2016青海交通职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

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一、选择题

1．曲线y ＝x

x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x －2

解析：选A.易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2

(x ＋2)2

，∴切线斜率k

＝y ′|x ＝－1＝2

1

＝2.

由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

2．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点

解析：选D.由题意，得x >－1，f ′(x )>0或x <－1，f ′(x )<0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D.

3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )

x 在区间(1，＋∞)上一定( )

A ．有最小值

B ．有最大值

C ．是减函数

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D ．是增函数

解析：选D.由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值

范围为a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a

x 2.易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )为增函数．

4．已知函数f (x )＝1

2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值

范围是( )

A ．m ≥3

2 B ．m >32 C ．m ≤3

2

D ．m <32

解析：选A.因为函数f (x )＝1

2

x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，

得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝

3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －27

2≥－9，解得

m ≥32.

5．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )

A ．1

B ．2

C ．0 D. 2

解析：选B.∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a

2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a

x ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.

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二、填空题

6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝

________.

解析：因为f(x)＝3x2＋2xf′(2)，所以f′(x)＝6x＋2f′(2)，于是f′(2)＝12＋

2f′(2)，解得f′(2)＝－12，故f′(x)＝6x－24，因此f′(5)＝6.

答案：6

7．曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b、c∈R)经过点P(0,2a2＋8)，且在点Q(－1，f(－

1))处的切线垂直于y轴，则c

b

的最小值为________．

解析：由已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b、c∈R)经过点P(0,2a2＋8)知c＝2a2＋8.

又知其在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，

∴f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0，b＝2a.

∴c

b＝

2a2＋8

2a＝a＋

4

a.

∵a>0，∴c

b＝a＋

4

a≥4，

即c

b的最小值为4.

答案：4

8．已知

函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上不单调；③函数f(x)在x＝－1

2

处取到极大值；④函数f(x)在x＝1处取到极小值．其中正确的说法有

________．

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解析：由图可知，当x <－1时，xf ′(x )<0，故f ′(x )>0，即函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增；当－10，故f ′(x )<0，即函数f (x )在(－1,0)上单调递减，因此f (x )在x ＝－1时取得极大值；根据对称性可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故在x ＝1时取得极小值．故①④正确．

答案：①④ 三、解答题

9．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1

2.

(1)求a 、b 的值；

(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b

x

.

又函数f (x )在x ＝1处有极值1

2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝1

2，即⎩⎪⎨⎪⎧

2a ＋b ＝0，a ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝12，

b ＝－1.

(2)由(1)可知f (x )＝1

2x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)

x

. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：

所以函数y )．