函数的起源与发展

函数的起源与发展

今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。

——引言

众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。

设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素?和它对应，那么就称??为从集合A到集合B的一个函

数，记作??或?。

仍然是未知的。（定义?5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是?x值，另一栏是与它相对应的?y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。

十九世纪法国数学家柯西（?Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。

直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。

函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。

题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图）

要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。

作图方法：

步骤一：??

?给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，????作C点使OC＝1/4OB，????作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，??

?作AO延长线上E点使得∠DCE＝

???步骤二：??

?作AE中点M，并以M F 点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

?步骤三：??

??过G4作OA垂直线交圆O于P4

有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1??

注意到

cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,

令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a??

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a????

有:x+y=-1/2??

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)????

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)????

经计算知xy=-1又有??

x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4??

其次再设

x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a???

?y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a????

故有x1+x2=(-1+根号17)/4????y1+y2=(-1-根号17)/4??

最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2??

可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,?故正17边形可用尺规作出

三角函数的神奇之处体现于此。

同学们，数学如此奇妙，无限轮回，轮回转生，山重水复疑无路时，灵光一闪，柳暗花明又一村。同学们，不要抱怨数学题目的难度，方法总是人想出来的，让我们享受数学，享受函数的神奇魅力。