利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

二．利用导数解决优化问题的基本思路：

三、应用举例

例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为

181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝

⎭．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<<

⎪⎝⎭

． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．

当01x <<时，()0V x '>；当312

x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．

从而最大体积233

(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。

例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐

篷的体积最大？

解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m

）

=于是底面正六边形的面积为

：

22

62)

x x

==+- m2

帐篷的体积为23

1

()2)(1)112)

3

V x x x x x x

⎡⎤

=+--+=+-

⎢⎥

⎣⎦

m3

求导数，得2

()3)

2

V x x

'=-令()0

V x

'=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1

V x

'>,V(x)为增函数；当2

V x

'<,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。即当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。求解关键是设法构建函数关系，将实际问题如何转化为数学问题，再利用导数求解.

例3（瞬时速度问题）若已知某质点的运动方程为S(t)=1

2+

t－at，要使在t∈[0, +∞]上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围。

解：S’(t)=a

t

t

-

+1

2

. ∵| S’(t)|≤1，∴|

1

|

2

a

t

t

-

+

≤1，

∴

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

-

≥

-

+

≤

-

+

1

1

1

1

2

2

a

t

t

a

t

t

，即

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

+

+

≤

-

+

≥

.1

1

,1

1

2

2

t

t

a

t

t

a

当t∈[0,+∞]时，（1

1

2

+

+

t

t

）min=1，∴a≤1.

当t +∞时，1

1

2

→

+

t

t

，且

1

2+

t

t

连续递增，所有值都小于1，

∴a≥0. 故实数a的取值范围是0≤a≤1。

点评：①质点运动方程S(t)的导数S’(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度. ②利用导数的物理意义列出不等式,根据不等式在t∈[0, +∞﹞上恒成立，求出a的取值范围.

例4（容器的容积最大）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转︒

90角，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解：设容器高为xcm，容器的容积为)

(x

V cm3，则

)

(x

V= x(90－2x)(48－2x) = 4x3－276x2＋4320x (0＜x＜24)．