《数学方法论》数学中使用的一般科学方法

第一章数学中使用的一般科学方法（共10学时）[教学目的和要求] 要求学生通过本章的学习，掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。

[教学内容]第一节观察与实验（2学时）1．观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法2．观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用第二节比较与分类（2学时）1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用第三节归纳与类比（4学时）1. 归纳与类比是提出数学猜想的主要方法2. 归纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用习题课（2学时）通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。

[教学重点]观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。

[教学难点]根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。

[教学建议] 本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。

［教学过程］在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。

综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。

在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。

”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。

而包括20世纪最伟大的数学家冯··诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。

唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。

”（引自《数学家谈数学本质》）菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。

”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。

因为数学的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竟舍弃了事物的具体内容。

因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点。

§数学中的观察与实验一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途经，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。

观察与实验在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。

观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。

尽管观察是最原始最基本的方法之一，但它是进行数学思维必须的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察也是常用的有效方法之一。

在数学活动中，常常通过观察来收集新材料，发现新事实，并通过观察可以认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。

数学中的观察按观察的特征可分为定性观察（对对象的特征、性质、关系的观察）和定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。

实验是根据研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地变革、控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取经验材料的研究方法。

实验方法在数学活动中有助于数学理论的研究与发展；有助于启发数学解题思路；有助于在数学教学中创设思维情景。

由于实验总是和观察相互联系，观察常常可用实验作基础，而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。

而实验比观察有更大的优越性，主要表现在以下两个方面：（1）实验方法具有简化和纯化数学对象的作用。

因为实验可借助专门仪器工具，人为地变更、控制和模拟客观对象，因而能把握实验者的需要，突出某些主要因素，排除或减少其他次要的、偶然因素的干扰，使研究对象中为研究者所需要的某些属性或关系在简化、纯化的形态下暴露出来，从而准确地认识它。

（2）实验方法可以重复进行或多次再现被研究的对象，以便进行反复的观察。

数学不是实验性的科学，因此不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题的真假性的充分依据，但它们在数学发现及探求数学问题的解决思路的过程是起着重要作用的，欧拉曾经说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉而不能证明的；只有观察才使我们知道这些性质。

因此我们认识到，在仍然是很不完善的数论中，还得把最大的希望寄托在观察之中；这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质。

”随后欧拉又指出了观察的局限性，告诫人们要把“这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识，必须谨慎地与真理区别开来，”“不要轻易地把观察所发现的和仅从归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。

”欧拉还指出：“数学这门学科，需要观察，也需要实验。

”下面我们将通过一些例子来说明观察与实验在数学研究中的重要作用。

【例1】兔子繁殖问题13世纪初，意大利数学家裴波那契（）在他所着的《算盘书》中，提出了一个十分有趣的题目：“有一个人把一对小兔子放在四面都围着的地方，他想知道一年以后总共有多少对兔子。

假定一对小兔子经过一个月以后就长大成为一对大兔子。

而一对大兔子经过一个月就不多不少恰好生一对小兔子（一雌一雄），并且这些生下的小兔子都不死。

”这是一个算术问题，但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，我们引进记号：1——表示已长大成熟的一对大兔子；0——表示未成熟的一对小兔子；用n F 表示在n 月1日总共有兔子的对数，用 )()(,小大n n F F 分别表示n 月1日大兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察有：，，，，，，，138532117654321=======F F F F F F F …由此表可得：)(1大+=n n F F （用实箭头表示）)(1)(小大+=n n F F （用虚箭头表示） 进一步考虑，又可得：（1）当 1≥n 时，由,n F )()(,小大nn F F 的定义，有（2）当3≥n 时，由（1）得 由以上观察和归纳所得的结果，我们知道当 3≥n 时，通过21211--+===n n n F F F F F 和便可计算出n F 的值。

显然，上面的结果纯粹是建立在观察和实验的基础之上的，是否带有普遍意义，亦即对一切N n n ∈≥,3结论是否成立，还需要进行严格论证。

但是，这个结果的确给我们带来了解决一般问题的曙光，我们有理由猜想兔子的繁殖规律可以用一个明确的递推关系来描述，即21--+=n n n F F F （N n n ∈≥,3） ①正如当代最着名的数学教育家波利亚（）所说：“数学家好似自然科学家，在他用一个新观察到的现象来检验一个所猜想的一般规律时，他向自然界提出问题：‘我猜想这规律是真的，它真的成立吗’假如结果被实验明确证实，那就有某些迹象说明这个规律可能是真实的，自然界可以给你是或非的回答。

”对于递推关系式①，其正确性是肯定的，这可以用数学归纳法加以证明，后人为纪念兔子繁殖问题的提出人，将数列{}n F 称为裴波那契数列，这个数列的每一项都叫做裴波那契数，裴波那契数列在数学、物理、化学、天文等学科中经常出现，并且有许多有趣的性质。

由于裴波那契数列可用于优选法，因而近年来有越来越多的人去研究它。

【例2】 投针问题1777年，法国科学家蒲丰（ Buffon ）提出并解决了一个概率问题：投针问题。

这个问题给人们以巨大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十分密切的关系。

投针问题用数学语言表述如下：平面上画着一些间隔为a 2的一组平行线，在平面上随机的投掷一枚长为l 2并且质量均匀的针，假定a l ＞，试求此针与平行线相交的概率。

从几何概率来看，投针问题的解法是：用M 表示针的中点，X 表示M 到与它最近的一条平行线的距离，ϕ那么 决定了平面上一个矩形S ；同时为了线相交， ϕsin l x = 当且仅当X ，ϕ满足不等式于是，我们的问题就等价于在S 中随机地掷一点，求此点落在区域A 中的概率（图）由积分的 几何意义可知，区域A 的面积是故所求的概率投针问题的结果，提供了用实验方法求π值的理论依据。

设n 是投针的总次数，m是针与平行线之一相交的次数，由概率的统计定义，ρ近似等于n m，于是得在历史上，有不少人利用上述结果做过实验。

1850年，瑞士数学家沃尔夫（Wolfe ）在苏黎世，用一根长36mm 的针，平行线的距离为45mm ，投掷了5000次，得到π的近似值为。

1855年，英国人史密斯（Smith ）投掷 了3200次，得到π的近似值。

1864年，英国人福克斯(Fawkes)投郑了1100次。

得到π的近似值为。

1901年，意大利拉泽里尼(Lazzerini)投郑了3480次，得到的 π值准确到第六位小数，但有人对些结果持怀疑态度。

amln2 图蒲丰投针实验提示了数学方法的多样性和灵活性，投针问题被认为是数学史上最早的几何概率的研究成果。

由于几何概率的研究要以有关图形集合的测度为基础，因而自然要导致积分几何的建立。

在现代，由于大型电子计算机的出现，一种新型的数学实验近似计算方法——蒙特卡罗（Monte-Carlo ）方法迅速地发展起来。

这种方法以概率和统计的理论、方法为基础，将所求的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

多用于求例如要计算积分 ⎰10)(dx x f ）（x f 知道这就是要求计算图中的区域A 的面积。

即 由几何概率的定义，这就相当于“向正方形S 地掷一点”，求此点落在区域A 中的概率ρ，又由概率的统计定义，为求得ρ的近似值，只要求得此点落在区域A 中的频率，即随机地掷一点于正方形的试验可以由计算机来做，并且可以由计算机来算出n 次试验中落在区域A 的频率——概率的近似值，也就是积分⎰10)(dx x f 的近似值。

当试验次数n 充分大时，它与ρ的误差可以很大的概率控制在所需要的精确度内。

由于大型计算机的运算速度很快，所以可在很短的时间内求得所要求的结果。

人们在学习数学或解决数学问题的过程中，也免不了观察和实验。

而决定观察与实验的质量的主要条件是目的性、计划性、全面性以及主体的良好知识结构。