《等比数列》学案1
人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)
§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析 由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一 等比数列通项公式的应用【例1】 在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一 由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明 令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解 法一 由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解 令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案 －60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案 －25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解 不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。
等比数列学案
等比数列（一）一、学习目标1.掌握等比数列的定义、通项公式等根本知识，并简单加以运用.2.培养学生的类比、归纳、猜测能力.3.感受等比数列丰富的现实背景，培养学生对数学学习的兴趣.二、教学过程（一）复习单利，即是不把利息参加本金计算下一期的利息。
比方，现在存入银行1万元钱，年利率是5% ,那么5年内各年末的本利和分别是：（二）等比数列的定义复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.比方，现在存入银行1万元钱，年利率是5% ,那么5年内各年末的本利和分别是:抽象概括：类比等差数列，我们有等比数列定义：一般地，如果一个数列从第—项起，—一项数列的—，通常用字母表示，即:n-l问题1 以下数列是否为等比数列，如果是，公比是多少?抽象概括:(1) 由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为 ______ ，因此q 也不能是 (2) 对公比q 的探究：(& >0时)当0</1时，等比数列｛an ｝为递 _______ 数列； 当”1时，等比数列0｝为递 _______ 数列； 当干1时，等比数列0｝为 _____ 数列； 当/ 0时，等比数列R ｝为 ________ 数列。
(三) 等比数列的通项公式问题2 类比等差数列通项公式的推导过程， 方法一：累加法方法二：迭代法(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,248；(3)l ，T ，j-R ；(4) X ,X 29X 3,X 4 .你可以得到等比数列的通项公式吗?在等差数列中％ - =d(n > 2) 在等比数列中4 = 0(〃Z2) an-\ - Cln-2 =d an an-\ = dJa \ J—= q。
〃-2%d = q两边累加有：a n -a ｝=(n- \)d两边在等差数列中为 = + d(〃 > 2) 在等比数列中％= %巧(〃 2 2)。
3 =。
2 + d =(6 + 刁)+ 刁=% + 2d %= % + d = (% + 2d) + d = % + 3da 2 = a {q2a 3 = a 2q = (%q)q =(%q2)q =港a n = 6 + (n 1)6/an抽象概括: 数列｛。
《等比数列》 导学案
《等比数列》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。
3、了解等比数列的性质，能够运用性质简化计算和解决问题。
二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。
（2）等比数列性质的应用。
2、难点（1）等比数列通项公式的推导。
（2）灵活运用等比数列的性质解决问题。
三、知识链接1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
2、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
四、自主学习（一）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
数学表达式：＼（＼frac{a_{n+1}｝｛a_{n}｝＝ q\）（n∈N）例如：数列 2，4，8，16，32，… 是等比数列，公比 q ＝ 2；数列 1，＼（＼frac{1}｛2}＼），＼（＼frac{1}｛4}＼），＼（＼frac{1}｛8}＼），… 是等比数列，公比 q ＝＼（＼frac{1}｛2}＼）。
思考：（1）公比 q 可以为负数吗？（2）常数列一定是等比数列吗？（二）等比数列的通项公式若等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项为\（a_{1}＼），公比为q，则其通项公式为\（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n-1}＼）。
推导过程：＼（a_{2} ＝ a_{1}q\）＼（a_{3} ＝ a_{2}q ＝ a_{1}q^｛2}＼）＼（a_{4} ＝ a_{3}q ＝ a_{1}q^｛3}＼）……＼（a_{n} ＝ a_{n-1}q ＝ a_{1}q^｛n-1}＼）例1：已知等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项\（a_{1} ＝2\），公比\（q ＝ 3\），求\（a_{5}＼）。
学案1：4.3.2 第1课时 等比数列前n项和公式
4.3.2 第1课时 等比数列前n 项和公式【新知初探】1．等比数列前n 项和公式思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?2．错位相减法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．我们把上述方法叫 ，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求． ( )(2)等比数列的前n 项和公式可以简写成S n ＝－Aq n ＋A (q ≠1)． ( ) (3)1＋x ＋x 2＋…＋x n ＝1－x n1－x． ( ) 2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 3a 2＝( )A ．3B ．4C ．72D ．1323．若首项为1的等比数列{a n }的前3项和为3，则公比q 为( ) A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－14．已知等比数列的首项为－1，前n 项和为S n ，若q ＝－12，则S 10S 5＝________.5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．【合作探究】【例1】 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q .[规律方法]1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[跟进训练]1．已知数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为S n，且有5S2＝4S4，求公比q的值．【例2】借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)[规律方法]解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n，还是求S n？特别要注意项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. [跟进训练]2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？[探究问题]1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？【例3】 设{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1＝2，b 2＝a 2，b 3＝a 2＋4.(1)求{}a n 和{}b n 的通项公式；(2)记c n ＝a n2b n ，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *.[母题探究]1．(变条件)本例题(2)中设c n ＝12a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ′.2．(变条件)本例题中设d n ＝2n －1b n，求数列{d n }的前n 项和T n .[规律方法]错位相减法的适用条件及注意事项若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.【课堂小结】1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．设数列{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，数列{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，数列{c n }满足c n ＝a n b n ，则{c n }的前n 项和为 S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＋c n＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n ，①qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －2b n －1＋a n －1b n ＋a n b n ＋1.②①－②得(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋db 2(1－q n －1)1－q －a n b n ＋1，∴S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q ＋db 2(1－q n －1)(1－q )2.【学以致用】1．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－452．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2＝( )A ．10B ．9C ．－8D ．－53．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B ．13(2n －1)C ．4n －1D ．13(4n －1)4．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.5．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？【参考答案】【新知初探】1．等比数列前n 项和公式 na 1a 1(1－q n )1－q na 1a 1－a n q1－q思考：[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法 错位相减法【初试身手】1．[提示] (1)和(3)中应注意q ＝1的情况． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．C [已知等比数列{a n }的首项为a 1，则S 3a 2＝a 1(1－23)1－2a 1×2＝72.]3．C [当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3，符合题意；当q ≠1时，S 3＝1＋q ＋q 2＝3，解得q ＝－2.] 4．3132 [∵q ＝－12≠1，∴S 10S 5＝(－1)(1－q 10)1－q ·1－q (－1)(1－q 5)＝1＋q 5＝1＋⎝⎛⎭⎫－125＝1－132＝3132.] 5．11(1.15－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .]【合作探究】【例1】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n11.(2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.[跟进训练]1．[解] 当q ＝1时，由5S 2＝4S 4知10a 1＝16a 1，则a 1＝0，不合题意，故q ≠1. 当q ≠1时，由5S 2＝4S 4知5a 1(1－q 2)1－q ＝4a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，解得1＋q 2＝54，即q ＝±12.【例2】[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元， 以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)， 则a 0＝10 000， a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a .由题意，可知a 6＝0， 即1.016a－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.061，∴a ≈1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月， 则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元． [跟进训练]2．[解] 余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16. 设每年年底应支付款为a 元，支付6次的本利和应是 a ＋a (1＋0.1)＋a (1＋0.1)2＋…＋a (1＋0.1)5＝a ·1.16－11.1－1＝10a (1.16－1)． 由105×1.16＝10a (1.16－1)得a ＝104×1.161.16－1≈22 960(元)．∴每年年底应支付22 960元.[探究问题]1．[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝264－1.2．[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n . 3．[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法． 【例3】[解] (1)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q ，则q >0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＝2＋d ，2q 2＝6＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2＋2()n －1＝2n ，b n ＝2·2n －1＝2n .(2)∵c n ＝a n 2b n ＝2n 2·2n ＝n2n ，设数列{}c n 的前n 项和为S n ，∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， ①∴12S n ＝122＋223＋…＋()n －12n ＋n 2n ＋1， ② ∴①－②得：12S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n ，又∵n ∈N *，∴12n －1>0，n2n >0，∴S n ＝2－12n －1－n2n <2，即c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *. [母题探究]1．[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2. 2．[解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n . 【学以致用】1．A [S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3(1－25)1－2＝93.] 2．A [设数列{a n }的公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0.因为a 4≠0， ∴27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝1＋9＝10.] 3．D [∵S n ＝2n －1，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝21－1＝21－1，故a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n －1)．] 4．510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12， 而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.] 5．[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ， 因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q ＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.。
高三数学必修五《等比数列》教案
高三数学必修五《等比数列》教案【导语】你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。
这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡当中的张力却只有真正的勇士才可以破译。
以下是作者高中频道为每一位高三的莘莘学子准备的《高三数学必修五《等比数列》教案》助你榜上着名！教案【一】教学准备教学目标1、数学知识：掌控等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;归纳——料想——证明的数学研究方法;3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。
教学重难点重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列;难点：等比数列的性质的探索进程。
教学进程教学进程：1、问题引入：前面我们已经研究了一类特别的数列——等差数列。
问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何肯定一个等差数列?(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
要想肯定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。
已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。
师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
(第一次类比)类似的，我们提出这样一个问题。
问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。
(这里以填空的情势引导学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情形，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复显现的“周期数列”，而与等差数列最类似的是“比”为同一个常数的情形。
而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。
)2、新课：1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
等比数列学案
2．灵活应用：在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为 多少？
1．{an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ①{an2}也是等比数列 ③{
程
（
）
②{can}(c≠0)也是等比数列 ④{lnan}也是等比数列 C．2 D．1 （ ）
1 }也是等比数列 an
1.
学 习 目 标 学习重点 学习难点 学法指导 使用说明
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解等比数列与指 数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解 决相应的问题． 等比数列的概念；等比数列的通项公式。 利用等比数列的有关知识解决相应的问题． 合作探究
脑子不用不灵，人不学不知道！
脑子不用不灵，人不学不知道！
延安市宝塔区第四中学高二年级第一学期数学学案
编 号 1 课 题
3．1
审核人 班和组
等比数列
审批人 组 评 师 评
周次 本节课时
主编人 姓 名
合 作 探 究
a1>0， a1>0， a1<0 a1<0 单调性： 或 ⇔{an}是________数列； 或 ⇔{an}是________数列； 0<q<1 q>1 q>1 0<q<1 q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．
2 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 A 为常数数列
16
B 为非零的常数数列
16 17
C 存在且唯一
17
D 不存在 （ ）
3．等比数列{a n }中，已知 a9 =－2，则此数列前 17 项之积为
等比数列性质学案
等比数列性质学案教学目标掌握等比数列的简单性质，以及初步了解整体代换思想一通项公式推广等比数列{}n a 中，已知m a ，公比q ，求n a （m ＜n ）练习1已知等比数列{}n a 中，===q a a 则,17,573＿2 已知等比数列{}n a 中，===n a q a 则通项,2,34＿3在p,q 之间插入两个数，使它们组成等比数列，则公比q=二.等比数列性质1.已知等比数列{}n a 中，首项1a ，公比q则=n a a 1=-12n a a=-23n a a……由此你可以得到什么结论？2.若m.,n,,p,q,*∈N ,且m+n=p+q,则n m a a +=3. 已知等比数列{}n a 中，首项1a ，公比q.则=+km k a a=++m k m k a a 2 ， =++mk m k a a 23 由此可知m k m k m k k a a a a 32,,,+++…构成什么数列？已知一个等比数列的首项为1a ，公比为q(1)将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？(4)数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++…是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？（5）练习456.已知等比数列{}n a7变式. 公比为q 的等比数列,求证；2)1(1321-=n n n n qa a a a a三整体思想的题型8 设公比为2的等比数列{}n a ，如果,97741m a a a a = 那么=99963a a a a （ ）A m 332 B. m 662 C 33m D 66m9 已知数列{}n a 中，1,12111==-a a a n n ，求n a10 22，求数列的通项公式。
天津市宝坻区大白庄高级中学高中数学学案：等比数列(一) 必修五[ 高考]
![天津市宝坻区大白庄高级中学高中数学学案：等比数列(一) 必修五[ 高考]](https://img.taocdn.com/s3/m/cd63784ef46527d3240ce0ce.png)
一、学习目标：1、通过实例由学生发现数列项与项之间的“等比”关系，理解等比数列的概念；2、类比等差数列通项公式的推导过程，经历观察、归纳、猜想以及迭乘、迭代等过程，探索发现等比数列的通项公式及其性质，并且会运用公式解决一些简单的问题，提升抽象概括能力与类比推理能力；3、通过与指数函数图象的类比，体会等比数列与指数函数之间的联系。
二、复习回顾：等差数列的相关知识：1.概念：2.通项公式：3.等差中项：4.性质：三、知识梳理1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n a a = （q ≠0） 2. 等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）3.等比数列通项公式：四、典型例题［例1］（1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.［例2］ 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?［例3］已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， b n ＝a n ＋1(n ∈N *)(1)求证{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．变式3：在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋1，证明数列{1a n －1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式．课堂检测：1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 64. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)aa -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C .R D.不确定。
等比数列的性质教案及学案
2.4.2等比数列性质学案一.复习引入：问题：已知等比数列{}n a 中，179a a ⋅=，求26a a ⋅和35a a ⋅值，从中你有何结论？二.新课：等比数列性质探究类比等差数列的定义和性质，猜想等比数列对应的性质，并证明.1.证明性质（1）{}()+⋅=⋅∈比,,,,n n m p q a m n p q a a a a n m p q N 在等数列中:若＋＝＋，则2.证明性质(2){},(,)n m nn ma a q n m N a -+=∈在等比数列中，已知公比为q,则有例：1.在等比数列{}n a 中，已知15a =，910100a a =，求18a2. 在等比数列{}n a 中，352,8a a ==，求7a3. 在等比数列{}n b 中，32b =，求该数列前五项之积4.在等比数列{}n a 中，11,a =，公比1q ≠，若23m a a a =，求m 值.注意点：等比数列角标性质中要求等号两侧项数相同随堂练习： 1.已知等差数列{}n a 满足27124,a a a -+=数列{}n b 是等比数列，且77b a =，求311b b 值2. 已知等比数列{}n a 满足3424a a a =，求15a a3.已知等比数列{}n a 中各项均为正数，且+=564718a a a a ，求+31310log log a a 值4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13795,20a a a a ==，求46a a 值小结：等比数列的角标性质及通项公式的推广通过与等差数列的性质相类比对等比数列性质进行探究课后思考：你能通过类比等差数列其他性质的到别的等比数列的性质吗？试证明.作业：{}==求37114,6,n a a a a 1.等比数列中{}+=+++=等比数列的各项均为正数，且则56473132393102.18,log log log log __________n a a a a a a a a a{}=求162284,n a a a a a a 3.等比数列中{}{}{}求证：4.n n n n a b a b 若数列是项数相同的等比数列，数列也是等比数列。
第04讲《等比数列》学案学生版
第04讲 《等比数列》典型例题例1 （1）已知数列{a n }是等比数列，S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于 .（2）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于 .（3）已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －（2a n ＋1－1）a n －2a n ＋1＝0，则a n ＝ .例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.（1）求a 4的值；（2）证明：{a n ＋1－12a n }为等比数列.例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝ .（2）已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝ .课后作业1.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝ .2.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝ .3.（教材习题改编）设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝ .4.在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝ .5.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝ .6.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝ .7.已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 .8.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝ .9.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . （1）求{a n }的通项公式；（2）求{b n }的前n 项和.10.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2（n ∈N *），设b n ＝a n ＋1－2a n .（1）求证：{b n }是等比数列；（2）设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列.。
人教课标版高中数学必修5《等比数列》第一课时参考学案
§2.4等比数列（1）1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力； 3. 体会等比数列与指数函数的关系.一、课前准备（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：二、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，… 思考以上四个数列有什么共同特征？ 新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1nn a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ； 24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n na a +是一个不为0的常数就行了. ※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A.B.C.D. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系. ※ 知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列； ⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）.A. a ≠1B. a ≠0且a ≠1C. a ≠0D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则123422a a a a ++＝ .5. 在等比数列{}n a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ； ⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ； ⑶ 44a =，76a =，求9a ； ⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .。
等比数列学案1
§ 等比数列对点讲练一、等比数列通项公式的应用(例1) 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 分析 可根据条件先求出基本量a 1及公比q ，再写出通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 总结 等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中有四个量a 1，q ，n ，a n .已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．►变式训练1 已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2；或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.当a 1＝1，q ＝2时，a n ＝2n －1；当a 1＝4，q ＝12时，a n ＝23－n .二、等比数列性质的应用(例2) 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．分析 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，利用这一性质可以化繁为简．解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9.∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95.∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝5log 39＝10. ►变式训练2 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝215，求a 2·a 5·a 8·…·a 29的值．解 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝(a 1a 30)·(a 2a 29)·…·(a 15·a 16)＝(a 1a 30)15＝215，∴a 1a 30＝2.a 2·a 5·a 8·…·a 29＝(a 2a 29)·(a 5a 26)·(a 8a 23)·(a 11a 20)·(a 14a 17)＝(a 2a 29)5＝(a 1a 30)5＝25＝32.三、等比数列的判断与证明(例3) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12. 又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 总结 利用等比数列的定义a n ＋1a n＝q (q ≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．►变式训练3 (2009·浙江文，20)设S n 为数列{a n }前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)． a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0或k ＝1.课堂小结：1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个．课时作业一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.3．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )C ．2D ．343答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 4．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q 为7545＝53. 5．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( ) D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍去)，∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12. 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.答案 4解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 7．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧ q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．解 由题意可列关系式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168 ①a 1q (1－q )(1＋q ＋q 2)＝42 ② ②÷①得：q (1－q )＝42168＝14，∴q ＝12，∴a 1＝1681＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝168×47＝96. 又∵a 6＝a 1q 5＝96×125＝3，∴a 5，a 7的等比中项为3. 10．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n ＝a n ＋b n ，证明数列{C n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，C n ＝a n ＋b n . 要证{C n }不是等比数列，只需证C 22≠C 1·C 3.事实上，C 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， C 1C 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)，由于C1C3－C22＝a1b1(p－q)2≠0.因此C22≠C1·C3，故{C n}不是等比数列．。
2.4.1等比数列(第1课时)学案设计
等比数列(第1课时)学习目标1、掌握等比数列的概念并会应用。
2、掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程。
重点难点1、重点是等比数列的概念及通项公式的推导和应用。
2、难点是等比数列通项公式的推导及应用。
合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:等差数列的定义是什么？一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.通项公式:a n =a 1+(n-1)d ,(n ∈N *).前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d ,(n ∈N *). 问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列1,2,4,8,…;1,12,14,18,…;-1,1,-1,1,…思考:这三个数列是等差数列吗?每个数列的各项之间有什么关系?不是等差数列。
从第2项起,.每一项与它的前一项的比等于同一常数二、信息交流,揭示规律与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?1.定义:如果一个数列从第2项起,.每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(q ≠0).2.数学表达式:a n +1a n =q (n ∈N *) 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立? 结论:等比数列各项均不为零,公比q ≠0.3.通项公式:若等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则{a n }的通项公式是什么？a 2=a 1q ,a 3=a 2q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3,……归纳猜测得到:a n =a 1q n-1这个推导出来的结论如何证明呢？ 证明：q a a =12，q a a =23，q a a =34，……，q a a n n =-111342312--=⨯⋯⋯⨯⨯⨯n n n q a a a a a a a a 11-=n n q a a 11-=n n q a a通项公式：首项为1a ，公比为)0(≠q q 等比数列{}n a 的通项公式为)0(11≠⋅=-q q a a n n三、运用规律,解决问题【例1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-12,14,-18,….解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;(3)数列的首项为1,公比为-12,所以是等比数列.【例2】在等比数列{}n a 中，若33=a ，64=a ，则5a 等于多少？ 解：321=q a ①631=q a ②，联立①②得2=q ，125=a【例3】已知等比数列{}n a 中，33=a ，38410=a ，求该数列的通项n a 。
等比数列教案（精选7篇）
等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。
等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
等比数列导学案设计
课题等比数列（一课时）课型新课媒体用具PPT 日期学习目标：1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用2．掌握等比中项的概念并会应用3．理解等比数列的通项公式及推导重点：等比数列的定义及通项公式难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题过程学习内容师生活动及设计意图一、二、复习引入：等差数列的定义：na－1-na=d ，（n≥2，n∈N+）观察：请同学们仔细观察一下，看看数列①、②、③、有什么共同特征？①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…新知探究1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示。
符号表示：引例中的三个等比数列的通项公式分别是？猜想，等比数列的通项公式？2.等比数列的通项公式的推导:1）累乘法：2）归纳法：3、等比中项：若bGa,,成等比数列，则bGa,,的关系？G叫做a与b的，此时a与b（填同号或异号）。
学生观察找出共同特点/3通过类比法学生归纳等比数列定义思考？1）定义中的关键句？2）公比能否为0？3）公比为1时？4）常数列？是等差数列还是等比数列组内合作探究等比数列通项公式过程学习内容师生活动及设计意图三、四、五、六、跟踪练习（抢答）1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①（），3,27；②2，（），8；③1，（），（），881．3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？（1）1,1,1,1,1；2）8,4,2,1,0；（3）161,81,41,21,1--（4）432,,,xxxx4、求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a；（2）21,,,4cb-5、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列；②数列Λ,81,41,21,1是公比为2的等比数列；③若cbba=，则cba,,成等比数列；④若()*1Nnnaann∈=+，则数列{}n a成等比数列；合作学习例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
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等比数列的前n 项和（两课时）一 知识梳理新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：公式的推导方法二：二 问题探究 知识点一、等比数列前n 项和的基本计算：“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
怎样用学过的知识来说明它？例2、等比数列{}n a 的公比,1218==a q ，求前八项的和8s例3、求和： 9999999999999个n +++例4、某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。
练习：1、13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.2、在等比数列{a n }中，S 3＝72S 6＝632，求a n .3、 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及4、在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12822=-n a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q5、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题例5 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -()1-≠q 也成等比.练习：1、 在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .2、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .3、等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．知识点三 错位相减法的应用例6、求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．练习：1、求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．知识点四 等比数列前n 项和的证明问题例7、 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.练习：1、已知n S 是数列}{n a 前n 项和，n n p S =（R p ∈，*N n ∈），判断}{n a 是否是等比数列2、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n nb a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.知识点五 等差数列、等比数列的综合问题例8、设{a n }是等差数列，na nb ⎪⎭⎫⎝⎛=21，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项.a n练习 1、在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2 a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，求n 的值．三、课堂反馈：1．若等比数列}{n a 的前n 项和a S n +=32，则a 等于（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．1-2．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为（ ）Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n3．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和n S 的值为（ ） Ａ．3n －1 B ．3(3n－1) Ｃ．419-nＤ．n4．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中（ ）Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零 Ｃ．至多有有限项为零 Ｄ．可以有无数项为零5．在等比数列}{n a 中，21=a ，前n 项和为n S ，若数列}1{+n a 也是等比数列，则nS 等于（ ） A ．221-+nB ．n 3C ．n 2D ．13-n6．在等比数列}{n a 中，41=a ，5=q ，使710>n S 的最小n 的值是（ ）Ａ．11 Ｂ．10 Ｃ．12 Ｄ．97．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =n 3,则876a a a ++＝ .8．一个数列的前n 项和为n S =1－2+3－4+…+(－1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝ ． 9．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = .10．在等比数列}{n a 中，已知24=S ，68=S ，则=+++20191817a a a a ． 11．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则}{n a 的公比为 ．12．在等比数列中，已知：36,463==S a ，求n a13．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q14．各项均为正数的等比数列}{n a ，若前前n 项和为n S ，且1010=S ，7030=S ，求40S15．已知等比数列}{n a 共有n 6项，前n 项和为2，其后n 2项和为12，求最后n 3项和16．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．17.已知数列}{n a 是首项41=a ，公比1≠q 的等比数列，n S 是其前n 项和，且14a ，5a ，32a -成等差数列．（１）求公比q 的值；（２）求n n a a a T 242+++= 的值．18.已知数列}{n a 中，n S 是它的前项和，且11=a ，241+=+n n a S ，设nn n a a b 21-=+（*N n ∈）． （１）求证：数列}{n b 是等比数列，并求数列}{n b 的通项公式； （２）求证：3211121<+++nb b b ．高二数学试题一．选择题：1. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ）A.12-=n a nB.)21()1(n a n n --=C.)12()1(--=n a n nD.)12()1(+-=n a n n 2．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，那么6a 的值为A ．－12B ．－6C ．12D ．6 3.若ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos （ ）A. 41-B. 41C.32-D.324. 若CcBb Aa cos cos sin ==,则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形5.等差数列{}n a 的通项公式21,n a n =+其前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为（ ） A. 120 B.70C.75D. 1006．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A. 0060,45,10===C A bB. 060,5,6===B c aC. 060,5,7===A b aD. 045,16,14===A b a7．在等差数列{}n a 中，若189=S ，240=n S ，304=-n a ，则n 的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．178． 在ABC ∆中，060=A ，1=b ，其面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2399．在m 200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是030,060，则塔高为（ ）A m 3400 B m 33400 C m 33200 Dm 320010．在三角形ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．015011．设11102++-=n n a n ，则数列{}n a 从首项到第几项的和最大（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项12．在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 二．填空题：13．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项=n a __ .15．在ABC ∆中,若222c b a <+,且23sin =C ,则=∠C16．ABC ∆中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = .三．解答题:17. (本小题满分12分)等差数列{an}的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为na ，前n 项和为nS ，请填写下表：18.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a，求前20项之和．19. (本小题满分12分)在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ， 求A ，C 及c .20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．21.（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若B c a cos =且A c b sin =。
试判断ABC ∆的形状．22.（本小题满分14分）一缉私艇A 发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上C 处有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.A。