中位线 经典讲义

学科教师辅导讲义

年 级： 辅导科目：数学 学科教师： 教学目标

中位线

教学内容

一、知识点：

⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。 ⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

2、梯形的中位线：

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。 ⑵梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

二、举例：

例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？

例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？

F

E

D

C

B

A

H

G

F E

o D

C

B A

例3：已知：如图，

AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。

⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。

例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。试说明DM=

2

1AB

例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。

例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。试说明：EF ∥BC 。

例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝

2

1

(BC －AD)。 B A F

E A

C

M

D A N

B

例8：已知：如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，点P 、Q 、R 分别为AO 、BO 、CD 的中点，且∠AOD ＝60°。试判断ΔPQR 的形状，并说明理由？

中位线

一、 三角形中位线的性质

1、 如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的

关系？四边形ADEF 的周长与AB+AC 的关系如何？

2、 已知在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点，H 是EF 的中点.求

证：EF ⊥GH.

3、如图所示，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，点E 是BC 的中点。求证：（1）

C

A O

B D

Q

P R

C

DE ∥AB ；（2）DE=2

1

(AB-AC).

变式：（1）在△ABC 中,过点A 分别作∠B,∠C,的角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG 和三角形三边的关系。

（2）在△ABC 中,过点A 分别作∠B 的角平分线的垂线, ∠C,的外角平分线的垂线，垂足分别为G,F,求FG 和三角形三边的关系。

（3）在△ABC 中,过点A 分别作∠B,∠C,的外交角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG 和三角形三边的关系。

（4）已知△ABC ，过A 分别向∠B ，∠C 的内外角平分线作垂线，垂足依次为M 、P 、Q 、N ，求证这四点共线

4、 如图在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AC=BD ，

A

B

C

F

G

M

O

F

E

D

A

C

N

O

F

E

A

B

求证：OM=ON.

5、O是ΔABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G

依次连接，如果DEFG能构成四边形：

（1）如图，当O点在ΔABC内部时，证明四边形DEFG是平行四边形。

（2）当O点移动到ΔABC外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由。

（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由。

二、梯形中位线的性质

1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm，这个等腰梯形的周长为（）

A、16 cm

B、32 cm

C、24 cm

D、40 cm

2、已知四边形ABCD是高为10的等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，又AC⊥BD，求中位线EF的长。

3、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，

求证：GH=

2

1

(BC-AD).

B

B

B B

变式一：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ，AD=a ，BC=b ，求EF 、FH 、GH 的长。

变式二：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，G 、H 分别是BF 、AC 的中点，求证：EF 是梯形ABCD 的中位线。

4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD 与∠ABC 的平分线交于CD 中点E.求证：AD+BC=AB.

5、过平行四边形ABCD 的各个顶点向形外一条直线L 作垂线，垂足分别为A'B'C'D'.求证：