高三数学综合练习二.doc
高三数学综合练习题
高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。
2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。
3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。
4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。
5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。
综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。
2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。
3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。
4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。
综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。
2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。
3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。
4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。
综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。
2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。
山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷
山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．04．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD8．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i11．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -12．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学理试题(Word解析版)
东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2013.3一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{40}A x x =->，1{2}4xB x =<，则A B = （ ）A ．{}2x x > B. {}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】{22}A x x x =><-或，{2}B x x =<-,所以{2}A B x x =<- ,选B. 2．已知复数2(1)(2)z a a i =-+-(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A【解析】若复数为纯虚数，则有21020a a -=-≠，，解得1a =±。
所以1a =是z 为纯虚数的充分非必要条件，选A. 3．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程（ ）A ．3sin 2=ρθ B. 3cos 2=ρθ C. 3sin 2=ρθ D.3cos 2=ρθ 【答案】D【解析】由于点(3,)3π的直角坐标坐标为 333(,)22.故过此点垂直于x 轴的直线方程为32x =，化为极坐标方程为3cos 2=ρθ,所以选D. 4．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）？ 开始是否输出 结束第4题图A.96B. 120C.144D. 300【答案】B【解析】经过第一次循环得到t=2，k=2；满足判断框中的条件；经过第二次循环得到t=2+2×2=6，k=2+1=3；满足判断框中的条件；经过第三次循环得到t=6+6×3=24，k=3+1=4；满足判断框中的条件；经过第四次循环得到t=24+24×4=120，k=4+1=5；不满足判断框中的条件；执行“输出t“即输出120．选B5．已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16 D ．17【答案】A【解析】因为2z x y =+既存在最大值，又存在最小值，所以不等式表示的平面区域为一个有界区域，可得1m <。
【精选高中试题】北京市丰台区高三5月综合练习(二模)数学(理科)试卷 Word版含答案
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=错误！未找到引用源。
的距离等于 （A）（B（C（D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -=（D ）2214xy -=5. 已知向量1)2=，a，1)=-b ，则，a b 的夹角为（A ）π4（B ）π3（C ）π（D ）2π侧视图正视图6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（A ）1（B（C（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10（B ）11（C ）12（D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入=x 的值为6，则输出的x 值为 ．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+u u r u u r u u r.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i =,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，60DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由.GADEFBC18.（本小题共13分）已知函数()e ln x f x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y k x =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以sin 0B >，从而2sin 1A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分 （Ⅱ）因为πi n c o6B C B A -+-+..………………7分s i n c o s B B +..………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC△矛盾，故πs i n c o s ()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）5分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分(=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125， 2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，……8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分 （Ⅲ）产品D . ……………13分17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . ………………2分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG //平面BDF ．………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD = 所以A ⊥． ………………5分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间坐标系， ………………6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E，B，1(2F - ， 所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，DB =. 设平面B D 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(20,1)=n ． (8)分设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，=………………9分所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为. ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤， 则1()2DH t =-．设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ， ………………13分即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H，使平面B D F ⊥平面H A D ． ………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ） ()f x 的定义域为(0,)+∞， (1)分因为ea =，所以()e x f x x =-+，所以e()e x f x x'=-. …………………2分因为(f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e xa f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e()e ea af '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以(,)ax x ∀∈，()0f x '<；(,1)x x ∀∈，()0f x '>， (8)分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x . …………………10分因为00e 0x ax -=,所以1()x f x x -+. (11)分 设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x+'=--=-， ………………12分 所以()0g x '<，即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为抛物线24y x=的焦点坐标为(1,,所以1c =,..………………1分所以3242a =，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++， (4)(4)y x y x +++所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=， 所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分 代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. (2)分因为6718a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠， 故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质，所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a i d +=+， ..………………9分 所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n jij ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
东城区普通高中示范校高三数学综合练习(二)及答案
东城区普通高中示范校高三数学综合练习（二）2012.3命题学校：北京市第十一中学学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集2,{|30},{|1}U A x x x B x x ==-->=<-R ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.}0|{>x xB.}13|{-<<-x xC.}03|{<<-x xD.}1|{-<x x2．已知直线l 过定点（-1，1），则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆122=+y x 相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是 （ ） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥ C ．,βm n m =⊥ α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 4．甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （ ） A.61 B. 92 C. 185 D. 315. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A.（30，42］B.（42，56］C.（56，72］D.（30，72）mO PQ MN6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ） A ．112 B.80 C.72 D.64（第5题图）（第6题图）7. 已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a 8.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是（ ）4π x 2π 2π4π S Oπx 2π 2π4π S Oπx 2π 2πS Oπx 2π 2π4π S Oπ4俯视图 正视图侧视图4 43A B C D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省包场高级中学2015届高三10月综合练习(二)数学试题 Word版含答案
江苏省包场高级中学2014-2015年十月高三数学综合练习二1．函数()π()cos 2([0,π]2f x x x =-∈)的单调减区间为2．已知方程k x =+)4sin(2π在π≤≤x 0上有两解，则实数k 的取值范围是___________3．在等式1)10tan 31)(cos(=+*︒的括号中，填写一个锐角，使得这个等式成立，这个锐角的角度是__________4．已知函数())2f x x π=≤≤，则()f x 的值域为 .5．有下列命题 ①函数)2cos(π+=x y 是偶函数；②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭③直线8π=x 是函数)42sin(π+=x y 图象的一条对称轴；④函数)6sin(π+=x y 在)3,2(ππ-上是单调增函数；⑤点)0,6(π是函数)3tan(π+=x y 图象的对称中心.⑥若x x f 6cos )(sin =，则(cos15)0f ︒=；其中正确命题的序号是__________； 6．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β 均为锐角，则β 等于 . 7．已知函数)0)(sin(2)(>+=ωφωx x f 的图象关于直线3π=x 对称，且,0)12(=πf 则ω的最小值为________________ 8.函数)2|)(|2sin()(πφφ<+=x x f 向左平移6π个单位后是奇函数，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为____________ 9．已知函数()2sin()5f x x πω=-的图象与直线1y =-的交点中最近的两点间的距离为3π，则函数()f x 的最小正周期等于 10．当1x >时，直线y ax a =-恒在抛物线2y x =的下方，则a 的取值范围是 ．11.已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在（1，3]上有解，则实数a 的取值范围为 ． 12.设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立， 则实数b 的取值范围是 ．13．若关于x 的方程kx x x =-2||有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是 . 14 .若曲线12y x-=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = .15.已知函数.cos 212cos 2sin )(x x x x f ++=(1)求()f x 的定义域和值域； (2)若x x f x 2cos ,523)(),4,4(求且=-∈ππ的值；(3)若曲线()f x 在点00(,())P x f x 0()22x ππ-<<处的切线平行直线y x =,求0x 的值.16．已知函数)4sin()4sin(sin )tan 11()(2ππ-+++=x x m x x x f （1） 当0=m 时，求)(x f 的最小正周期并求)(x f 在]43,8[ππ上的取值范围 （2） 当2tan =α时，,53)(=αf 求实数m 的值17．已知R a ∈，函数()f x x x a =-，（Ⅰ）当a =2时，写出函数)(x f y =的单调递增区间； （Ⅱ）当a >2时，求函数)(x f y =在区间[]2,1上的最小值；（Ⅲ）设0≠a ，函数)(x f 在),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m 、的取值范围（用a 表示）18．已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x A x π=-，（0A ≠）（1）当 0≤x ≤2π时，求(sin )y f x =的最大值； （2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数A 的取值范围； （3）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)π2,0上有两解？19．已知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). （1）求证：函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； （2）设函数在3x π=处有极值.①对于一切02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()π()4f x x +恒成立，求b 的取值范围；②若函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.2015届高三数学周末综合练习二参考答案15.解（1）x x x x x f cos 211cos 2cos sin 2)(2+-+=)4sin(2cos sin π+=+=x x x ………………2分由)(434),(20cos 2Z k k x Z k k x x ∈+≠+∴∈+≠≠πππππ，得 ……4分 则 }22|{)(≤≤-y y x f 的值域为 ……………………6分（2）∵.523)4sin(2,523)(=+∴=πx x f ∴53)4sin(=+πx …………………………7分∵24044ππππ<+<∴<<-x x ，∴54)4cos(=+πx …………………………8分∴2524)4cos()4sin(2)4sin(2)22sin(2cos =++=+=+=ππππx x x x x …………10分 (3)/()cos sin f x x x =-由题意得/0000()cos sin )4f x x x x π=-=+分∴0cos()4x π+=又∵03444x πππ-<+<∴005,,4661212x x πππππ+=-∴=--……………… 14分17. 解：当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x 由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）(Ⅱ)因为2>a ,x ∈[1，2]时，所以f(x)=x(a-x)=-x 2+ax ＝ 22()24a a x --+当1<2a ≤32， 即32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f当2a 32>， 即3>a 时，1)1()(min -==a f x f min 24,23()1,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩(Ⅲ)⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示 ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴20a m <≤，a n a 212+≤< ∴a m a <≤+221， 02≤<n a18. 解：（1）2(sin )2sin 3sin 1y f x x x ==-+ --------------1分设sin ,[0,]2t x x π=∈，则01t ≤≤ --------------3分∴223312()12()248y t t t =-+=--∴当0t =时，max 1y = --------------5分（2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8-当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ --------------7分 ①当0A >时，2()g x 值域为1[,]2A A -②当0A <时，2()g x 值域为1[,]2A A -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则0101182A A A ⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218A A A ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩ --------------9分∴10A ≥或20A ≤- -------------11分 （3）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2)π上有两解，令sin t x = 则t ∈[1,1]-2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆=∴(1,5)a ∈或12a =-------------13分 ②当1t =-时，x 有惟一解32x π=③当1t =时，x 有惟一解2x π=故 (1,5)a ∈或12a =-------------16分 19. 【证】（1）因为(0)0f b =>，[]()sin()()sin()10f a b a a b a b b a a b +=+-++=+-≤，所以函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点. ……………………4分【解】（2）()cos 1f x a x '=-. …………………………6分 因为函数在3x π=处有极值，所以()π0f '=，即πcos 103a -=，所以a =2.于是()2sin f x x x b =-+. …………………………8分()πsin cos 4x x x +=+，于是本小题等价于cos sin b x x x >+-对一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立. 记()cos sin g x x x x =+-，则()π()1sin cos 1.4g'x x x x =--=+因为π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ3π444x +≤≤()πsin 14x +≤，所以()π14x +()0g'x ≤，即g (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数. 所以[]max ()(0)1g x g ==，于是b >1，故b 的取值范围是(1).+∞，………………… 12分②()1()2cos 12cos 2f x x x '=-=-，由()f x '≥0得1cos 2x ≥，即ππ2π2π.33k x k k -++∈Z ≤≤， ……………………… 14分因为函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数，所以()121ππππ2π2π3333m m k k k --⎡⎤⊆-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，，，则有1ππ2π3321ππ2π33121π<πm k m k k m m -⎧+⎪⎪⎪-+∈⎨⎪--⎪⎪⎩Z ≥-，≤，，， 即6310k m k k m +⎧∈⎨>⎩Z ≤≤，，，只有k =0时，01m <≤适合，故m 的取值范围是(]01.，……………………… 18分。
江苏省大港中学2013届高三上学期数学综合练习(2)
（第7题）江苏省大港中学2013届高三数学综合练习（2）一．填空题1.若二次函数242-+=x ax y 有零点，则实数a 的取值范围是 ．2.0x ∃<，使得2()lg(21)0f x x x =--≥的否定形式是 .3.从1，2，3，4是 ．4.若执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为 .5.方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根．6.函数1((1)()22(1)xx f x x ⎧<-⎪=⎨⎪≥-⎩的值域是 .7.设2(sin)12a π=，tan122b π=，2log (cos12c π=，则,,a b c 由小到大的顺序为 ．8.函数(5)||y x x =--的递增区间是 . 9.已知角α的终边经过点)6,(--x P ,且135cos -=α,则=+ααtan 1sin 1 ． 10.若存在．．实数[1,2]x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是 . 11.已知实数,x y 满足x y =-，则x y +的最大值为 .12.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上是单调递增，若0)2(lg ))5(lg 50lg 2(lg 2<-++⋅x f f ，则x 的取值范围为 ．13.若)21(log )(2+-=ax ax x f a 在23,1[上恒正，则实数a 的取值范围是 ．14.已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值为 .二．解答题 15. 已知 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合}0x |x {B },R x ,01x )2a (x |x {A 2>=∈=+++=且∅=⋂B A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.16．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c分别为内角A ，B ，C 所对的边，2sin 0b A -=． （1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，b =AB AC的值．17.已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++- （1）求函数()f x 的定义域；（2）记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域； （3）若不等式()f x m >有解，求实数m 的取值范围.18.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
高三数学综合练习综合练习(二)
高三数学综合练习综合练习（二）第Ⅰ卷 (选择题共40分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式S ＝4πR 2 ， 球的体积公式 V = 43πR 3，其中R 表示球的半径.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 满足条件{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M 的个数是 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2) 设条件p ：|x |= x ；条件q ：x 2+x ≥0，那么p 是q 的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）非充分非必要条件 (3) 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是 （ ）（A ）45° （B ）60° （C ）75° （D ）90° (4) 要得到函数y =2sin(2x -3π)的图像，只需将函数y =2sin2x 的图像 （ ）（A ） 向左平移3π个单位 （B ） 向右平移3π个单位 （C ） 向左平移6π个单位（D） 向右平移6π个单位(5) 将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30，所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）（A ） 直线与圆相离 （B ） 直线与圆相交但不过圆心 （C ） 直线与圆相切 （D ） 直线过圆心(6) 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有 （ ）A B C DA 1B 1C 1D 1E F（A ）12种 （B ）30种 （C ）36种 （D ）42种(7) 椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中22b a c -=. 则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）（A ）]2,33[２ （B ）)1,22[ （C ）)1,33[ （D ）)21,31[ (8) 数列{}n a 中，11a =，1,n n a a +是方程21(21)0nx n x b -++=的两个根，则数列{}n b 的前n 项和n S = （ ） （A ）121n + （B ）11n + （C ） 21nn + （D ）1n n +第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) lg8+3lg5的值为 . (10) 已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解是 .(11) 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是 ，三棱柱的体积是 .(12) 定义运算()() ,.a a b a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则对x ∈R ，函数f (x )=1*x 的解析式为f (x )= .(13) 已知222lim2x x cx a x →++=-，则c = ， a = . (14) 一个总体中的100个个体号码为0，1，2，…，99，并依次将其分为10个小组。
重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习(二)
重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习（二）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数cos 2320,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．37．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>8．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．09．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-10．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 11．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019东城区高三二模文科数学试卷及答案
北京市东城区2019年度综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，则()U AB =ð（A ）{1，2，3，4} （B ）{1，2，4，5} （C ）{1，2，5} （D ）{3}（2）若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 （3）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（A ）7.68 （B ）8.68 （C ）16.32 （D ）17.32 （4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为 （A ）43（B ）83 （C ）4 （D ）8（5）已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l 的距离是 （A ）22 （B ）2 （C ）223（D ）22正视图侧视图俯视图（7）△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++=，且||||OA AB =，则CA CB ⋅等于 （A ）32（B（C ）3 （D）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021东城区二模数学试题及答案
北京市东城区2020-2021学年度第二学期高三综合练习(二)数学2021.5 本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={x |1<x≤2},那么CA=(A)(- ,1)U(2,+oo) (B)(-o,1)U[2,+oo)(C)(-~,1)U(2,+oo) (D)(-o,1)U(2,+oo)(2)已知(2x+a)⁵的展开式中x²的系数为-40,那么a=(A)—2 (B)—1 (C)1 (D)2(3) 已知a=logo . 33,b=logo . 34,c=3° · 8,那么(A)a<b<c (B)c<b<a(C)b<a<c (D)b<c<a(4)已知a²+b²=2,那么a+b的最大值为(A)1 (B)√2(C)2 (D)2V2(5)在平行四边形ABCD中，已知AB=(2,2),AD=(-1,5),E为CD的中点，那么BE=(A)(-2,4) (B)(-2,3)(C)(- 1,4) (D)(- 1,3)(6)已知函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈(0,2)时，f(x)=x,那么f(21)=(A)210 (B)211 (C)220 (D)221(7)某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(A)8+3y2(B)18+2/3(C)22(D)10+6V5 k=1>+ 1→1正(主)视图侧(左)视图俯视图( 8 ) 已 知 双 曲 线 C : m x ² - n y ² = 1 ( m n > 0 ) , 那 么 “ 双 曲 线 C 的 渐 近 线 为 y = ± 2 x ” 是“m=4n” 的(A )充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 (9)在△ABC 中，已知 , 2 a - 2 c = b ,那 么·(C):(B)(D)(10)有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g),三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90,时间有 三个水平：90、120、150,催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种 组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案 . 下表给出了这9次实验的结果：根据上表，三因素三水平的最优组合方案为 (A)85℃ 120 min 7g (B)90℃ 120 min 6g (C)85 ℃ 150 min 6g (D)90℃ 150 min 7g(A)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市丰台区高三下学期综合练习(二)数学试卷含详解
北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，则()()UUA B ⋂=痧（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}4,5 D.{}1,2,32.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)-，则z =（）A.1i+ B.1i-+ C.1i - D.1i--3.已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =，则4a =（）A.2B. C.4D.4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()1||f x x =B.()22xxf x -=+ C.()sin f x x= D.()tan =f x x5.若,a b ∈R ，且a b >，则（）A.221111a b <++ B.22a b ab >C.22a ab b >> D.2a ba b +>>6.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥7.已知函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x =-'的图像如图所示，那么,ωϕ的值分别为（）A.1，0B.π1,4-C.π1,4D.π2,4-8.已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是（）A.当1k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点B.当1k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点C.当2k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点D.当2k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9.已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为,PB αα⊥，则椭圆1O 的离心率为（）A.32B.63C.22D.33第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log 1xf xg x x ==+，那么()()0f g =______．12.若)4117+=+=a ______．13.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为,BC CD 的中点，点G 在BF 上，则AE AG ⋅=______．14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,M N 分别为11,BB DD 的中点，α为过直线MN 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则3sin 3θ=．15.设函数(),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩给出下列四个结论：①当0m =时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；②若函数()f x 有且仅有两个零点，则0m >；③当0m <时，若存在实数,a b ，使得()()f a f b =，则a b -的取值范围为()2,+∞；④已知点(),0P m -，函数()f x 的图象上存在两点()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上．若12322PQ PQ +=，则1m =．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16.已知ABC满足cos 2A A +=．（1）求A ；（2）若ABC 满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC 的面积．条件①：2a b -=；条件②：cos 14B =；条件③：8c =．17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1BB 中点，直线11B C 与平面1AD E 交于点F ．（1）证明：F 为11B C 的中点；（2）若直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，求二面角11A AD F --的余弦值．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a ，有两种偏振状态的可能性为b ，有三种偏振状态的可能性为c ，试比较,,a b c 的大小关系．（结论不要求证明）19.已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．20.已知两点()()121,0,1,0F F -，曲线Ω上的动点M 满足12122MF MF F F +=，直线2MF 与曲线Ω交于另一点N ．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x 轴的交点分别为,A B （点A 在点B 的左侧，且M 不与,A B 重合），直线AM 与直线BN 交于点P ．当点B 为线段NP 的中点时，求点N 的横坐标．21.将数列0:1,2,3,4,N ⋅⋅⋅中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A ⋅⋅⋅，此时数列0N 中剩下的项构成数列1:2,3,5,6,N ⋅⋅⋅；再将数列1N 中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A ⋅⋅⋅，剩下的项构成数列2N ；…．如此操作下去，将数列()*1k N k -∈N 中项数为平方数的项依次选出构成数列k A ，剩下的项构成数列k N ．（1）分别写出数列34,A A 的前2项；（2）记数列m A 的第n 项为(),f m n ．求证：当2n ≥时，()(),,122f m n f m n n m --=+-；（3）若(),108f m n =，求,m n 的值．北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，则()()UUA B ⋂=痧（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}4,5 D.{}1,2,3【答案】C【分析】由补集和交集的定义求解.【详解】集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，{}2,4,5U A =ð，{}1,4,5U B =ð，()(){}4,5U U A B ⋂=痧.故选：C2.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)-，则z =（）A.1i + B.1i-+ C.1i- D.1i--【答案】A【分析】依据题意可得复数z ，然后根据共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数z 的对应点为(1,1)-，则1z i =-所以1z i =+故选：A【点睛】本题考查共轭复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.3.已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =，则4a =（）A.2B.C.4D.【答案】C【分析】根据题意，分别取1p q ==，2p q ==然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，取1p q ==，则2112a a a =⋅==，取2p q ==，则422224a a a =⋅=⨯=，则44a =.故选：C4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()1||f x x = B.()22xxf x -=+ C.()sin f x x= D.()tan =f x x【答案】B【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD 选项，利用()0f x '>判断B 选项即可.【详解】对于A ，因为()()11f x f x x x -===-，所以是偶函数，当()0,x ∞∈+时，()11f x x x==，是反比例函数，在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为()()22xx f x f x --=+=，所以是偶函数，当()0,x ∞∈+时，()()22ln 2xxf x -=-'，0,21,021x x x ->∴><< ，()0f x ∴'>，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()()()sin sin =f x x x f x -=-=--，所以是奇函数，当()0,x ∞∈+时，()sin f x x =不单调，故C 错误；对于D ，因为()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，当()0,x ∞∈+时，()tan f x x =不是单调递增函数，故D 错误；故选：B.5.若,a b ∈R ，且a b >，则（）A.221111a b <++ B.22a b ab >C.22a ab b >> D.2a ba b +>>【答案】D【分析】举反例即可求解ABC ，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由于a b >，取1,1a b ==-，22111112a b =++=，221a b ab ==，无法得到221111a b <++，22a b ab >，故AB 错误，取0,2a b ==-,则220,0,4a ab b ===，无法得到22a ab b >>，C 错误，由于a b >，则22a b a b >+>，所以2a ba b +>>，故选：D6.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥【答案】B【分析】利用给定条件得到n m ，判断A ，利用给定条件得到m n ⊥判断B ，举反例判断C ，D 即可.【详解】对于A ，若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则n m ，故A 错误，对于B ，若,,m n αβαβ⊂⊥∥，则m n ⊥，故B 正确，对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则,m n 可能相交，平行或异面，故C 错误，对于D ，若,,m n αβαβ⊥⊂∥，则,m n 可能相交，平行或异面，故D 错误.故选：B7.已知函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x =-'的图像如图所示，那么,ωϕ的值分别为（）A.1，0B.π1,4-C.π1,4D.π2,4-【答案】A【分析】根据题意，求导可得()()cos f x x ωωϕ'=+，从而可得()()y f x f x '=-的解析式，再结合函数图像代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，则()()cos f x x ωωϕ'=+，则()()()()co sin s y f x f x x x ωωϕωϕ'=+=-+-()x ωϕθ=+-⎡⎤⎣⎦，其中tan 1ωθω==，，即=，且0ω>，所以1ω=，π4θ=，即π4y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又函数过点()0,1-，将点()0,1-代入可得π14ϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ππ32,2k k ϕ=+∈Z ，或2π2π,k k ϕ=+∈Ζ，又ππ22ϕ-<<，则当ππ32,2k k ϕ=+∈Z 时，无解，当2π2π,k k ϕ=+∈Ζ时，1k =-，则0ϕ=，所以1ω=，0ϕ=.故选：A8.已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是（）A.当1k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点B.当1k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点C.当2k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点D.当2k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点【答案】C【分析】根据曲线C 的对称性，分别讨论当直线l 与曲线C 的上、下半部分相切时b 的取值即可求解.【详解】曲线2:1C y x =+的图象如图所示，若1k =，当直线l 与曲线上半部分相切时，由21y x y x b⎧=+⎨=+⎩整理得210x x b -+-=，由()()2Δ14110b =--⨯⨯-=得34b =，当直线l 与曲线下半部分相切时，由21y x y x b⎧=--⎨=+⎩整理得210x x b +++=，由()2Δ1410b =-⨯+=得34b =-，结合曲线C 图象的对称性可得，当34b =或34b =-时，曲线C 与直线l 有一个交点，当3344b -<<时，曲线C 与直线l 没有交点，当34b >或34b <-时，，曲线C 与直线l 有两个交点，AB 说法错误；若2k =，当直线l 与曲线上半部分相切时，由212y x y x b⎧=+⎨=+⎩整理得2210x x b -+-=，由()()2Δ24110b =--⨯⨯-=得0b =，当直线l 与曲线下半部分相切时，由212y x y x b⎧=--⎨=+⎩整理得2210x x b +++=，由()2Δ24110b =-⨯⨯+=得0b =，结合曲线C 图象的对称性可得，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点，C 说法正确，D 说法错误，故选：C9.已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.【详解】对于充分性，已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当“πd =”时，集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素{}11sin ,sin S αα=-，故充分性成立，对于必要性，当3πd =时，“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N也恰有两个元素”，故必要性不成立，故“πd =”是“集合{}*sin ,nS x x n α==∈N 恰有两个元素”的充分而不必要条件.故选：A10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为,PB αα⊥，则椭圆1O 的离心率为（）A.32B.63C.22D.33【答案】D【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得134PO PQ=，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的,,a b c ，结合椭圆的离心率即可得到结果.【详解】设2AB r =，由于PB α⊥，所以PB AM ⊥，在等边三角形PAB 中，点M 为PB 的中点，于是3AM r =，在平面α中，由椭圆的对称性可知，1132AO MO r ==，连接11,OO PO ，延长1PO 与AB 交于点Q ，由于1,O O 为中点，所以在ABM 中，13,2PM r MO r ==，由勾股定理可得2222113722PO PM MO r r ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，在PQO 中，3PO r =，172PO r =，112OO r =，由余弦定理可得222222111171332144cos 2147232r r r PO PO OO OPO PO POr r+-+-∠==⋅⨯⨯，在Rt PQO △中，由于1cos PO OPO PQ∠=，所以137cos 332114PO r PQ OPO ===∠，于是有17324273r PO PQ r ==，设椭圆1O 短轴的两个顶点为,G H ，连接,PG PH 分别交圆锥于,E F ，由于PGH PEF ∽，所以134PG PO PEPQ==，由于PE 为圆锥母线，所以2PE PA r ==，从而有3332442PG PE r r ==⨯=，在1Rt PGO中，由勾股定理可得12GO r ==，所以在椭圆1O中，12a MO r ==，12b GO ==，则12c ==，则离心率为12332r c e a ====.故选：D【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得,a b ，从而得到结果.第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log 1xf xg x x ==+，那么()()0f g =______．【答案】1【分析】先求出()0g ，再求()()0f g 即可.【详解】易知()()20log 010g =+=，故()()()00021f g f ===，故答案为：112.若)4117+=+=a ______．【答案】12【分析】根据题意，将)41+展开计算，即可得到结果.【详解】)(42131717=+=++，所以12a =.故答案为：1213.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为,BC CD 的中点，点G 在BF 上，则AE AG ⋅=______．【答案】4【分析】根据向量的线性运算可得11,122AE AB AD AG AB AD λλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，即可利用数量积的运算律求解.【详解】设BG BF λ=,则()1111122222AE AG AB AD AB BF AB AD AB AD AB AB AD AB AD λλλλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+-=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2211311111444224222AB AB AD AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅+=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：414.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,M N 分别为11,BB DD 的中点，α为过直线MN 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为33②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则3sin 3θ=．【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）【分析】选①，根据四边形11BDD B 的面积即可判断，选②，根据三棱锥111A AD B -为正三棱锥，利用等体积法求解1AA 与平面11AD B 所成角的正弦值即可求解②.【详解】若选①，平面11BDD B 是过直线MN 的平面．此时四边形11BDD B 即为该平面截正方体所得截面，由于四边形11BDD B 的面积为1233BD BB ⋅>=,故①为假命题，若选②，由于三棱锥111A AD B -为正三棱锥，所以1111,,A A A B A D 与平面11AD B 所成角均相等，故平面α//平面11AD B ，设1A 到平面11AD B 的距离为h，则1111111111111111111222·2··AD A A AD B B AD A AD B AD A AD B S A B V V S h S A B h S --⨯⨯⨯=⇒=⇒=所以1AA 与平面11AD B所成角的正弦值为13h AA =，故sin 3θ=，②为真命题故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）15.设函数(),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩给出下列四个结论：①当0m =时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；②若函数()f x 有且仅有两个零点，则0m >；③当0m <时，若存在实数,a b ，使得()()f a f b =，则a b -的取值范围为()2,+∞；④已知点(),0P m -，函数()f x 的图象上存在两点()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上．若12322PQ PQ +=，则1m =．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【分析】根据0x ≥时，()0f x =即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时2a b -→，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断0m >，继而根据对称性联立方程得==，根据122PQ PQ +=可得2132x x -=，代入即可求解④.【详解】当0m =时，0x ≥时，()0f x =，故在(),∞∞-+上不是单调递减，①错误；对于②，当0m =显然不成立，故0m ≠，当0x ≥时，令()0f x =，即0=，得0x =，0,0x x m x m <+=⇒=-，要使()f x 有且仅有两个零点，则0m -<，故0m >，②正确，对于③,当0m <时,(),0,0.x m x f x x --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,此时()f x 在(),0-∞单调递减，在[0,+∞）单调递增，如图：若()()f a f b =，由2m x -=⇒=，故2a b ->，所以a b -的取值范围为()2,∞+；③正确对于④,由①③可知：0m ≤时，显然不成立,故0m >，要使()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上，则只需要0,x y x m >=--的图象与()0,x f x ≥=故120x m x <-<<，))12121221322PQ PQ m x m m x x m x x +=-++=++=⇒-=，由对称可得()111f x x m x m -==---=+，化简可得10x m ++=，故20m =⇒()222f x x m x m -==---=--，化简得20m +==由于12,x x--均大于0==，因此222221x x⎛-=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==由于0m>，()43142f m m m=+为()0,+∞单调递增函数，且()912f=，此时2132x x-==，因此1m=，④正确，故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16.已知ABC满足cos2A A+=．（1）求A；（2）若ABC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC的面积．条件①：2a b-=；条件②：7cos14B=；条件③：8c=．【答案】（1）π3（2）见解析.【分析】（1）根据辅助角公式可得πsin16A⎛⎫+=⎪⎝⎭，即可求解π3A=，（2）选择①②，根据正弦定理可得b a=>与2a b-=矛盾，即可求解，选择②③，根据71cos142B=<,故π3B >，a b <，这与2a b -=矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式即可求解，选择①③，根据余弦定理可得5b =，7a =，即可由面积公式求解.【小问1详解】cos 2A A +=得π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππ2π2π,Z 623A k A k k +⇒∈=+=+,由于()0,πA ∈，所以π3A =【小问2详解】若选①2a b -=，②7cos 14B =，则7π321cos 0,sin 14214B B B ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭，,由正弦定理可得3213sin sin 142a b a b b a A B =⇒⇒=>=，这与2a b -=矛盾，故不可以选择①②，若选①2a b -=，③8c =，由余弦定理可得()222222821cos 2216b b c b a A bc b+-++-===，解得5b =，7a =，此时2224964257cos 227814a cb B ac +-+-==≠⨯⨯，不满足②，符合题意；此时113sin 58222ABC S bc A ==�△选②7cos 14B =，③8c =，由于7πcos 0,142B B ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭,又71cos 142B =<,故π3B >，而π3A =，故a b <，这与①2a b -=矛盾，因此可以选择②③；则321sin 14B =，()21sin =sin sin cos cos sin 7C A B A B A B +=+=，由正弦定理可得8sin =sin 217c Aa C==所以11sin 82214ABC S ac B △==创�.17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1BB 中点，直线11B C 与平面1AD E 交于点F ．（1）证明：F 为11B C 的中点；（2）若直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，求二面角11A AD F --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66【分析】（1）根据线面平行的性质定理判断；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定E 点位置，再由空间向量法求二面角．【小问1详解】如图，连接1BC ，1,FE FD ，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，由AB 与11C D 平行且相等得11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，又1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，所以1//BC 平面1AD E ，1BC ⊂平面11BCC B ，平面1AD E 平面11BCC B EF =，所以1//BC EF ，E 是1BB 中点，所以F 是11B C 的中点；【小问2详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AA m =（0m >），则(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,0,)D m ，(1,1,2mE ，(1,1,0)AC =- ，1(1,0,),(0,1,)2mAD m AE =-= ，设平面1AD E 的一个法向量是(,,)t x y z =，则102t AD x mz mt AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(,,1)2m t m =- ，因为直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，所以πcos ,sin3t ACt AC t AC⋅==，解得2m =（负值舍去），所以(2,1,1)t =-，平面11AA D 的一个法向量是(0,1,0)n =，平面1AD F 即为平面1AD E ，则6cos ,6t n t n t n ⋅===- ，二面角11A AD F --为锐角，因此其余弦值为66．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a ，有两种偏振状态的可能性为b ，有三种偏振状态的可能性为c ，试比较,,a b c 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）分布列见解析，()1E X =（3）a c b<<【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.（2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.（3）依据题意猜测结论即可.【小问1详解】设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件A ，易知共有3个基本事件，则1()3P A =．【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3.328(0)()327P X ===，123124(1)C (339P X ==创=，223122(2)C ()339P X ==创=，33311(3)C ()327P X ==´=，所以，X 的分布列如下：X0123P82749291278421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】结论：a c b<<证明：易知3113(39a =⨯=，3126(39c =⨯=，3166()39b =3⨯⨯=，故a c b <<得证.19.已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3y =（2）340e a -<<或20a -<<【分析】（1）求导，代值可得()()10,13f f '==，即可求解切线，（2）求导得()()()21f x x+'=，对a 分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求解.【小问1详解】当1a =时，()2ln f x x x =+，则()21f xx'=，所以()()10,13f f '==，故()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为3y =【小问2详解】()()()()()22202102x a f x a a xxx x +'=+==≠>，当0a >时，则20+>，令()0,f x '>则21x a>，令()0,f x '<则210x a <<，故()f x 在21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在210,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故当21x a=，()f x 取极小值也是最小值，则222211122ln 34ln f a a a a a ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又当(),,x f x →+∞→+∞且()0,x f x →→+∞，故要使函数()f x 有两个零点，只需要()min 34ln 0f x a =+<，解得340e a -<<；当0a <时，则10<，令()0,f x '>则24x a >，令()0,f x '<则240x a<<，故()f x 在24,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在240,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故当24x a =，()f x 取极小值也是最小值，则222222444422ln 2ln 4ln 22ln f a a a a a a ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，又当(),,x f x →+∞→+∞且()0,x f x →→+∞，故要使函数()f x 有两个零点，只需要()2min 4ln 22ln 0f x a =-+<，解得20a -<<；综上可得340e a -<<或20a -<<.20.已知两点()()121,0,1,0F F -，曲线Ω上的动点M 满足12122MF MF F F +=，直线2MF 与曲线Ω交于另一点N ．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x 轴的交点分别为,A B （点A 在点B 的左侧，且M 不与,A B 重合），直线AM 与直线BN 交于点P ．当点B 为线段NP 的中点时，求点N 的横坐标．【答案】（1）22143x y +=（2）0【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理12122269,3434t y y y y t t --+==++，即可根据中点关系以及向量共线得2135y y -=，代入韦达定理中即可求解213t =，进而可求解.【小问1详解】由于121212242MF MF F F F F +==>=，所以M 是以()()121,0,1,0F F -为焦点，以4为长轴长的椭圆，故2,1==⇒=a cb 故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】由于MN 斜率不为0，故设直线MN 方程为：1x ty =+，联立()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2,0,(2,0)A B -,由于点B 为线段NP 的中点，则()224,P x y --，又P 是直线AM 与直线BN 的交点，所以//AP AM,()()22116,,2,AP x y AM x y =--=+,故()()212162x y y x -=-+，()()22121121353535y ty y y ty y y y --=-+⇒=-⇒=，将2135y y -=代入12122269,3434t y y y y t t --+==++可得22222223235569,35434t y y t y y t --=-==-+++，故2225695234343t t t ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得213t =，故222953343y t --⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭，由2222143x y +=可得20x =，故点N 的横坐标为0.21.将数列0:1,2,3,4,N ⋅⋅⋅中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A ⋅⋅⋅，此时数列0N 中剩下的项构成数列1:2,3,5,6,N ⋅⋅⋅；再将数列1N 中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A ⋅⋅⋅，剩下的项构成数列2N ；…．如此操作下去，将数列()*1k N k -∈N 中项数为平方数的项依次选出构成数列k A ，剩下的项构成数列k N ．（1）分别写出数列34,A A 的前2项；（2）记数列m A 的第n 项为(),f m n ．求证：当2n ≥时，()(),,122f m n f m n n m --=+-；（3）若(),108f m n =，求,m n 的值．【答案】（1）3A 的前2项为3，8；4A 的前2项为5，11；（2）证明见解析；（3）6,8.m n ==【分析】（1）直接利用数列定义求解；（2）证明{}(,)(,1)f m n f m n --为等差数列即可求解；（3）先利用数学归纳法证明22(22,1)1,(212,1) 1.f n i i n i f n i i n n i -+=+++-+=+++进而求得(,)f m n 的表达式，利用累加法再解方程求解【小问1详解】数列3A 的前2项为3，8；数列4A 的前2项为5，11；【小问2详解】首先2(1,)f n n =，当2n ≥时，(1,)(1,1)21f n f n n --=-结论成立；当2m ≥时，对于相邻的两个数列：1:(1,1),(1,2),,(1,1),(1,),,:(,1),(,2),,(,1),(,),,m m A f m f m f m n f m n A f m f m f m n f m n ------- 149162536496426122030425672381524354863805111929415571897142334476279981018284054708810813223346617897118172739536987107129因为(,1),(1,)f m n f m n --都在数列2m N -中，且(,1)f m n -在(1,)f m n -之前，所以(,1)(1,)f m n f m n -<-在数列1,m m A A -中，必有(1,)(,)f m n f m n -<，所以(,1)(1,)(,)f m n f m n f m n -<-<，所以(,)(,1)(1,)(1,1)1f m n f m n f m n f m n --=----+所以{}(,)(,1)f m n f m n --构成首项为(1,)(1,1)21f n f n n --=-，公差为1的等差数列，所以(,)(,1)(21)(1)2 2.f m n f m n n m n m --=-+-=+-【小问3详解】由各个数列生成的规则知，{}2221,2,,2n n n n +++ 中不可能有两个元素是同一数列的项．从上面的表格，我们猜想：集合{}2221,2,,2n n n n +++ 中的每个元素，且仅是数列2321,,,n A A A + 中某个数列的项.具体地可概括成结论P ：对任意,n *∈N ,1i i n ∈-N ≤，有22(22,1)1,(212,1) 1.f n i i n i f n i i n n i -+=+++-+=+++下面用数学归纳法证明：(i)当1n =时，(2,1)2,(3,1)3,f f ==由题意数列23,A A 的首项分别是2,3，结论成立；(ii)假设当N ()n k k *=∈时，结论成立，即对N,1i i k ∀∈-≤，22(22,1)1,(212,1)1f k i i k i f k i i k k i -+=+++-+=+++那么由第（2）问的结论知：当N,1i i k ∈≤-时，(22,2)(22,1)2(2)(22)2f k i i f k i i i k i -+=-++++--22(1)22(1)2k i k k i =++++=+++,[](212,2)(212,1)2(2)2122f k i i f k i i i k i +-+=+-+++++--2(1)(23)k k i k =+++++2(1)(1)2k k i =+++++,上式表明，集合{}222(1)1,(1)2,,(1)2(1)k k k k +++++++ 中除了22(1)1,(1)(2)k k k +++++的每一个元素都是数列2321,,,k A A A + 中的某个数列的项，还剩下两个元素：22(1)1,(1)(2)k k k +++++，它们必是数列2223,k k A A ++的首项，结果只有22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1f k k f k k k +=+++=++++.根据(1)(2)知，结论P 成立.由结论P 可得，数列2k A 的首项为21k +，21k A +的首项为21k k ++，即22221,1,44(,1)(1)111,,1,,424m m m m f m m m m m m ⎧⎧++⎪⎪⎪⎪==⎨⎨---⎪⎪+++⎪⎪⎩⎩为偶数，为偶数，为奇数为奇数另一方面，由第（2）问的结论：(,)(,1)22f m n f m n n m --=+-得：(,2)(,1)2f m f m m -=+，(,3)(,2)4f m f m m -=+，…(,)(,1)22f m n f m n n m --=+-，相加得：(,)24(22)(1)(1)()(,1)f m n n n m n n m f m =+++-+-=-++ ，当1n =时，上式也成立．所以22(1)(1)(),4(,)1(1)(1)(),.4mn n m m f m n m n n m m ⎧++-+⎪⎪=⎨-⎪++-+⎪⎩为偶数，为奇数221,211,.24m n n m mn n m ⎧⎛⎫+-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩为偶数，为奇数令2(1)1082m n n +-+=，则2(1)108,2mn n +-=-所以(1)2mn =--．由12m≥得2108n n +≤，所以9n ≤，所以108[99,107)n -∈，10=.所以8n =(81)3-=，所以6m =；令21(1)10824m n n +-+-=，有2(22)4334m n n +-=-，22m n =-．由m 1≥得2108n ≤，所以10n ≤．所以4334(393,429)n -∈*,N 无解.综上，当(,)108f m n =时，6,8.m n ==【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，关键是利用数学归纳法得22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1f k k f k k k +=+++=++++，进而得到(,)f m n 的表达式.。
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高三数学综合练习系列2 姓名：_________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．下列函数中,在其定义域上是增函数的有： （ ） ①x y a =(1)a >,②log (01)a y x a =<<,③tan y x =,④1y x=,⑤3y x x =+ A . 1个 B .2个 C .3个 D . 4个2．,a b 是常数, 则“0a >且240b a -<”是“对任意x R ∈,有210ax bx ++>”的：（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件 3．若1()y f x -=为函数()y f x =的反函数,且()y f x =的图象过点(3,1),则12(log )y f x -= 的图象必过点： （ ） A . (1,8) B . (8,1) C . (2,3) D . (3,2)4．已知,a b 为实数，集合,1b M a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{},0N a =，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b +等于： （ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 1±5．设点O 是ABC ∆所在平面内一点，若满足=∙=∙∙，则点O 必为ABC ∆的： （ ） A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心6．数列{a n }中，a 3=2,a 7=1, 数列{1a 1n +}是等差数列，则a 11等于： （ ）A . 2/3B . 1/2C . 0D .－1/2 7．若0为平行四边形ABCD 的中心，122123,6,4e e e BC e AB -==则等于： （ ） A ． B ． C ．D ．8．数)1lg(,2,2.02.02-+===b a c b a,则c b a ,,的大小关系为： （ ）A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD.b>c>a 9．已知,log 1)(2x x f +=设数列}{n a 满足*))((1N n n fa n ∈=-，则数列}{n a 的前n 项和n S 等于：（ ）A ．12-nB ．121--n C ．141--nD ．14-n10．函数12log y x =定义域[],a b ，值域[]0,2，则区间[],a b 长度b a -的最小值是（ ）A ．3B ．34C ．2D ．3211．已知直线6π=x 是函数x b x a y cos sin -=图象的一条对称轴，则函数x a x b y cos sin -=图象的一条对称轴方程是： （ ）A . 6π=x B . 3π=x C . 2π=x D . π=x12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意12121212,(),()()x x x x f x f x x x ≠-<-恒成立”的只有： （ ）Ａ．()f x =1xＢ．()f x =x Ｃ．()f x =2x Ｄ． ()f x =2x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在横线上. 13．不等式12x π<<成立是不等式(1)tan 0x x ->成立的 条件. 14．数列)1(1+=n n a n ,其前n 项之和为109,则在直角坐标系中,直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为__ ___. 15. 不等式3)13(log 21-≥-x解集是______________________.16．设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42AB i j =+，34AC i j =+，则△ABC 的面积等于____________.17．已知数列{}n a ，nna )(231⋅=，把数列{}n a 的 各项排成三角形状，如图所示．记)n ,m (A 表示第m行，第n 列的项，则)8,10(A =____________. 18．对于在区间],[n m 上有意义的两个函数)(x f 与 )(x g ，如果对于任意],[n m x ∈，均有1|)()(|≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在],[n m 上是接近的. 若函数322+-=x x y 与函数23-=x y 在区间],[n m 上是接近的，给出如下区间①[1，4] ②[1，3] ③[1，2]∪[3，4] ④]4,3[]23,1[ ，则区间],[n m 可以是 .（把你认为正确的序号都填上） 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19．（本小题满分12分） 已知: 命题)(:1x fp -是x x f 31)(-=的反函数,且2)(1<-a f.命题:q 集合{}R x x a x x A ∈=+++=,01)2(2,{}0>=x x B ,且φ=⋂B A .求实数a 的取值范围,使命题p 、q 有且只有一个是真命题. 1a2a 3a4a 5a 6a7a 8a 9a 10a．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．BB （第19题图）20．（本题满分12分）已知x ∈R ，OA →＝（2a cos 2x ，1），OB →＝（2，23a sin2x ＋2－a ），y ＝OA →·OB →， ⑴求y 关于x 的函数解析式y ＝f (x )，并求其最小正周期（a ≠0时）；⑵当x ∈[0，2]时，f (x )的最大值为5．求a 的值及函数y ＝f (x )（x ∈R ）的单调递增区间．21．(本题满分12分）如图，设矩形ABCD （AB >AD ）的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P . 设AB =x , 求△ADP 的最大面积及相应的x 值.22．（本小题满分12分）已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。
北京东城高三二模数学试题及答案理科
7 83 5 5 72 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）23sin()6π-= （A ）2-（B）12-（C ）12（D ）（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >> （3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64 （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有 （A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011(p ,q )第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1)nx 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ．（14）如图，平面中两条直线1l 和2l相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M到直线1l 和2l的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”． 给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题（共6小题，共80分。
高三数学客观题综合练习题(二)
高三数学客观题综合练习题(二)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |－1<x ≤2} C.{x |1<x ≤2} D.{x |0<x <1}答案 B解析 由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选B.2.已知z ＝2－i ，则z (z －＋i)＝( ) A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z －＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i ，故选C.3.已知点(1，1)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，则抛物线C 的焦点到其准线的距离为( ) A.14 B.12 C.1 D.2答案 B解析 因为点(1，1)在抛物线C 上，所以1＝2p ，p ＝12，故抛物线C 的焦点到其准线的距离为12.故选B.4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖，如图，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱长与 底面外接圆半径的比为( )A.33sin θB.33cos θ C.12sin θ D.12cos θ答案 C解析 设底面边长为a ，则其外接圆的半径为a .在侧面等腰三角形中，顶角为2θ，两腰为侧棱，底边长为a ，所以侧棱长为a2sin θ，所以侧棱长与底面外接圆半径的比为a 2sin θa ＝12sin θ.故选C.5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1).设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比( ) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 答案 C解析 根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a ，整机面积为b ，b >a ，则升级前的“屏占比”为ab ，升级后的“屏占比”为a ＋m b ＋m ，其中m 为升级后增加的面积，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）>0，所以升级后“屏占比”变大，故选C.6.已知函数f (x )＝sin 4x －2cos 4x ，若对任意的x ∈R 都有f (x )≥f (x 0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝( )A.0B. 5C.－ 5D.1答案 A解析 法一 由题意得f (x )＝sin 4x －2cos 4x ＝5sin(4x －φ)(其中tan φ＝2)， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.因为对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (x 0)，所以f (x )在x ＝x 0处取得最小值，又x 0＋14T ＝x 0＋π8，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8，0是f (x )图象的一个对称中心，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝0.法二 由题意可得f (x )＝sin 4x －2cos 4x ＝5sin(4x －φ)(其中tan φ＝2)，因为对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (x 0)，所以f (x )在x ＝x 0处取得最小值，于是4x 0－φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则x 0＝k π2－π8＋φ4，k ∈Z ，所以x 0＋π8＝k π2＋φ4，k ∈Z ， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋φ4－φ＝5sin 2k π＝0.7.若曲线y ＝－x ＋1在点(0，－1)处的切线与曲线y ＝ln x 在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为( ) A.(e ，1) B.(1，0) C.(2，ln 2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2 答案 D 解析 y ＝－x ＋1的导数为y ′＝－12x ＋1，可得曲线y ＝－x ＋1在点(0，－1)处的切线斜率为－12.设P (m ，ln m )，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，得曲线y ＝ln x 在点P 处的切线斜率为k ＝1m ，由两切线垂直可得1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得m ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2.故选D.8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A 、B 、C 出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B 进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A 进行比赛.假设甲与A 或B 比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A 或B 比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C 比赛，丙每场获胜的概率均为0.5.各场比赛的结果互不影响.那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为( ) A.0.24 B.0.25 C.0.38 D.0.5答案 C解析 记“恰好经过4场比赛分出胜负”“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”“恰好经过4场比赛A 所在球队获胜”分别为事件D ，E ，F ，则E ，F 互斥，且P (D )＝P (E )＋P (F ).若事件E 发生，则第4场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (E )＝0.6×(0.4×0.5×0.5＋0.6×C 12×0.5×0.5)＝0.24.若事件F 发生，则第4场比赛B 获胜，且前3场比赛A 所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以A 所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (F )＝0.4×(0.6×0.5×0.5＋0.4×C 12×0.5×0.5)＝0.14，所以P (D )＝P (E )＋P (F )＝0.38，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.已知(2x －a )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9且展开式中各项系数和为39.则下列结论正确的是( ) A.a ＝1 B.a 0＝1C.a 2＝36D.a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝39＋12答案 ABD解析 令x －1＝t ，∴x ＝t ＋1，原展开式为(2t ＋2－a )9＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 9t 9， 令t ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4－a )9＝39， ∴a ＝1，故A 正确；∴(2t ＋1)9＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 9t 9， 令t ＝0，得a 0＝1，故B 正确；(2t ＋1)9的展开式中含t 2的项为C 79(2t )2·17＝144t 2， ∴a 2＝144，故C 错误；令t ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9＝39，① 令t ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝－1，② ①－②2得，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝39＋12，故D 正确.10.已知△PAB 中，AB ＝2，PA ＝PB ，C 是边AB 的中点，Q 为△PAB 所在平面内一点.若△CPQ 是边长为2的等边三角形，则AP →·BQ →的值可能是( )A.3＋ 3B.1＋ 3C.3－ 3D.1－ 3答案 BD解析 如图(1)，若点Q 与点B 在CP 的同侧，则AP →·BQ →＝(AC →＋CP →)·(BC→＋CQ →)＝AC →·BC →＋CP →·BC →＋AC →·CQ →＋CP →·CQ →＝－1＋0＋1×2×cos π6＋2×2×cos π3＝3＋1.如图(2)，若点Q 与点B 在CP 的异侧，则AP →·BQ →＝(AC →＋CP →)·(BC →＋CQ →)＝AC →·BC →＋CP →·BC →＋AC →·CQ →＋CP →·CQ →＝－1＋0＋1×2×cos 5π6＋2×2×cos π3＝ －3＋1.故选BD.11.下列选项中，是关于x 的不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解的充分不必要条件的是( ) A.a ＝0 B.a ≥－3＋2 2 C.a >0 D.a ≤－3－2 2答案 AC解析 设y ＝ax 2＋(a －1)x －2， 令ax 2＋(a －1)x －2＝0.当a >0时，显然y >0有实数解；当a ＝0时，y ＝－x －2，由y >0解得x <－2；当a <0时，若y >0有实数解，则需Δ＝(a －1)2＋8a ＝a 2＋6a ＋1>0，得a <－3－22或－3＋22<a <0.综上所述，当a >－3＋22或a <－3－22时，不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解.结合选项可知，a ＝0，a >0是不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解的充分不必要条件.12.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F 分别是棱AB ，A 1B 1的中点，点P 在四边形ABCD 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是( ) A.若P 是线段BC 的中点，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若P 在线段AC 上，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2C.若PD 1∥平面A 1C 1E ，则点P 的轨迹的长度为 2D.若PF ∥平面B 1CD 1，则线段PF 长度的最小值为62 答案 AC解析 对于A ，如图1，P ，E 分别是线段BC ，AB 的中点，故△ABP ≌△DAE ，则∠PAB ＝∠ADE ，∠PAB ＋∠DEA ＝∠ADE ＋∠DEA ＝π2，所以AP ⊥DE .易知EF ⊥平面ABCD ，又AP ⊂平面ABCD ，所以EF ⊥AP ，又DE ∩EF ＝E ，从而AP ⊥平面DEF ，又AP ⊂平面AB 1P ，所以平面AB 1P ⊥平面DEF ，故A 正确.图1对于B ，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∥AC ，所以D 1P 与A 1C 1所成的角为D 1P 与AC 所成的角.连接D 1A ，D 1C ，则△D 1AC 为正三角形，所以D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故B 错误.对于C ，如图2，设平面A 1C 1E 与直线BC 交于点G ，连接C 1G ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取AD ，DC 的中点M ，N ，连接D 1M ，MN ，D 1N ，易知D 1M ∥C 1G ，又D 1M ⊄平面A 1C 1E ，C 1G ⊂平面A 1C 1E ，所以D 1M ∥平面A 1C 1E .同理可得D 1N ∥平面A 1C 1E ，又D 1M ∩D 1N ＝D 1，所以平面D 1MN ∥平面A 1C 1E ，由此结合PD 1∥平面A 1C 1E ，可得直线PD 1⊂平面D 1MN ，所以点P 的轨迹是线段MN ，易得MN ＝2，故C 正确.图2对于D，如图3，取BB1的中点R，BC的中点G，DC的中点N，连接FN，因为FB1∥NC，FB1＝NC，所以四边形FB1CN为平行四边形，所以FN∥B1C，又FN⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以FN∥平面B1CD1.连接BD，NG，则NG∥BD，又BD∥B1D1，所以NG∥B1D1，又NG⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以NG∥平面B1CD1.连接FR，GR，易知GR∥B1C，又B1C∥FN，所以GR∥FN，故F，N，G，R四点共面，所以平面FNGR∥平面B1CD1.因为PF∥平面B1CD1，所以PF⊂平面FNGR，所以点P的轨迹为线段NG.由AB＝2知，FN＝22，NG＝ 2.连接FB，FG，在Rt△FBG中，FG2＝FB2＋BG2＝(5)2＋1＝6，所以FG＝6，所以FN2＝NG2＋FG2，得∠FGN为直角，故线段FP长度的最小值为6，故D错误.故选AC.图3三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0，1]恒成立，且f(x)在[0，1]上不是增函数”的一个函数：________.答案f(x)＝sin 5π2x(答案不唯一)解析 答案不唯一，如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142，f (x )＝sin 5π2x 等.14.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积是________. 答案 12解析 设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，若|OP |＝|OF |，则点P 在以F 1F 为直径的圆上，所以PF 1⊥PF ，故S △OPF ＝12S △FPF 1＝12b 2tan π4＝12×1×1＝12. 15.如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置，当三棱锥P-BCM 体积最大时，三棱锥P-BCM 外接球的表面积为________.答案 5π解析 当三棱锥P-BCM 体积最大时，平面PBM ⊥平面BCM .如图，三棱锥P-BCM 为长方体的一角，故其外接球的半径R ＝MP 2＋MC 2＋MB 22＝52.外接球的表面积为4πR 2＝4×π×54＝5π.16.若∀x >0，不等式ln x ＋2＋a x ≥b (a >0)恒成立，则ba 的最大值为________. 答案 e 2解析 设f (x )＝ln x ＋2＋a x ，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.因为a >0，所以当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝x －a x 2<0，则函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝x －ax 2>0，则函数f (x )单调递增.所以f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋3≥b ，则b a ≤ln a ＋3a .令g (a )＝ln a ＋3a ，则g ′(a )＝1－ln a －3a 2＝－2＋ln aa 2.由g ′(a )＝0可得，a ＝e －2.所以当a ∈(0，e －2)时，g ′(a )＝－2＋ln aa2>0，则函数g (a )单调递增；当a ∈(e －2，＋∞)时，g ′(a )＝－2＋ln a a 2<0，则函数g (a )单调递减.所以g (a )max ＝g (e －2)＝ln e －2＋3e －2＝e 2，即ba 的最大值为e 2.。
北京市东城区2014届高三二模数学(理)试题及答案(WORD版)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则AB =（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- （2）在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2- （B ）1-或2-（C ）1或2- （D ）2或1-(4) 如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为（A ）3- （B ）1- （C ）0 （D ）1（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（A ）5 （B ）6（C ）7 （D ）8（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（A ）12 （B ）18 （C ）24 （D ）36 （7）若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为则a 的值为（A ）1 或5 （B ）1- 或5 （C ）1 或5- （D ）1- 或5- （8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三文科数学综合卷2
文数综合卷2一、单选题1．i 为虚数单位，则()()13(i i -+= ) A ．23i + B ．22i -C ．22i +D ．42i -2．设集合122xA x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,2- B ．[)1,2-C ．(]1,2- D ．[]1,2-3．函数()2ln 1y x=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体,它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成,其直观图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线)当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时,其俯视图可能为A ．B ．C ．D ．5．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．326．“2211og a og b <”是“11a b<”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知向量()4,7a =-，()3,4b =-，则2a b -在b 方向上的投影为（ ） A ．2B ．-2C．-D．8．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>，若4MF =，则λ的值（ ）A ．32B ．2C ．5 2D ．39．设a b c ，，分别是ABC △的内角A B C ，，的对边，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，则A ∠的大小为( )A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()3ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,411．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为16π，则其底面边长为（ ） A ．18B ．12C．D．12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0>ω）的最小正周期为π，函数()()4g x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对x R ∀∈，都有()3g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小正值为（ ） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π第II 卷（非选择题)二、填空题13．某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为_________．14．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线10x y -+=所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________.15．已知,αβ均为锐角且()()cos 3cos αβαβ-=+，则()tan αβ+的最小值________.16．若函数()2323020x x f x x ax x +⎧-≤=⎨-+>⎩，，有三个不同的零点则实数a 的取值范围______．三、解答题17．正项等比数列{}n a 中，已知34a =，426a a =+.()1求{}n a 的通项公式；()2设n S 为{}n a 的前n 项和，()()*41log n n b S S n N =+∈，求25850++b b b b ++⋯.18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（III ）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点()2,0A .()1求椭圆的标准方程；()2过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，设()2,0D -，过椭圆中心O 作直线BD 的垂线交l 于点C ，求证：•OB OC 为定值.20．如图在多面体ABCDE 中，AC 和BD 交于一点除EC 以外的其余各棱长均为2.()1作平面CDE 与平面ABE 的交线l ，并写出作法及理由； ()2求证：BD CE ⊥；()3若平面ADE ⊥平面ABE ，求多面体ABCDE 的体积.21．已知函数()sin 2cos 2f x x x x ax =+++，其中a 为常数.()1若曲线()y f x =在2x π=处的切线斜率为-2，求该切线的方程；()2求函数()f x 在[]0,x π∈上的最小值.22．在平面直角坐标xOy 系中，曲线C 的参数标方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数，且0t >），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭()1求曲线C 的极坐标方程；()2求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标.23．已知函数()21f x x x =-+，且,,a b c R ∈.()1若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值； ()2若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+.参考答案1．D 2．A 3．D因为()2ln 1y x =+，满足偶函数f （﹣x ）=f （x ）的定义， 所以函数()2ln 1y x =+为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B ，4．B∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）． ∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形， 5．D由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PA k +==最大． 6．D若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b >>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b<”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件.7．B向量()4,7a =-，()3,4b =-，∴221a b -=-（，），∴(2)a b -•b =()213,4--（，）=-10， |b；∴向量2a b -在向量b 方向上的投影为： |2a b -|cos ＜(2)a b -，b ＞=()2a b b b-⋅=105-=﹣2．8．D过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MN NF=1λλ-，又4MF =，∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴''MM FF =46=1λλ-，3λ∴=.9．C∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，，∴由正弦定理可得：()()b a c b c a c +=+-（），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ， ∴由余弦定理可得：cosA=12-，∴由A ∈（0，π），可得：A=23π. 10．B 11．B如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ，△ABC 是正三角形， ∴AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心． 此时球与四个面相切，如图D 、M 为其中两个切点， ∵S 球=16π, ∴球的半径r =2．又∵PD=6，OD=2,∴OP=4,又OM=2, ∴OPM ∠=30︒∴, ∴ AB=12, 故选B.12．B由函数()f x 的最小正周期为π，可求得ω=2∴f （x ）=()sin 2x ϕ+，()()4g x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=()sin 2sin 24x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()() cos 2sin 2x x ϕϕ++=2sin （2x ϕ++6π）， ∴()2sin26g x x πϕ=++，又()3g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴x=3π是g(x)的一条对称轴，代入2x ϕ++6π中，有23πϕ⨯++6π=k 2ππ+(k Z),解得ϕ=k 3ππ-+(k Z),k=1时，23πϕ=，13．12∵高中部女教师与高中部男教师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则男教师有9人，∴工会代表中高中部教师共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，∴工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2：3，∴工会代表中初中部教师总人数为10，又∵初中部女教师与高中部男教师比例为7：3，工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3； ∴工会代表中男教师的总人数为9+3=12， 14．()2239x y -+=设圆心为（t ，0），且t>0, ∴半径为r=|t|=t ，∵圆C 截直线10x y -+=所得的弦长为2，∴圆心到直线10x y -+=的距离∴t 2-2t-3=0， ∴t=3或t=-1（舍）， 故t=3，∴()2239x y -+=. 故答案为()2239.x y -+= 15．由cos （α-β）=3cos （α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ， 可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，则tanαtanβ=12，又()tan β1tan tan βtan tan ααβα++=-=2tan β2tan α+≥⨯故答案为： 16．()3,+∞因为0x ≤，由2230x +-=可得2230x log =-+<，即函数()f x 在0x ≤上有一个零点；所以函数()2323020x x f x x ax x +⎧-≤=⎨-+>⎩，，有三个不同的零点等价于方程320x ax -+=在()0,∞+上有两个不等实根，等价于方程22a x x=+在()0,∞+上有两个不等实根；即y a =与函数()22g x x x=+在()0,∞+上有两个不同交点； 由()22g x x x =+得()()()2´2221122x x x g x x x x-++=-=,由()´0g x >得1x >; 由()´0gx <得01x <<,即函数()22g x x x=+在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增， 所以()g x 最小值为()13g =，所以()[3)g x ∞∈+，, 因为y a =与函数()22g x x x=+在()0,∞+上有两个不同交点，所以3a >.故答案为()3,+∞17．()1 1*2,n n a n N -=∈ ()2221()1设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则由34a =及426a a =+得446q q =+，化简得22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍去）.所以{}n a 的通项公式为31*3•2,n n n a a qn N --==∈. ()2由122112n n n S -==--得，()414log log 22nn n n b S S =+==.所以()()25850117++b =2585025022124b b b ++⋯+++⋯+=+=. 18．(1) P =1950;(2) P =1021;(3) 故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．试题解析：（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人， 所以P =1950；（2）设这7名学生分别为a,b,c,d,e,A,B （大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有： (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,e),(b,A),(B,b),(c,d),(c,e),(c,A),(c,B)，(d,e),(d,A),(d,B),(e,A),(e,B),(A,B)，共21种情况，其中有1名男生的有10种情况， ∴P =1021．（3）由题意得，K 2=50×(18×19−6×7)224×26×25×25≈11.538>10.828，故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．19．()1 22142x y += ()24，证明见解析()1因为椭圆的离心率2c e a ==，且2a =，所以c =又2222b a c =-=.故椭圆的标准方程为22142x y +=.()2设直线l 的方程为2x ty =+（t 一定存在，且0t ≠）.代入2224x y +=，并整理得()22240t y ty ++=.解得242B t y t -=+，于是224222B B t x ty t -=+=+. 又()2,0D -，所以BD 的斜率为2224422222t tt t ⎛⎫--÷+=- ⎪++⎝⎭. 因为OC BD ⊥，所以直线的方程为2y t x=. 与方程2x ty =+联立，解得42,C t -⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故22222481648•4222t t OB OC t t t -+=+==+++为定值.20．()1见解析()2见解析()3 2()1过点E 作AB （或CD ）的平行线，即为所求直线l .AC 和BD 交于一点，,,,A B C D ∴四点共面.又四边形ABCD 边长均相等.∴四边形ABCD 为菱形，从而//AB DC .又AB ⊄平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，//AB ∴平面CDE .AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ⋂平面CDE l =，//AB l ∴.()2证明：取AE 的中点O ，连结OB ，OD .AB BE =，DA DE =，OB AE ∴⊥，OD AE ⊥.又OB OD O ⋂=，AE ∴⊥平面OBD ，BD ⊂平面OBD ，故AE BD ⊥.又四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥.又AE AC A ⋂=，BD ∴⊥平面ACE .又CE ⊂平面ACE ，BD CE ∴⊥.()3解：平面ADE ⊥平面ABE ，DO ∴⊥平面ABE .故多面体ABCDE 的体积11222?•2232E ABCD E ABD D ABE V V V ---⎛==== ⎝.21．()1 220x y π+--= ()2 ()min 44,4,a f x a a πππ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩()1求导得()cos sin f x x x x a -'=+，由122f a π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'解得1a =-. 此时22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以该切线的方程为222y x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即220x y π+--=为所求. ()2对[]0,x π∀∈，()sin 0f x x x '=-≤'，所以()f x '在[]0,π区间内单调递减.当0a ≤时，()()00f x f a ''≤=≤，()f x ∴在区间[]0,π上单调递减，故()()min f x f a ππ==.当a π≥时，()()0f x f a ππ'='≥-≥，()f x ∴在区间[]0,π上单调递增，故()()min 04f x f ==.当0a π<<时，因为()00f a '=>，()0f a ππ='-<，且()f x '在区间[]0,π上单调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一()00,x π∈，使得()00f x '=，且()f x 在[]00,x 上单调递增，在[]0,x π上单调递减.故()f x 的最小值等于()04f =和()fa ππ=中较小的一个值. ①当4a ππ≤<时，()()0f f π≤，故()f x 的最小值为()04f =. ②当40a π<<时，()()0f f π≤，故()f x 的最小值为()f a ππ=.综上所述，函数()f x 的最小值()min 44,4,a f x a a πππ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩. 22．()1 2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ ()26π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥.将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=.所以曲线C 的极坐标方程为2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭. ()2将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos23sin πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-.因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23．()173()2见解析 .【详解】 ()1由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=，即()()()f a f b f c ==的最小值为73； ()2因为1x a -<，所以()()()()22f x f a x a x a -=---=()()()()•11212112121x a x a x a x a a x a a a a -+-<+-=-+-≤-+-<++=+，故结论成立.。
福建省龙岩市龙岩二中2024学年高三练习题二(全国卷)数学试题
福建省龙岩市龙岩二中2024学年高三练习题二（全国卷）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．122．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 3．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭5．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．146．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π9．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．2712．已知函数()12x f x e -=，()ln12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014届高三数学综合练习(二)
高三理科数学综合练习（二）一、选择题：1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅ （C ）)(sin )(x f x f ⋅ （D ）2)](sin [x f 4．若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（ ）（A ）0sin cos log cos >B A C（B ）0cos cos log cos >B A C （C ）0sin sin log sin >B A C （D ）0cos sin log sin >BAC 5．）函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 （ ）A ．[ -2 ,2]B ．C ．[-1,1 ]D ．[-2 , 2] 6．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（A ）191622=-x y （B ）191622=-y x （C ）116922=-x y （D ）116922=-y x 7．函数|1|2)(||log 2xx x f x --=的图像大致是8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于 （A ）103（B ）31（C ）91 （D ）81 9．设0,0),0,(),1,(),2,1(>>-=-=-=b a b OC a OB OA ，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（A ）2（B ）4（C ）6（D ）810．某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门.则不同的分配方案有 （ ） （A ） 36种 （B ）38种 （C ）108种 （D ） 114种 二．填空题：11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=__________。
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高三数学综合练习二
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．函数)23(log 2
1-=
x y 的定义域是（D ）
A ．),1[+∞
B ．),32(+∞
C ．]1,32[
D ．]1,3
2(
2．设集合}2|{},0|{A 2
<=<-=x x B a x x ，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（B ） A ．4<a B ．4≤a C ．40≤<a D ．40<<a 3．对于函数)0(sin 1
sin )(π<<+=
x x
x x f ，下列结论正确的是（B ）
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
4．已知映射B A f →:，其中集合}4,3,2,1,1,2,3{---=A ，集合B 中元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的A a ∈，在B 中与它对应的元素是||a ，则集合B 是（ ） A ．}4,3,2,1,1,2,3{--- B ．}3,2,1{ C ．}4,3,2,1{ D ．}1,2,3{--- 5．在下列函数中，定义域和值域不同的函数是（D ） A ．3
1y x = B ．2
1y -
=x
C ．35y x =
D ．3
2y x =
6．函数13)(3
+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值、最小值分别是（C ） A ．1,1- B ．17,1- C ．17,3- D ．19,9- 7．函数))((R x x f ∈的图象如右图所示，则当10<<a 时，函数
)()(x f a x g =的单调减区间是（A ）
A ．]21,0[
B ．),2
1[)0,(+∞-∞和 C ．]1,[a D ．]1,[+a a
8．二次函数满足)2()2(x f x f -=+，又3)0(,1)2(==f f ，若在],0[m 有最小值1，最大值3，则m 的取值范围是（D ）
A ．20≤<m
B ．2≥m
C ．0>m
D ．42≤≤m 9．函数12
+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a 等于（B ）
112
x
y
A ．
81 B ．41 C ．2
1
D ．1 10．设数集}3
1
|{},43|{M n x n x N m x m x ≤≤-=+≤≤=，且M 、N 都是集合}
10|{≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合}|{b x a x ≤≤的“长度”，那么N M I 的“长度”的最小值是（C ） A ．
31 B ．32 C ．121 D ．12
5
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．函数]4,0[,422
∈+--=x x x y 的值域是 。
[0，2] 12．已知}0,0,1|
),{(},1|),{(,,22>>=-==+=∈b a b
y
a x y x B y x y x A R y x ，当B A I 只有一个元素时，
b a ,的关系式是 。
22b a ab +=
13．若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴的公共点有 个。
0 14．若)4
sin(3)4sin()(π
π
-++
=x x a x f 是偶函数，则=a 。
3- 三、解答题（6小题，共80分） 15．（本小题满分12分）证明：x x x f -+=
1)(2在定义域内为减函数。
（3。
5模拟P41）
16．（本小题满分13分）定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且)1,0(∈x 时，
1
42)(+=x x
x f 。
（1）求)(x f 在]1,1[-上的解析式；
（2）判断)(x f 在（0，1）上的单调性，并给予证明。
（3。
5模拟P29）
17．（本小题满分13分）已知定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数。
（1）求b a ,的值；
（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2
2<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围。
（3。
5模拟P57）
18．（本小题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于A 、B ，
j i j i AB ,(22+=分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量）
，函数6)(2
--=x x x g 。
（1）求b k ,的值；
（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)
(1
)(x f x g +的最小值。
（3。
5模拟P53）
19．已知二次函数)(x f y =的定义域为R ，2)1(=f ，且在t x =处（t 为实数）取得最值，若
)(x g y =为一次函数，且32)()(2-+=+x x x g x f
（1）求)(x f y =解析式；
（2）若]2,1[-∈x 时，1)(-≥x f 恒成立，求t 的取值范围。
（金P21。
8）
20．（本小题满分14分）设c bx ax x f ++=23)(2
，若0)1()0(,0>=++f f c b a ，求证：
（1）方程0)(=x f 有实根； （2）12-<<
-a
b
； （3）设21,x x 是方程0)(=x f 的两个实根，则.3
2||3321<-≤x x （06渐江20）。