实变函数-集合

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实变函数【1】集合

实变函数【1】集合实变函数是我本科阶段仅次于多元统计的⼜⼀⼤噩梦，学的时候就回避了很多重要的定理，考试也是背ppt⽔过的，现在看其实损失很⼤。

之所以在回顾笔记中说这些，也是在提醒阅读本篇的读者，这不是⼀篇⾯向初学者的回顾，仅作为本⼈回顾时的随笔。

基本集合运算与表⽰集合：在⼀定范围内个体事物的全体，当将他们看作⼀个整体时，称之为由⼀个个元素组成的集合。

集合内的元素彼此互异⽽且明确。

表⽰⽅法：列举法：A={a,b,c,…};条件法：A={x:x satisfied p};⽤集合语⾔来描述性质是⼗遍函数中的常⽤⽅法：1. f((x0−δ,x0+δ))⊂(f(x0)−ε,f(x0)+ε),函数收敛于x0点；2. [a,b]⊂{x:f(x)≤M}，函数有界。

设有⼀簇集合{Aα:α∈Λ},其中α是固定指标集Λ中变化的指标，则有：⋃α∈ΛAα={x:∃α∈Λ→x∈Aα}⋂α∈ΛAα={x:∀α∈Λ→x∈Aα}注意到与“存在”相对应的是并集运算，与“任意”对应的是交集运算(De Morgan公式) 若{Aα:α∈Λ}是⼀簇集合，则：(⋃α∈ΛAα)c=⋂α∈ΛA cα(⋂α∈ΛAα)c=⋃α∈ΛA cα;证明：我们设x∈(⋃α∈ΛAα)c,则x∉⋃α∈ΛAα,则对任意的α∈Λ,(x∉Aα)=x∈A cα；反之若设x∈⋂α∈ΛA cα,则对任意α∈Λ,x∈A cα,即x∉Aα,也就是说x∉⋃α∈ΛAα,从⽽x∈(⋃α∈ΛAα)c,综上：(⋃α∈ΛAα)c=⋂α∈ΛA cα。

证毕。

⼀些多重交并表⽰法⽰例：{x:{f n(x)}有界}=⋃M∈R+⋂∞n=1{x:|f n(x)|≤M}{x:{f n(x)}⽆界}=⋂M∈R+⋃∞n=1{x:|f n(x)|>M}{x:lim;集合列的上极限与下极限设A_1,A_2,\dots,A_n,\dots是任意⼀列集，由属于上述集列中⽆限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这⼀集列的上极限或上限集，记作:\overline{\lim_{n\to\infty}}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_n存在⽆穷多个A_n使得x\in A_n；出有限个下标外，属于激烈中每个集合的元素全体所组成的集合称为这⼀集列的下限集或下极限，记作：{\underline{\lim}_{n\to\infty}}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{m=n}^\infty A_n当n充分⼤了之后都有x\in A_n。

实变函数-集合与点集

实变函数-集合与点集集合递减集合列递增集合列上极限集下极限集集合语⾔的相互转化任意: 交集存在：并集映射单射：⼀对⼀满射：每个元素都有对应的像对等：若存在⼀个A->B的映射，可以把A，B中所有的元素⼀⼀联系起来，则称为A~B（A,B对等）证明集合对等:若X与Y的某个真⼦集对等，Y与X的某个真⼦集对等则X～Y基数：若A~B则A和B基数相等，⾃然数集的基数为N0，(0,1]的基数为N1记为c=2N0⼀些常见的对偶集:N~{y:y=2n} y = 2*xN*N~N f(i,j) = 2i-1(2*j - 1)N~Z可列集：⾃然数集的基数为N0，与⾃然数集对等的集合称作可列集在众多的⽆限集中，最⼩的基数是N0可数集：可列集和有限集统称可数集集合在映射下的分解：对于集合X，YX = x1∪x2Y = y1∪y2若存在单射f X->Y, g Y->X则有f(x1) = y1 g(y2) = x2点集的直径:diam(E) = sup(|x-y|),若diam(E) <正⽆穷，则称为有界集，极限点：对于集合E，若存在E中的互异点列{x k}若lim k->∞ |x k - x| = 0,x是E中的极限点，极限点集⼀般写为E'孤⽴点：若x属于E，且x不是E中的极限点，则x为E的孤⽴点R n中任意有界⽆限集⾄少有⼀个孤⽴点闭集：设E⊂R n且E包含E中的所有极限点，则称为闭集有限个闭集的并任是闭集闭集族的交集为闭集闭集套定理若集列F为飞空有界，单调递减的闭集列那么他的下极限不为空集。

实变函数论之集合与点集

(A∪B)c={x|x∈X且xA∪B}={x|x∈X,xA且xB}
={x|x∈X,x∈Ac且x∈Bc}=Ac∩Bc.□
德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.
1.1.2 集合列的上极限和下极限
众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.
例1.1.2 设Aj=x0≤x≤1+1j,j=1,2,…,Bi=x-1+1i≤x≤1-1i,i=1,2,…,Ck=x-1k<x<1k,k=1,2,…,则
∩nj=1Aj=x0≤x≤1+1n, ∪mi=1Bi=x-1+1m≤x≤1-1m,
∩pk=1Ck=x-1p<x<1p.
其中n,m,p∈N.由此知
∩α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}. (1.2) 集合{x|x∈A且xB}称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知AB,则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB 简记为Bc.而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.
例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.
{1,2,3}的所有子集是： ,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1 集合及相概念共23=8个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是： C0n+C1n+…+Cnn=2n,其中Ckn=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.

实变函数-集合

6 基数的运算
设有基数1 , 2 , 取集合A1 , A2 , 使得 A1 1 , A2 2 , 而且 A1 A2 , 1)记 A1 A2 1 2
设有基数1 , 2 , 取集合A1 , A2 , 使得 A1 1 , A2 2 , 2)记 A1 A2 1 2
设有基数 , , 取集合A, B, 使得 A , A ,
3)设A B { f | f : B A}, 记 AB ;
对一些记号的说明
2 A 表示A的子集全体，
思考：如何推广 A A 不可数个集合的 2 与{0，间存在一一对应 1} （一个子集对应到其相应特征函数）卡氏积？
* * * * *
*
2 若a* A* (a* ), 则由A*的定义，应有a* A*
这是矛盾的，所以2 A A.
此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。
集合悖论
尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899 年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论.
选择公理的说明

通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如 Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性的 Tychonoff定理等。注：关于选择公理的一些等价命题，可参见《一般拓扑学》（J.L.Kelly p34）
证明首先考虑映射（0， A, ( x) ( x, x,) : 1 ）

实变函数笔记（1）——集合与基数

实变函数笔记（1）——集合与基数实变函数这门课应该是我这学期最为困难的⼀门课，因此更需要加把劲去学习。

这门课⼀开始是从定积分的定义出发的，我们知道求曲边梯形⾯积⼀共分为4步：(1)划分区间;(2)对每个⼩区间[x i−1,x i]上选定⼀点ξi计算f(ξi);(3)对每个区间上的⼩矩形⾯积求和;(4)令最⼤的⼩区间长度趋向于0，如果求和存在极限，那么记为定积分lim。

接着在数学分析中我们已经知道连续函数必然可积，除此之外，还有什么类型的函数可以求定积分呢？考虑下⾯的函数f(x) =\begin{cases} 0 & x \in Q \\ x & x \not \in Q \\ \end{cases} 显然⽆论\bigtriangleup x_{i}多么⼩均可以找到\xi _{i} \in Q或\xi _{i} \not \in Q，因此定积分\int_{a}^{b}f(x)dx不存在。

基于以上事实，我们需要将现有的黎曼积分推⼴，之后我们会看到，当对y进⾏划分时，如果x轴上的测度存在，那么我们可以定义Lebesgue积分(L) \int_{a}^{b}f(x)dx 这门课程的⼀个⼤⽬标是证明这个定理：如果函数f(x)黎曼可积，那么它必然Lebesgue可积，并且两者相等，反之不然。

为了证明该定理，我们引⼊了⼀系列新的概念，⽐如建⽴了测度，它是长度、⾯积和体积的推⼴。

此外还将连续函数推⼴为可测函数，利⽤可测集代替开区间，可以断⾔的是，可测集⼏乎是开区间，可测函数⼏乎是连续函数。

让我们从集合开始，它是建⽴测度的基础。

⼀、集合的基本运算集合的基本运算在离散数学课程已经提到过，这⾥只需要重新回忆起即可。

Def1 (⼦集、补集、集合的相等)⼦集是说对于两个集合A和B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的⼦集。

补集是说给定全集U及它的某个⼦集A，由所有x \in U但x \not \in A的元素组成集合称为A的补集，称为\overline{A}或者A^{C}集合的相等是指对于两个集合A和B，如果A \subset B且B \subset A，那么有A=B 对于集合的交集、并集，有如下的公式以及De Morgan法则Thm2 (集合的交并补公式)(1) A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)(2) (A \bigcap B) \bigcup C = (A \bigcup C) \bigcap (B \bigcup C)Thm3 (De Morgan法则)设\{ A_{i} \}为集合列，那么成⽴如下并集和交集规律(1) (\bigcup _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcap _{i=1}^{n} (A_{i})^{C}(2) (\bigcap _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcup _{i=1}^{n} (A_{i})^{C} 接下来需要对集合引⼊极限的概念，我们称之为上极限集和下极限集。

实变函数中的集合

实变函数中的集合在数学中，集合是一组元素的有序排列。

它是一个抽象的概念，用于表示特定的特性的元素的集合。

它的精髓在于创造一个有序的实体，具有多种形式和特性，有助于研究者们解决问题。

其中最常用的是实变函数中的集合，它是一个数学术语，指其中任何一个原子都可以作为函数的参数，以及函数可以实现的所有可能的输出。

实变函数中的集合有着复杂的数学语法，它们包括：函数，子集，元素，子集的幂集，子集的笛卡尔积，范围和单位点集等等。

它非常复杂，研究者们在实际操作时也可能出现一些问题。

下面我们就来详细讨论一下实变函数中的集合。

首先，最常见的实变函数定义是一组有理数，它是一个有限的数集，其中每个数都是有限的小数形式。

函数的基本特征是由它的参数和值决定的，其中参数是定义空间中的子集，值是定义域中的子集。

函数的定义通常是以符号表示的，这个符号表示的意义被称为函数的值。

其次，实变函数中的子集具有很强的数学特征，也就是说，子集中包含的元素之间具有一定的关系，它们的值之间也可以符合一定的规则。

比如，“子集的幂集”是一个特殊的子集，由所有子集的所有可能性构成；“子集的笛卡尔积”是两个子集之间的乘积，它 and含了子集中任意两个元素之间的组合；“范围”和“单位点集”则分别表示实变函数的定义空间和定义域。

最后，实变函数中的集合可以经过合并，减少，对称等很多种复合操作，以达到研究者们想要的结果。

也就是说，通过一系列的计算操作，它们可以逐渐连接，转换和扩展，让研究者们更容易地解决问题。

因此，实变函数中的集合是一个巨大的体系，深藏着无穷的知识，是研究者们理解自然现象的重要工具。

总的来说，实变函数中的集合是一个复杂的概念，它由一系列常见的实变函数组成，每一种函数都有自己独特的特性，可以为研究者们提供无限的解决方案。

在实际应用中，它可以实现合理的复合运算，可以满足研究者们的要求，在一个实变函数的实践过程中，它的重要性不言而喻。

实变函数知识点总结

第一章集合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。

若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。

若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。

若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。

定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。

二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。

（1）称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2）称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。

更一般地有（4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。

定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。

如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。

定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。

可数集合(实变函数)讲述

x A
x固定，y在变
从而A×B也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
例2 1.平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一
可数集；平面上以有理点为圆心，有理数为半临沂师范学院数学系径的圆全体A为可数集。
证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而
A ~ Q Q Q {( x, y, r ) | x, y Q, r Q }
}
2) [0,1]上的有理数全体 0,1,1 2,1 3,2 3,1 4,2 4,3 4,1 5,

二.可数集的性质
任何无限集合均含有可数子集定理1 临沂师范学院数学系 (即可数集是无限集中具有最小势的的集合)
假设这是一个无限集M
我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a显然M\{a1，a2}还是无限集
(2) 一般情形. 令B* B A, C* C A , 则临沂师范学院数学系
A B* ,
且 A B A B,
*
A C* A C A C
*
但B*作为B的子集仍为有限或可数集(定理2), 这样就归结到(1)的情形了.证毕.
定理4 证明:
可数个可数集的并仍为可数集.
实变函数论
Real Analysis
数学科学与技术学院曹丽霞
临沂师范学院数学系
课题引入
第三节中，将有限集合“元素个数”的概念临沂师范学院数学系推广到无限集合,通过在集合间建立一一映射, 引入了集合的基数的概念. 大家比较熟悉、比较重要的三数集--自然数集合N、有理数集Q和实数集合R都是无限集合.它们给我们直观的印象:自然数集合N “稀稀拉拉”排列在数轴上，有理数集Q“密密麻麻”排列在数轴上，实数集合R“密不透风”地构成实数直线，即数轴. 那么，它们的基数有什么不同么？下面我们将在第四节和第五节，对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论.

实变函数论讲义

第1章集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5};一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为或进而,若同时有和，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1集合及相关概念共个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算,并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB;推而广之,给定集合族∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈∈Γ,x∈Aα};(1.1)∩α∈∈Γ,x∈Aα}.(1.2)集合{x|x∈A且称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB简记为而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例1.1.2 设-1+1i≤x≤1--1k<x<1k,k=1,2,…,则∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m, -1p<x<1p. 其中n,m,p∈N.由此知∪-1<x<1},集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A,A∪A=A, A∪=A,(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈∪α∈(4) 大小关系∪B).(5) 若∈Γ,则∪α∈∪α∈∩α∈∈特别地,若或∈Γ,则∪α∈∈证明下面仅证A∩∪α∈∪α∈任取x∈A∩∪α∈则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈由x 的任意性得A∩∪α∈∪α∈反过来,任取x∈∪α∈α),则α0∈Γ,使得x∈即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A且x∈∪α∈故x∈A∩∪α∈由x的任意性得∪α∈∪α∈综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-(2) 若则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De）律）若则(A∪B)c=A c∩B c,∪B c.一般地∩α∈∪α∈∪α∈∈证明下面仅证对偶律：若则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义, (A∪B)c={x|x∈X且∪B}={x|x∈X,x A且={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合(n=1,2,…）称为集合列,也可记为属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞或lim n→∞sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为lim n→∞A n或lim n→∞inf等价地,lim n→∞sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k}, lim n→∞inf存在∈N,当时,x∈A n}. 由此知,lim n→∞inf n→∞sup A n.进而,对于给定集合列若其上、下极限相等,则称集合列收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列n},则lim n→∞∪lim n→∞inf∪证明利用lim n→∞∈N,k≥n,使得x∈A k}(1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记∪事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪故x∈B,继而反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列满足：∈N,则称是单调增加集合列；若∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪若为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例1.1.3 设是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗,m=0,1,2,…, 〗, 我们来确定的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12n<x≤2-12n+1,即当n>N(x)时但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即中不含有x的集合不会是有限个.又区间\n→∞sup\n→∞inf\例1.1.4 设为：当n=2k时,k∈N;当n=2k+1时,k∈N. 则lim n→∞sup∪{(0,y)|y≥0};lim n→∞inf定义1.1.3设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y) =(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为例1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1.3 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).1.4 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.1.5 设是一集合列，作-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x:f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.1.7 试证：(1) ∪∞i=1(A\\(2) ∩∞i=1(A\\∪i.1.8 设-求出集合列的上限集和下限集.1.9 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, 求集合列的上限集和下限集.1.10 设m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞sup n→∞inf1.11 设是\上的一列函数,且存在\使得lim n→∞f n(x)=1,x∈\\\E, 0, x∈E.令∈\: 求集合lim n→∞E n.1.12设以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx:-11. 设(k=1,2,…)随着k→∞单调下降趋于(n=1,2,…）定义在E上∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪\;(2) E\\;(3) E\=∪\.注：E\={x∈E|f(x)>a}.1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ:并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像, x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为-1(∈X}Y称为映射φ:X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当时必有则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即-1:-1(y)=x,当φ(x)=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ:X→Y,及则A的像集为∈A},B的原像集为-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈∪α∈φ∩α∈∈φ-1∪α∈∪α∈--1∩α∈∈-例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,于是是从X的幂集到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数使得A与一一对应,而由唯一确定,于是可以认为=n 0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4给定两个集合A和B,若存在B的子集使得A～则称A的基数不大于B的基数, 记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ:及双射ψ:下面用迭代法寻找及使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′,ψ(B′)=A\\等价地A′=A\\ψ(B′),B′=B\\φ(A′).(1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), \\\\\\\\-1),\\由上述构造知注意到ψ是一一映射,于是有再结合德摩根律,有∪∪∞i=1(A\\-1))=A∩∞-- 此处记类似地,可得\\∪从而,式(1.4)有解A′=∪定义映射Φ(x)=φ(x),x∈-1(x),x∈A\\A′. 由上述构造知,φ(A′)=B\\-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令x∈A,φ(x)∈B},则～B,取则自然有～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.13 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定∈A,因A\\仍然是无限集,再任意取定2∈A\\{a1},依次类推,在A\\中取出在A\\中取出照此继续,即得A的可数子集进一步,我们有下述定理.□定理1.2.4若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设若Y是可数集,记由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集于是有分解∪(X\\X1) .令φ:X∪Y→X,使得-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X \\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集是A的一个无限子集.首先,因故其次,因是无限集,由定理1.2.3可知于是由伯恩斯坦定理得即是可数集.□定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设或(1)先设由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令-A,则A∩B*=,A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2设是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设(n=1,2,…）是一列可数集.(1)先设因为都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…},n,k=1,2,…,从而∪中元素可按下述方式排成一列：∪规则是：排第一位,当i+j>2时排在第j+∑i+j-2k=1k位因此∪是可数集（注：当部分是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各可能相交,令-∪i-1j=1A j(i≥2),则且∪∪由可数易知都是有限集或可数集,如果只有有限个不为空集,则由推论1.2.2易知∪为可数集（因为至少为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）不为空集,则由(1)知∪∪也是可数集,故在任何场合∪都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集. 例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-为负自然数全体的集合. 因映射f:N→-N,f(n)=-n,建立了N与-之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,…则(n∈N）是一列可数集,而Q+=∪从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q 1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5元素是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n 1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n- -的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n- -则整系数多项式的全体可记为∪，为可数集,其中代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为则R上至少有一个单位长度的区间不含不妨设此区间为\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含以表示这个区间,将三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含记为依此类推,可得一串闭区间},满足：(1) 且的长度趋于0; (2)由闭区间套定理知但对任意的换言之不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明与R不可能对等.例1.2.8R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点由柯西（Cauchy）收敛原理可知-0)与均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-表明对应开区间-对于两个不同间断点和由函数f(x)的单调性可得,开区间-与-互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.14 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记而每个(i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,(2)…,(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令满足：当当由上述构造知∈(0,1),但这与假设矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理1.2.10设是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪n也有连续基数.证明注意到\及\故∪～∪∞n=1\即∪n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c.类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11任给一个非空集合是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则证明假若A～则存在一一对应φ:于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素与对应.由此,若∈A0，则与的定义矛盾；若，则由的定义知又应该属于矛盾.于是A与不对等.进而,单点集全体形成的真子集,记为A ~,显然A~～A,因此例1.2.10其中记从自然数集N到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ:则φ是从到(0,1\]的一一映射,于是有0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n,∈{0,1}.令∈N,则∈{0,1}N.进而,定义映射φ:∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到的一一映射,于是有(0,1\再利用伯恩斯坦定理即得\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<<c.这个问题又被称为连续统假设问题.20世纪伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在1900年国际数学家大会上提出了23个重大数学问题,其中就包括连续统假设问题.而连续统假设问题直到1963年才由科恩（Korn）和哥德尔（Godel）解决：他们证明了,连续统假设与已有的集合论公理系统是相容的,既不能被证明也不能被否定. 习题习题1.15 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的若则1.16 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的有-1(A))=A.1.17 设映射f: ∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若则--∈I,i=1,2; (4) -1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) -1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) -1(Y--1(Y)--1.18 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E, 0,x∈X-E.如果都是X的子集.证明：(1) ∪B(x)-(2) (3) --(4) n→∞sup sup(5) n→∞inf n→∞inf 5.设分别是到到的一一映射,问是否一定存在\\到\\的一一映射?1.1.3 试构造(0,1)与\7.试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.1.2.2 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.1.19平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.1.20 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.1.21 如果A=∪则至少有一个的势为c.1.22 试证：若且A～A∪C,则有B～B∪C.1.23 证明：\上的全体无理数作成的集合其基数是c.1.24 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集. 15.若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f( x+0)存在是可数集.1.1.4 证明\上的连续函数全体C\的势为c.1.1.5 若对任意有限个x:使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.1.1.6 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3R n中的点集1.3 中的点集1.3.1 n维欧氏空间R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的∈R2, 定义两种线性运算：(1) 加法(2)数乘∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R,i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间为R n的一组基.沿用二维线性空间的称谓也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的∈R n,定义d(x,y)=∑ni= -则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy- Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。

实变函数-集合论（1）

实变函数-集合论（1）实变函数-集合论(1)1. 集合的运算(⼀) 并与交 (i) 满⾜结合律，交换律 (ii) 分配律A ∩(⋃α∈I B α)=⋃α∈I (A ∩B α)A ∪(⋂α∈I B α)=⋂α∈I (A ∪B α)(⼆) 差与补定义: 设A ,B 是两个集合，称{x :x ∈A ,x ∉B }为A 与B 的差集，记为A ∖B . 当B 是A 的⼦集时，称A ∖B 为集合B 相对于集合A 的补集或余集. 集合B 相对于全集X 的补集简称为B 的补集或余集，记为B c , 即B c =X ∖B . 也记为B c ={x ∈X :x ∉B }.(1) De. Morgan 法则 (i)⋃α∈I A αc =⋂α∈I A c α; (ii) ⋂α∈I A αc =⋃α∈I A c α.(2) 对称差定义: A 与B 的对称差为A △B =(A ∖B )∪(B ∖A )由定义知A ∪B =(A ∩B )∪(A △B ). 有下列简单事实: (i) A △∅=A ,A △A =∅,A △A c =X ,A △X =A c . (ii) 交换律: A △B =B △A , 结合律: (A △B )△C =A △(B △C ). (iii) 交与对称差满⾜分配律:A ∪(B △C )=(A ∩B )△(A ∩C )(三) 集合列的极限定义: 设{A k }是⼀个集合列. 若A 1⊃A 2⊃⋯⊃A k ⊃⋯,此时称集合列为递减集合列, 称交集∞⋂k =1A k 为{A k }的极限集, 记为limk →∞A k ; 若A 1⊂A 2⊂⋯⊂A k ⊂⋯,则称{A k }为递增集合列, 称并集∞⋃k =1A k 为{A k }的极限集, 记为\lim\limits_{k\to\infty}A_k . 对于⼀般的集合列, 也可类似于上、下极限的做法来给出上、下限集的概念. 定义: 设\{A_k\}是⼀集合列, 令B_j=\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k显然有B_j\supset B_{j+1}(j=1,2,\cdots). 称\lim\limits_{k\to\infty}B_k=\bigcap\limits_{j=1}^\infty B_j=\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k为\{A_k\}的上极限集(上限集), 记为\overline{\lim\limits_{k\to\infty}}A_k.类似地, 称\bigcup\limits_{j=1}^\infty\bigcap\limits_{k=j}^\infty A_k为\{A_k\}的下极限集(下限集), 记为\varliminf\limits_{k\to\infty}A_k(四) 集合列的直积定义: 设X,Y 是集合，称⼀切有序元素对(x, y)(其中x\in X,y\in Y )形成的集合为X 与Y 的直积集, 记为X\times Y , 即X\times Y=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}()()2. 映射与基数(⼀) 映射设X,Y为两个⾮空集合. 若\forall x\in X, 均存在唯⼀的y\in Y与之对应, 则称这个对应为映射(变换或函数), 记为f:X\to Y. y称为x在映射f下的像, x称为y的⼀个原像, 记为y=f(x). ⼜可作g:Y\to X, g(y)=x, 其中x由关系y=f(x)确定, 称g为f的逆映射, 记为f^{-1}. 设f:X\to Y, g:Y\to W,则由h(x)=g(f(x))\quad(x\in X)定义的h:X\to W称为g和f的复合映射. 对f:X\to Y以及A\subset X, 记f(A)=\{y\in Y:\ x\in A, y=f(x)\}, 称f(A)为集合A在映射f下的像集(f(\varnothing)=\varnothing). 有下列简单事实: (i) f\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}f(A_\alpha); (ii) f\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)\subset\bigcap\limits_{\alpha\in I}f(A_\alpha). 设f:X\to Y以及B\subset Y, 记f^{-1}(B)=\{x\in X:\ f(x)\in B\}, 称f^{-1}(B)为集合B关于f的原像集. 有下列简单事实: (i) 若B_1\subset B_2, 则f^{-1}(B_1)\subset f^{-1}(B_2)\quad(A\subset Y); (ii) f^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}B_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}f^{-1}(B_\alpha)\quad(B_\alpha\subset Y,\alpha\in I); (iii) f^{-1}\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}B_\alpha\right)=\bigcap\limits_{\alpha\in I}f^{-1}(B_\alpha)\quad(B_\alpha\subset Y,\alpha\in I); (iv) f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c\quad(B\subset Y). 若对每⼀个y\in Y, 均有x\in X, 使得y=f(x), 则称f为从X到Y的满射. 若当x_1,x_2\in X且x_1\neq x_2时, 有f(x_1)\neq f(x_2), 即X中不同元有不同的像,称f是从X到Y的⼀个单射. 若f既是单射⼜是满射, 则称f为X到Y上的⼀⼀映射.(⼆) 特征函数定义: 对于X中的⼦集A, 作\chi_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&x\in X\setminus A,\end{cases}且称\chi_A:X\to\mathbb{R}是定义在X上的A的特征函数. 特征函数可以认为就是集合, 即特征函数和集合是同构的. 集合问题都可以变为特征函数问题, 如A\neq B即\chi_A\neq\chi_B, A\subsetB即\chi_A(x)\le \chi_B(x). 有下列简单事实: (i) \chi_{A\cup B}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_{A\cap B}(x); (ii) \chi_{A\cap B}(x)=\chi_A(x)\cdot\chi_B(x); (iii) \chi_{A\setminus B}(x)=\chi_A(x)[1-\chi_B(x)]; (iv) \chi_{A\triangle B}(x)=\left|\chi_A(x)-\chi_B(x)\right|.(三) 幂集设X是⼀个⾮空集合, 由X的⼀切⼦集为元素形成的集合称为X的幂集, 记为\mathscr{P}(X). 集合势(即集合的元素个数)有限假设为n, \mathscr{P}(X)元素个数为2^n.(四) 基数(集合的元素个数) 定义: 设有集合A与B. 若存在⼀个从A到B上的⼀⼀映射, 则称A与B对等, 记为A\sim B. 显然, 对等关系有如下的基本性质: (i) ⾃反性: A\sim A (ii) 对称性: 若A\sim B, 则B\sim A (iii) 传递性: 若A\sim B, B\sim C, 则A\sim CCantor-Bernstein定理引理(集合在映射下的分解): 若有f:X\to Y,g:Y\to X, 则存在分解X=A\cup A^{\sim},\quad Y=B\cup B^{\sim}其中f(A)=B,g(B^{\sim})=A^{\sim},A\cap A^{\sim}=\varnothing以及B\cap B^{\sim}=\varnothing. : 若集合X与Y的某个真⼦集对等, Y与X某个真⼦集对等, 则X\sim Y. 证明: 由题设知存在单射f:X\to Y与单射g:Y\to X, 由映射分解定理知X=A\cup A^{\sim},\quad Y=B\cup B^{\sim},\quad f(A)=B,\quad g(B^{\sim})=A^{\sim}.注意到f:A\to B以及g^{-1}:A^{\sim}\to B^{\sim}是⼀⼀映射, 因此可作X到Y上的⼀⼀映射F:F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in A\\g^{-1}(x),&x\in A^{\sim}\end{cases}这说明X\sim Y. 现在我们描述集合的基数(或势)的概念. 设A,B是两个集合, 如果A\sim B, 那么我们就说A与B的基数(cardinal number)或势是相同的, 记为\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}.⾃然数\mathbb{N}的基数，可列集记⾃然数集\mathbb{N}的基数为\aleph_0(读作阿列夫(Aleph)零). 若集合A的基数为\aleph_0, 则A叫做可列集. ,这是由于\mathbb{N}=\{1,2,\cdots,n,\cdots\}, ⽽A\sim\mathbb{N}, 故可将A中元素按⼀⼀对应关系以⾃然数次序排列起来，有:A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}. 定理1: 任⼀⽆限集E必包含⼀个可列⼦集. 证明任取E中⼀元, 记为a_1; 再从E\setminus\{a_1\}中取⼀元, 记为a_2,\cdots,设已选出a_1,a_2,\cdots,a_n. 因为E为⽆限集, 所以E\setminus\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\neq\varnothing于是⼜从E\setminus\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}中再选⼀元, 记为a_{n+1}. 这样, 我们就得到⼀个集合\{a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1},\cdots\}.这是⼀个可列集且为E的⼦集. 定理2: 若A_n(n=1,2,\cdots)为可列集, 则并集A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n也是可列集. 证明只需讨论A_i\cap A_j=\varnothing的情况. 设A_1=\{a_{11},a_{12},\cdots,a_{1j},\cdots\},A_2=\{a_{21},a_{22},\cdots,a_{2j},\cdots\},\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdotsA_i=\{a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{ij},\cdots\},\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots则A=\{a_{11},a_{21},a_{12},a_{31},a_{22},a_{13},\cdots,a_{ij},\cdots\}(规律为a_{11}排第⼀, 当i+j\gt2时,a_{ij}排第n位, n=j+\sum\limits_{k=1}^{i+j-2}k)为可列集.推论: 有理数集\mathbb{Q}是可列集. 定理3: 设A是⽆限集且其基数为\alpha. 若B是⾄多可列集, 则A\cup B的基数仍为\alpha. 证明不妨设B=\{b_1,b_2,\cdots\},A\cap B=\varnothing, 且A=A_1\cup A_2,\quad A_1=\{a_1,a_2,\cdots\}.作映射f如下:f(a_i)=a_{2i},\quad a_i\in A_1;\quad f(b_i)=a_{2i-1},\quad b_i\in B; 显然, f是A\cup B到A上的⼀⼀映射. 定理4: 集合A作为⽆限集的充分必要条件是A与某某真⼦集对等.\mathbb{R}的基数，不可数集通过⼀⼀映射f(x)=\frac{x+1}{2}可知, [-1,1]与[0,1]对等. 因此, 要研究实数集\mathbb{R}的基数, 只需讨论[0,1]的基数即可. 定理5: [0,1]=\{x:0\le x\le 1\}不是可数集. 称(0,1]的基数为连续基数, 记为c(或\aleph_1). 易知\overline{\overline{R}}=c. 定理6: 设有集合列\{A_k\}. 若每个A_k的基数都是连续基数, 则其并集\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k的基数是连续基数. 定理7(⽆最⼤基数定理): 若A是⾮空集合, 则A与其幂集\mathscr{P}(A)不对等.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。

(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

《实变函数》第一章集合

第一章集合（总授课时数 8学时）由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解. 授课时数 2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母,,,,,,A B C D X Y Z表示集合，用小写字母,,,,a b c x y表示集合中的元素．如果a 是集合A 的元素，则说a 属于A ，记作a A ∈，或说A 含有a ．如果a 不是集A 的元素，则说a 不属于A ，记作a A ∉，或说A 不含有a ．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{}a ．由n 个元素12,n a a a 所组成的集合，可表示为12{,}n a a a由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,,,}n ．当集A 是具有某性质P 的元素之全体时，我们用下面的形式表示A ：{|}A x x p =具有性质例如，方程210x -= 的解x 的全体组成的数集是2{|10}x x -=，实际上就是{1,1}-.有时我们也把集{|,x x E x ∈具有性质}p 改写成[E x 具有性质]p ．例如，设()f x 是定义在集合E 上的一实函数，a 是一个实数，我们把集{|,()}x x E f x a ∈>写成[()]E f x a >或[]E f a >．不含任何元素的集合称为空集，记作∅．设A ，B 是两个集，若A 和B 的元素完全相同，就称A 和B 相等，记作A =B (或 B =A ).若集合A 的元素都是集合B 的元素，就称为A 是B 的子集，记作A ∈B (或B ∈A )，读作A 包含于B (或B 包含A )．若A ∈B 且A B ≠,就称A 是B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理1 对任何集合A ，B ，C ，均有（1）A A ⊂；（2）若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂；（3）A B A B =⇔⊂且B A ⊂．二集合的运算设A ，B 是两个集合，集合A 与B 的并集或并{:}AB x x A x B =∈∈或集合A 与B 的交集或交{:}A B x x A x B =∈∈且特别地，若A B ⋂=∅，称A 与B 不相交；反之，则称A 与B 相交．集合A 减B 的差集或差:\{:}A B A B x x A x B -=∈∉或但当B A ⊂时，称差集A B -为B 关于A 的余集记作(A C B )．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A 的子集时，就称A 为基本集或全集，并把A 的子集B 关于A 的余集A C B 简称为B 的余集，记为CB 或CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设Γ为一非空集合，并且对每一个α∈Γ，指定了一个集合A α,此时我们称{|}A αα∈Γ是以Γ为指标集的集族，集族{|}A αα∈Γ的并与交分别定义为:{:,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈使 {:,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈有例设11{:11},,n A x x n N n n=--<≤-∈则 1[1,0]n n A ∞=⋂=-,1(2,1)n n A ∞=⋃=-关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)更一般地有:De Morgan 公式()c c A A αααα∈Γ∈Γ=,()c cA A αααα∈Γ∈Γ=证明（略）注：通过取余集，使A 与C A ，⋃与⋂互相转换.三、集列极限设12,,,,n A A A 是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim (limsup ){:}{:}n n n n n n nA A x x A x A x A →∞==∈或属于无限多个集合存在无限多个，使 {:,,}n x N n N x A =∀∃≥∈使 1n N n NA ∞∞===下极限集：lim (n n A →∞或liminf ){:n nA x =除去有限个集外，有}{:n x A x ∈=当n 充分大时，有}n x A ∈{:,,}n x N n N x A =∃∀≥∈有 1n N n NA ∞∞===注：11lim lim n n n n n n n n A A A A ∞∞→∞→∞==⊂⊂⊂例：设2n 21A [0,1],[1,2]n A +==，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}. 极限集如果集列{}n A 的上极限集与下极限集相等，即lim lim n n n n A A A →∞→∞==则称集列{}n A 收敛，称其共同的极限为集列{}n A 的极限集，记为：lim n n A A →∞=单调增集列极限1{}(),{};n n n n A A A n N A +⊂∀∈若集列满足则称为单调增加1{}(),{};n n n n A A A n N A +⊃∀∈若集列满足则称为单调减少定理2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列{}n A 单调增加，则1lim n n n n A A ∞→∞==2) 如果集列{}n A 单调减少，则1lim n n n n A A ∞→∞==例1：设21211(1,1),(,),,n n A A n n n N n n-=-++=-+∈则 lim (,)n n A →∞=-∞+∞，lim (1,1]n n A →∞=-例2：设2121111[,4],[,1],,n n A A n N n n n n-=-=-+∈则 lim [0,4)n n A →∞=，lim (0,1]n n A →∞=小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础.证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念.——————————————————————————————作业：P30 5, 7, 8练习题1. 设{}n A 为一集列：（1）作1111,(1)n n n k k B A B A A n -===->，证明{}n B 为一列互不相交的集列，且11(1,2,)n n k k k k A B n ====（2）若{}n A 是单调减少的集列，证明1122311()()()(),n n k k A A A A A A A A ∞+==-⋃-⋃⋃-⋃⋃并且其中各项互不相交. 2. 证明:(1) lim n n A →∞1n N n NA ∞∞===,lim n n A →∞1n N n NA ∞∞===(2) lim n n A →∞⊂lim n n A →∞(3) {}n A 单调递增时，有lim n n A →∞=lim n n A →∞=1lim n n n n A A ∞→∞==(4) {}n A 单调递减时，有lim n n A →∞=lim n n A →∞=1lim n n n n A A ∞→∞==3. 已知221,,(1,2,)n n A E A F n -===，求lim n n A →∞和lim n n A →∞，并问lim n n A →∞是否存在？§2 对等与基数教学目的介绍映射, 基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其中的技巧.本节难点证明两个集对等或具有相同的基数. 授课时数 2学时——————————————————————————————1 映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是n R 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念. 定义：设X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则f ，对X 中的每个x ，均存在Y 中唯一的y 与之对应，则称这个对应法则f 是从X 到Y 的一个映射，记作:f X Y →或：设X ,Y 是两个非空集合，f 是X Y ⨯的子集，且对任意x X ∈，存在唯一的y Y ∈使(,)x y f ∈，则f 是从X 到Y 的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2 集合运算关于映射的性质（像集）定理1 ：设:,,,()f X Y A B A αα→∈Γ是X 的子集，称{():}f x x A ∈为A 的像集，记作()f A ，则有：1)()();A B f A f B ⊂⇒⊂ 2)()()(),f AB f A f B =一般地有()();f A f A αααα∈Γ∈Γ=3)()()(),f A B f A f B ⊂一般地有()();f A f A αααα∈Γ∈Γ⊂证明的过程略注：()()()f AB f A f B = 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理2：设:,,,,()f X Y A X C D C αα→⊂∈Γ是Y 的子集，称{:()}x f x C ∈为C 的原像集，记作1()(fC f -不一定有逆映射），则有：111)()();C D f C f D --⊂⇒⊂ 1112)()()(),f C D f C f D ---=一般地有：11()();f C f C αααα--∈Γ∈Γ=1113)()()(),f CD f C f D ---=一般地有：11()();f C f C αααα--∈Γ∈Γ=11111114)(\)()\();5)()[()];6)[()];7)[()];c c f C D f C f D f C f C A f f A f f C C -------==⊂⊂证明略.注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f 为单射，7）等号成立当且仅当f 为满射.3 对等与势1）定义设A ，B 是两非空集合，若存在着A 到B 的一一映射（既单又满），则称A 与B 对等,记作~A B . 约定~∅∅.注：（1）称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A . （2）势是对有限集元素个数概念的推广. 2）性质)a 自反性：~;A A)b 对称性：~~;A B B A ⇒ )c 传递性：~,~~;A B B C A C ⇒例：1)~~~N N N Z 奇数偶数2)(1,1)~(,)--∞+∞证明：令:()2f x tg x π→，则f 是(1,1)-到(,)-∞+∞的一一映射.故(1,1)~(,)--∞+∞注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能. 3)基数的大小比较)a 若~,A B 则称A B =；)b 若1~,A B B ⊂则称A B ≤；相当于：A 到B 有一个单射，也相当于B 到A 有一个满射. )c 若,A B ≤且A B ≠，则称A B <. 注：不能用A 与B 的一个真子集对等描述. 如：(1,1)~(1,1)(,)--⊂-∞+∞ 4 Bernstein 定理引理：设{:}{:}A B λλλλ∈Λ∈Λ，是两个集族，Λ是一个指标集，又,~,A B λλλ∀∈Λ而且{:}A λλ∈Λ中的集合两两不交，{:}B λλ∈Λ中的集合两两不交，那么：~A B λλλλ∈Λ∈Λ证明略定理3:（Bernstein 定理）若有A 的子集*A ，使*~,B A 及B 的子集*B ，使*~,A B 则~.A B 即：若,,A B B A ≤≤则.A B =证明：根据题设，存在A 到*B 上的一一映射f ，以及B 到*A 上的一一映射g .令*1\A A A =，11()B f A =，21()A g B =，22()B f A =，32()A g B =，33()B f A =，由*()g B A =知*21(),A g B A =⊂而*1\A A A =，故1A 与2A 不交. 从而12,A A 在f 的像12,B B 不交，12,B B 在g 下的像23,A A 不交.由*3,A A ⊂知1A 与3A 不交，故123,,A A A 两两不交.从而123,,A A A 在f 的像123,,B B B 也两两不交，从而123,,,A A A 两两不交，123,,,B B B 也两两不交且~(1,2,),fn n A B n =所以11~fn n n n A B ∞∞==另外由1~(1,2,),gk k B A k +=可知111~g k k k k B A ∞∞+==又*~,gB A 所以*111\~\gk k k k B B A A ∞∞+==，*111111\(\)\\k k k k k k A A A A A A A ∞∞∞++=====∴ 11\~\k k k k B B A A ∞∞==∴ 1111(\)()~(\)()k k k k k k k k A A A A B B B B ∞∞∞∞======证毕．注：要证A B =，需要在A 与B 间找一个既单又满的映射；而要证A B ≤，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例：(1,1)~[1,1]--证明：由(1,1)[1,1](,)~(1,1)-⊂-⊂-∞+∞-可知，(1,1)~[1,1]--——————————————————————————————作业：P30 9, 10练习题1. 1R 上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？ 2．证明:若,,A B C A C ⊃⊃则A B C .3. 证明：若A B ⊂，AA C ⋃，则有BB C ⋃.4.设F 是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来, 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.本节难点证明集合可数.授课时数 2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a 或0ℵ1,2,3,4,5,6123456,,,,,a a a a a a注：A 可数当且仅当A 可以写成无穷序列的形式123456{,,,,,}a a a a a a例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3}2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,}２可数集的性质（子集）定理1 任何无限集合均含有可数子集.证明：设M 是一个无限集，取出其中的一个元素从M 中任取一元素，记为1e .则M 1{}e -≠∅,在M 1{}e -中取一元素2e ,显然21e e ≠.设从M 中已取出n 个互异元素1,2,n e e e ,由于M 是无限集，故1,2{,}n M e e e -≠∅,于是又可以从1,2{,}n M e e e -中取出一元素1n e +,它自然不同于1,2,n e e e .所以，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集1,2{,,}ne e e 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集{}123,,,A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}123,,,C c c c =假设,,A B C 两两不交，则{}1212,,,,,,n A B b b b a a ⋃= （当集合有公共元素时，不重复排）{}112233,,,,,,A C a c a c a c ⋃=关于可数个可数集的并仍为可数集的证明11,a 12,a13,a 14a ， 21,a 22,a 23,a 24a ， 31,a 32,a 33,a 34a ， 41,a 42,a 43,a 44a ，,,,，当i A 互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当i A 有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；因此1n n A ∞=是可数集。

(完整版)实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章积分论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

实变函数教案ch1集合

《实变函数与泛函分析》（上海交大，邵国年编，2002.5）实变函数诞生于上世纪初．（法）Lebesgue 创立Lebesgue 积分．Riemann 积分的对象是连续函数；Lebesgue 积分的对象是可测函数，其应用广泛．测度积分形成后，建立了泛函分析理论．它是现代数学的一门重要课程，应用广泛．第一章集合§1.1. 集合及其运算1．集合概念集合：具有某种共性的事物的全体．记为 Λ C, B, ,A ．空集：φ；全集：X ．元素：A A x ∉∈ x ,或．如：{}0 >∈=x R x A ； B=｛一个班级全体学生｝．2．包含与相等B A ⊂是指：B x A x ∈⇒∈ ；称A 是B 的子集． B A =是指：B x A x ∈⇔∈ ．若B A B A ≠⊂　且　，称A 为B 的一个真子集．关系”“⊂满足： (1) A A ⊂； (2) B A =⇒⊂⊂A B B A 且　； (3) C A ⊂⇒⊂⊂C B B A ，　． 3．集合的运算并集 {}B x A x x B A ∈∈= 或Y ；交集 {}B x A x x B A ∈∈= 且I ；若φ=B A I ，称A 与B 不相交；差集 {}B x A x x B A ∉∈= \且；余集 A X X A \A ,c =⊂．（画图示．）集合运算性质：(1) 交换律：A B B A A B B A I I Y Y == ,；(2) 结合律：)()(),()(C B A C B A C B A C B A I I I I Y Y Y Y ==； (3) 分配律：)()()(),()()(C B C A C B A C B C A C B A Y I Y Y I I Y I I Y ==； (4) 对偶律：c c c c c cB A B A B A B A Y I I Y ==)( ,)(．4．集族集族：X 为集合，集合A 的元素都是X 的子集，称A 为X 的一个集族．Y A∈ A A ：A 中所有元素的并；IA∈ A A ：A 中所有元素的交．幂集：XX P 2)(=， X 的全体子集构成的集族．指标集Λ，X ⊂Λ∈∀λλA , ，有集族Λ∈λλ}{A ．并：}A x , { λλλλ∈Λ∈∃∈=Λ∈X x A Y ；交：}A x , { λλλλ∈Λ∈∀∈=Λ∈X x A I ．如 } n, , 3, 2, ,1{ΛΛ==Λ+N ，得到集列1}{≥n n A ； Y +∞=1n A n ，I+∞=1n A n ．简记 )(A }{A }{n n 1或为+∞n A ．5．集合序列的极限定义1.1.1.}{n A 为一集列，X A n ⊂．上限集：}A x n,k N,n {A lim k 1 k ∈≥∃∈∀∈==+∞=+∞=+∞→使X x A n nk n n I Y ；下限集：}A x n,k N,n {A lim k 1 k ∈≥∀∈∃∈==+∞=+∞=+∞→有X x A n nk n n Y I ．关系：n n A +∞→lim n n A +∞→⊂lim ．若n n A +∞→lim n n n A A +∞→∆∆+∞→==n lim A lim ＝，称)(n A 收敛．例1. 令 ) 3, 2, 1,n ( }, 3,n 2,n ,1{ΛΛ=+++=n A n ，则 φ==+∞=+∞→I1n A lim n n n A n n A +∞→=lim ． )(n A 收敛．例2. 令 ) 3, 2, 1,n ( }, )1{(Λ=-=nn A ，则 φφ===+∞=+∞=+∞=+∞→Y Y I11 k A lim n n nk n n A ，1} 1,{1} 1,{ A lim 11 k-=-==+∞=+∞=+∞=+∞→II Y n n nk n n A ．故 )(n A 发散．定理1.1.1.)(n A 为一集列，则(1) lim ⇔∈+∞→n n A x 有无穷多个n A 含有x ；(2) lim ⇔∈+∞→n n A x n 00A x n n ,n ∈≥∈∃恒有时，当N ．定义1.1.2. (单调集列)单增集列：n 321A 记为，Λ⊂⊂⊂A A A ↗；单减集列：n 321A 记为，Λ⊃⊃⊃A A A ↘．结论：(1) 若n A ↗，则Y +∞=+∞→=1nn Alim n n A ； (2) 若n A ↘，则 I+∞=+∞→=1n n n A lim n A ．证：(1) Y I +∞=+∞=+∞→=1 k A lim n n k n n A Y +∞==1 n A n ； I Y I Y +∞=+∞=+∞=+∞=+∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1 1 k 1 k A A lim n k n n k n n A Y +∞==1k A k ． 6．集族的直积A 与B 的直积集 {}B b , ) ,( ∈∈=⨯A a b a B A ；, , , ,21ΛΛn A A A 的直积集{} 3, 2, 1,n , ) ,a , , ,(A n 21211k ΛΛΛΛΛ=∈=⨯⨯⨯⨯=∏+∞=n n n k A a a a A A A ．§1.2. 集合的势1．映射（对应）概念映射f ：f(x)y Y),y X,(x y, x ,=∈∈→αY X ． x ――原象， y ――象， X ――定义域．满射：Y X f =)(；单射：)()f( 2121x f x x x ≠⇒≠；一一映射：满射+单射．恒等映射 x x , :→→X X T X ，（一一映射）．若 )( C R Y 或=，称f 为X 上的实（或复）函数．逆映射：y x , :αY X f → 为一一映射，定义x y , :1α为X Y f→-．设Y B X,A , :⊂⊂→Y X f ，记 })({)(A x x f A f ∈=（象）； })({)(1B x f X x B f ∈∈=-（原象）．定理1．设Y X f → :，Λ∈λλ}{A 和Λ∈λλ}{B 分别是X 上和Y 上的集族，则Y Y Λ∈Λ∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ)(A f A f ， )(I I Λ∈Λ∈⊂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλA f A f ； Y Y Λ∈-Λ∈-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ)(11B f B f ，(*) )(11I I Λ∈-Λ∈-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλB f B f ． (*)证：记 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ∈-Y λλB f E 1，Y Λ∈-=λλ)(1B fF ．)(f x ,B f(x ) , ,B f(x )y E, x 0 0 10 λλλλλB -Λ∈∈∈Λ∈∃∈=∈∀即则Y ， F E ⊂⇒∈F x ．反之， ,B f(x ) ,B f(x ) , F, x 0 0Y Λ∈∈∈Λ∈∃∈∀λλλλ故使即E F ⊂⇒∈E x ．特征函数（示性函数）：⎩⎨⎧∈∈=⊂c E E t ,0Et ,1)( ,t X E χ．性质：设 X E B A n ⊂ , ,，(Λ 3, 2, ,1=n )，则(1)B A B A χχ≠⇔≠ ； (2)B A B A χχ≤⇔⊂ ； (3)B A BA χχχ⋅=I ； (4)B A B A B A I Y χχχχ-+=；(5)]1[ B A B A BA c χχχχ-⋅==-I ； (6) n nn E n E χχ+∞→=+∞→lim lim ； (7) n nn E n E χχ+∞→=+∞→lim lim；(8))(n E 收敛()nE χ⇔收敛；此时有n nE E χχ∞+→=+∞→ n limlim n ．2．集合的对等、势对等：存在一一映射B A :↔ϕ，称A 与B 对等，记作 B A ～或 B A =． A ――集合A 的势（基数）．关系“～”性质：(i) 反身性：A A ～； (ii) 对称性：B A ～A B ～ ⇒； (iii) 传递性：B A ～，C B ～C A ～ ⇒． 3．势的比较若A 与B 的一个子集对等，记 B A ≤；若A 与B 的一个子集对等，但A 与B 不对等，记 B A <．定理1.2.2. 对于集合A ，有 )(A P A <．证：若}{P(A) ,φφ==A ，结论成立．若φ≠A ，则A 与)(A P 中由A 的单点集构成的子集对等，故 )(A P A ≤．下用反证法．假设 )(A P A =，则存在一一映射)(:A P A f ↔．令 A a f a A a A ⊂∉∈=*)}( {．则 )(A P A ∈*，∃唯一的 A a ∈*，使**=A a f )(．⎪⎩⎪⎨⎧=∈∉=∉∈**********.)(, ;)( , A a f a A a A a f a A a 由定义若由定义若 ⇒ 矛盾．故 )(A P A <．Banach 引理．设B A f → :，A B g → :．则 ∃ A M ⊂满足 cc M M f g =])([．其中 M A M f B M f c\M ),(\)(c==．（证略）定理1.2.3. (1) 对于集合A ，成立 A A ≤ ； (2) 若 B A ≤， C A ≤⇒≤C B ；(3) 若B A ≤， B A =⇒≤A B (Berstein 定理)．证(3)：由条件，存在单射B A f → : 及单射A B g → :．由引理，])([M , c c M f g A M =⊂∃使．注意到)( :A f A f →， )( :B g B g → 均为一一映射，可令B A → :ϕ 为 ⎩⎨⎧∈∈=-c 1Ma ),(M a),()(a g a f a ϕ． ϕ是一一映射，得 B A =．§1.3. 可数集与不可数集对于集合A ，φ=A ，规定 0=A ； }n , 2, ,1 {K ～A ， n A =．以上称A 为有限集．若} n, , 2, ,1{ΛΛ=N A ～，称A 为可数集（可列集），} ,a , ,a ,{n 21ΛΛa A =（元素互异），记 0ℵ=A ．不是可数集的无限集称为不可数集．定理1.3.1. 每一无限集必含有一个可数子集．证：设A 为无限集．取A a ∈1．由于φ≠}{\1a A ，可取 }]{\[12a A a ∈．由于φ≠}a ,{\21a A ，可取}]a ,{\[213a A a ∈．继 ΛΛ续下去，便得A 的可数子集}{n a ．推论．可数集的任一子集至多是可数集．证：设A A ⊂*为无限子集，则 A A ≤*．由Th1.3.1， A A =ℵ≥*0．故 0ℵ==*A A ．定理 1.3.2. 设 Λℵ≤Λ≤( 10为有限集或可数集)，若)( 0Λ∈ℵ≤λλA ，则Y Λ∈ λλA 至多为可数集；又Λ∈∃λ ，使 0ℵ=λA ，则Y Λ∈ λλA 是可数集．（可列个可数集之并是可数集）．证：若 1=Λ，结论显然成立．只需证明当 N =Λ， N)(n 0∈ℵ=n A 且 n)(m ≠=φn m A A I 时结论成立．记 } , , , , , {11312111ΛΛj a a a a A =，} , , , , , {22322212ΛΛj a a a a A =，} , , , , , {33332313ΛΛj a a a a A =，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ} , , , , , { 321ΛΛj i i i i i a a a a A =，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ．按对角线法则，有Y +∞=1nAn } , , ,a ,a ,a ,a , , , { 41132231122111ΛΛj i a a a a =．它是可数集．定理1.3.3. 若 n) , 2, ,1( 10Λ=ℵ≤≤k A k ，且存在0i A n}, 2, ,1{ℵ=∈使，Λi ，则 ∏=n1kAk 是可数集．（有限个可数集的乘积集是可数集）．证：只需证明当n)k (1 A 0k ≤≤ℵ= 时结论成立．利用数学归纳法．当1=n 时，结论成立．假设m n =时，结论成立．取定 1)1(++∈m m iA a，记 }{A )1(m 1 k +=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏m ik i a B ， ) 3, 2, 1,(i Λ=．则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∏=m 1 k A k i B ～，由假定i B 为可数集，故Y +∞=+==∏1i1m 1kBA i k 为可数集．例1．有理数集Q 是可数集．证：只需证明正有理数集+Q 是可数集．一方面，+⊂Q N ；另一方面， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=+互素且 , , , q p N q p p q Q {}N N q p N q p q p ⨯⊂∈ ,, , ) ,( 互素且～．而 00ℵ=⨯≤=≤=ℵ+N N Q N ， 0})0{(ℵ==-+Y Y Q Q Q ．同理， 0ℵ==N Z ．例2．实数集 R 是不可数集．证：只需证明闭区间b)(a ,<］［b a 是不可数集．用反证法及闭区间套定理．假设 }{] ,[n x b a = 是可数集．可将] ,[b a 三等分，分点为c, d ．区间] ,[c a 与] ,[b d 中至少有一个区间不含1x ，将它记为] ,[11b a ；对] ,[11b a 重复上述对] ,[b a 的讨论，可得不含 } ,{21x x 的子区间] ,[22b a ；如此以往，得闭区间列+∞1]} ,{[n n b a ，满足：(a) ]b ,[] ,[] ,[11a b a b a n n n n ⊂⊂++； (b) n n n ab a b 3-=-； (c) ] ,[n n b a 不含} , , ,{21n x x x Λ中点．由闭区间套定理，唯一}{] ,[]b ,[a 1n n n n x b a =⊂∈∃+∞=Iξ．故0n x =ξ．而由(3)知，)n (n ] ,[00≥∉n n n b a x ．矛盾．由于a arctgx a b x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=211)()(π 是 )b ,(a R ↔ 的一一映射，记ℵ===] ,[) ,(b a b a R ．(连续统的势)记S 为无理数集，S Q R Y =，ℵ==S R ．定理1.3.4. 若 N)n ( 2∈ℵ≤≤n A ，则 ℵ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∏∞+= A 1 n n ．证：只需证明：当) 3, 2, 1,n ( 2A n Λ== 时 ℵ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∞+=∆A 1 n n G ；而当) 3, 2, 1,n ( A n Λ=ℵ= 时ℵ≤ G ．若2A n =，则 N)(n }1 ,0{∈～n A ， A } 3, 2, 1,n },1 ,0{ )({∆==∈Λn n G δδ～．而 ]1 ,0(～A(采用二进制小数表示)．于是 ℵ===]1,0(A G ．若ℵ=n A ，则 ) 3, 2, 1,(n ]1 ,0(Λ=～n A ，B } 3, 2, 1,n ],1 ,0()({∆==∈Λn n G αα～．每个n α可用二进制无穷小数表示为0.11312111ΛΛk ααααα=， .022322212ΛΛk ααααα=，.033332313ΛΛk ααααα=， ) }1 ,0{(∈nk α．ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ0. 321ΛΛk n n n n n a a a a =α，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ．利用对角线法则，作映射 ]1,0(:→B f 为 ) B )(( , 0.)(n 312213122111∈=→=ααααααααααΛn ．显然，f 是单射，于是 ℵ=≤=]1,0( B G ．推论1．若 01ℵ≤Λ≤，) ( 1Λ∈ℵ≤≤λλA ，且存在Λ∈0λ，ℵ=0 λA ，则ℵ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∏Λ∈ A λλ．推论2．若 ℵ≤Λ≤1，) ( Λ∈ℵ≤λλA ，Λ∈∃0 λ，ℵ=0λA ，则 ℵ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Λ∈ A Y λλ．简证： A A 0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=ℵΛ∈Y λλλ．（其余略）例3. 可列集的子集全体的势为ℵ，即ℵ=ℵ02．证：记可列集),a a ,(n 21ΛΛ，，a A =，构造A 的幂集A 2到二进制小数全体]1 ,0[=B 的映射f ．A2C ∈∀，即A C ⊂，定义 ΛΛn t t t C f 21 .0)(=，其中⎩⎨⎧∉∈=C C t n n n a ,0a ,1若若．映射B f A →2: 是一一映射． ]1 ,0[220=ℵ===ℵB A ．§1.4. Zorn 引理Zorn 引理是一条公理，它与Zermelo 选择公理等价．在本书有应用．定义：01．非空集合M 中定义了一个二元关系”“<（半序），满足： (a) a a <； (b) b a a b ,=<<则b a ； (c) c a c b ,<<<则b a ．称) ,(<M 为半序集．02．对于半序集M ，M b a, ∈∀，成立a b <<或b a ，则称M 为全序集．03．设集合M W ⊂，M 为半序集，Mx ∈0，满足：0x x W, x <∈∀有，称0x 为W 的一个上界．04．M 为半序集，M m ∈，满足：m x xm =<则，称m 为M 的一个极大元．例：(1) 集合X ，令)(X P M =（幂集），”“⊂为M 中的半序；X 为M 的一个上界，也是极大元．(2) C M =（复数域），定义关系<：2) 1,k ( =+=k k k ib a z ，21z z < 是指2121b b ,≤≤a a ．则),(<C 成为半序集．记} 0Im(z) ,0)Re( {≤≤∈=z C z W ，则 0)b (a, ≥+=ib a x 是W 的一个上界，0=z 是W 的一个极大元．Zorn 引理：若半序集) ,(<M 的每个全序子集均有上界，则M 必存在极大元． Zermelo 选择公理：对于集族Λ∈λλ}{A ，若每个 φλ≠A ，则 Λ∈∀λ ，可以选取元素 λλA x ∈．第一章习题 11P ．10．设Y X f →:，Λ∈λλ}{A 和 Λ∈λλ}{B 分别是X 和Y 上的集族，证明： (1) Y Y Λ∈Λ∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(λλλλA f A f ；证：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈∀Λ∈Y y λλA f ，则0 A x λ∈∃，使)(x f y =．从而 )(y 0 λA f ∈．左边⊂右边． )(y Y Λ∈∈∀λλA f ， 0 A x , 0λλ∈Λ∈∃，使)(x f y =．从而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈Λ∈Y y λλA f ．右边⊂左边．(4) )( 1 1I I Λ∈-Λ∈-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλB f B f ．证：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀Λ∈-I 1x λλB f ，即IΛ∈∈ f(x )λλB ．从而 Λ∈∀λ ，λB ∈f(x ) )( 1I Λ∈-∈⇒λλB f x ．左边⊂右边．)( 1I Λ∈-∈∀λλB fx ，即Λ∈∀λ ，λB ∈f(x )．从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈Λ∈-I 1x λλB f ．右边⊂左边．22．证明：闭区间上的连续函数所成之势为ℵ．证：考虑] ,[b a C ．设] ,[ }{b a r n 为中的有理数全体．首先，常值函数] ,[b a C c ∈，故ℵ=≥R b a C ] ,[．再作映射∏+∞=→1R ] ,[ :n b a C ϕ 为 )}({)(1+∞→n r f x f ．由于)(x f 连续，若} 0, ,0 ,0{ )}({)(1Λ==+∞n r f f ϕ，则 ) b] [a,(x 0)(∈=x f ．故ϕ是单射， ℵ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∞+=1 R ] ,[n b a C ．这样，ℵ=] ,[b a C ．。

实变函数复习要点

2011实变函数复习要点第一章集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。

（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。

2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。

De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

例利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明例利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。

5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。

第二章点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。

2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。

如聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。

实变函数(全)总结

2、实数的加法运算+: R×R→R (群,环,域)
3、集合的特征函数 A : X {0,1}
（集合A与特征函数互相决定）
称
A(x)
1 0
xA xA
为集A的特征函数，
注：模糊集： f : X [0,1]
参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh
2 集合运算关于映射的性质（像集）
设 lim n
fn (x)
f
(x)，则{x :
f
(x) a}
{x
:
fn (x)
a
1 k
}
k 1 N 1n N
若x
{x
:
fn (x)
a
1 k
}，
k 1 N 1n N
则
1 k
1, N
1,n
N, 有fn (x)
a
1 k
两边关于n取极限，则f
(x)
a
1 k
a
a a+1/k f(x)
反之若x {x：f
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
n
n
{x : x属于无限多个集合An}
{x : 存在无限多个An，使x An}
A ~ B
A
fλ
B
Bernstein定理的证明
证明:
根据题设，存在A到B*上的一一映射f ,以及B到A* 上的一一映射g.

实变函数--集合

第一章集合由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支。

按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析—包括实变函数论—的发展密切相关。

实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程。

因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章。

不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具。

因此，本章仅介绍那些必不可少的集合论知识，并不深入它的专门课题，而且，我们始终采用朴素的观点，不涉及任何有关集论公理的讨论。

本章的主要内容有：集合概念、集合的运算、对等与基数、可数集合、不可数集合。

下面逐一介绍。

§1.集合概念集合也称作集，它是数学中的一个基本概念，要把这个概念加以严格的规定并不是一件容易的事情，正像几何学中的“点”、“直线”、“平面”一样，”集合“这个概念必须用若干公理组成的公理系统来规定，我们不准备在这里纠缠集合这个概念的严格规定，而是把集合看成是在一定场合所要考察和研究的某些对象的全体.构成集合的每一个对象称为这个集合的元素或元..eg 一个圆周上的点的全体构成一集合，这些点是此集合的元.以实数为系数的多项式全体成一集合，这些多项式是此集合的元.以集合作为成员（元素）的集合，也常称为集族或集类..eg 以闭区间[0，1]上的点为中心，以0.2为半径的开区间全体成一集族，这些开区间是此集族的元.以后常用大写字母 ,,,,,,Z Y X C B A 表示集合，用小写字母 ,,,,,,z y x c b a 表示集合中的元素.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ,记作A a ∈;或者说A 含有a .如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ,记作A a ∉;或者说A 不含有a .有些集合可用列举其元素的办法来具体表示。

如：只含有一个元素a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{}a .由有限个元素12,,,n a a a 所组成的集合，可表示为｛12,,,n a a a ｝．由全体正整数所组成的集合称为正整数集，可表示为{} ,,,2,1n .当集合Ａ是具有某性质ｐ的元素之全体时，我们往往用下面的形式表示}.:{:p x x A A 具有性质=.eg 方程012=-x 的解x 的全体组成的数集是}01:{2=-x x ,就是}1,1{-.有时我们也把集},:{p x E x x 具有性质∈改写成][p x E 具有性质．.eg 设)(x f 是定义在集合E 上的一个实函数,a 是一个实数,我们把集})(,:{a x f E x x >∈可写成])([a x f E >或 ][a f E >或)(a f E >.不含任何元素的集合称为空集。

实变函数-集合

实变函数【1】集合

实变函数-集合与点集

实变函数论之集合与点集

实变函数-集合

实变函数笔记（1）——集合与基数

实变函数中的集合

实变函数知识点总结

可数集合(实变函数)讲述

实变函数论讲义

实变函数-集合论（1）

(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

《实变函数》第一章 集合

(完整版)实变函数论主要知识点

实变函数教案ch1集合

实变函数复习要点

实变函数(全)总结

实变函数--集合

《实变函数》第一章集合