梯形部分-四种等腰梯形添加辅助线方法
梯形辅助线的做法及应用PPT教学课件
• （2）年变化：
• 海洋上最高与最低气温出现的时间均 比陆地上晚大约一个月，而且气温年日较 差均比陆地小。原因：大陆为岩石热容量 比海洋水的热容量小5倍以上，所当减少 热量（或增加热量）时，其温度降低（或 升高）的速度快5倍以上。
• （3）同一地点气温日较差大小成因
• 主要是大气的热力作用决定－与天气密 切相关：晴天温差大，阴天温差小
3、降水分布：
（1）空间分布
• ①赤道附近：
• 降水多，原因：这里终年高温，空气上升（赤道 低压控制）冷却，易成云致雨，即多对流雨；
• ②两极地区：
• 降水少，原因：两极地区终年低温，气流下沉 （极地高压控制），不易形成降水；
• ③副热带：
• 南北回归线附近大陆西侧在副热带高气压带的控 制下内部海洋水汽难以到达，降水少，大陆东侧 夏季风来自海洋，降水多；
②大气水平运动和垂直运动的成因
• ③三圈环流与气压带风带的形成
• 低纬环流（赤道一南北纬30°间）：热力环流 • 中纬环流（南北纬30°一南北纬60°间）：动力环流 • 高纬环流（南北纬 60°一南北纬 90°））：热力环流
④气压带与风带及其移动规律：
⑤季风环流
• 季风的概念：大范围地区的盛行风随季节而有显著 改变的现象，称为季风。
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
一
分析：EF的双重角色 A
D
题 多
证明：（二）构造中位线 取CD的中点F，并连结EF
E
则EF为梯形的中位线。
F
证
∴2EF=AD+BC RtΔCDE中，2EF=CD B
C
∴CD=AD+BC
练习：一、填空
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC， AC⊥BD且 A
等腰梯形的常用辅助线
等腰梯形的常用辅助线等腰梯形是一种十分重要的梯形.在解等腰梯形的问题时,经常需要添加适当的辅助线,那么怎样添加等腰梯形的辅助线呢?一､ 作腰的平行线.过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线,构造出一个平行四边形和一个等腰三角形.例1如图1,在等腰梯形ABCD中,AD// BC,AB=CD/C=60° ,AD=15,BC=49求CD 的长.分析:构造三角形和平行四边形来解,常用方法是过D 作AB的平行线，把等腰梯形ABCD化为平行四边形ABED和等边三角形ECD.解:过D作DE// AB交BC于E,则四边形ABED为平行四边形.所以AD=BE=15,AB=DE.EC=BC-BE=BC-AD=49-15=34.又因为AB=CD 所以DE=CD.又/ C=60°，所以△ CDE是等边三角形，即CD=EC=34.二､作两底的垂线.过上底作下底的垂线,构造个矩形和两个全等的直角三角形.例2 在等腰梯形ABCD中,AD// BC,Z DBC=45°，高DE=10cm.求梯形的上､下底的和与面积.分析:可以依据条件画出如图2,已知DE是高,再作出另一条高AF于是有AD=FE,BF=CffiP BE=CRt匕时要求上､ 下底的和，即求BE+CF W由已知条件即求得，进而求出面积.解:过点A作AF丄BC于点F,贝U Rt△ ABF坐RtA DCE.四边形AFED是矩形，所以BF=CE,AD=FE^卩BE=CF.因为/ DBC=45° ,高DE=10cm,所以BE=10cm.AD+BC=BE+CF=20cn即上､下底的和为20cm;梯形的面积=1/2(AD+BC)x DE=1/2 x 20cm x 10cm=100cm2.三､ 延长两腰,构造出两个等腰三角形例3已知等腰梯形的周长为50cm，下底长为20cm,下底与一腰的夹角为60°,求等腰梯形的上底及腰长.分析:由于下底与一腰的夹角为60°,则可以延长两腰得到等边三角形,从而列出方程求解.解:如图3,在等腰梯形ABCD中延长两腰BA､CD 交于点E.因为/ B=Z C=60,所以/ E=60° ,即厶EBC是等边三角形.所以EB=BC=CE=20cm.因为AD// BC所以△ EAD也是等边三角形.设AE=AD=DE=x,AB=CD=y.所以有x+y=20，且x+2y+20=50.解得,x=10,y=10.即等腰梯形的上底及腰长均为10cm.四､ 作对角线的平行线.过底边的一个端点作对角线的平行线,构造出一个平行四边形和一个等腰三角形.例4如图4,等腰梯形ABCD中,AB// DC,AD=BC对角线AC 丄DB若中位线MN=8cm.求此梯形的面积.分析:由于梯形的面积等于中位线乘以高,于是可以作出高线CF由对角线AC丄DB,想到过点C作CE// DB交AB的延长线于点E,四边形BECD是平行四边形，△ ACE是等腰直角三角形,CF是斜边AE上的中线，则有AE=2CF而AE=2MN,所以梯形的面积等于中位线的平方.解:作高线CF并过点C作CE// DB交AB的延长线于点E.因为AB/ DC,AD=BC,所以四边形BECD是平行四边形.△ ACE是等腰直角三角形,CF是斜边AE上的中线，即AE=2CF.而AE=AB+BE=AB+DC=2MN所以CF=MN=8cm.梯形的面积=MN X CF=64cm2.。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧Prepared on 22 November 2020梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。
一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。
例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。
解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。
二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，B C=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。
解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= 。
解决梯形问题常添加的四种辅助线
分析 ： 有 些 学 生 看 到 条 件 Ｂ ＋ Ｃ ＝ ９ ０ 。 ， 想补成 以 Ｂ Ｃ 为斜 边 的直 角 三 角 形 ， 于是 延 长 Ｂ Ａ、 Ｃ Ｄ交 于 点 Ｇ， 再 连接 Ｇ Ｅ， 虽 然 得 出 的答 案 是 正 确 的 ， 但 没有 说 明 Ｅ、 Ｆ 、 Ｇ三点共线 （ 事 实 上我
Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｃ ． 因 此需 要 构造 全 等 三角 形 ． 故 分别 过 点 Ｃ 、 Ｄ作 Ｄ Ｅ上Ａ Ｂ ，
Ｃ Ｆ上ＡＢ， 垂 足 分 别 为 Ｅ、 Ｆ， 利用 Ｓ ＡＳ证 明 ＡＡＤＥ￣ ａＢＣ Ｆ， 问 题 得 以解 决 。
Ｅ分别作 Ｅ Ｎ ∥Ｄ Ｃ， Ｅ Ｍ∥Ａ Ｂ ， 可得出 Ｅ ＭＮ ＋ Ｅ Ｎ Ｍ＝ Ｂ ＋ ｃ ＝
差为 ６ ｃ ｍ， 腰长为 ６ ｃ ｍ． 求 梯形 中较小 内角 的度 数 。
例： 如图 （ ４ ） 在直角梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 若Ａ Ｄ ＝ ４ ， Ｂ Ｃ ＝ ７ ， Ｄ Ｃ ＝ ５ ，
则 Ａ Ｂ的长 为 多少 ？ 分析 ： 结 合 图形 ， 很 容 易 想 到 过点 Ａ作 Ａ Ｅ上Ｂ Ｃ交 Ｂ Ｃ 于点 Ｅ．可 得 矩 形 Ａ Ｅ Ｃ Ｄ 和 直 角 ＡＡ Ｅ Ｂ ，利 用 勾 股 定 理 求 得 Ａ Ｂ ＝
形 ： 若 对 角 线垂 直 ， 则 这个 三角 形 是 直 角 三 角 形 ； 若 对 角 线 相 等 又垂 直 ． 则 这个 三角 形 是 等 腰 直 角 三 角形 ， 这些结论的得出 ， 为
梯 形 是 一种 特 殊 的 四边 形 ， 在解 决 与 之相 关 的 问题 时 常 需要
用 特 殊 的 方法 来 处 理 。 即 当根 据 题 目的 已知 条 件 无 法 直 接求 解 或证明结论时． 就 需 要 我 们添 加 适 当 的辅 助 线 把 它 转 化 成较 熟
几何证明例题及常见的添加辅助线方法
几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支，通过使用几何定理和性质，以及一些常见的辅助线方法，来证明几何命题的正确性。
下面将提供几个几何证明的例题，并介绍一些常见的添加辅助线方法：1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。
添加辅助线方法：连接等边三角形的顶点与底边的中点，将三角形分为两个等腰三角形。
然后，通过利用等腰三角形的性质，可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。
2.证明等腰梯形的对角线垂直。
添加辅助线方法：在等腰梯形的两个腰上各取一个点，使得这两个点与梯形的底边相连，形成两个等边三角形。
通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线垂直的结论。
3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。
添加辅助线方法：对四边形的两个对角线进行延长，连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点，形成两个三角形。
通过证明这两个三角形是直角三角形，可以得出对角线互相垂直的结论。
4.证明正方形的对角线互相垂直。
添加辅助线方法：连接正方形的相邻顶点，形成两个等腰三角形。
通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线互相垂直的结论。
5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。
添加辅助线方法：通过从三角形的顶点向内切圆引垂线，连接垂足与内心，形成三个小三角形。
通过证明这三个小三角形是相似三角形，可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。
以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。
在几何证明中，添加辅助线是一种常用的方法，可以将原始图形分解成更简单的图形，以便于应用几何定理和性质进行证明。
但需要注意的是，添加辅助线时应选择合适的位置和方式，以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况，更好地辅助证明目标命题的正确性。
梯形中常用添加辅助线的方法
梯形中常用添加辅助线的方法1.作高：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决；例1、已知等腰梯形的上底长为5cm，腰长为7 cm，下底角为600，求这个梯形的周长和面积。
练习：在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC。
求证：AC2=AB2+BC·AD。
2.平移腰：通过平移梯形的一腰或两腰，使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=900，E、F分别是AD和BC边上的中点，求证：EF=（BC-AD）/2。
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=800，∠C=500，求证：AB=BC-AD。
3.延长两腰：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决；例3、等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。
练习：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。
求证：AB=CD。
4.平移对角线：平移其中的一条对角线，使梯形问题转化为直角三角形来解决，此法适合于已知对角线互相垂直的问题；例4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，求证：AB+CD=2CH。
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，GD⊥BC于G，EF是中位线。
求证：EF=DG。
5.连对角线：连结对角线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例5、梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，求证：AC=CE。
6.取腰的中点：有一腰的中点时，往往取另一腰的中点构成梯形的中位线；例6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD的中点。
求证：AM、BM平∠分DAB、∠CBA。
7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助于得到的三角形解决梯形问题；例7、梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且AB+CD=BC。
梯形常用辅助线的做法(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于 E.∵AB平行于CD,且,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵,∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
图5析解：延长BA 、CD 交于点E 。
最新梯形部分-四种等腰梯形添加辅助线方法资料
梯形的所有基础知识首先认识一下梯形定义：一组对边平行而对边不平行的四边形叫做梯形。
组成：在梯形ABCD中，平行的两边AB与CD叫做梯形的底，不平行的两边AD与BC叫做梯形的腰。
夹在两底之间｀与底垂直的线段叫做梯形的高。
分类：1 两腰相等的梯形（P28页图1 - 34）叫做等腰梯形2 一腰与底垂直的梯形（P28页图1- 35）叫做直角梯形好的，以上是梯形的基本知识，下面就是深入的了解梯形了梯形的性质定理性质定理一：等腰梯形同一底上的两个内角相等（课本P29）性质定理二：等腰梯形的两条对角线相等（课本P29）然后有一个特殊一点儿的梯形就是“等腰梯形”等腰梯形的判定定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
（P30页的交流与发现小胖孩儿和小姑娘的话要仔细看看，还有就是P31的例2重点看看。
）重点来咯~ ~ ~ 接下来就是今天的主角登场了~它就是“等腰梯形的辅助线”顾名思义，“等腰梯形的辅助线”就是添加一条等腰梯形上本没有的线段来帮助我们很好的解决这道题目（注意！前提是这个图形必须是等腰梯形）但该怎么添加才会让我们做起题目来更简单更直接呢？针对梯形的学习这就需要掌握一些添加辅助线的方法了好的长话短说下面就是四种添加辅助线的方法。
第一种方法：P28页下半部分的例题就是第一种添加辅助线解梯形的方法这种辅助线叫做“平移一腰”它的做法是“过点D作DE∥AB，交于BC于点E”（课本P28 图1-36）DE就是第一种辅助线。
第二种方法：叫做“作高”它的做法是：过点A作AF⊥于BC 垂足为F过点D作DE⊥于BC 垂足为EAF与DE 就是第二种辅助线。
第三种方法：叫做“延长两腰交于一点”它的做法是延长AB与CD交于E。
“AE与ED就是辅助线。
呼呼呼终于到最后一种了….第四种方法：叫做“平移对角线”它的做法是“作AC的平行线DE交于BC的延长线于点E”DE就是就是第四种辅助线（CE只是BC的延长线）。
梯形中辅助线的添法举例
梯形中常见辅助线的作法梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综 合 ”。
可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。
下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。
一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。
例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC ⊥BD,梯形的高CF 为10，求梯形ABCD 的面积。
分析：由于等腰梯形ABCD 的对角线AC ⊥BD 且AC=BD ，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。
二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。
例2 如图，等腰梯形ABCD 两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是( ) A.9O ° B.6O ° C.45° D.30°例3 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ．AD<BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC 。
求证：∠B=∠C 。
三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。
例4 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD 平分∠ABC ，求梯形的周长。
四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
例5 已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm ，腰长是4cm ，则下底是 。
例6、如图3，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC=BD ，AD=AB=4cm ，∠A=1200，求梯形ABCD 的面积。
图3BC五、连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点。
例7、如图5，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，M 、N 分别为AB 、DC 的中点。
等腰梯形辅助线作法
∵∠B=∠C
∴ ∠ 1= ∠2， EB=EC ∴ EA=ED 即 AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形
B
C
根据你的思考， 试着口述推理 过程？
A
D
思路2：转化方向——平行四边形．
B E
A D
C
思路3：转化方向——全等三角形．
B E F C
定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
两条对角线相等的梯形是等腰梯形
A
D
在△DBE中，满足BD2+DE2=BE2 ∴△DBE为直角三角形 ∵ DF⊥BC，由面积公式可得:DF●BE=BD●DE ∴DF=4.8
F
C
E
1 ∴梯形ABCD的面积= 2 (2+8)×4.8=24
今天你的收获是什么？
等腰梯形常用辅助线的方法： （1）平移腰 （2）作底边的高 （3）平移对角线 （4）延长两腰
证明：作DE∥AC，交BC延长线于点E，则∠2= ∠E ∵ AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形 ∴ AC=DE ∵ AC=BD ∴ BD=DE ∴∠1=∠E ∵∠2=∠E 即∠1=∠2
在△ ABC和△ DCB中
A 1 B
GO
D O 2 C E
∵AC=BD ，∠ 1= ∠2， BC=CB
∴ △ ABC≌ △ DCB
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， AC=BD． A 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——全等三角形． B C D
思路2：转化方向——平行四边形． A D A D
B
C
B
C
已知：如图，AD∥BC，对角线ACBD交于点O，
且AC=BD
求证：梯形ABCD是等腰梯形 A O B C E D
怎样添加梯形的辅助线
一 ０ｌ一 一一 — ｌ 一 ｌ
责任＿ 辑 ： 编 王二喜
梯 形 是一 种 特 殊 的 四边 形 ，在 处 理 梯形 问题 时 需 要添 加 适 当的
辅 助 线 ， 之转 化 为 三角 形 、 行 四边 形 ， 运用 相 关 知 识 加 以解 决 ． 使 平 再
如 何 添加 辅助 线 呢 ？一般 有 以下 几 种常 见 的方 法 ：
一
、
过 梯 形 上 底 或 下 底 的 一 个 端 点 作 另 一 腰 的 平 行 线 ， 造 出 一 构
个 平 行 四 边 形 和 一 个 三 角 形
例１ 如图１ ，在 等 腰 梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， Ａ ／ Ｃ， Ｂ Ｃ Ｃ ６ 。Ａ １ｃ Ｂ ＝ Ｄ／ Ｂ Ａ ＝ Ｄ， ＝ ０ ， Ｄ＝ ５ ｍ， Ｃ
因 为Ａ ∞ ， 以 Ｄ ＝ ． ＝ 所 Ｅ ∞
又 Ｃ ６ 。 所 以 △Ｃ Ｅ 等 边 三角 形 ， Ｃ Ｅ ＝ ４ ＝０ ， Ｄ是 即 Ｄ＝ Ｃ ３ ．
二 、 上 底 作 下 底 的 垂 线 ， 造 一 个 矩 形 和 两 个 直 角 三 角 形 过 构
例２ 在等腰梯形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， ／ Ｃ， Ｄ Ｃ ４ 。 ＡＤ／ Ｂ Ｂ ＝ ５ ，高 Ｄ ＝ ０ ｍ． Ｅ １ｃ
四 、 底 边 的 一 个 端 点 作 对 角 线 的 平 行 线 ， 造 出 一 个 平 行 四 边 过 构 形 和 一 个 三 角 形
例 ４ 如 图 ４ 等 腰 梯 形Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ中 ， Ｂ／ＤＣ Ａ Ｂ 对 角 线Ａｃ上 Ａ ／ ， Ｄ＝ Ｃ， Ｄ 若 中位线 ＭＮ ８ｍ， 梯 形 的面 积 ． Ｂ， ＝ｃ 求 分析 ： 由于梯 形 的 面 积等 于 中位 线 乘 以 高 ， 时 只要 能求 出高 即 此 可 ， 是作高线Ｃ ， 于 Ｆ 由对 角 线Ａｃ上Ｄ 想 到过 点 ｃ Ｃ ／ Ｂ Ｂ的 Ｂ， 作 Ｅ／ Ｄ 交Ａ
梯形中常见辅助线的添法
梯形中常见辅助线的添法上海市杨行中学：罗成梯形是在学习完三角形和平行四边形的基础上进行研究的，因此，梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形，添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的。
这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法．下面我们来看看几种在梯形中常见的添辅助线的方法.(一)与腰有关的辅助线例1、已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=4，BC=12，∠C=60°，求AB 的长.(1)梯形内平移一腰(也就是我们常说的作腰的平行线)解：方法一（平移腰）过点D 作DE ∥AB 交BC 于E∵AD ∥BC∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=4∴EC=BC-BE=8∵AB=CD∴DE=DC∴∠C=60°∴EC=DE=DE=8∴AB=8(2)梯形外平移一腰解：方法二过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E∵AD ∥BC∴四边形ABCE 是平行四边形∴AB=CE∵AB=CD∴CD=CE∵AD ∥BC ，∠C=60°∴∠CDE=60°△CDE 是等边三角形∵AD=4，BC=12∴EC=DE=DE=8∴AB=8(3)延长两腰解：方法三（延腰）延长BA 、CD 交于点E ，∵AD ∥BC ，AB=CD ，∠C=60°，∴∠B=∠C=60°∠EAD=∠EDA=60°.∴△EBC 和△EAD 都是等边三角形.∵AD=4，BC=12，∴EA=4，EB=12.∴AB=EB-EA=12-4=8.(二)与高有关的辅助线例2、已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=4，BC=12，∠C=60°，求AB 的长.解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F∵AD ∥BC∴AE=DF ，四边形AEFD 是矩形∴AD=EF=4∵AB=DC∴Rt △ABE ≌Rt △DFC （HL ）∴BE=FC∴2CF=BC-EF=12-4=8∴CF=4∵∠C=60°∴∠CDF=30°在Rt △DFC 中，DC=2CF=8∴AB=8例3、如图，已知在直角梯形ABCD 中，AB=BC ，AB ∥CD ，∠D=90°，AE ⊥BC ．求证：CD=CE分析：这是一个直角梯形，对于直角梯形的题目通常我们会通过添加辅助线高来完成题目，作CF ⊥AB ，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，从而达到证明CD=CE 的目的。
谈谈等腰梯形中常用辅助线的作法 Microsoft Word 文档
谈谈等腰梯形中常用辅助线的作法摘要：掌握等腰梯形（一般梯形也是如此）中一些常用的辅助线的作法会给解题带来方便。
关键词：数学教学；等腰梯形；常用辅助线中图分类号：G623．5文献标识码：A文章编号：1006-3315（2011）12-012-001在苏教版九年级数学上册第一章第四节中学习了等腰梯形的性质和判定，等腰梯形是一种特殊的梯形，我们要判定等腰梯形可以“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”、“两条对角线相等的梯形是等腰梯形”为根据。
等腰梯形还具有“等腰梯形同一底上的两底角相等”、“等腰梯形的两条对角线相等”等特性，这些特性是由等腰梯形的轴对称性所确定的。
现在我们就等腰梯形中常用辅助线的作法来进行归纳总结，以便帮助我们迅速找到解决这类问题的方法。
一、延长两腰如图，延长两腰相交可得一个等腰三角形。
例1．求证：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
分析：因为∠B和∠C不在同一个三角形内，所以可考虑延长BA、CD交于点E，构造一个以∠B、∠C 为底角的等腰三角形，由于AD∥BC，则⊿EAD也是等腰三角形，从而EB=EC，EA=ED，AB=DC。
证明：延长BA、CD交于点E。
在⊿EBC中∵∠B=∠C∴EB=EC（等角对等边）∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C∴∠EAD=∠EDA在⊿EAD中∵∠EAD=∠EDA∴EA=ED（等角对等边）∴EB-EA=EC-ED（等式性质）∴AB=DC，即梯形ABCD是等腰梯形例2．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点。
（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2,CD=4,当PC为何值时，四边形EFPG是矩形？并加以说明。
梯形中常见的辅助线(含答案)
梯形中常见的辅助线中考要求例题精讲我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．常见辅助线1．梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形，其分割拼接的方法有如下几种(如图)：(1)平移一腰，即从梯形的一个顶点______，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1所示)；图1(2)从同一底的两端______，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图2所示)；图2(3)平移对角线，即过底的一端______，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形(图3所示)；图3(4)延长梯形的两腰______，得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形(图4所示)；图4(5)以梯形一腰的中点为______，作某图形的中心对称图形(图5、图6所示)；图5 图6(6)以梯形一腰为______，作梯形的轴对称图形(图7所示)．图7【答案】(1)作一腰的平行线；(2)作另一底边的垂线；(3)作对角线的平行线；(4)交于一点；(5)对称中心；(6)对称轴．【例1】等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝．【答案】60°【例2】如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，CB⊥AB，△ABD是等边三角形，若AB＝2，则BC＝______．【答案】3【例3】在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝7，若E为DC的中点，射线AE交BC的延长线于F 点，则BF＝______．【答案】12【例4】梯形ABCD中，AD∥BC，若对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，则梯形的面积等于( )．A．302cmcm D．1692cm C．902cm B．602【答案】A【例5】 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60°，CD ＝2，则梯形ABCD的面积是( )．A ．33B ．6C ．36D ．12【答案】A【例6】 等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝8，AB ＝10，CD ＝6，则梯形ABCD 的面积是( )．A ．516B ．1516C ．1716D ．1532【答案】B【例7】 已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ＝BC ＋AD ．求∠DBC 的度数．【答案】60°．提示：过D 点作DE ∥AC ，交BC 延长线于E 点【例8】 已知，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，AC ⊥BD ，AB ＝4cm ，求梯形ABCD 的周长．【答案】.348【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，BC ＝4，E 为AB 中点，EF∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．【答案】.223【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，∠B ＝45°，AD ＝2，BC ＝42，求DC 的长．【答案】.10【例11】 如图，已知等腰梯形周长是20，AD BC ∥，AD BC <，120BAD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，求梯形ABCD 的面积.DCB AE DCB A【答案】过点A 作AE BC ⊥，垂足为E .∵AD BC ∥，∴BCA CAD ∠=∠∵BCA DCA ∠=∠，∴CAD DCA ∠=∠，∴AD CD =∵120BAD ∠=︒，∴60ABC DCB ∠=∠=︒，30ACD BCA ∠=∠=︒ ∴AB AC ⊥，∴2BC AB =∴520AB =，∴4AB =，23AE = ∴1()1232ABCD S AD BC AE =⋅+⋅=【例12】 如图，在梯形ABCD 中， 860AD BC AB DC B ==∠=︒∥，，，12BC =,联结AC ．（1）求AD 的值；（2）若M N ，分别是AB DC ，的中点，联结MN ，求线段MN 的长．【解析】省略【答案】3；⑵8 【例13】 在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，60A ∠=︒，2AB CD =，E F ，分别为AB AD ，的中点，连结EF EC BF CF ，，，。
等腰梯形中的常见辅助线
等腰梯形中的常见辅助线
介绍
等腰梯形是几何学中一种常见的图形，其具有两对平行的边和
两对相等的内角。
为了辅助解题和理解等腰梯形的性质，我们可以
绘制一些常见的辅助线。
本文将介绍几种常见的辅助线，以便帮助
读者更好地理解等腰梯形。
中位线
在等腰梯形中，通过两条非平行边的中点可以绘制一条中位线。
中位线与两条平行边平行，并且长度为两条平行边中位数的一半。
中位线将等腰梯形等分为两个面积相等的三角形。
高线
在一个等腰梯形中，从顶点到底边平行于非平行边的线段被称
为高线。
高线的长度等于两条非平行边之差的一半。
高线将等腰梯
形分成两个面积相等的三角形。
对角线
对角线是等腰梯形中连接两个非相邻顶点的线段。
在一个等腰
梯形中，对角线相等并且平分另外两条边。
角平分线
等腰梯形中的每个内角都可以有一条角平分线。
角平分线从角
的顶点出发，与对角边相交于一点，并将角平分为两个相等的角。
对边比
在一个等腰梯形中，两对对边之比相等。
也就是说，上底和下
底的比等于上腰和下腰的比。
以上是等腰梯形中常见的辅助线。
通过绘制和利用这些辅助线，我们可以更好地理解等腰梯形的性质，解题过程也会更加简化。
希
望本文对读者有所帮助。
参考资料:。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。
为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。
下面介绍六种常用的技巧。
1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。
然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。
这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。
2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。
3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。
这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。
4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。
5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。
6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。
根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。
这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。
通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。
在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。
八年级数学暑假专题 等腰梯形常见辅助线的作法及梯形中位线定理和应用 鲁教版 知识精讲
八年级数学暑假专题 等腰梯形常见辅助线的作法及梯形中位线定理和应用 鲁教版【本讲教育信息】一、教学内容：专题2：等腰梯形中常见辅助线的作法、作用以及梯形的中位线定理和应用。
二、知识点1. 等腰梯形中常见的辅助线的作法及作用（1）作梯形的双高，将等腰梯形转化成一个矩形和两个全等的直角三角形。
如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别过点A 、D 作AE ⊥BC ， DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则有AE=DF 。
在Rt △ABE 和Rt △DCF 中，由于AB=DC ，AE=DF ，所以Rt △ABE ≌Rt △DCF 。
FE DB A图1（2）平移一腰，将等腰梯形转化成平行四边形和等腰三角形。
如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ，则有DE=AB ，由于AB=DC ，所以DE=DC 。
EDB A图2（3）平移一条对角线，将等腰梯形转化成平行四边形和等腰三角形。
如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，则有DE=AC ，由于AC=DB ，所以DE=DB 。
图32. 梯形的中位线（1）梯形的中位线定义：如图4，连接梯形的两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。
FE DCBA图4（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是梯形两腰的中点，则EF ∥AD ∥BC ，1()2EF AD BC =+。
（3）梯形中位线定理的作用：①证明线段平行；②证明一条线段等于另外两条线段和的一半。
（4）梯形中位线定理的证明： 教材上的证明方法：如图5，连接AF 并延长，交BC 的延长线于点G ，将梯形的中位线转化成三角形的中位线，进一步完成证明。
这条辅助线也是梯形中常见的辅助线。
GFE DCBA图5构建平行四边形完成证明： 如图6，过点F 作GH ∥AB ，交BC 于点G ，交AD 的延长线于点H ，证明四边形AEFH 是平行四边形，进一步完成证明。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧Revised by Hanlin on 10 January 2021梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。
一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。
例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。
解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。
二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，对角线AC ⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。
有关作梯形的辅助线常用方法
又∵AB＝CD，∴DE＝CD．
又∵∠C＝60°，∴△CDE是等边三
角形，即CD＝EC＝34cm．
二、延长两腰
［例3］如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
解：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
5、梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90，AB=4，CD=3，BC=7，O为AD边的中点，求O到BC的距离。
【点评】：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
板书：
【点评】：过梯形上
底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。
【点评】：延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
（cm）
（cm）
所以 ，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（2）、平移一腰
［例2］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，BC＝49cm，求CD的长．
解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．
∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．
∴EC＝BC－BE＝BC－AD
【点评】：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，就可将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。
【点评】：旋转由梯形一底和一腰中点构成的三角形，可使梯形转化为三角形。
【点评】：已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。既可轻松解决计算问题，也可以在证明中将梯形转化为三角形。
板书：
A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm
2、已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4。则此梯形的面积等于（）
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v1.0 可编辑可修改梯形的所有基础知识
首先认识一下梯形
定义：一组对边平行而对边不平行的四边形叫做梯形。
组成：在梯形ABCD中，平行的两边AB与CD叫做梯形的底，不平行的两边AD与BC叫做梯形的腰。
夹在两底之间｀与底垂直的线段叫做梯形的高。
分类：1 两腰相等的梯形（P28页图1 - 34）叫做等腰梯形
2 一腰与底垂直的梯形（P28页图 1- 35）叫做直角梯形
好的，以上是梯形的基本知识，下面就是深入的了解梯形了
梯形的性质定理
性质定理一：等腰梯形同一底上的两个内角相等（课本P29）
性质定理二：等腰梯形的两条对角线相等（课本P29）
然后有一个特殊一点儿的梯形就是“等腰梯形”
等腰梯形的判定定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
（P30页的交流与发现小胖孩儿和小姑娘的话要仔细看看，
还有就是P31的例2重点看看。
）
重点来咯~ ~ ~ 接下来就是今天的主角登场了 ~
它就是“等腰梯形的辅助线”
顾名思义，“等腰梯形的辅助线”就是添加一条等腰梯形上本没有的线段来帮助我们很好的解决这道题目（注意！前提是这个图形必须是等腰梯形）
但该怎么添加才会让我们做起题目来更简单更直接呢
针对梯形的学习这就需要掌握一些添加辅助线的方法了
好的长话短说下面就是四种添加辅助线的方法。
第一种方法：
P28页下半部分的例题就是第一种添加辅助线解梯形的方法
这种辅助线叫做“平移一腰”
它的做法是“过点D作DE∥AB，交于BC于点E”（课本P28 图1-36）
DE就是第一种辅助线。
第二种方法：
叫做“作高”
它的做法是：过点A作AF⊥于BC 垂足为 F
过点D作DE⊥于BC 垂足为 E
AF与DE 就是第二种辅助线。
第三种方法：
叫做“延长两腰交于一点”
它的做法是延长AB与CD交于E。
“
AE与ED就是辅助线。
呼呼呼终于到最后一种了….
第四种方法：
叫做“平移对角线”
它的做法是“作AC的平行线DE交于BC的延长线于点E”DE就是就是第四种辅助线（CE只是BC的延长线）。