极坐标与参数方程知识点总结

第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。

和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是点M直角坐标()y x ,极坐标()θρ,互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ()0tan 222≠=+=x xyy x θρ 在一般情况下,由θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆()πθρ20<≤=r圆心为()0,r ,半径为r 的圆⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=222πθπρr圆心为⎪⎭⎫⎝⎛2,πr ,半径为r 的圆()πθθρ<≤=0sin 2r过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R ∈+=∈=ραπθραθ或(2) ()()00≥+=≥=ραπθραθ或过点()0,a ,与极轴垂直的直线⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22cos πθπθρa过点⎪⎭⎫⎝⎛2,πa ,与极轴平行的直线()πθθρ<<=0sin a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M ()y x ,，则()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为()b a ,，半径为r 的圆的普通方程是()()222r b y a x =-+-，它的参数方程为：()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin cos r b y r a x 。

4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()012222>>=+b a bya x 其参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos b y a x ，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是()012222>>=+b a b x a y 其参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos a y b x 其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的围为[)πϕ2,0∈。

注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到π2的围），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

但当20πα≤≤时，相应地也有20πϕ≤≤，在其他象限类似。

5．双曲线的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为()0,012222>>=-b a bya x 其参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==tan sec b y a x ，其中[)23,22,0πϕπϕπϕ≠≠∈且。

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是()0,012222>>=-b a b x a y 其参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==csc cot a y b x ，其中()πϕπϕ≠∈且2.0以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线()022>=p px y 的参数方程为()为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==2227．直线的参数方程经过点()000,y x M ，倾斜角为⎪⎭⎫⎝⎛≠2παα的直线l 的普通方程是()00tan x x y y -=-α而过()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为()为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为()为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点()y x M ,为终点的有向线段M M 0的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。

我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

【要点名师透析】 一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx //23:ϕ（1）求点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,31A 经过ϕ变换所得的点A '的坐标；（2）点B 经过ϕ变换得到点1(3,)2B '=-，求点B 的坐标；（3）求直线:6l y x =经过ϕ变换后所得到直线的l '方程；（4）求双曲线22:164y C x -=经过ϕ变换后所得到曲线C '的焦点坐标。

（二）极坐标与直角坐标的互化〖例2〗在极坐标系中，如果5(2,),(2,)44A B ππ为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<。

（三）求曲线的极坐标方程〖例〗已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB=3π，⊿POQ 的面积为8，求PQ 中点M 的极坐标方程。

（四）极坐标的应用〖例〗如图，点A 在直线x=4上移动，⊿OPA 为等腰直角三角形，⊿OPA 的顶角为∠OPA （O ，P ，A 依次按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。

二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程〖例〗已知曲线C ： （t 为参数）， C ：（为参数）。

（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为2π=t ，Q 为C 上的动点，求中点到直线⎩⎨⎧+-=+=ty tx C 223:3 （t 为参数）距离的最小值。

（二）椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值 解答：（三）直线参数方程的应用〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。

解析：（四）圆的参数方程的应用〖例〗已知曲线C 的参数方程是为参数)，且曲线C 与直线=0相交于两点A 、B（1）求曲线C 的普通方程；（2）求弦AB 的垂直平分线的方程（3）求弦AB 的长 【感悟高考真题】1．在极坐标系中，点（2，3π）到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为( )（A ）2 (B)249π+(C)219π+（D)32．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）（A ）(1,)2π （B ）(1,)2π- （C ）(1,0) （D ）(1,)π 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x ,).(为参数α在极坐标系（与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为______4．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x ).(为参数α在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为___5.（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为ρ=2sin 4cos θθ+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .6．（2011·高考理科·T15C ）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2C：1ρ=上，则||AB 的最小值为 ．7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系x O y 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2C：1ρ=上，则||AB 的最小值为 ．8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty tx 882（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆2224(0)x y r r 相切，则r =________.9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 .10．（2）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）.（I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，判断点P 与直线l 位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.11.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。