无穷级数的概念与性质
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
第七章-无穷级数
11
(1 ) ( ) L ( )
2 23
n n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
1 1 n1
故级数收敛,其和为1. (例2解法称为连锁相销法）
例3 讨论几何级数(等比级数)
aqn1 a aq aq2 L aqn1 L
n1
的敛散性.若收敛,则求出其和.u(n 参 aq见n1书P272例1）
其中的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数,
它是一种常见而有实用价值的特殊级数.
(二) 交错级数的莱布尼兹判别法
设un>0，(n=1,2,…)，则称
(1)n1 un u1 u2 u3 u4 L
n1
为交错级数。例如
(1)n1 1
n1
n
等等。
（7.7)
对于交错级数，判定其敛散性，有如下使用方便的莱
a n n
a0 1
.
由上面的性质5，级数
un
发散。
n1
例2 若级数 un 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 1
A. 2un 1
B. (un 2) 1
C. 2 un
1
D. un nk
分析与解：注意到已知
un
收敛，由性质2知
1
2un
是收敛的；
1
由性质3 知，C、D 所示级数也是收敛的；
n1
aun收敛到aS ;若级数 un 发散，则 aun
n1
n1
n1
也发散。
性质3. 将级数 un 的前面加上(或去掉)有限项， n1
级数的敛散性不变。（当然，收敛时，和一般要变）
性质4. 收敛级数加括号后得到的级数仍收敛，且和不 变。
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
12无穷级数的概念与性质
将s2n写成两种形式:
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 )
(u2n1 u2n )
(1)
s2n u1 (u2 u3) (u4 u5 )
(u2n2 u2n1) u2n (2)
由定理的第一个条件：un un1,
由<1>式可知{s2n}是单调增加的；
由<2>式可知s2n<u1.
n1 n(n 1)
证明
n(n 1) (n 1)2
1
1
n(n 1) (n 1)2
1 1 n(n 1) n 1
而级数
1
1 1
1
是发散的；
n1n 1 2 3
n 1
由比较判别法可知,所给级数也发散.
三、正项级数收敛的比值判别法
定理４<达朗贝尔比值判别法> 设 u n为正项级
n 1
数,如果 lim un1 l
其中第n项un叫作级数的一般项或通项.
级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作
Sn.即： n Snu 1u2u3 un uk k 1
例如 级数 1 1 1 的 1 2 23 3 4
一般项
un
1 n(n 1)
它的前n项和
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n 1)
1 1 1
n(n 1) n n 1
调和级数
1是发散的
;
n1n
p 级数n1n1p也发散 .
(2)当p 1时，
n1n1p
1
(
1 2p
1 3p
)
(41p
1 5p
1 6p
1 7p
)
1
( 8
无穷级数的概念和性质
例1
试判定级数
un
1 11
1
的收敛性.
n1
i1
解 所给级数的前n项和
n
n
Sn ui 1 11 1 n,
i1
i1
lim
n
Sn
lim n
n
,
因此所给级数 1 11 1 发散.
n1
例2 判定级数 r n1 1 r r 2 r n1 的收敛性.
解
注意到
n1
1 2n1
与
n13n51
皆为几何级数，
其公比分别为r 1与r 1 ， 23
由例4可知 n121n1 与 n13n51 皆收敛，且
n1
1 2n1
1 1 1
2,
2
n13n51
5 1 1
15, 2
3
由性质8.2可知
n1
n1
因此应有
lim
n
Sn
S
.
又设
n ku1 ku2 kun
k(u1 u2 un ) kSn ,
由极限的性质可知
lim
n
n
lim
n
kSn
k
lim
n
Sn
kS ,
即 kun 收敛，且其和为kS.
n1
(2)用反证法.若 un收敛，k 0,
性质2 若 u收n 敛，其和为S； v收n 敛，其和σ，则
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sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
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综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数的基本概念与性质
无穷级数的基本概念与性质无穷级数是数学中一种重要且有趣的概念。
它由无穷多个数项按照一定规律相加而构成。
在本文中，我们将详细探讨无穷级数的基本概念与性质。
无穷级数的定义相对简单直观。
给定一列实数 { a_n }_{ n =1 }^{ \infty } ，则无穷级数可以通过将其数项按顺序相加得到。
符号∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 表示这个无穷级数。
然而，要确定无穷级数是否收敛，我们需要引入部分和的概念。
部分和 S_n 是无穷级数的前 n 项和，即 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 。
如果当 n 增大时，部分和 S_n 的值逐渐趋近于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数 S 收敛，记作S = ∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 。
否则，无穷级数 S 发散。
无穷级数有许多有趣的性质。
首先，我们需要讨论和与部分和之间的关系。
当无穷级数收敛时，我们称之为收敛级数，而它对应的部分和序列 { S_n }_{ n = 1 }^{ \infty } 是收敛的。
换句话说，收敛级数的部分和序列趋近于一个有限的数。
一个重要的定理是柯西收敛准则。
柯西收敛准则表明，当且仅当对于任意的正整数 N ，存在正整数 M > N ，使得当 m > n > N 时， | S_m - S_n | < ε ，其中ε > 0 是任意小的正数。
这个定理给出了判断无穷级数收敛与否的充分条件，即无穷级数收敛当且仅当其部分和序列满足柯西收敛准则。
对于收敛级数，我们还可以进行求和的运算。
当无穷级数S = ∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 收敛时，我们可以计算其和。
设 S_n 是无穷级数的前 n 项和，即部分和序列 { S_n }_{ n = 1 }^{ \infty } 收敛到 S ，则我们可以得到以下结论：当 n 趋近于无穷大时， S_n 也趋近于 S 。
无穷级数的定义及应用
无穷级数的定义及应用无穷级数是数学领域中一个重要的概念，它在多个领域中都有着广泛的应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍无穷级数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、无穷级数的定义无穷级数是由一列实数（或复数）按照一定的规律相加得到的。
它的一般形式可以表示为S=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...，其中a_n表示级数的第n项。
当级数中的各项a_n的和S存在有限的极限时，称该级数收敛；当级数的和S不存在有限的极限时，称该级数发散。
二、无穷级数的性质1. 收敛性：无穷级数的收敛性是判断其是否有意义的重要性质。
常见的判别方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
2. 绝对收敛性：如果一个级数的所有项都是正数，并且这个级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
绝对收敛的级数一定是收敛的，但反之不成立。
3. 条件收敛性：如果一个级数是收敛的，但不是绝对收敛的，那么称该级数是条件收敛的。
条件收敛的级数可以通过重新排列项的顺序得到不同的和。
4. 收敛级数的和与项的排列顺序无关：对于收敛级数，改变它的项的顺序并不会改变其和。
5. 级数的运算：对于两个级数，可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
三、无穷级数的应用无穷级数在数学中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用领域。
1. 数学分析中的级数：无穷级数在数学分析中有着重要的地位，它可以用来研究函数的性质，如连续性、可导性、积分等。
级数的收敛性和和函数的性质之间有着紧密的联系。
2. 物理学中的级数：无穷级数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在力学中，泰勒级数可以用来近似表示一个函数，从而简化复杂的计算。
在电磁学中，无穷级数可以用来求解电场、磁场等问题。
3. 统计学中的级数：无穷级数在统计学中也有一定的应用。
例如，在概率论中，无穷级数可以用来表示事件发生的概率。
在统计学中，级数可以用来计算样本的累计百分比。
4. 经济学中的级数：无穷级数在经济学中也有一定的应用。
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
7.1-7.2无穷级数的概念和性质
例2 判 无 级 别 穷 数
1 1 1 + +L+ +L 的 敛 . 收 性 1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1) ⋅ (2n + 1)
1 1 1 1 ), = ( − 解 Q un = ( 2n − 1)( 2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1
1 1 1 + + L+ ∴ sn = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
n 2
1 1 1 1 1 1 = [(1 − ) + ( − ) + L + ( − )] 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 1 )= , ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
x a n+1 4、 ； 4、 ( −1) n−1 ； 3、 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n) 2n + 1 1 6、 5、 2k − 1.2k − 1,2k , ； 6、 q < 1, q ≥ 1 . 2k 收敛. 发散； 收敛； 三、收敛. 四、1、发散； 2、收敛； n 1 1 ) ]. 发散、 3、发散、[ s2 n = ∑ ( k + 10k k =1 2
练习题答案
1 1⋅ 2 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 一、1、 + ； + + + 2 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 1! 2! 3! 4! 5! 2、 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ； 1 2 3 4 5
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
无穷级数的概念和性质
无穷级数的概念和性质无穷级数是数学中一个非常重要且有趣的概念。
在本文中，我们将介绍无穷级数的定义、收敛性、发散性以及一些相关的性质。
一、无穷级数的定义无穷级数是由无限个数相加（或相减）得到的一种数列。
一般的无穷级数可以写成以下的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是数列的项。
二、收敛性和发散性无穷级数可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列有极限L，即当n趋向于无穷时，Sₙ（前n项的和）趋向于L，则称该无穷级数收敛，记作S = L。
2. 发散：如果无穷级数不收敛，则称该无穷级数发散。
三、收敛级数的性质1. 加法性：如果两个收敛级数S₁和S₂都收敛，并且它们的和数列分别为S₁₀和S₂₀，则它们的和级数S = S₁ + S₂也收敛，且其和数列为S₁₀ + S₂₀。
2. 数乘性：对于一个收敛级数S，如果乘以一个常数c，则所得到的级数cS也收敛，并且其和数列为cS₀，其中S₀是级数S的和数列。
3. 子序列收敛性：如果一个级数S收敛，则它的任意子序列也收敛，且收敛于相同的极限。
四、底达到性底达到性是指对于一个收敛级数S，无论收敛级数前面有多少项被去掉，剩下的级数仍然收敛，并且收敛于相同的极限。
五、绝对收敛和条件收敛1. 绝对收敛：如果级数的所有项的绝对值的和收敛，那么该级数称为绝对收敛。
2. 条件收敛：如果级数本身是收敛的，但是它的绝对值级数却是发散的，那么这个级数称为条件收敛。
六、收敛判定方法1. 正项级数判别法：如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，那么该级数收敛当且仅当它的部分和数列有界。
2. 比值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的比值aₙ₊₁/aₙ的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，比值判别法失效。
3. 根值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的n次方根∛ₙ(aₙ)的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，根值判别法失效。
无穷级数的概念及基本性质
无穷级数的概念及基本性质无穷级数是数学中一个重要的概念，它描述的是无穷多个数相加的情况。
无穷级数可以是无限递增的，也可以是无限递减的。
在这篇文章中，我将介绍无穷级数的概念及其基本性质。
首先，让我们来回顾一下有穷级数的概念。
有穷级数是指有限个数相加的和。
例如，1+2+3+4是一个有穷级数。
而无穷级数是指无限个数相加的和。
下面是一个无穷级数的例子：1+1/2+1/4+1/8+...在这个无穷级数中，每一项都是前一项的一半。
无穷级数的和是无限的，但是有时候我们可以找到一种方法来计算无穷级数的和。
接下来，让我们来讨论无穷级数的收敛性和发散性。
一个无穷级数是收敛的，如果它的和是有限的；否则，它是发散的。
我们用S表示一个无穷级数的和。
如果无穷级数的部分和逼近某个值L，那么这个无穷级数是收敛的，且S=L。
如果无穷级数的部分和趋向于无穷大，那么这个无穷级数是发散的。
我们也可以通过计算部分和来判断无穷级数的收敛性。
部分和是指无穷级数前n 项的和。
当n趋向于无穷大时，如果部分和有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的。
否则，它是发散的。
当我们面对一个无穷级数时，我们通常会使用一些技巧来判断其收敛性。
其中一种方法是使用比较判别法。
比较判别法是指将一个无穷级数与另一个已知的无穷级数进行比较。
如果已知的无穷级数是收敛的，并且其和大于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是收敛的。
如果已知的无穷级数是发散的，并且其和小于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是发散的。
另一种常用的方法是使用比值判别法。
比值判别法是指计算无穷级数相邻两项的比值的绝对值的极限。
如果这个极限小于1，那么无穷级数是收敛的。
如果这个极限大于1或者不存在，那么无穷级数是发散的。
除了收敛性与发散性外，无穷级数还具有一些其他的性质。
其中一个性质是线性性质。
如果两个无穷级数都是收敛的，那么它们的和与差也是收敛的。
另外，如果一个无穷级数是发散的，那么它的和与差也是发散的。
无穷级数与级数收敛性
无穷级数与级数收敛性在数学中，级数是无穷个数的和。
无穷级数是一种重要的概念，与级数的收敛性密切相关。
本文将对无穷级数和级数的收敛性进行探讨。
一、无穷级数的定义和性质无穷级数可以用以下形式表示：S = a1 + a2 + a3 + ...其中a1, a2, a3, ... 是数列的项。
为了简化问题，我们假设这是一个实数数列。
在数学中，我们通常关注无穷级数的偏和部分和。
偏和是前n项的和，表示为Sn = a1 + a2 + ... + an。
当n趋向无穷时，Sn也趋向无穷。
我们用S表示无穷级数的和，如果对任意ε > 0，存在一个正整数n，使得当n > N时，|Sn - S| < ε，我们称该级数是收敛的。
否则，我们称它是发散的。
二、级数的收敛性准则1. 正项级数收敛准则：如果级数的所有项都是非负数，并且数列a1, a2, a3, ...是递减的，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法：如果存在一个收敛级数Σb1 + b2 + b3 + ...，对于所有n，都有an ≤ bn，那么级数Σa1 + a2 + a3 + ...也是收敛的。
3. 比值判别法：如果存在一个正数q，使得对所有n自然数，都有an₊₁/ an ≤ q，那么级数Σa1 + a2 + a3 + ...是收敛的。
4. 根值判别法：如果存在一个正数p，使得对所有n自然数，都有√(an₊₁)/√(an) ≤ p，那么级数Σa1 + a2 + a3 + ...是收敛的。
三、级数的收敛性判断1. 若级数Σan收敛，则必有lim n→∞ an = 0。
即常数项数列必趋于零。
2. 正项级数，即所有项都为非负数的级数，我们可以利用正项级数收敛准则来判断其收敛性。
四、级数的运算当级数Σan和Σbn收敛时，我们可以进行如下的运算：1. 若c是一个常数，那么级数Σ(c · an)也是收敛的，其和等于c · Σan。
2. 级数Σ(an + bn)也是收敛的，其和等于Σan + Σbn。
无穷级数与收敛半径
无穷级数与收敛半径无穷级数在数学中扮演着重要的角色，它们的理论和应用在各个领域都有广泛的应用。
其中一个关键概念就是收敛半径，它是无穷级数收敛的程度的度量。
本文将介绍无穷级数的定义、性质，并探讨收敛半径的概念及其计算方法。
一、无穷级数的定义与性质无穷级数由一系列具有特定规律的数项组成，形如：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中a₁, a₂, a₃, ...是一系列实数或复数，称为级数的项。
级数的部分和是指取前n个项之和，即Sn = a₁ + a₂ + ... + aₙ。
对于级数S，如果存在一个数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n > N时，|Sn - L| < ε成立，则称级数S收敛于L。
如果不存在这样的数L，则称级数S发散。
收敛级数有一些重要性质。
首先，收敛级数的项必定趋于零。
其次，对于收敛的级数，其部分和构成的数列是收敛的。
这意味着收敛级数的部分和序列将会趋于一个有限的值。
二、收敛半径的定义与性质对于幂级数∑aₙxⁿ，其中aₙ是系数，x是变量，我们定义一个重要的概念——收敛半径。
收敛半径R以以下方式定义：R = 1 / lim sup(√ⁿᵀʰ aₙ)其中lim sup表示上极限。
该公式给出了一个半径，使得当|x| < R时，幂级数绝对收敛，并且当|x| > R时，幂级数发散。
收敛半径具有以下重要性质。
首先，对于任何收敛半径R，幂级数在区间(-R, R)内都是绝对收敛的。
其次，幂级数在区间外发散，即当|x| > R时，幂级数绝对发散或者发散。
三、计算收敛半径的方法在实际应用中，计算收敛半径是十分重要的。
下面介绍两种常用的判别法来计算收敛半径。
1. 比值法比值法是一种简便的方法，可以快速判断幂级数的收敛半径。
具体步骤如下：首先，计算幂级数的通项极限：ρ = lim|aₙ₊₁ / aₙ|然后，根据以下三种情况进行判断：- 当ρ = 0时，收敛半径为正无穷。
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, 故 lim Sn 不存在.
n
a 综上所述: 当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；S 。 1 q 当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
该结论需要记忆，用于判定各种等比数列是否 收敛
基本性质
性质 1 若级数
un 收敛，其和为 s，则 n 1
级数 kun 亦收敛，且其和为 ks.
如果部分和数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则
n
称无穷级 数
un 收敛,这时极限 s 叫做级数 n 1
un 的和，并记作 s un n 1 n 1
如果sn 没有极限,则称无穷级数
u
n 1
n 发散.
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
ln(n 1) ln1 ln(n 1)
lim S n lim ln( n 1)
n n
上级数发散
例
aqn 1 的敛散性. 讨论等比级数
n 1
解
等比级数的部分和为：
a(1 q n ) S n aqk 1 1 q k 1
n
a a (1 q n ) , 当公比 | r | < 1 时, nlim S n nlim 1 r q 1 q
收敛的必要条件
级数
u 收敛 lim un 0. n
n 1 n
证明 设
n
n1
un s 则 un sn sn1 ,
n n
lim un lim sn lim sn1 s s 0.
逆否命题成立：
lim un 0
上级数收敛
例：判断级数 2 3 ... n ...是否收敛 1
n( n 1) (等差数列求和公式 ) 解：部分和 n S 2
n n lim S n lim n n 2
2
上级数发散
1 1 1 1 例：判断级数 ... ...是否收敛 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
上述级数发散
解：上述数列的通项有 规律可循
1 1 1 an n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 部分和 S n ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
1 关系 lim S n lim(1 ) 1 (无穷小与无穷大的互逆 ) n n n 1
上级数收敛
2 3 4 n 1 例：判断级数 ln ln ln ... ln ...是否收敛 1 2 3 n A 解：上述数列的通项可 用公式 ln ln A ln B化简 B
n 1 an ln ln( n 1) ln n n
部分和Sn (ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) (ln 4 ln 3) ... (ln(n 1) ln n)
n 1
性质 2 设两收敛级数 s
un , vn ,则级数 n 1 n 1
(un vn )收敛,其和为 s . n 1
2 (1) 例：判断级数 3n n 1
n 1
是否收敛
2 (1) n1 解：上述级数可以分为 两个部分 n 和 3 n1 3n n 1 2 1 3n 是公比为3 的等比数列; n 1
n 1 2 n ; n 1
cos n cos1 cos 2 cos n . n 1
例
sin x sin 2 x sin 3x ... sin nx ... 通项是收敛与发散:
(1) n1 1 3n 是公比为 3 的等比数列; n 1
1 1 5 3 3 上级数收敛 和为 1 1 4 11 - (- ) 3 3
性质： 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,
所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.
性质： 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍
然收敛, 且其和不变.
a 。 此时等比级数收敛, 其和为： S 1 q
a (1 q n ) . 当公比 | r | > 1 时, nlim Sn nlim 1 q
当公比 r =1时,
n
lim Sn lim na .
n
当公比 r = 1时, S = n
a, n为奇数 0, n为偶数
9.1 级数的概念与性质
级数的基本概念 级数的收敛和发散 级数的基本性质 收敛的必要条件
无穷级数的定义
设有数列 {un}: 则称表达式
u1 , u2 , …, un , …
un u1 u2 un n 1
简称为级数.
为一个无穷级数,
称
un 为级数的一般项或通项.
n
级数
u 发散
n 1 n
n 例：判断级数 (1) 的敛散性。 2n 1 1 2 , n 2k n n 0 解： (1) lim n 2n 1 1 , n 2k 1 2
n
由 lim un 0
n
级数
u 发散
n 1 n
n
1 1 1 例：判断级数 1 ... n ...是否收敛 2 4 2
分析：判断收敛即指是 否有和
1 n 1[1 ( ) ] 1 n 2 解：S n 2[1 ( ) ] 1 2 1 2 1 上式中n lim S n lim 2 n 1 ） 2 （ n n 2
注：和以前学习的数列区别在于项数。
若级数 un 的每一项un 均为常数,
n 1
则称该级数为常数项级 . 数
若级数的每一项均为同 一个变量的 函数 : un un ( x), 则称级数 un ( x) 为函
n 1
数项级数.
例
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 2n 2 4 2n ; n 1