群论湖南大学研究生

1.设A和B都是群G的子群，证明：AB是G的子群，当且仅当AB=BA。

2.证明：一个阿贝尔群G没有非凡子群的充要条件是：群G的阶｜G｜是1或者素数.

3.给出非晶体点群D8的所有元素，分出其共轭类，并画出其极赤图；试求出其特征标表。

4.若D i及D j是群G的两个不等价的不可约表示，证明：（1）直积表示D i ⊗

D j并

不包含恒等表示；（2）在直积表示D i ⊗

D j*中，恒等表示出现且只出现一次。

5.试以下列函数（1）z;（2）xy;（3）x2-y2;（4）x2作为基矢，构造群C4V的表示，并约化这个表示，求出其各不可约表示的基函数。

6.找出群C4V的电偶极跃迁的选择定则。

2015

1.求6阶循环群的所有不变子群，以及其对应的商群。

2.某矩阵的群的两个生成元是[01-10][0110]，此群的阶是多少？共有多少个共轭类？

3.证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必与群G的一切元的表示矩阵对易。

4.求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。

5.证明点群S n当n为奇数时等于C nh群。

6.找出群C4V的电偶极跃迁的选择定则。

1.共有多少种不同构的8阶群？证明你的结论。

2.从点群D2d出发，计算其全部的点式空间群。

3.给出非晶体点群D5h的所有元素，分出其共轭类，并画出其极赤图；试求出非晶体点群D5的特征标表。

4.设某分子原为O群对称，加入微扰后对称性分别降为D2群，D4群，T群的对称性，试求出能级的分裂情况。

5.找出群C4V的电偶极跃迁的选择定则。