中位线 经典讲义

学科教师辅导讲义
年 级： 辅导科目：数学 学科教师： 教学目标
中位线
教学内容
一、知识点：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
2、梯形的中位线：
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

二、举例：
例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。

四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？
F
E
D
C
B
A
H
G
F E
o D
C
B A
例3：已知：如图，
AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。

⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。

例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。

试说明DM=
2
1AB
例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。

例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。

试说明：EF ∥BC 。

例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝
2
1
(BC －AD)。

B A F
E A
C
M
D A N
B
例8：已知：如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，点P 、Q 、R 分别为AO 、BO 、CD 的中点，且∠AOD ＝60°。

试判断ΔPQR 的形状，并说明理由？
中位线
一、 三角形中位线的性质
1、 如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的
关系？四边形ADEF 的周长与AB+AC 的关系如何？
2、 已知在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点，H 是EF 的中点.求
证：EF ⊥GH.
3、如图所示，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，点E 是BC 的中点。

求证：（1）
C
A O
B D
Q
P R
C
DE ∥AB ；（2）DE=2
1
(AB-AC).
变式：（1）在△ABC 中,过点A 分别作∠B,∠C,的角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG 和三角形三边的关系。

（2）在△ABC 中,过点A 分别作∠B 的角平分线的垂线, ∠C,的外角平分线的垂线，垂足分别为G,F,求FG 和三角形三边的关系。

（3）在△ABC 中,过点A 分别作∠B,∠C,的外交角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG 和三角形三边的关系。

（4）已知△ABC ，过A 分别向∠B ，∠C 的内外角平分线作垂线，垂足依次为M 、P 、Q 、N ，求证这四点共线
4、 如图在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AC=BD ，
A
B
C
F
G
M
O
F
E
D
A
C
N
O
F
E
A
B
求证：OM=ON.
5、O是ΔABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G
依次连接，如果DEFG能构成四边形：
（1）如图，当O点在ΔABC内部时，证明四边形DEFG是平行四边形。

（2）当O点移动到ΔABC外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由。

（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由。

二、梯形中位线的性质
1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm，这个等腰梯形的周长为（）
A、16 cm
B、32 cm
C、24 cm
D、40 cm
2、已知四边形ABCD是高为10的等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，又AC⊥BD，求中位线EF的长。

3、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，
求证：GH=
2
1
(BC-AD).
B
B
B B
变式一：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ，AD=a ，BC=b ，求EF 、FH 、GH 的长。

变式二：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，G 、H 分别是BF 、AC 的中点，求证：EF 是梯形ABCD 的中位线。

4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD 与∠ABC 的平分线交于CD 中点E.求证：AD+BC=AB.
5、过平行四边形ABCD 的各个顶点向形外一条直线L 作垂线，垂足分别为A'B'C'D'.求证：
D
l
A
C
D'
AA'+CC'=BB'+DD'
变式练习：直线l 过口ABCD 的顶点B ，AA ’⊥l ，CC ’⊥l ，DD ’⊥l, 试证明AA ’+ CC ’= DD ’
B
B
三、 直角三角形和中位线
1、在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=
2
1
AB ，E 、F 分别是BC 、AC 的中点。

（1）求证：DF=BE;（2）过点A 作AG ∥BC ，与DF 相交于点G ，求证：AG=DG.
2、 已知AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，求证：FC=2AF.
3、如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边中点，AG 是BC 边上的高，求证：四边形DGEF 是等腰梯形。

A
D
C
B
4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC,BD ⊥DC,且BD 平分∠ABC ，若梯形的周长为20，求这个梯形中位线的长。

拓展训练：
1、在四边形ABCD 中，AB = CD ，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，∠BEN=40°.求∠CFN 的度数.
2、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ．AD=AB,CM ⊥AD 于M ．
求证:AM
2
1
(AB+AC)
3、等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AD ：BC =5：6，∠A 与∠D 的平分线与BC 的交点分BC 为三等分，梯形的周长为57厘米.求梯形的上，下底长.
4、已知在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 、F 分别是AB ，AC 的中点 (1) EF 和AD 之间有什么位置关系？并证明你的结论. (2)若四边形AEDF 是菱形，则△ABC 应满足什么条件？
课后作业：
1、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E 。

试说明：DE=2
1
BC 。

2、已知：如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。

试说明：四边形DEFG是平行四边形。

3、已知：如图矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点。

试说明：四边形CBEF是等腰梯形。

4、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的
中点。

试说明：EF与MN互相垂直平分。

F
E
O
D
C
B
A。