《等比数列》学案1

等比数列的前n 项和（两课时）

一 知识梳理

新知：等比数列的前n 项和公式

设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：

公式的推导方法二：

二 问题探究 知识点一、等比数列前n 项和的基本计算：“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.

例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。怎样用学过的知识来说明它？

例2、等比数列{}n a 的公比,12

18==

a q ，求前八项的和8s

例3、求和： 9

999999999999个n +++

例4、某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。

练习：

1、13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.

2、在等比数列{a n }中，S 3＝72S 6＝63

2

，求a n .

3、 等比数列中，33139,.22

a S a q ==

,求及

4、在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12822=-n a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q

5、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题

例5 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，

32n n S S -()1-≠q 也成等比.

练习：

1、 在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .

2、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .

3、等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．

知识点三 错位相减法的应用

例6、求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．

练习：1、求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1

的前n 项和．

知识点四 等比数列前n 项和的证明问题

例7、 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.

练习：1、已知n S 是数列}{n a 前n 项和，n n p S =（R p ∈，*

N n ∈），判断}{n a 是否是等比数列

2、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设1

2n n n

b a a +=-，求证：数列{}

n b 是等比数列.

知识点五 等差数列、等比数列的综合问题

例8、设{a n }是等差数列，n

a n

b ⎪⎭

⎫

⎝⎛=21，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数

列的通项.a n

练习 1、在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2 a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n

n

最大时，求n 的值．

三、课堂反馈：

1．若等比数列}{n a 的前n 项和a S n +=32，则a 等于（ ）

A ．4-

B ．2-

C ．0

D ．1-

2．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为（ ）

Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n

3．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n

项和n S 的值为（ ） Ａ．3n －1 B ．3(3n

－1) Ｃ．

4

19-n

Ｄ．n

4．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中（ ）

Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零 Ｃ．至多有有限项为零 Ｄ．可以有无数项为零

5．在等比数列}{n a 中，21=a ，前n 项和为n S ，若数列}1{+n a 也是等比数列，则n

S 等于（ ） A ．221-+n

B ．n 3

C ．n 2

D ．13-n

6．在等比数列}{n a 中，41=a ，5=q ，使7

10>n S 的最小n 的值是（ ）

Ａ．11 Ｂ．10 Ｃ．12 Ｄ．9

7．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =n 3,则876a a a ++＝ .

8．一个数列的前n 项和为n S =1－2+3－4+…+(－1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝ ． 9．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…

＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = .

10．在等比数列}{n a 中，已知24=S ，68=S ，则=+++20191817a a a a ． 11．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则}{n a 的

公比为 ．

12．在等比数列中，已知：36,463==S a ，求n a