2016青海交通职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
单招试卷数学试题及答案
单招试卷数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=2x+3，则f(-1)的值为：A. 1B. -1C. -5D. 52. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为：A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}3. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标为：A. (0,1)B. (-1/2, 0)C. (1/2, 0)D. (0, -1)4. 函数y=x^2-4x+4的最小值是：A. 0B. 1C. 4D. 85. 等比数列{a_n}中，a_1=2，公比q=2，则a_3的值为：A. 4B. 8C. 16D. 326. 已知向量a=(1,2)，b=(2,3)，则向量a·b的值为：A. 5B. 6C. 7D. 87. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，该圆的半径为：A. 3B. 6C. 9D. 128. 已知三角形ABC中，a=3，b=4，c=5，则cosA的值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/59. 函数y=sin(x)的周期为：A. 2πB. πC. 3πD. 4π10. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则该双曲线的渐近线方程为：A. y=±x/2B. y=±2xC. y=±xD. y=±1/2x二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{a_n}中，a_1=1，d=2，则a_5的值为______。
12. 函数y=cos(x)的值域为______。
13. 已知向量a=(3,-1)，b=(-1,3)，则向量a与b的夹角为______。
14. 已知椭圆方程为x^2/16 + y^2/9 = 1，则该椭圆的离心率为______。
15. 函数y=ln(x)的定义域为______。
三、解答题（每题20分，共40分）16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)。
2016北京交通运输职业学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)
限时：45分钟满分：70分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．2．设a＝log132，b＝log1213，c＝⎝⎛⎭⎫120.3，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a解析：选A因为a＝log132<0，b＝log1213>log1212＝1，0<c＝⎝⎛⎭⎫120.3<1，所以a<c<b.3．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图像的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图像的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A．相交，且交点在第Ⅰ象限B．相交，且交点在第Ⅱ象限C ．相交，且交点在第Ⅳ象限D ．相交，且交点在坐标原点解析：选D 由已知得A (2,1)，B (4,2)，C (2，lg 2)，D (4，lg 4)，由于k AB ＝12，k CD＝lg 2，故AB 与CD 相交，且两直线方程分别为y ＝12x 和y ＝12lg 2x ，两直线均过原点，即交点在坐标原点处．4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎨⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13和实数m ，n ，下列结论中正确的是( ) A ．若m <n ，则f (m )<f (n ) B ．若f (m )<f (n )，则m 2<n 2 C ．若f (m )<f (n )，则m 3<n 3 D ．上述命题都不正确解析：选B 由题意可知，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13是定义在R 上的偶函数，当x >0时，函数y ＝2x－12x >0且单调递增，函数y ＝x 13>0且单调递增，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．所以由f (m )<f (n )可得|m |<|n |，故m 2<n 2.7．定义a *b ＝ab －1－ka －2，则方程x *x ＝0有唯一解时，实数k 的取值范围是( )A ．(－5，5)B ．[－2，－1]∪[1,2]C ．[－5，5]D ．[－5，－1]∪[1，5]解析：选B 依题意得，关于x 的方程x 2－1－kx －2＝0，即kx ＋2＝x 2－1有唯一解．在直角坐标系中画出函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像，注意到函数y ＝x 2－1的图像是由双曲线x 2－y 2＝1上除去位于第三、四象限的部分所组成，并且该双曲线的渐近线是y ＝±x ，函数y ＝kx ＋2的图像恒过点(0,2)，结合图像分析可知， 当函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像有唯一的公共点时，k 的取值范围是[－2，－1]∪[1,2]．8．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在⎣⎡⎦⎤0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图像，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x 的图像可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0,3]时有3个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103时方程无解． 二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0，则f (f (－4))＝________.解析：f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16，所以f (f (－4))＝f (16)＝16＝4. 答案：410．定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b .已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________.(结果用a ，b ，c 表示)解析：注意到log 30.3<0<0.33<1＝30<30.3，即有c <b <a .依题意得，(a *b )*c ＝b *c ＝c . 答案：c11．对于任意实数x ，[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．这个函数[x ]叫做“取整函数”，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋[lg 4]＋…＋[lg 2 010]＝________.解析：原式＝([lg 1]＋[lg 2]＋…＋[lg 9])＋([lg 10]＋[lg 11]＋…＋[lg 99])＋([lg 100]＋[lg 101]＋…＋[lg 999])＋([lg 1 000]＋[lg 1 001]＋…＋[lg 2 010])＝9×0＋90×1＋900×2＋1 011×3＝4 923.答案：4 92312．已知偶函数f (x )(x ≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f (x 2－2x －1)＝f (x ＋1)的所有x 之和为________．解析：依题意得，方程f (x 2－2x －1)＝f (x ＋1)等价于方程x 2－2x －1＝x ＋1或x 2－2x －1＝－x －1，即x 2－3x －2＝0或x 2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4.答案：413．若函数f (x )＝log 2a x －2log a x (a >0且a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：设t ＝log a x ，则f (t )＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，当a >1时，只需函数f (t )在区间⎣⎡⎦⎤log a 12，log a 2上递减即可，故log a2≤1，故a ≥2；当0<a <1时，只需函数在区间⎣⎡⎦⎤log a 2，log a 12上递增，故log a2≥1，无解，故实数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：根据新定义写出f (x )的解析式，数形结合求出m 的取值，再根据函数的图像和方程的根等条件求解．由定义可知，f (x )=(21),0,(1),0.{x x x x x x -≤-->作出函数f (x )的图像，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )=m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=2×12=1,0<x 2x 3=m <14. 令1(21),40,{x x x -=<解得x =13-或x =13+ (舍去)． 所以13-<x 1<0，所以13-<x 1x 2x 3<0. 答案：13,016⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭。
2016湖北交通职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
考单招——上高职单招网2016湖北交通职业技术学院单招数学模拟试题(附答案) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1计算＝（A）（B）（C）（D）2过点的直线经过圆的圆心，则直线的倾斜角大小为（A）（B）（C）（D）3设函数f（x）的图象关于点（1，）对称，且存在反函数( x )，若f （3） = 0，则（3）等于（A）－1 （B）1 （C）－2 （D）2 4设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，则m⊥γ其中正确命题的序号是：（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④5．已知一个正四棱锥的各棱长均相等，则其相邻两侧面所成的二面角的大小为(A)arcos (B)arcsin(-) (C)arctan() (D)arccot() 6，则“”是“”的考单招——上高职单招网（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件7若点在双曲线的左准线上，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)8．已知四面体中，与间的距离与夹角分别为3与，则四面体的体积为（A）（B）1 （C）2 （D）９．从1，2，3，4，5 中取三个不同数字作直线中的值，使直线与圆的位置关系满足相离，这样的直线最多有（A）30条（B）20条（C）18条（D）12条10．已知等差数列{a n}与等差数列{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，则(A) (B) (C) (D)11．若，则方程在（0，2）上恰有（）个实根．(A)0 (B)1 (C)2 (D)3考单招——上高职单招网12．已知M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2，且，点I为的内心，延长MI交线段F1F2于一点N，则的值为（A）（B）（C）（D）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2016青海交通职业技术学院英语单招测试版试题及答案
第一卷（选择题共115分）第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．Where is Jimmy now?A．At a hotel．B．B．At home．C．C．At the lab．2．What is the man?A．A waiter．B．A taxi driverC．A conductor．3．How does the woman feel?A．Discouraged．B．B．Satisfied．C．C．Happy．4．How many bank robbers were there altogether?A．1．B．2．C．4．5．What would the man probably do?A．To save 300．B．To have the machine repair the car．C．To buy a new car．第二节（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至8题。
6．How long is it since Mary and John last talked to each other?A．More than one year．B．B．Less than one year．C．C．Three months．7．Where does the man work?A．In a food factoryB．B．At a university．C．C．At the National Bank．8．Which of the following is true?A．The woman speaks German better than Spanish．B．Tom．John’s son，is in Grade Three．C．The man has two children．听第7段材料，回答第9至11题。
2016江西工业职业技术学院数学单招测试题(附答案解析)
考单招——上高职单招网 1、如果复数m iim ++12是纯虚数，那么实数m 等于 ( )A.-1B.0C.0或-1D.0或12、已知等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若3213+-=n n T S n n ，则=1010b a [来源:学科网] (A)23 (B)1314 (C)2329 (D)4156 3、已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.3或134、定义在R 上的函数，满足)2()()(+=x f x f x f ]5,3[∈x 当时，|4|2)(--=x x f ，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．)6(cos)6(sin ππf f <B ．)1(cos )1(sin f f >C ．)32(sin )32(cosππf f > D ．)2(sin )2(cos f f >5、“22<-<b a 且”是“函数[)+∞-∈-+=,1,)(x ax bx x f 是增函数”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件考单招——上高职单招网 6．已知抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆M 与抛物线的准线l 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7、已知奇函数)(,)(2121x x x x x f ≠对任意的正实数恒有 0))()()((2121>--x f x f x x ，则一定正确的是（ ）[来源:学科网]A ．)6()4(->f fB ．)6()4(-<-f fC ．)6()4(->-f fD ．)6()4(-<f f8、已知动圆过点（1，0），且与直线1-=x 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 （ ）A ．122=+y xB ．122=-y xC ．x y 42=D ．0=x9、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题的是 （ ）A ．c b c b ////⇒⎭⎬⎫⊂αα B ．αα////c c b b ⇒⎭⎬⎫⊂ C ．αβα////c c c ⇒⎭⎬⎫⊥ D ．ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c //10、符号[x]表示不超过x 的最大整数，如].[}{,2]08.1[,3][x x x -=-=-=定义函数π给出下列四个命题：①函数}{x 的定义域是R ，值域为[0，1]；②方程21}{=x 有无数个解；③函数}{x 是周期函数；④函数}{x 是增函数，其中正确命题的序号有 （ ）考单招——上高职单招网A．②③B．①④C．③④D．②④参考答案CDACA BCCCA。
2016甘肃钢铁职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
限时：50分钟 满分：80分(共16个小题，每小题5分，共80分)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D A 选项中的函数为非奇非偶函数．B 、C 、D 选项中的函数均为奇函数，但B 、C 选项中的函数不为增函数，故选D.2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.3．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( )A ．tan x ≥sin x ≥xB ．tan x ≥x ≥sin xC ．大小关系不确定D ．|tan x |≥|x |≥|sin x | 解析：选D 结合y 1＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图像可知D 正确．4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )A ．3 B.13C ．11 D.111解析：选D 由a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1得a n >0，∴2a n ＋1>a n ，即a n2a n ＋1<1，故排除A 项，C 项．又a 2＝a 12a 1＋1＝13，又由已知可以看出a n ＋1<a n ，故a 6应小于13.5．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D.6．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C 方程f (x )·2x ＝1可化为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，如右图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 有两个实数根．7．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )解析：选B 法一：由y ＝f (x )的图像写出f (x )的解析式．由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎨⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图像应为B.法二：利用特殊点确定图像．当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B8．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝S MB ．P >SM C ．P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n D ．P 2>⎝⎛⎭⎫S M n解析：选C 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM 和P 2>⎝⎛⎭⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ，而P ≠SM ，所以A 选项不正确．9．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．10．自圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0外一点P (0,4)向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则PA ·PB 等于( ) A.125B.65 C.855 D.455解析：选A 由圆的方程(x －1)2＋(y －2)2＝1知圆心为(1,2)，半径为1.设PA 、PB 的夹角为2θ，则切线长 |PA |＝|PB |＝(1－0)2＋(2－4)2－12＝2， 结合圆的对称性，cos θ＝255，cos 2θ＝35， 所以PA ·PB ＝125.11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C.2D. 3解析：选C 法一：棱长为2的正四面体的一个侧面面积记为S 1＝12×2×2×32＝3，显然图中三角形(正四面体的截面)的面积介于32与3两者之间，从而选C. 法二：将棱长为2的正四面体ABCD 放入到正方体中，如图，M 为CD 的中点．则正方体棱长为2，正方体的中心即为球心．平面MAB 必过球心，所以S △MAB ＝12×2×2＝ 2.12．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：选B 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C.13．若直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．y 2＝x B.x 22－y 2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝4 D.x 23＋y 2＝1解析：选D 依题意得，圆心(0,0)到直线l 的距离等于4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，即直线l 是圆x 2＋y 2＝1的切线．而圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线y 2＝x ，曲线x 22－y 2＝1，曲线(x －2)2＋y 2＝4均没有公共点；对于D ，由于圆x 2＋y 2＝1上的所有点均不在椭圆x 23＋y 2＝1内，因此圆x 2＋y 2＝1的切线与曲线x 23＋y 2＝1一定有公共点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A ．b <－2且c >0B ．b >－2且c <0C ．b <－2且c ＝0D ．b ≥－2且c ＝0解析：选C 设t ＝f (x )，则方程化为关于t 的一元二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图像如图所示，显然，当⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝t >2时，有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，而当f (x )＝0时，只有x ＝0，所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t 2＋bt ＋c ＝0有一个零根和一个大于2的根，故b <－2且c ＝0，故所求充要条件为b <－2且c ＝0.15．F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则|1PF ·2PF |的最大值是( )A ．4B ．5C ．1D ．2解析：选D 设动点P 的坐标是(2cos α，sin α)，由F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则1PF ＝(－2cos α－3，－sin α)，2PF ＝(－2cos α＋3，－sin α)．所以|1PF ·2PF |＝|4cos 2α－3＋sin 2α|＝|3cos 2α－2|≤2.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8解析：选C 记f (x )－2＝f 1(x )，g (x )－2＝g 1(x )，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的根与方程f 1(x )＝g 1(x )在区间[－5,1]上的根相同．令x＋2＝t，则x＝t－2，当x∈[－5,1]时，t∈[－3,3]，方程f1(x)＝g1(x)，即f1(t－2)＝g1(t－2)，g1(t－2)＝1t，在同一坐标系下画出函数y＝f1(t－2)，t∈[－3,3]的图像与g1(t－2)＝1t，t∈[－3,3]的图像，结合图像可知，它们的图像共有三个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为t1、t2、t3，则有t1＋t3＝0，t2＝－1，(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＝t1＋t2＋t3＝－1，则x1＋x2＋x3＝－7，因此方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和等于－7.。
2016辽宁省交通高等专科学校单招数学模拟试题(附答案解析)
2016辽宁省交通高等专科学校单招数学模拟试题(附答案解析)一、选择题1、设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A B把集合A中的元素x映射到集合B中元素x3-x+2，则在映射f下，象2的原象所成的集合是()(A) {1} (B) {0，1，-1} (C){0 } (D) {0，-1，-2}2、不等式的解集为（）(A)（，1）∪（1，）(B) （-∞，）∪（，+∞）(C)（-∞，1）∪（，+∞）(D)（，1）∪（，+∞）3、直线L1：mx+(m-1)y+5=0与直线L2：（m+2）x+my-1=0互相垂直，则m的值为（）（A）(B) 0(C)1或(D)0或4、设{a n}为等差数列，从{a1，a2，a3，···a20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有（）(A)90个(B)120个(C)180个 (D)200个5、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线倾角分别为与，则与的大小关系是（）(A) > (B)=(C) < (D)≥6、已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（）(A)(B)(C)(D)7、相交成900的两条直线与一个平面所成的角分别是300与450，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为（）(A) (B)(C) (D)8、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x,则f(x)是（）(A)cosx (B)2cosx (C) sinx (D)2sinx9、(1+x)2n+x(1+x)2n-1+x2(1+x)2n-2+······+x n(1+x)n的展开式中，含x n项的系数为劲（）(A) (B)(C) (D)10、对于x∈[0，1]的一切值，a+2b>0是使ax+b>0恒成立的（）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件11、甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（）(A)(B) (C) (D)12、定义在R上的函数y=f(x)，在（-∞，）上是增函数，且函数y=f(x+)是偶函数，当x1<，x2>且时，有（）(A) f(2- x1)> f(2- x2)(B) f(2- x1)= f(2- x2)(C) f(2- x1)< f(2- x2)(D) -f(2- x1)< f(x2-2)一、填空题：13、已知>b，·b=1则的最小值是。
2016年安徽交通职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
考单招——上高职单招网2016年安徽交通职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)一，选择题（5分*10=50分）1，200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方 图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有（ ）A .30辆B .40辆C .60辆D .80辆2，若sin2α<0，且tan α·cos α<0，则角α在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3，已知函数,),2cos(R x x y ∈+=π（）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．有无奇偶性不能确定4，在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个。
用系统抽样法从中抽取容量为20的样本.则每个个体被抽取到的概率是 （） A ．61 B ．241 C ．361 D ．6015，已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|b a +等于 （）A ．7B ．10C ．13D ． 46，若角α满足sin αααcos 1cos 1+-+cos αααsin 1sin 1-+=―sin α―cos α，则α为 （）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限考单招——上高职单招网7，已知向量与的夹角为，若向量，且c ⊥a ，则ba = （ ）A ．2B ．C ．D ．8，已知向量b a ,满足3,2==b a ，且3=∙b a ，则a 与b 的夹角为 （ ） A ，4π B ，3π C ，6π D ，2π 9，把函数y =cos(x +3π4)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则 φ的最小正值为 （ ） A.3π B.6π C.65π D.3π4 10，已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA ＋OB ＋OC ＝0，则O 是△ABC 的（ ） A ，内心B ，外心C ，垂心D ，重心二，填空题（5分*6=30分） 11，若)4sin(,21cos sin πααα+=+则的值是 ；12，已知1sin cos 5θθ-=,则sin 2θ的值是 ；13，在△ABC 中，若a=2,b=22,c=6+2，则∠A 的度数是，a b 120c a b =+ 31233考单招——上高职单招网14，函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程是． 15，248cos coscos cos 17171717ππππ＝．16，函数)26sin(2x y -=π的单调递减区间是；三，解答题（10分+12分*5=70分）17，已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++，①，求其最小正周期； ②，求其最大值； ③，求其单调增区间；18，把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量n =（―1，－2），①，若向量m =（―a ，b ），求当 m ⊥n 时的慨率；②，若向量p =（a ，b ），又p ∥n , 且p =2n 时,求向量p 的坐标;考单招——上高职单招网19，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P 的延长线上，使212PP P P =,，则求点P 的坐标20，从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.21，设函数x x x x f ωωωcos )cos sin 3()(+=，（其中20<<ω）考单招——上高职单招网（Ⅰ）若f (x )的最小正周期为π，求当36ππ≤≤-x 时，f (x )的值域； （Ⅱ）若函数f (x )的图象的一条对称轴方程为3π=x ，求ω的值.22，已知.)(,)sin 2,sin cos (),sin ,sin (cos 且 →-→-→-→-⋅=-+=+=b a x f x x x b x x x a （1）求)(x f 的解析式，并用)sin()(ϕ+=wx A x f 的形式表示；（6分） （2）求方程)(x f ＝1的解. （6分）考单招——上高职单招网参考答案一，CDBACBCBAD 二，11，42； 12， 2425； 13， 30°；14，()x k k π=∈Z ； 15，116； 16，Z k k k ∈++-],3,6[ππππ 三，17，y=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+4π)+2; ①， T=π； ②，当x= k π+8π(k ∈Z) 时，max y =22+； ③， [k π―83π，k π+8π] ，k ∈Z 18,解: 点数对（a ，b ）共有6×6=36对， ①,由m ⊥n 得 a ―2b = 0，即a = 2b ，∴数对（a ，b ）只有三对：（1，2）、（2，4）、（3，6）， ∴向量m =（―1，2）、（―2，4）、（―3，6）只有3个， 此时的慨率P =363=121; ②,n =5， ∴p =22b a +=25，2a +2b =20，考单招——上高职单招网又p ∥n ，∴b = 2 a ， 得2a =4，点数a=2，b=4， ∴向量 p =( 2 , 4 )19, 解法一： 设分点P （x,y ），∵P P 1=―22PP ，λ=―2∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15)解法二：设分点P （x,y ），∵P P 1=―22PP ， λ=―2∴ x=21)2(24---=―8,y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15)解法三：设分点P （x,y ），∵212PP P P =, ∴ ―2=24x+, x=―8, 6=23y+-, y=15, ∴ P(―8,15)20,解：（Ⅰ）事件A ：选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件；则P （A ）=31036C C ， ∴P （A ）= 1－6531036=C C ；答：随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为65； （Ⅱ）事件B ：选出的三个均为乙品牌元件，至少有两个乙品牌元件通过测试考单招——上高职单招网P （B ）=+-⋅⋅)531()53(223C 333)53(⋅C =12581； 答：至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为12581；21,解：x x x x f ωωω2cos cos sin 3)(+=22cos 12sin 23xx ωω++=（2分） 21)62sin(++=πωx（4分）（Ⅰ）122)(=∴=∴ωπωππ的最小正周期为x f （6分）656263621)62sin()(ππππππ≤+≤-∴≤≤-++=∴x x x x f 23)(01)62sin(21≤≤∴≤+≤-∴x f x π（8分）（Ⅱ）)(262Z k k x ∈+=+πππω令（10分）0,20)(2133),(26:=∴∈<<∈+==∈+=k Z k Z k k x Z k k x 且时得当得ωωπππω 21=∴ω （12分）22,解：（1）→-→-⋅=b a x f )(＝)sin 2 ,sin (cos )sin ,sin (cos x x x x x x -+⋅+ ＝x x x 22sin 2)sin (cos -+ ………………4分 ＝x x x x 22sin cos sin 2cos -+＝x x 2sin 2cos + ＝)42sin(2π+x ………………8分考单招——上高职单招网（2）由1)(=x f 得)42sin(2π+x ＝122)42sin(=+πx ………………9分 ∴ πππk x 2442+=+(K ∈Z) ………10分或 πππk x 24342+=+(K ∈Z) ………………11分 所以方程的解为. {x ∣πππk x k x ＋或 4==，K ∈Z }……12分。
最新青海单招数学模拟试题及答案解析
1、.已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．3、在平面直角坐标系xoy 中，动点P 到直线4x =的距离与它到点()2,0F的距离之比为（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0F 作垂直于x 轴的直线l ,求轨迹C 与y 轴及直线l 围成的封闭图形的面积．4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （Ⅰ） 求某乘客在第层下电梯的概率 ； （Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率； （Ⅲ）求电梯停下的次数的数学期望.5、如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 为止.（１）求甲经过2A 到达Ｎ的方法有多少种； （２）求甲、乙两人在2A 处相遇的概率； （３）求甲、乙两人相遇的概率. i )5,4,3,2(=i ξ6、．设数列{n }满足1＝，n ＋1＝n 2＋1，． (1)当∈(－∞,－2)时，求证：M ； (2)当∈(0,］时，求证：∈M ； (3)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M 的关系，并证明你的结论．7、已知()121,2,3,n n n n na A A A n =+++=，当n ≥2时，求证：a a a a a a {}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤a a ∉a 14a a 14a⑴na a n n =+-11； ⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++-≤（参考答案）1、. 3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 2、：曲线的普通方程为224x y -=．||AB =．3、（Ⅰ）22184xy +=．（Ⅱ） 所求的封闭图形的面积．4、 （Ⅰ）； （Ⅱ） （Ⅲ） 的分别列如下表：∴ 41)(=i F 256175)411(14=--=P ξ6464464364264=⨯+⨯+⨯+=ξE5、（1）9种 （２）.81400 （３）.411006、．（3） 当时，．．7、（1）思路: )2(A A 11n k n k n k n ≤≤=--，故当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n 11...-+==n a . （2）由（1）得1111---=+n n n n na aa a ，可得 左11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n +-+=)!1(1!1n n …1112!1!+++ 111...11(1)(1)(2)21n n n n ≤+++++---⨯…n 13-=．14a >a M ∉1、.已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即c ＋d ＝6； ………………………………………2分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分 解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分 A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分 曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．……………8分AB 12s s =-…………………………………10分3、在平面直角坐标系xoy 中，动点P 到直线4x =的距离与它到点()2,0F的距离之比为（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0F 作垂直于x 轴的直线l ,求轨迹C 与y 轴及直线l 围成的封闭图形的面积．（Ⅰ）设(),P x y22184x y +=． 即动点P 的轨迹C 的方程为22184x y +=． ………………4分（Ⅱ）当0y ≥时，y =y ． ………………6分设所求的图形的面积为S，则002S ==⎰11228224π⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪⎭．故所求的封闭图形的面积+． ………………10分4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （1）求某乘客在第层下电梯的概率 ；（2）求电梯在第2层停下的概率；（3）求电梯停下的次数的数学期望. 解：（Ⅰ）； （Ⅱ） （Ⅲ）可取1、2、3、4四种值； ； ； 故的分别列如下表：∴ i )5,4,3,2(=i ξ41)(=i F 256175)411(14=--=P ξ6414)1(414===C P ξ64214)22()2(4424=-==C P ξ64364)3(4332434===A C C P ξ6464)4(444===A P ξξ6464464364264=⨯+⨯+⨯+=ξE5、如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 为止.（１）求甲经过2A 到达Ｎ的方法有多少种； （２）求甲、乙两人在2A 处相遇的概率； （３）求甲、乙两人相遇的概率. 解：（１）甲经过2A ，可分为两步：第一步，甲从M 经过2A 的方法数为13C 种； 第二步，甲从2A 到N 的方法数为13C 种所以甲经过2A 到达N 的方法数为123()9C =种...2分 （２）由（１）知，甲经过2A 的方法数为213)(C ；乙经过2A 的方法数也为213)(C .所以甲、乙两人在2A 处相遇的方法数为413)(C ＝81；甲、乙两人在2A 处相遇的概率为40081)(3636413==C C C P .………………………6分 （３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇，他们在)4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有413)(-i C 种方法；所以：433423413403)()()()(C C C C +++＝164故甲、乙两人相遇的概率10041400164==P .答：（1）甲经过2A 到达N 的方法数为9种；（2）甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400；（3）甲、乙两人相遇的概率41100. ………………………10分 6、．设数列{n }满足1＝，n ＋1＝n 2＋1，． a a a a a a {}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤(1)当∈(－∞,－2)时，求证：M ；(2)当∈(0,］时，求证：∈M ； (3)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M 的关系，并证明你的结论．证明：（1）如果，则，． ………………………………2分（2） 当 时，（）． 事实上，〔〕当时，． 设时成立（为某整数），则〔〕对，．由归纳假设，对任意n ∈N *，|a n |≤＜2，所以a ∈M ．…………………6分（3） 当时，．证明如下：对于任意，，且． 对于任意，， 则．所以，．当时，，即，因此.10分 7、已知()121,2,3,nn n n na A A A n =+++=，当n ≥2时，求证：a a ∉a 14a a 14a 2a <-1||2a a =>a M ∉104a <≤12n a ≤1n ∀≥1n =112a a =≤1n k =-2k ≥n k =221111242k k a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭≤≤1214a >a M ∉1n ≥14n a a >>21n n a a a +=+1n ≥221111()244n n nn n a a a a a a a a +-=-+=-+--≥114n n a a a +--≥1111()4n n a a a a n a ++-=--≥214a n a ->-11()224n a n a a a a +-+>-+=≥12n a +>a M ∉⑴na a nn =+-11； ⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++-≤ 23.（1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n k n ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a .所以na a nn =+-11． ………………………………4分 （2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ， 所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++ 11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n+-+=)!1(1!1n n …1112!1!+++ 11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (2211)+⨯++-+-+--=)2111()111(n n n n …2)211(+-+n13-=． …………………10分。
2016内蒙古交通职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π，ω>0，则ω＝________.2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为________________________________．3．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数且以π为周期的函数是________．(填序号)(1)y ＝sin x2； (2)y ＝sin x ；(3)y ＝－tan x; (4)y ＝－cos2x .4．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4的值域为________．能力提升5．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图象的对称中心的坐标是________．7．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a ＝________. 8．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为________．9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调递增区间是________．10．函数f (x )＝sin2x ＋22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋3的最大值为________．11．设点P (x 0，y 0)是函数y ＝tan x 与y ＝－x 的图象的一个交点，则(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝________.12．已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)．考单招——上高职单招网①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中一个假命题的序号是________．因为当φ＝________时，该命题的结论不成立．13．(8分)已知f (x )＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数g (x )＝－4a sin(3bx )的最小正周期、最值，并求取得最值时的x 的值； (2)判断g (x )的奇偶性．14．(8分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．考单招——上高职单招网15．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x (sin x ≥cos x )，cos x (cos x >sin x ).(1)画出f (x )的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值； (2)判断f (x )是否为周期函数，如果是，求出最小正周期．16．(12分)是否存在实数m ，使得函数y ＝sin2x ＋m cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值等于7？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．2 [解析] 由T ＝2π|ω|得ω＝2πT＝2.2.⎣⎡⎦⎤34π＋2k π，74π＋2k π，k ∈Z [解析] 令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得34π＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z .3．(4) [解析] 由函数以π为周期，可排除(1)、(2)，由函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，可排除(3)，故选(4)．4．(1，2) [解析] 因f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4时，有sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，故f (x )∈(1，2)． 【能力提升】5．π [解析] 由周期公式得T ＝2πω＝2π2＝π.6.⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) [解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )．7．0 [解析] f (x )是奇函数，且x ＝0有意义，故f (0)＝0，得a ＝0.8．π [解析] 由f (x )＝(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ，得T ＝2π2＝π. 9.⎣⎡⎦⎤0，π8 [解析] 由0≤x ≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π4，又y ＝sin x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而知π4≤2x ＋π4≤π2⇒0≤x ≤π8，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8.10．5 [解析] 原函数可化为f (x )＝sin2x ＋2(cos x －sin x )＋3， 设cos x －sin x ＝t ，t ∈[－2，2]， 则sin2x ＝1－t 2，考单招——上高职单招网则f (x )＝－t 2＋2t ＋4＝－(t －1)2＋5， ∴当t ＝1时，f (x )max ＝5.11．2 [解析] 因为tan x 0＝－x 0，故sin x 0＝－x 0cos x 0，即x 20cos 2x 0＋cos 2x 0＝1，故cos 2x 0(x 20＋1)＝1.故(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝2cos 2x 0(x 20＋1)＝2.12．① k π(k ∈Z )或者① π2＋k π(k ∈Z )或者④ π2＋k π(k ∈Z ) [解析] 当φ＝2k π，k ∈Z 时，f (x )＝sin x 是奇函数．当φ＝2(k ＋1)π，k ∈Z 时，f (x )＝－sin x 仍是奇函数．当φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )＝cos x ，或当φ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )＝－cos x ，f (x )都是偶函数，所以①和④都是假命题，③是真命题．无论φ为何值都不能使f (x )恒等于零，所以f (x )不能既是奇函数又是偶函数，②是真命题．13．[解答] (1)∵f (x )＝a －b cos3x ，b >0，∴⎩⎨⎧f (x )max ＝a ＋b ＝32，f (x )min ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴函数g (x )＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x . ∴此函数的最小正周期T ＝2π3，当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2； 当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2. (2)∵函数解析式g (x )＝－2sin3x ，x ∈R ， ∴g (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－g (x )， ∴g (x )＝－2sin3x 为奇函数．考单招——上高职单招网14．[解答] 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)为R 上的偶函数得φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0≤φ≤π，故φ＝π2，由此得f (x )＝cos ωx .又函数f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，所以f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，即cos 3πω4＝0.故3πω4＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝43k ＋23(k ∈Z )．由于f (x )＝cos ωx 在ωx ∈[0，π]，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，πω上单调递减，而f (x )＝cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤0，πω，从而πω≥π2，即ω≤2，由于ω＝43k ＋23(k ∈Z )且ω>0，故k ＝0或1，所以ω＝23或2.故φ＝π2，ω＝23或2.15．[解答] (1)实线即为f (x )的图象．单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋π2，⎣⎡⎦⎤2k π＋5π4，2k π＋2π(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4，⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋5π4(k ∈Z )，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－22.(2)f (x )为周期函数，最小正周期T ＝2π.16．[解答] 原函数可以化为y ＝sin2x ＋22m (cos x －sin x )，令t ＝cos x －sin x ，则有sin2x ＝1－t 2，且－2≤t ≤2，则原函数变为y ＝1－t 2＋22mt ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －24m 2＋m 28＋1.若24m ≤－2，即m ≤－4，则当t ＝－2时，函数取得最大值．所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－24m 2＋m 28＋1＝7，解得m ＝－8，符合题意；考单招——上高职单招网若24m ≥2，即m ≥4，则当t ＝2时，函数取得最大值， 所以－⎝⎛⎭⎪⎫2－24m 2＋m 28＋1＝7，解得m ＝8，符合题意； 若－2＜24m ＜2，即－4＜m ＜4，则当t ＝24m 时，函数取得最大值， 所以m 28＋1＝7，解得m ＝±43，这与－4＜m ＜4矛盾，舍去．综上，存在实数m ，使得函数y ＝sin2x ＋m cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值等于7，此时m 的值等于±8.。
2016昌吉职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网danzhaowang1．函数f (x)＝x2－ 2ax＋ 2，当x∈ [－1，＋∞ )时，f( x)≥a恒成立，求a的取值X围．解：∵f( x)＝(x－ a)2＋2－a2，∴此二次函数图象的对称轴为x＝ a.(1)当 a∈(－∞，－1)时， f( x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴ f( x)min＝ f(－1)＝2a＋3.要使 f( x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得a≥－ 3，即－ 3≤a< － 1.(2)当 a∈[－1，＋∞)时， f( x)min＝f( a)＝2－ a2.要使 f( x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a，即2－ a2≥ a，解得－2≤ a≤1，即－1≤ a≤1.综上所述，实数a 的取值X围为[－3,1]．2.如下列图，圆O： x2＋y2＝4，直线 m： kx－ y＋1＝0.(1)求证：直线 m 与圆 O 有两个相异交点；(2)设直线 m 与圆 O 的两个交点为 A、B，求△AOB 面积 S 的最大值．解： (1) 证明：直线m：kx－y＋ 1＝0 可化为y－ 1＝kx，故该直线恒过点 (0,1) ，而 (0,1) 在圆O：x2＋y2＝ 4 内部，所以直线 m 与圆 O 恒有两个不同交点．1(2) 圆心O到直线m的距离为d＝1＋k2，而圆 O 的半径 r＝2，故弦AB 的长为 || ＝2r2－2＝24－d2，AB d考单招——上高职单招网danzhaowang故△AOB面积＝1|| ×＝1×2 4－d2×d 22AB d＝4d2－d4＝－d2－ 2 2＋ 4.而 d2＝12，因为1＋k2≥1，所以d2＝1 2 ∈(0,1]，1＋k1＋k显然当 d2∈(0,1] 时，S单调递增，所以当d 2＝1，即＝0时，S取得最大值3，此时直线m的方程为y－1＝0.k3.四棱锥 P－ ABCD如下列图．(1)在四棱锥中， E 为线段 PD 的中点，求证： PB∥平面 AEC；PF(2) 在四棱锥中，F为线段PA上的点，且FA＝λ，那么λ为何值时，PA⊥平面DBF？并求此时几何体F－BDC 的体积．解：(1)证明：连接 AC、BD，设交点为 O，连接 OE，∵OE 为△ DPB的中位线，∴OE∥ PB.∵EO?平面 EAC，PB?平面 EAC，∴ PB∥平面 AEC.(2) 过O作OF⊥PA，垂足为F.连接OP、FA、FB.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.[]考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.。
2016青海建筑职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网一、选择题1．若(x ＋1x)n 展开式中的各二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20C ．30D ．120解析：选B.2n ＝64，∴n ＝6，常数项为C 36x 3(1x)3＝20. 2．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排两人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种解析：选C.若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C 14种选法，然后14日、15日有C 24C 22种安排方法，共有C 14C 24C 22＝24种安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C 14C 13C 22种安排方法，共有12(种)；若甲、乙都在15日值班，则共有C 24C 22＝6种安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42种安排方法．3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．－154 B.154C ．－38 D.38解析：选C.该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 6·126－2r ·x 3－r . 令3－r ＝2，得r ＝1.∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2，∴应选C.考单招——上高职单招网4．在(x＋13x)24的展开式中，x的幂的指数是正整数的项共有()A．5项 B．4项C．3项 D．2项解析：选C.T k＋1＝C k24(x)24－k(13x )k＝C k24x12－56k.由题意12－56k为正整数且k＝0,1,2,3，…，24，故k＝0,6,12，∴x的幂的指数是正整数的项只有3项．5．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为()A．C28A36 B．C17A47C．C16A47 D．无法确定解析：选C.自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C16种选法，再从其他7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有C16A47种．二、填空题6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C23A27＝126种站法，共有210＋126＝336种站法．答案：3367．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有__________种．(用数字作答)解析：由题设知a5必为6.第一类：当a1＝2时，a3可取4、5，∴共有2A33＝12(种)；第二类：当a1＝3时，a3可取4、5，∴共有2A33＝12(种)；第三类：当a1＝4时，a3必取5，∴有A33＝6(种)．∴共有12＋12＋6＝30(种)．考单招——上高职单招网答案：308．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有______个．(用数字作答)解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．答案：14三、解答题9．有同样大小的9个白球和6个红球．(1)从中取出5个球，使得红球比白球多的取法有多少种？(2)若规定取到一个红球记1分，取到一个白球记2分，则从中取出5个球，使得总分不小于8分的取法有多少种？解：(1)5个全是红球有C 56种取法，4个红球、1个白球有C 46C 19种取法，3个红球、2个白球有C 36C 29种取法，所以取出的红球比白球多的取法共有C 56＋C 46C 19＋C 36C 29＝861(种)．(2)要使总分不小于8分，至少需取3个白球2个红球，3白2红有C 39C 26种取法，4白1红有C 49C 16种取法，5个全是白球有C 59种取法，所以总分不小于8分的取法共有C 39C 26＋C 49C 16＋C 59＝2142(种)．10．已知(a ＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式中的常数项，而(a ＋1)n 展开式中的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解：(165x 2＋1x)5的展开式的通项为 T r ＋1＝C r5(165x 2)5－r (1x )r ＝(165)5－r C r 5x 20－5r 2. 令20－5r 2＝0，得r ＝4，考单招——上高职单招网∴常数项为T 5＝C 45·165＝16. 又因为(a ＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n .∴2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a ＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项即第3项，T 3＝C 24a 2＝54，解得a ＝±3.11．北大附中的三男、两女站成一排照一张合影．(1)若两个女生相邻，则共有多少种不同的站法？(2)若两个女生不相邻，则共有多少种不同的站法？(3)现要调换3人位置，其余2人位置不变，这样不同的调换方法有多少种？解：(1)可分成两步完成：第一步，因为两女生相邻，用捆绑法先把两女生看成一个整体，与三个男生排成一排有A 44种不同的站法；第二步，两个女生相邻有A 22种不同的站法．根据分步计数原理，共有A 44A 22＝48种不同的站法．(2)可分成两步完成：第一步，三个男生排成一排有A 33种不同的站法；第二步，三个男生排好后就产生了四个空位，再将两个女生插入这4个空位中，有A 24种不同的站法．根据分步计数原理，共有A 33A 24＝72种不同的站法．(3)任取2人不动有C 25种方法，设调换的3人为A 、B 、C ，则A 不能站在原位，可以从B 、C 中选1人站在A 的位置，有2种情况，故共有2C 25＝20种不同的调换方法．。
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一、选择题
1．曲线y ＝x
x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2
解析：选A.易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2
(x ＋2)2
，∴切线斜率k
＝y ′|x ＝－1＝2
1
＝2.
由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.
2．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点
解析：选D.由题意，得x >－1，f ′(x )>0或x <－1，f ′(x )<0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D.
3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )
x 在区间(1，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
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D ．是增函数
解析：选D.由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值
范围为a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a
x 2.易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )为增函数．
4．已知函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值
范围是( )
A ．m ≥3
2 B ．m >32 C ．m ≤3
2
D ．m <32
解析：选A.因为函数f (x )＝1
2
x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，
得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝
3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －27
2≥－9，解得
m ≥32.
5．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )
A ．1
B ．2
C ．0 D. 2
解析：选B.∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a
2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a
x ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.
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二、填空题
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝
________.
解析：因为f(x)＝3x2＋2xf′(2)，所以f′(x)＝6x＋2f′(2)，于是f′(2)＝12＋
2f′(2)，解得f′(2)＝－12，故f′(x)＝6x－24，因此f′(5)＝6.
答案：6
7．曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b、c∈R)经过点P(0,2a2＋8)，且在点Q(－1，f(－
1))处的切线垂直于y轴，则c
b
的最小值为________．
解析：由已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b、c∈R)经过点P(0,2a2＋8)知c＝2a2＋8.
又知其在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，
∴f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0，b＝2a.
∴c
b＝
2a2＋8
2a＝a＋
4
a.
∵a>0，∴c
b＝a＋
4
a≥4，
即c
b的最小值为4.
答案：4
8．已知
函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上不单调；③函数f(x)在x＝－1
2
处取到极大值；④函数f(x)在x＝1处取到极小值．其中正确的说法有
________．
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解析：由图可知，当x <－1时，xf ′(x )<0，故f ′(x )>0，即函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增；当－1<x <0时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0，即函数f (x )在(－1,0)上单调递减，因此f (x )在x ＝－1时取得极大值；根据对称性可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故在x ＝1时取得极小值．故①④正确．
答案：①④ 三、解答题
9．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2.
(1)求a 、b 的值；
(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b
x
.
又函数f (x )在x ＝1处有极值1
2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝1
2，即⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝0，a ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝1
2x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)
x
. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
所以函数y )．
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10．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；
(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)．
当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少； 当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加．
综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，单调减区间是(2－3，2＋3)．
(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．
当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意知，2<a －a 2－1<3，① 或2<a ＋a 2－1<3.② ①式无解．解②式得54<a <5
3. 因此a 的取值范围是(54，5
3)． 11.
某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．
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(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)
解：(1)依题意三角形NDC 与三角形NAM 相似， 所以DC AM ＝ND NA ， 即
x 30＝20－AD 20，AD ＝20－23
x ， 矩形ABCD 的面积为S ＝20x －2
3x 2， 定义域为0＜x ＜30，
要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米， 即20x －2
3x 2≥144，
化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18， 所以AB 长度应在区间[12,18]内． (2)仓库体积为V ＝20x 2－2
3x 3(0＜x ＜30) V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20，
当0＜x ＜20时V ′＞0，当20＜x ＜30时V ′＜0， 所以x ＝20时V 取得最大值8000
3米3， 即AB 长度为20米时仓库的库容最大．。