂原用长4米，宽1米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的围栏，现要将围栏容量增加27%，问：能否还用原来的铁皮围成？13、一个正方体的纸盒中，恰好能放人一个体积为6. 28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（兀=3. 14）．14、用若干个小正方体拼成下图所示的造型．其中有一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前至后穿透整个造型．拼成此造型共需使用多少个小正方体？15、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如下图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？（球的体积公式：V=34πr ³）16、下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内，当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取兀=3. 14）17、威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25% ，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米．问：高是多少厘米？（兀取3. 14，结果保留整数）18、有两个高度一样的水瓶，瓶子的底部被钉子分别戳了一个同样大的小洞．粗瓶子的水12分钟可以漏完，细瓶子的水8分钟可以漏完．若两个瓶子同时漏水，过了一段时间后，粗瓶子中水的高度是细瓶子中的2倍．这两个瓶子同时漏了分钟．19、世界上最早的灯塔建于公元270年，塔分三层，如下图所示，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥．上部的体积是底座的体积的 。
六年级思维训练 第五讲 立体几何综合
第五讲 立体几何综合【专题知识点概述】本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。
主要知识点⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π圆锥： 体积：213r h π ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
【授课批注】可以结合以前所讲过的题进行更深入细致的讲解，加深学生的印象。
【重点难点解析】1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数3．体积的等量代换【竞赛考点挖掘】1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【分析与解】长方体的高是(33.66-2.1×2.3×2)÷2÷(2.1+2.3)= 1130(分米). 长方体的体积是2.1×2.3 × 1130=1101913(立方分米)．【例2】（难度等级 ※※）右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．【分析与解】 2×2×6+1×1×4+21×21×4+41×41×4=29．25(平方厘米)．【例3】（难度等级 ※※）把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。
新版华数思维导引六年级 第七讲 立体图形几何综合1
几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5． 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD、AP，396.42 DPG DFP APDPG PGS S SFP FP∆∆∆===⨯=有925122015872.22 ABC AIPD BEPF CGPH IFP DGP EHPS S S S S S S∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712.而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78.所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则①号正方形的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为962k,不大于100．所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为：22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A ，B 作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB 的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB 的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π取3.14)【分析与解】有AO=OB ，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC ，所以△A OC 为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-。
六年级奥数-第五讲.几何-立体部分
第五讲 几何——立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】 原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯12⨯4=1(平方厘米)，14⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【例4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为2cm．表面积的和是2【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2⨯=．563168(cm)【例5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例6】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b=2h时，如何打包？⑵当b<2h时，如何打包？⑶当b>2h时，如何打包？【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h+6b，图3的周长是12h+4b.两者的周长之差为2（b-2h）.当b=2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b<2h时，按图2打包；当b>2h时，按图3打包.图3图2图1h ba【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：5010064214++=(平方分米)．【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【解析】(法1)四个正方体的表面积之和为：2222+++⨯=⨯=(平方厘米)，(1235)6396234重叠部分的面积为：222222222⨯+⨯+++++++=+++=(平方厘米)，13(221)(321)(321)39141440所以，所得到的多面体的表面积为：23440194-=(平方厘米)．(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为22253238++=平方厘米,从左右两个面观察到的面积为22+=平方厘米，从上下能观察到的面积为2525=平方厘米．5334表面积为()++⨯=(平方厘米)．3834252194【例9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【解析】44(1234)456⨯++++⨯=(平方米)．【例11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?m个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有3个数之比为13:12，而131225+=，所以小正方体的总数是25的倍数，即3m是25的倍数，那么m 是5的倍数．当5m=时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265⨯+⨯⨯=个，表面没有红色的小正方体有1256560-=个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5．【例12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3-=(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小(42)8正方体有2-=个用黑色．(42)624-⨯=(个)，其中30822这样，在表面的44696-=(个)是白色，所以在大⨯⨯=个11⨯的正方形中，有22个是黑色，962274正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是288396÷=厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424÷=厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个87⨯面，有8756⨯=个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个87⨯面，有872112⨯⨯=个；若两面相邻，应涂一个87⨯面和一个97⨯面，此时有()7892105⨯+-=个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87⨯面、一个97⨯面，有()78894147⨯++-=个；若三面两两相邻，有()()()()()()718171918191146-⨯-+-⨯-+-⨯-=个，所以涂三面的最少有146个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307++=个．【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100a b =⨯，那么分成的小正方体个数为()()()()221242104a b ab a b a b +⨯+⨯=+++=++，为了使小正方体的个数尽量少，应使()a b +最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当10a b ==时它们的和最小，此时共有()()102102144+⨯+=个小正方体．当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331÷+⨯=．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227=++，此时共有2227108⨯⨯=个小正方体． 因为108144<，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．【例 15】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有52422222⨯+⨯+⨯=（个）．（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值．对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：⑴ ⑵ ⑶ ⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色． ⑶剩下633839212⨯⨯-⨯-⨯=个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色． 综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622++=个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况．【例 16】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：()33321151212961107⨯⨯-++=（立方厘米）.12129996663121263912【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.【巩固】这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？【解析】 每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】 求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔， 挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔， 挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=． 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30左右方向：40总表面积为()2323040204⨯++=．【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个）小正方体．【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯=个，底面图⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227⨯+⨯+⨯=个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452-=，++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：⑴从上到下五层，如图：⑵或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：【例19】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAAB CDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵ 【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：图⑴ 图⑵对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：1和图3一致！60°图⑶ 图⑷由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是1111112222348⨯⨯⨯⨯=，所以切掉8个角后的体积是1518486-⨯=．再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为12的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为12的立方体里的话是可以放进去的．12这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为148，所以图⑵的体积是：1111142224824⨯⨯-⨯=，那么前者的体积是后者的5120624÷=倍．【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：428(m)⨯=，故体积为100.48。
六年级数学思维训练导引(第13讲至第24讲
六年级数学思维训练导引第13讲-----------第24讲第13讲应用题综合一内容概述与生话相关的形式多样的应用题，需要结合实际情形具体分析；条件比较隐藏，数量关系较为复杂的应用题；具有不肯定性，需要进行简单判断的应用题．典型问题兴趣篇1．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，而且要回了开始给出的50元，请问：那个骗子一共骗了多少钱？2．在水平地面上匀速行驶的拖沓机速度是每秒5米，已知拖沓机前轮直径0.8米，后轮直径1.25米．设某一时刻两轮上与地面的接触点为A 和B ，那么通过量少秒后，A 和B 再次同时与地面接触？（圆周率取近似值3）3．一个容器装了43的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球掏出，再把3个小球沉入水中；第三次掏出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中掏出，现在容器内剩下的水是最开始的92．已知每次从容器中溢出的水量情形是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．求大、中、小三球的体积比，4．礼拜天早晨，冬冬发觉闹钟因电池能量耗尽停了．他换上新电池，估量了一下时刻，把闹钟的时刻调到8:00.然后冬冬离家前去天文馆．他抵达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时刻是9:15.一个半小时后，冬冬从天文馆动身以一样的速度回家，抵家时看到闹钟显示的时刻是11:20，这时冬冬应该把闹钟调到几点几分时刻才是准确的？5．从甲地到乙地有两种方式：①当即步行前去；②等待公共汽车坐车前去．表13-1中列出了从甲地到乙地所用的最短时刻随两地之间距离的转变情形，已知步行速度、汽车速度和等待公车的时刻都是固定的．请问：当两地相距24千米的时候，从甲地抵达乙地的最短时刻是多少分钟？6．某种商品由于实行入口限制，在生意时会征收高达40%的税．比如甲以100元的价钱卖出该商品，在收到买方100元货款以后，需要付给国家40元的税；乙以100元的价钱买人该商品时，则在付给卖方100元货款后，还需要再付给国家40元的税．此刻甲以45万元的总价买入一批该商品，然后再转手卖给乙，在整个生意交易进程中，甲还自己出钱支付了30000元的运费（该费用不征税）．为了让这笔生意不赔本，甲至少应以多少万元的价钱卖给乙？若是以此价钱成交，那么从头至尾国家从甲、乙身上收取了多少万元的税？7．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7时开始，有18列货车由第11站按序发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米．早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米．在抵达终点站前，货车与客车都不断靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车前后相遇？8．有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A点，以每秒1厘米的速度向前爬行，从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍．那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离A点多少厘米？9．有一座塔，从地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图13-1，通道的长度是420米，共转了三圈半．小明从P点以每分钟60米的速度下塔，小亮从Q点以每分钟40米的速度上塔，若是两人同时动身，那么恰好形成正上方与正下方的关系共有多少次？别离是动身以后几分钟？（两人相遇不算）10．阿奇读一本故事书，若是他第一天读25页，以后天天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下47页；若是他第一天读40页，以后天天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下37页．请问：这本故事书最少共有多少页？拓展篇1．甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说：“不用了，我终归还欠你4块钱，正好抵了．”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠他9块钱．”于是甲只付钱给丁，给了31元．那么在餐馆付饭钱的时候，乙、丙、丁别离付了多少元？2．2008年3月1日起，我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为2000元／月．表13-2是工资、薪金所得项目税率表：表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税款数．则在这种税率实行期间：(1)王先生某个月的工资、薪金收入为4480元，该月份他交纳的税款是多少元？(2)张先生某月份交纳了1165元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？3．有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，阿奇先用白色纸片拼成中间没有裂缝的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，以后又用白色纸片拼下去，……，如此重复拼．当阿奇用黑色纸片拼过5次以后，、黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？4．有一辆杂技自行车，前轮的半径是1114分米，后轮的半径是313分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值3.14.）5．两个农妇共带100个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人所卖的总钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖就可以把它们卖180元，”第二个农妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖只能把它们卖80元．”请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？6．张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件．张先生对商店领导说：“若是你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件，”领导算了一下，若减价1%，由于张先生多订购，取得的利润反而比原来多52元．那么按张先生的要求，商店最多能够取得多少元利润？7．比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，而且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方式是：每块黑色皮子的5条边别离与5块白色皮子的边缝在一路；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一路，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一路．若是一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，那个足球应有白色正六边形皮子多少块?8．如图13 – 2所示，相距15厘米的两条平行线a和b之间，有直角三角形A和长方形B．直角三角形A沿着直线a以每秒1厘米的速度向右运动，长方形B沿着直线b以每秒2厘米的速度向左运动．请问：A与B有重叠部份的时刻持续多久?其中重叠部份的面积维持不变的时刻有多长?9．如图13 – 3所示，A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部份．蓝精灵从B点动身在那个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是詈米，若是它跳到A点，就会通过特别通道A曰滑向曰点，并从B点继续起跳，当它通过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?10．汽车轮胎若是放在前轮能够行驶50000千米，若是放在后轮能够行驶30000千米．现有一辆汽车，允许在适当的时候将前轮和后轮互换，那么最多能够行驶多少千米而不需要购买新的轮胎?若是在行驶进程中只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调?11．在A、B之问有一段笔直的公路，在其两个三等分点处各有一棵树．早上9：30时有一辆汽车从A动身，以固定的速度沿公路行驶，于当天早上10：00抵达B．一辆摩托车在当天早上9：25从B动身，以转变的速度开往A地．摩托车手记得他和汽车在某棵树处相遇，但记不清是哪棵树了，他只明白以摩托车的最快速度从B到A恰好要15分钟．若是摩托车手能够按照上述信息推断出自己是在哪棵树处碰到汽车的，那么摩托车最晚什么时问之前抵达A地?12．如图13—4所示，在一个大圆周上均匀散布着200个小球，沿顺时针方向依次编号为1，2，3，…，200．每一个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动(单位是米／秒)，当在某一个时刻有若干小球相遇在一路时，这些小球就会归并成一个小球，并以原来这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动．通过充分长的时刻以后，圆周上最终剩下几个球在运动?速度等于多少?超越篇1．小军驾驶的轿车被警察拦了下来，原因是在高速路上超速驾驶，仪器记录上显示小军的平均速度达到了110千米／时．为了免于惩罚，小军辩白道：“适才我花了两个半小时通过这段高速路，我敢保证在每一个小时的时刻距离内，我开的距离都不超过100千米，因此我开车的平均速度不可能是110千米/时．你的记录仪器必然有问题．”于是警察又查询了电子记录，发觉小军所说属实，虽然总感觉有些不对劲，却又不知如何反驳小军，于足就放过了他．请问：小军的辫解错在哪里?2．甲、乙、丙三个人一路买一件古玩，他们三个人出钱的比是2：2：1．第一次三个人只付了总钱数的50％，乙比丙多付了2750元，可是这些钱中包括乙替甲垫付的550元．几天以后甲又单独向丙借了2000元，向乙借了500元、几天以后这三人发觉古玩的价钱提高了20％，并日由于甲缺钱。
数学思维训练导引 (六年级)
第1讲 分数数列计算内容概述建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．典型问题兴趣篇1．计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1091981871761651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯99972752532312 3．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯100981861641421 4．计算：.90172156142130120112161+++++++ 5．计算：⋅+++++97001130170128141 6．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+1091099898878776766565 7．计算：⋅+-+-+-+-901972175615421330112091276523 8．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10099982543243223212 9．计算：⋅++++++240239210209201912116521 10．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(拓展篇1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200820071651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523 3．计算：⋅⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1311241192097167512538314 4．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++ ⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2( 5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+ 6．计算：⋅++++++83975939231137.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算：⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯109811543643253214 11.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(222 12.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(超越篇1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++==B A ，请比较A 和B 的大小。
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（2）如果沿经过中轴线 AB 的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积 之和又是多少？
【分析】 （1） 蛋糕的表面积为：
2 π1 2
1
2 π1 1
2π3 2
1
2
π23
2
10.5
π32.97
（平方分米）
（2）
新切一刀，表面积增加了
2
2
1 2
2
1
2
3 2
12
，则现在的表面积变为
44.97
【分析】 （1）每一次拼合会少两个面，拼了 3 次，表面积之和少了 32 1 6 平方厘米； （2）原正方体的表面积为 6 1 6 ，且一刀会增加两个面，增加的面积为 2，则两部分的表
面积之和为 8；根据图 2，总共切了 5 刀，表面积增加了 10，则这 18 块长方体的表面积 总和为 16。 （第四届华杯赛初赛第 3 题） 7、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：
超越篇
1、有一个棱长为 20 的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体， 于是得到 8 个小立方体。在这些立方体中，上面 4 个的棱长为 12，下面 4 个的棱长为 13。请问：所有这 8 个小立方体公共部分的体积是多少？
【分析】上面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积为一个正方形，底面边长为
7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为 10 厘米、8 厘米、5 厘米。已知木板厚 1 厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？
【分析】由于此无盖木盒的外部体积为 810 5 400 立方厘米，而木盒的容积为192 立方
厘米。则根据题意，可知需要这样的木板 400 1921208 立方厘米。
2、一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体 积增加 90 厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 厘米。求这个长方体的表面积。
【分析】根据题意，宽×高=20；长×高=30；长×宽=24； 则长方体的表面积为：2×宽×高+2×长×高+2×长×宽=148 平方厘米 3、如图所示，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形。请问：这个立体图
3
圆锥体积与圆柱体积的比是多少？
【分析】
圆锥体积 圆柱体积
1 π22 4 3π42 8
1 24
。
（第三届华杯赛初赛第 5 题）
8、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为 1 分米，底面直径分别为 1.5 分米、1 分米
Hale Waihona Puke 和 0.5 分米的圆柱体组成。请问：
（1）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（取 3.14）
1
【分析】 三视图法： 从前往后看： 7 2 14 ； 从左往右看： 7 2 14 ； 从上往下看： 9 2 18 ； 则这个图形的表面积为：14 14 18 46 （平方厘米）。 4. （1）如图所示，将一个棱长为 6 的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为 4、3、
5 的长方体，剩余部分的表面积是多少？
10、张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年 他改用长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问： 今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
【分析】长
2
米
、宽
1
米所能围成的容积最大的圆柱体粮囤的体积为： 22 2 1
1
；
【分析】题中表面积没有发生变化，仍为6 10 10 600 ； 观察上图，再从上图切去一个边长为 6 的正方体后，其少了 2 个 4 4 16 的正方形，此时
剩下的立体图形的表面积为 568。 5、一个正方体被切成 24 个大小形状一模一样的小长方体（如图所示），这些小长方体的表
面积之和为 162 平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？
【分析】各挖去一个正方体，挖一个正方体，其表面积多了 4 个平面。则该玩具的表面积为 6×4×4+6×4×1=120 平方厘米。
如 若 挖 空 ， 则 可 先 求 最 外 面 的 面 积 为 6 4 4 6 90 ， 而 内 部 的 表 面 积 之 和 为 32 2 3 2 2 3 2 2 36 ，所以把这些洞打穿后，整个表面积变为 126 平方厘米。
【分析】每切一刀，即增加两个面，途中共增加 12 个面。则 18 个面的面积为 162 平方厘米。 所以正方体的边长为 3 厘米，则原正方体的体积为 27 立方厘米。
6、图中是一个棱长为 4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖 去一个棱长 1 厘米的小正方体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果 把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
2
5
1 4
。所以最后得到的立体图形的表面积为
29
1 4
平方
厘米。
6、（1）如图所示，将 4 块棱长为 1 的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后 这个长方体的表面积，比原来 4 个正方体的表面积之和少了多少？
（2）一个正方体形状的木块，棱长为 1，如图 1 所示，将其切成两个长方体。这两部分 的表面积总和是多少？如果在此基础上再切 4 刀（如图 2 所示），将其切成大大小 小共 18 块长方体。这 18 块长方体表面积总和又是多少？
平方分米
9、有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是 6 米、3 米、2 米。三个池子 都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升 高了 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升 高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）
【分析】这两堆碎石的体积之和为：0.06 32 0.04 22 0.7 ,如果均投入大水池的话，大水
第 5 讲 立体几何
兴趣篇
1. 一个长方体的长、宽、高分别为 3 厘米、2 厘米、1 厘米。若它的棱长总和等于另一个 正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体 积少多少立方厘米？
【分析】该长方体的棱长总和为： 3 2 14 24 ；则正方体的边长为 24 12 2 ； 长方体的表面积为： 32 3 12 12 22 ，体积为： 32 1 6 ；
122 20 4 ，高为 2；下面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积也为一个
正方形，底面边长为 6，高为 13。所以这 8 个立方体的公共部分的也是一个小长方体，
其底面为一个正方形，底面边长为 4，高位 5。所以这个公共部分的体积为：4 4 5 80 。
8
2、地上有一堆小立方体，从上面看时如图 1 所示，从前面看时如图 2 所示，从左边看时如 图 3 所示。这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为 1 厘米，那么这堆立 方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？
长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇围成的容积最大的圆柱体粮囤，其体积应为
232 2
9 ，则今年的粮囤的体积为去年粮囤体积的 2
4.5
倍。
11、左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6。如果按照图中所示的方式旋转， 那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？
【分析】
左边正方形旋转所围成的体积为：22 4 16；
面积为： 300 302 240 平方分米，则水面高度为： 2700 240 11.25 平方分米。
由于在此种情况下，已超过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为
2700 330 2 3360 立方分米。则高应为3360 300 11.2 分米；
（3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过 12，有水溢出，此时水面高度应为 12 分米。
正方体的表面积为： 622 24 ；体积为： 2 2 2 8 所以长方体与正方体的表面积之比为：11:12 ，长方体的体积比正方体的体积少 2 立方厘米。
2. 如图所示，将长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为 2 厘米的正 方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去 掉边长为 3 厘米的正方形呢？
【分析】四个角都截去边长为 2 的正方形之后，长方体容器的长为13 4 9 ；宽为9 4 5 ， 其体积为9 52 90 （立方厘米）。 如果四个角去的都是边长为 3 的正方形，则新形成的长方体的长为13 6 7 ，宽为9 6 3 ， 高为 3， 则新长方体的体积为 7 33 63 （立方厘米）。
3. 用棱长是 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方 厘米？
池的池面会升 0.7 62 0.0194 ，即增加 1.97 厘米。
4
10、有一个高 24 厘米，底面半径为 10 厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长 30 厘米，底面半径为 2 厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容 器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？
【分析】令水面升高了 x 厘米，则 π102 x π22 12 x，解之得 x=0.5 厘米.
形的表面积等于多少？
【分析】三视图法： 从上往下看：其面积为：4×4×2=32； 从左往右看：其面积为：10×2=20； 从前往后看：其面积为：10×2=20。 则其表面积和为 72 平方米。
4、如图 1 所示，将一个棱长为 10 的正方体从顶点 A 切掉一个棱长为 4 的正方体，得到如
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图 2 所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点 B 切掉一个棱长为 6 的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？
【分析】
（1） 若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为： 30109 2700 立方分米，而现在放 入的圆柱的底面积为： 330 1130 平方分米。将圆柱放入后，除去现在的圆柱即