线性方程组和矩阵的概念及运算 (1)

Ak AAA 并且 Am Ak Amk , A m k Amk .
k个
m , k为正整数
线性方程组的矩阵表示 例 二元线性(一次)方程组的矩阵表示
x1 x2 3 P212
2x1 3x2 5
由矩阵相等，对应元素相等，线性方程组可写为
x1 x2 3
2x1 3x2 21 521
系数矩阵A
由矩阵乘法，上式可写为
12
1 322
x1 x2
21
53
21
令
A 12
1322 ,
X
x1 x2
,b 21
3 5
21
线性方程组可写为矩阵方程 Ax b
可求得X x1 4 , x2 1
1 1 4 3
2
322
121
5
21
n元线性(一次)方程组的矩阵表示
P212
线性方程组
2
x1
x2
1
x1 - 2 x2
1 1
2
有无穷多解；
平面直角坐标系下，表示两条直线，其重叠，有无穷多个交点。
而线性方程组
2
x1
x1 -
1 2
x2 x2
1 1
无解； 两条直线平行
12.1.2 矩阵的概念
P205
一、矩阵的定义
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
n元线性方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a21 x1
a22
x2
... ...
a2n xn
b2 ,
它的系数矩阵为 as1x1 as2 x2 ... asn xn bs .
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
as1 as1 asn
12.1.1 线性方程组的概念
定义12.1.1
形如
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21x1 a22x2 ... a2n xn b2 ... am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
的方程组称为线性方程组，其中 x1, x2 ,..., xn为未知数，
1 13
2 列
4
c22 10
c12 4
c11 0
c31 4
(1) 2 21 0 3 1 4 4
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时，两个矩阵才能相乘.
AB不存在
1 2 3
例4
3 5
2 8
1
1 9
33
6
6 0
8
1 23
不存在.
又如
1
AB
2 313
8 5
9 4
，
3 2 1
则
3
A
3 3
1 6
38 35
3 9 3 3 4 18
24 15
27 12
3 3 3 2 3 1 9 6 3
数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 s n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A;
3 A B A B.
... ... ... ...
a1n
a2n
... amn
简记为
A Amn (aij )mn (aij )
称为m n 矩阵.
这m n个数aij称为A的元素, i称为aij的行标
j称为aij的列标.它们表示aij在矩阵A的位置
例如 1 0 3 5
9 6 4 3
是一个 2 4 矩阵,
(1230)11
1
3
2
2
3
111
1011
10
1 31
从这两题你看到
3 2
1 2 313
3 2
6 4
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9 6
131 BA ( )331 2 3 33
了什么现象？
AB可乘吗?
AB BA?
例5
A
a1 a2
, B b1,b2 ,,bn 1n
an n1
则
AB
a1 a2
b1, b2,, bn 1n
称为矩阵 A 的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
16
3.数与矩阵相乘
P209
数 与矩阵 A 的乘积记作 A或 A , 规定为
a11 a12 a1n
A
A
a21
a22
a2n
.
as1 as1 as n
数与矩阵中的每个 元素相乘
例
1 A 6
aij (i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) 为常数，也称为第i 个方程第 j 个
个未知数 x j 的系数，bi (i 1,2,..., m)为常数项。
3
线性是指未知数 x1, x2 ,..., xn 的次数均为一次。特别的， 当线性方程组中的常数项 bi (i 1,2,..., m)全为0时，方程组
a11x1 a12x2 ... a1n xn 0 a...21x1 a22x2 ... a2n xn 0 am1x1 am2 x2 ... amn xn 0
称为齐次线性方程组，相应的，当常数项 bi (i 1,2,..., m)
不全为0时，方程组称为非齐次线性方程组。
例如：
1 2
是一个
31
矩阵,
4
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
4 是一个 11 矩阵.
几种特殊的矩阵
13 11 4
1 方阵
An Ann 7 4 4 6 8 933
P206
矩阵A的行数与列数相等，即m=n时，矩阵A称为n阶方 阵 对， 角记线作上的An元,左素上a1角1, a到22右,下, a角nn的称连为线主称对为角主线对元角素线。，主
2 行矩阵 A a11 a12 a1n 1n
a11
3
列矩阵(向量
)A
a21
am1 m1
4 零矩阵所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 Omn
a11 0 0 0
5
对角矩阵
Ann
0 0
a22 0 0
0 0
0 0 0 ann
6 单位矩阵
1 0 0 0
E
I
0 0
1 0
0
0 0
给定一个线性方程组a21x1 a22x2 ... a2n xn b2
...
am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
如果保持每个变量前面系数的相对位置不变，将得到 一个矩形数表，这样的矩形数表被定义为矩阵。
a11
记作A
a21 ... am1
a12 a22 ... am2
则称矩阵A与B 相等,记作 A B.
2.矩阵的加法
P209
设有两个 s n 矩阵
A
aij
sn
, B
bij
,
sn
那么矩阵A与 B 的和记作A+B ，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
a12 b12 a22 b22
a1n b1n a2n b2n
as1 bs1 as2 bs2 asn bsn
例3
1 0 2 1 1 2
设 A34B42 0 1 1
1 2 0
1.可相乘
3 1
2
0 1
1 3
c32
,
4
0 A34B42 c32.2ＣA第的iccＣ5行1211i乘j 1c4cB12022第j列得
c431 4c32
同理 c21 5
的B
则
c32
A的第3行 第
1
2
0
2
an n1
a1b1 a1b2 a1bn
a2b1
a2b2
anbn
anb1 anb2 anbn nn
BA
b1 ,
b2 ,, bn
1n
a1 a2
( a1b1 a2b2 anbn )11
an n1
n
aibi
i 1
矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC; 2 AB C AB
注意：两个矩阵必须同型才能相加；矩阵 相加即对应元素相加
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行 加法运算.
例1
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
12 1 16
38 95
59 04
13 7
11 4
4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
4.矩阵的乘法：
Ｐ209
设A aij 是一个
矩阵，B bij 是一个n m
矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
是一个 s m 矩阵 C cij ，其中
Csm Asn Bnm
n
cij aikbkj ,i 1,2,, s, j 1,2,, m k 1 n
例 写出线性方程组 的增广矩阵和该线性方程组的矩阵形式。
42xx112xx22
3x3 5x3
1 4
x1
2x3 6
解 只要将方程组中的未知量和等号去掉，再添上矩阵符号，
就得到方程组的增广矩阵，即
A
:
B
4
2x1 x1 2
x2 x2
3x3 5x3
1
4
2 x1
2x3 6
x1 2 x2 x3 0
2 x12 x2 2 x3 -1
x1
2 x2
x32
2
非齐次线性方程组 不是线性方程组
使线性方程组中每一个等式恒成立的一组常数 c1, c2 ,..., cn
称为线性方程组的一组解。即用这组数代替 x1, x2 ,..., xn 时所
1
5
0
1 3 1
1
2 0 , 4 34
(1
10
C11
0
(2)
3
4
2
B
1 3
2 1 1 1
3)
21
(21)
1
453
1 2 0 3
4 (3)
求C 4
A
16
B
C33
A34
B43
1
0
1 5
3 1
0 4
1 3 1
2 1 2
1 1 1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 10 33
第12章 线性代数初步
主讲：凌婷
本章要点：
P204
1.线性方程组、矩阵的概念及运算 2.行列式的性质及计算、克莱姆法则 3.矩阵的初等变换及矩阵的秩、逆矩阵 4.求解线性方程组
2
§12.1 线性方程组和矩阵的概念及运算
P204
自然科学、工程技术和经济管理中的许多问题经常可以归 结为解线性方程组。那什么叫线性方程组呢？
0 0 0 1
P206
7 三角矩阵 a11
上三角矩阵
A
0 0
0
a12 a22 0
0
0
下三角矩 a1n
a2n ann
a11
A
a21
an1
0 a22 an2
0 0
0 0 0 ann
a 0 0 0
8 数量矩阵
A
0 0
a 0
0
0 0
0 0 0 a
12.1.3 矩阵的运算
3 AB AB
AC ,
A
P211 E为单位阵(也记为I )
BE
CI
1
A 0
0
1BA
0
0C A;
0
B （其 0中0 为1数 ）;
4 Amn Enn Emm Amn Amn;
k
5
数量矩阵
kE
0
0 k
0 0
0 0 k
6 若A是 n 阶矩阵，则 Ak 为A的 k 次幂，即
x1 b1
令
x
x2
,
b
b2
xn bs
线性方程组可写为矩阵方程 Asn xn1 bs1
系数矩 阵A
简记为
Ax b
n元线性(一次)方程组的矩阵表示
P212
n元线性方程组
把A和B写在一起
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a21 x1
a22
x2
a1 b1 a1 b1
例2
a2
b2
a2
b2
an bn an bn
矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11 a12 a1n
3
A
a21
a22
a2n
aij ,
am1 am1 amn
有方程的两边恒相等。
例如： (- 1 ,2, 3 ) 为线性方程组 22
43xx11
2x2 - x2
- x3 2 x3
1 -1
x1 2 x2 - x3 2
的一组解。
线性方程组的解有三种情况:
有唯一解; 有无穷多解; 无解;
例如：
线性方程组
2x1x12
x2 x2
1 1
有唯一解；
平面直角坐标系下，表示两条直线，其相交，只有唯一1个交点。
... ...
a2n xn
b2 ,
as1x1 as2 x2 ... asn xn bs .
a11 a12 ... a1n b1
[
A
:
B]
a21 ... a s1
a22 ... as1
... ... ...
a2n ... asn
b2
... bs
增广矩阵
称为线性方程组的增广矩阵，记为 A
1.矩阵的加法 2.数与矩阵的乘法 3.矩阵的乘法 4.矩阵的转置
Ｐ207
1.同型矩阵与矩阵相等的概念 Ｐ208
a.两个矩阵的行数、列数对应相等时,称为同型矩阵.
b.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
cij ai1b1 j ai2b2 j ai nbn j ai kbk j
k 1
i 1,2,s; j 1,2,, m,
并把此乘积记作 C AB.
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
32 ? 16
22
例2 设 A
解C11
1 1 0
1 0
0