2020-2021学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。