715.待定系数法-奥数精讲与测试7年级1115
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。
它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。
接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。
在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。
二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。
2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。
3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。
4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。
5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。
6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。
三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。
解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。
将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。
2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。
解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。
对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。
然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。
解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。
解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。
715.待定系数法-奥数精讲与测试7年级1115
例1．设−1≤2a−b≤3，2≤4a+b≤7，求7a −3b的取值范围。
例2．某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋共用9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋则共用3.2元，问若此人分别买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一只需多少钱？例3．a、b、c分别是什么数时，多项式ax2+bx+c与(x−1)(x+5)恒等？例4．已知x4+2x2−x+2≡(x2+mx+2)(x2+nx+1)，求m与n的值。
例5．已知k x2−2xy−3y2+3x−5y+2≡(ℓx+y+2)(m x−3y+1)，求k、ℓ、m 的值。
例6．如果x2+x+1∣x4−4x2+ax+b，求a、b的值及商式。
A卷01．已知−3≤4a−3b≤3，5≤9a+b≤17，求2a+7b的最小值和最大值。
02．已知ax3+bx2−18x+8≡(ax+2)(x2+3x+4)，求a和b的值。
03．已知一个关于x的三次多项式，当x取2和3时，多项式的值都为0；当x取−2、−3时，多项式的值分别为40与30，求这个三次多项式。
04．已知2x+3∣2x3−9x2+n，求n的值。
05．已知x2−4∣3x3+2x2+ax+b，求a+b的值。
06．已知x−2、x＋3都能整除多项式x4+ax3−4x2+bx−12，求a、b的值。
B卷01．有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机3台、钢笔6支、书包2个共需302元；若购买收录机5台、钢笔11支、书包3个共需508元，问购买收录机、钢笔、书包各一个共需多少元？02．已知x+1、x+2都能整除多项式x3+ax2+bx+8，求a+b的值。
03．若x3+ax2+4x+c≡(x+d)(x2+3x−4)，求7a−b+c的值。
04．已知x2−y2+mx+5y−6≡(x+y+n)(x−y+k)，求m、n、k的值。
05．已知x4−6x3+13x2+ax+b是完全平方式，求a、b的值。
06．一个多项式除以x+2余1，除以x+3余−1，求这个多项式除以(x+2)(x+3)的余式。
专题1：待定系数法
专题1：待定系数法一．【知识要点】1. 求函数，细分析，用待定，分四步：一设；二列；三求解；四还原。
2. 待定系数法确定解析式----含参数解析式3. 通过增减性求解析式4. 根据两平行直线斜率k 相等求解析式5. 通过垂直直线的斜率关系确定解析式6. 一次函数--图像的上下平移7. 一次函数--图像的左右平移8. 直线y=kx+b 与x 轴夹角为α°：（若k>0） ①3303k α︒=⇔=；②451k α︒=⇔=；③603k α︒=⇔=. 二．【经典例题】1.已知一次函数的图象经过点（-4，15），（6，－5）（1）求这个一次函数的解析式。
（2）求这个一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标及图象与两轴所围成的三角形的面积。
（3）另一直线与该直线的图象相交于点（－1，m ），且与y 轴交点的纵坐标为4，求这条直线的解析式。
2.已知一次函数y=kx+b 中自变量x 的取值范围为-2≤x ≤6,相应的函数值范围是-11≤y ≤9,求此函数的解析式.3.如图，直线834+-=x y 分别交于x 轴、y 轴于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴，y 轴于C,D 两点.（1）求点C 的坐标，（2）求直线CE 的解析式，（3）求△BCD 的面积 。
4.直线AB 与直线y=−2x+1平行,且经过点(−2,3),则直线AB 的解析式： .5.已知一次函数y=2x-3，按以下要求求函数解析式： （1）将y=2x-3向右平移3个单位长度后得到的解析式： .（2）将y=2x-3先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长后得到的解析式： .6.如图，点A （0,1），M （3,2），N （4,4），动点P 从点A 出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线b x y l +-=:也随之移动，设移动时间为t 秒。
（1）当t ＝3时，求l 的解析式；（2）若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；7.如图，一条直线与x 轴正半轴的夹角为30°，且经过点P （4，3），求该直线的解析式。
初中数学十大思想方法-待定系数法
初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
待定系数法ppt课件
1）已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。求 这个函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为:y=kx+b
把x=1,y=-1；x=-1,y=2,分别代入上式得
1
﹛K+b=-1 -k+b=2
﹛ 解得:
K= 2
b= 3
2
一次函数的解析式为:y=
12x
3 2
(2)解:把x=1,y=3；x=-1,y=7,分别代入上 y=kx+b得
C.k=-2,b=-1 D.k=2,b=-1
11 X
2
1、选择题
(1)一次函数的图象经过点(2,1)和点(1,5)，
则这个一次函数是( C ) A.y=4x+9 B. y=4x-9 C. y=-4x+9 D. y=-4x-9
(2)已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这
点在直线y=x+3上，则该点是( D )
11 X
2
尝试练习
1. 已知一次函数 y k x 2 ，当 x 5 时,
y 的值为4, 求 的值.
2.已知直线 y=kx+b 经过点(9,0)和 点(24,20)，求k、b的值.
3.一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2， m)，求k、m的值.
4.一次函数y=3x-b过A(-2,1)则b= ,该图象 经过点B( ,-1)和点C(0, ).
根据题意,得
﹛b=6 4k+b=7.2
﹛ 解这个方程组,得
k=0.3
b=6
所以一次函数的解析式为:y=0.3x+6
(1)一次函数的图象经过点(2,1)和(1,5)，则这个一次函数( )
2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法(教师版含解析)
专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用(1)分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
(2)求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
(3)解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(4)分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。
数学基本方法之三 待定系数法 新课标 人教版
数学基本方法之三待定系数法陕西洋县中学刘大鸣要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：(1) 利用对应系数相等列方程；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程；(3) 利用定义本身的属性列方程；(4)利用几何条件列方程;比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.【方法再现性题组】1设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为____A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____A. 10B. －10C. 14D. －143在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____A. －297B.－252C. 297D. 2074函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为32，最小值为－12，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____5与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________6与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________【方法探究过程】1小题：利用互为反函数的对应关系，求出反函数认识恒等意义求解，由f(x)＝x2＋m求出f-1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；2小题：认识方程，函数，不等式之间的一一对应关系，根与系数关系简化求解，由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ； 3小题：注意多项式组成和二项式定理求解，分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成，相加后得x 5的系数，选D ；4小题：注意正余函数的有界性，由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案23π； 5小题：平行直线系的认识切入，设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：共同渐近线的双曲线系方程的使用，设双曲线方程x 2－y 24＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x 23－y 212＝1。
待定系数法(共22张PPT)
【同步训练】
一、选择题
1.已知二次函数的图象顶点是(2,3),且经过点(3,1),它的表达式为
(
)
A.y=2(x-2)2+3 B.y=-2(x-2)2+3
C.y=2(x+2)2+-2(x+2)2+3
【答案】B
2.已知f(x)=3x2-x-2=(x-1)(ax+b),则a,b的值是 (
A.a=3,b=2
.
;
18.已知一元二次函数的图象的顶点是(6,-12),与x轴的一个交点为
(8,0),求这个函数.
【解】 ∵二次函数图象的顶点是(6,-12)
∴设所求函数为y=a(x-6)2-12
又∵与x轴交点为(8,0)
有0=a(8-6)2-12 求得a=3
∴所求函数为y=3(x-6)2-12
或y=3x2-36x+96.
数与 x 轴的交点的横坐标.
【例题精解】
【例1】
已知正比例函数的图象经过点(-2,8),求这个正比例函数.
【分析】 设正比例函数解析式y=kx,将已知条件代入求出k即得函
数解析式.
【解】 设所求正比例函数为y=kx
∵正比例函数的图象经过点(-2,8)
∴8=k·(-2) 求得k=-4
∴所求函数为y=-4x
【答案】A
8.如果f(x+1)=x -5x+4,则f(x)的表达式是
(
A.f(x)=x -7x+10
B.f(x)=x -7x-10
C.f(x)=x +7x-10
D.f(x)=x -4x+6
(4)y=ax2+bx+c的图象是顶点在原点并且开口向上的抛物线.
中考数学十大解题思路之待定系数法可修改全文
可编辑修改精选全文完整版中考数学十大解题思路之待定系数法中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1)2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。
【七年级奥数】第14讲 待定系数（例题练习）
第14讲待定系数——练习题一、第14讲待定系数（练习题部分）1.p、q为何值时，多项式x2+px+q和(x+2)(x-5)恒等?2.已知多项式ax+b。
当x分别为1和-1时，这个多项式的值分别为11和-3．求x=3时，这个多项式的值．3.已知二次三项式x2+px+q．x分别为0和1时，它的值分别为2和9．求这个二次三项式．4.关于x的二次三项式，x分别为0、1、-1时，这个多项式的值分别为1、4、2．求这个二次三项式．5.已知x3+ax2+bx+c (x-1)2(x+1)．试求a、b、c的值．6.如果，求m、n与k的值．7.设，求m、k、l的值．8.将表示成的形式．9.设，试求A与B的值．10.设与的乘积不含三次项与一次项，求a、b的值．11.设，求A、B、C的值．12.设，求A、B、C、D的值．13.已知(x2+ax+b)10≡(x+5)20−(cx+d)20，求a、b、c、d的值．14.已知多项式被整除．求证：ad=bc．15.已知 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数．若bd+cd为奇数，求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．答案解析部分一、第14讲待定系数（练习题部分）1.【答案】解:由题设(用符号“ ≡ ”表示恒等)∴x2+px+q ≡ (x+2)(x-5) ≡ x2-3x-10比较对应项的系数，得：p=-3，q=-10.∴p=-3，q=-10，多项式x2+px+q和(x+2)(x-5)恒等.【解析】【分析】如果两个多项式恒等，则它们的对应项系数全相等，从而可以通过比较对应项系数来求解．2.【答案】解：依题可得：，解得：，∴多项式为：7x+4，∵x=3，∴7×3+4=25.∴当x=3时，这个多项式的值为25．【解析】【分析】根据题意将x=1，x=-1代入多项式得一个方程组，解之得a、b的值，从而得这个多项式，再将x=3代入多项式即可求得多项式的值.3.【答案】解：依题可得：，解得：，∴这个二次三项式为：x2+6x+2.【解析】【分析】根据题意将x=0，x=1代入二次三项式得一个方程组，解之得p、q的值，从而得这个二次三项式.4.【答案】解：设所求的多项式为ax2+bx+c，依题可得：，解得：，∴这个二次三项式为：2x2+x+1.【解析】【分析】设所求的多项式为ax2+bx+c，根据题意列出一个方程组，解之可得方程组的解，从而可得所求的多项式.5.【答案】解：∵x3+ax2+bx+c ≡ (x-1)2(x+1)，∴x3+ax2+bx+c ≡ x3-x2-x+1，比较对应项的系数，得：a=-1，b=-1，c=1.∴a=-1，b=-1，c=1.【解析】【分析】如果两个多项式恒等，则它们的对应项系数全相等，从而可以通过比较对应项系数来求解．6.【答案】解：∵x4−6x3+13x2−12x+k ≡ (x2+mx+n)2，∴x4−6x3+13x2−12x+k ≡ x4+2mx3+（m2+2n）x2+2mnx+n2，比较对应项系数，得：，解得：，∴m=-3，n=2，k=4.【解析】【分析】如果两个多项式恒等，则它们的对应项系数全相等，从而得出一个方程组，解之可得出答案.7.【答案】解：∵6x2−5xy−4y2−11x+22y+m≡(2x+y+k)(3x−4y+l) ，∴6x2−5xy−4y2−11x+22y+m≡ 6x2−5xy−4y2+（3k+2l）x+（l-4k）y+kl，比较对应项系数，得：，解得：，∴m=-10、k=-5、l=2.【解析】【分析】如果两个多项式恒等，则它们的对应项系数全相等，从而得出一个方程组，解之可得出答案.8.【答案】解：依题可得：3x2−4x+7a(x+1)2+b(x+1)+c ax2+（2a+b）x+（a+b+c），比较对应项系数，得：，解得：，∴3x2−4x+73(x+1)2-10(x+1)+14.【解析】【分析】如果两个多项式恒等，则它们的对应项系数全相等．从而可以通过比较对应项系数来求解．9.【答案】解：∵，∴，∴x+4A（x+3）+B（x+2），即x+4（A+B）x+（3A+2B），比较对应项系数，得：，解得：，∴A=2，B=-1.【解析】【分析】本题给出的是两个分式恒等，和一元的多项式一样，如果两个分式恒等，分母又相同，则分子相等，分子对应项系数相等，得出一个方程组，解之即可得出答案.10.【答案】解：乘积中的三次项由一个因式中的二次项与另一个因式中的一次项相乘而得，即乘积中的三次项为(2a-12)x3；同样，乘积中的一次项是(5a-4b)x；根据题意，这两项的系数为零，∴，解得：，∴a=6，b=.【解析】【分析】说明要得到乘积中的某一项，不一定非把整个乘积写出，只要写出所需要的项即可；根据题意不含三次项，也不含一次项，即三次项、一次项系数为零，由此列出方程组，解之即可得出a、b的值.{a=2b=11.【答案】解：∵，∴，∴x2A（x-1）（x+1）+Bx（x+1）+Cx（x-1），即x2（A+B+C）x2+（B-C）x-A，比较对应项系数，得：，解得：，∴A=0，B=，C=.【解析】【分析】本题给出的是两个分式恒等，和一元的多项式一样；如果两个分式恒等，分母又相同，则分子相等；分子对应项系数相等，得出一个方程组，解之即可得出答案.12.【答案】解：∵，∴，∴x2-2x+5A（x-2）（x2+1）+B（x2+1）+（Cx+D）（x-2）2，即x2-2x+5（A+C）x3+（B-2A-4C+D）x2+（A+4C-4D）x+（B-2A+4D），比较对应项系数，得：，解得：，∴A=-，B=1，C=，C=.【解析】【分析】本题给出的是两个分式恒等，和一元的多项式一样；如果两个分式恒等，分母又相同，则分子相等；分子对应项系数相等，得出一个方程组，解之即可得出答案.13.【答案】解：令x=-5，∴(25-5a+b)10≡−(-5c+d)20，∵一个数的偶次方一定为非负数，∴，又∵多项式展开式：左边x20的系数为1，右边x20的系数为1-c20，∴1=1-c20，∴c=0，∴d=0，∴上面恒等式等价于(x2+ax+b)10≡(x+5)20=【（x+5）2】10，∴x2+ax+b=（x+5）2=x2+10x+25，∴a=10，b=25，综上所述：a=10，b=25，c=0，d=0.【解析】【分析】利用特殊值法来解，令x=-5，将原恒等式变形为(25-5a+b)10≡−(-5c+d)20，根据偶次方为非负数，从而得；又根据多项式展开系数可得c=d=0，从而将原恒等式等价于(x2+ax+b)10≡(x+5)20=[（x+5）2]10，即x2+ax+b=（x+5）2=x2+10x+25，根据待定系数法即可求得∴a=10，b=25.14.【答案】解：依题可得：ax3+bx2 +cx +d (x2+p)(ax+q)，即ax3+bx2 +cx +d ax3+qx2 +apx +pq ，比较对应项的系数，得：，∴p===，即ad=bc.【解析】【分析】根据题意可得ax3+bx2 +cx +d (x2+p)(ax+q)，则它们的对应项系数全相等，从而可以通过比较对应项系数来求解．15.【答案】证明：假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，∴x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）（a，m，n均是整数），即x3+bx2+cx+d x3+（m+a）x2+（am+n）x+an，∴b=m+a，c=am+n，d=an，∵bd+cd=（b+c）d为奇数，∴b+c是奇数且d也是奇数，∴d=an可得a是奇数，n也是奇数，∴b+c=m+a+am+n=m（a+1）+（a+n），∴a+1是偶数，a+n也是偶数，∴b+c也是偶数，这与题意相矛盾，∴假设不成立，a，m，n不是整数，∴这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．【解析】【分析】假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，即x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）x3+（m+a）x2+（am+n）x+an（a，m，n均是整数），根据恒等式相对应的系数相等，再分析，可得假设与题意相矛盾，即假设不成立，故得证.。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：待定系数法
初中数学竞赛精品标准教程及练习（51）待定系数法1.内容提要1.多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式,f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x 在取值范围内 ,不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”,也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1),x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7).都是恒等式. 依据恒等式定义,可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).求：①a+b+c 。
②a －b+c.解：①以x=1, 代入等式的左右两边,得a+b+c ＝－4. ②以x=－1,代入等式的左右两边,得a －b+c ＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等. 即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n那么 a 0=b 0 , a 1=b 1, …… , a n －1=b n －1 , a n =b n .上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.∴a=2, b=－2, c=－4.∴a+b+c ＝－4, a －b+c ＝0.3.待定系数法：就是先假设结论为1个含有待定系数的代数式,然后依据恒等式定义和性质,确定待定系数的值.2.例题例1.已知：求：A,B,C 的值.解：去分母,得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).依据恒等式定义（选择x 的适当值,可直接求出A,B,C 的值）, 当x=0时, 2＝－6A. ∴A ＝－.当x=3时, 8＝15B. ∴B ＝.当x=－2时, 8＝10C. ∴C ＝.本题也可以把等号右边的代数式,整理成为关于x 的2次3项式,然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”,列出方程组来解.（见下例）.例2.把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d把右边展开,合并同类项（把同类项对齐）,得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a +bx 2－2bx+b +cx －c +d用恒等式的性质,比较同类项系数,得 解这个方程组,得∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.本题也可用换圆法： 设x－1=y, 那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式,最后再把y换成x －1.例3.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2 （设待定的系数,要尽可能少.）右边展开,合并同类项,得 4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.比较左右两边同类项系数,得方程组。
——待定系数法
k 的值.
y kx 2 ，当 x 5 时,
2.已知直线 y=kx+b 经过点(9,0)和 点(24,20)，求k、b的值.
解： 把x=9,y=0和x=24,y=20分别代入y=kx+b得：
0=9k+b 20=24k+b
解方程组得：
4 K= 3 b=-12
这个一次函数的解析式为
y
4 x 12 3
六、课堂小结
待定系 数法
1、通过这节课的学习，你知道利用什么方法确 定正比例函数或一次函数的解析式吗？ 2、你还记得利用待定系数法确定函数解析式的 一般步骤吗？
3、体验了数形结合思想在 解决函数问题作用！
一设二代三 解四还原
七、作业
课本P 6，7 （必做）
99
课本P 9
99
（选做）
请同学们认真完成作业！！
4k+b=7.2 解这个方程组,得
﹛b=6
k=0.3
所以一次函数的解析式为:y=0.3x+6
五、综合应用
小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x
y
-2
3
-1
0
1
1
0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该 空格里原来填的数是多少？解释你的理由。
分 即是一次函数关系，我们就可以设 y=kx+b 。已知：当 析 x=-2时,y=3;当x=0时，y=1;当x=1时y=0。用其中两个条件就 ： 可以利用 待定系数法 确定y与x的一次函数关系式为y=-x+1 把x=-1代入 y=-x+1 即可求出 y=2
——待定系数法
八（一）班
学习目标
待定系数法
O
例4 小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄 盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数 x（月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题： （1）求出y关于x的函数解析式。
（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
解: (1)设函数解析式为y=kx＋b(k≠0)，
y/元
例1 已知一次函数的图象过点（3，5） 与（－4，－9），求这个一次函数的解 析式。
利用待定系数法求一次函数的一般步骤为：
1.设出函数的解析式y=kx＋b(k≠0); 2.根据条件列出关于k、b的二元一次方程组; 3.解方程组，求出k、b的值，
4.写出一次函数的解析式。
例２、已知一次函数在x=1 时，y=5，且它的 图象与x轴交点的横坐标是６，求这个一次函 数的解析式。
(3)若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一 条直线上，则m的值是( ) A.8 B.4 C.-6 D.-8
Y 1
1 2
(4)一次函数的图象如图所示， 则k、b的值分别为( )
A.k=-2,b=1 B.k=2,b=1 C.k=-2,b=-1 D.k=2,b=-1
1
X
5.一次函数y=kx+5与直线y=2x-1 交于点P(2，m)，求k、m的值.
图象经过的象限
k的符号
b的符号
一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 y
k>0 b>0
k>0
b>0
k>0 k<0 k<0
y y x
k<0 b>0 k>0 b<0
b<0 b>0 b<0
y x
待定系数法求二次函数的解析式练习题之欧阳歌谷创编
欧阳歌谷创编 2021年2月1
欧阳歌谷创编 2021年2月1 待定系数法求二次函数解析式
欧阳歌谷（2021.02.01）
1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－
5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数y= ax 2+bx+c ，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
4.已知抛物线c bx ax y ++=2顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式
5.二次函数y= ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
6.抛物线的对称轴是x=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
7.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式
8.把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
青海省西宁市七年级数学《一次函数待定系数法》课件
2
-2 -2 0 2
x
巩固拓展 知识升华
3.根据实际情况收集信息求函数解析式
在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所 挂物体质量 x（千克）的一次函数。一根
弹簧,当不挂物体时，弹簧长14.5厘米；当所 挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。
请写出 y 与x之间的关系式，并求当所挂物
体的质量为4千克时弹簧的长度。
反思总结
确定正比例函数的解析式y=kx,需求哪个值？需 要几个条件？
k的值
一个条件
确定一次函数的解析式y=kx+b,需求哪个值？需 要几个条件？
K、b的值 两个条件
总结：在确定函数解析式时，要求几个系 数就需要知道几个条件。
回顾反思
求函数解关系的一般步骤是怎样的呢？ 可归纳为：“一设、二列、三解、四还原” 一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b;
巩固拓展 知识升华 1.利用点的坐标求函数解析式
已知一条直线与x轴交点的横坐 标为-1，与y轴交点的纵坐标为 -3，求这条直线的解析式.
巩固拓展 知识升华 2.利用表格信息确定函数解析式
小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该 空格里原来填的数是多少？解释你的理由。
二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元 一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k、b的值；
四还原：把求得的k、b的值代入y=kx+b，写出函 数关系式.
▪11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 ▪12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 ▪13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 ▪14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 ▪15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 ▪17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 ▪18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1．设−1≤2a−b≤3，2≤4a+b≤7，求7a −3b的取值范围。
例2．某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋共用9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋则共用3.2元，问若此人分别买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一只需多少钱？
例3．a、b、c分别是什么数时，多项式ax2+bx+c与(x−1)(x+5)恒等？例4．已知x4+2x2−x+2≡(x2+mx+2)(x2+nx+1)，求m与n的值。
例5．已知k x2−2xy−3y2+3x−5y+2≡(ℓx+y+2)(m x−3y+1)，求k、ℓ、m 的值。
例6．如果x2+x+1∣x4−4x2+ax+b，求a、b的值及商式。
A卷
01．已知−3≤4a−3b≤3，5≤9a+b≤17，求2a+7b的最小值和最大值。
02．已知ax3+bx2−18x+8≡(ax+2)(x2+3x+4)，求a和b的值。
03．已知一个关于x的三次多项式，当x取2和3时，多项式的值都为0；当x取−2、−3时，多项式的值分别为40与30，求这个三次多项式。
04．已知2x+3∣2x3−9x2+n，求n的值。
05．已知x2−4∣3x3+2x2+ax+b，求a+b的值。
06．已知x−2、x＋3都能整除多项式x4+ax3−4x2+bx−12，求a、b的值。
B卷
01．有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机3台、钢笔6支、书包2个共需302元；若购买收录机5台、钢笔11支、书包3个共需508元，
问购买收录机、钢笔、书包各一个共需多少元？
02．已知x+1、x+2都能整除多项式x3+ax2+bx+8，求a+b的值。
03．若x3+ax2+4x+c≡(x+d)(x2+3x−4)，求7a−b+c的值。
04．已知x2−y2+mx+5y−6≡(x+y+n)(x−y+k)，求m、n、k的值。
05．已知x4−6x3+13x2+ax+b是完全平方式，求a、b的值。
06．一个多项式除以x+2余1，除以x+3余−1，求这个多项式除以(x+2)(x+3)的余式。
C卷
01．将5x2+8x−7表示成a(x−1)+b(x−1)+c的形式。
02．将x 4+2x 3+2x 2表示成两个次数不同的多项式的平方差。
03．设p (x )=x 2+bx +c ，b 、c 是整数。
若p (x )︱x 4+6x 2+25，且p (x )︱3x 4+4x 2+28x +5，则当x=1时p(x)的值(即p (1))是多少？ 04．已知2
21A B
3212
x x x x x +≡+-+--，求A 与B 的值。
05．已知()2
258A B
4422x x x x x -≡+
-+--，求A 与B 的值。