高中数学基础知识宝典(文科分册)
高中文科数学基础知识汇总
高中文科数学基础知识一、集合与简易逻辑1．元素与集合的关系：)(A a A a ∉∈或。
2．集合的元素具有：确定性、无序性、互异性。
如若{}2,,1aa A =，则01≠±≠a a 且。
3．集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法。
其中要特别注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的属性，如若A={椭圆}，B={直线}，则φ=⋂B A ，又若⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>=+=)0(1|),(2222b a b y a x y x A ，{}0|),(=++=C By Ax y x B ，则B A ⋂可能有0个或1个或2个元素，再如{})23(log |22+-==x x y x A ，{})23(log |22+-==x x y y B ，{})23(log |),(22+-==x x y y x C ,A 表示函数的定义域，B 表示函数的值域，C 表示函数图象上的点集。
注意：若{}R x x x A ∈>=,1|，{}R y y y B ∈>=,1|，则B A =。
4．常见数集：R ．表示实数集；N ．表示自然数集；)(*+N N 或表示正整数集；Q ．表示有理数集；Z 表示整数集。
5．空集是任何集合的子集，记作：A ⊆φ，空集是任何非空集合的真子集；记作：φA ，任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ⊂。
6．包含关系：A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆（U 为全集）。
注意：当A B A =⋂或B B A =⋃时，要注意考虑φ=A 与φ≠A 的情况。
7．要证明集合A=B ，则须证明：A B B A ⊆⊆且。
8．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有12-n 个；非空子集有12-n个；非空的真子集有22-n个。
9．判断命题的真假要以真值表（p 与非p ：真假相对；q p 或：一真必真；q p 且：一假必假）为依据。
高中数学知识点汇总(文科)
必修1第一章 集合与函数概念1. 集合三要素：确定性、互异性、无序性.2. 常见集合：整数集合:N ；正整数集合：*N 或+N ；整数集合：Z ；有理数集合：Q ；实数集合：R.3.集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法.4. 子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集.记作B A ⊆.5. 真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.6. 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：Φ.并规定：空集是任何集合的子集；空集是任何集合的真子集.7. 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集.8. 并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A与B 的并集.记作：A B ，即A B ={|,x x A ∈或}x B ∈.9. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.记作：A B ，即A B ={|,x x A ∈且}x B ∈.10.补集：对于集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作：UA ，即UA ={|,}x x U x A ∈∉且.11. 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 12. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.13. 用定义法判断函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断．14. 一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.15. 一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.16.求函数定义域：①分母不为0；②偶次方根被开方数0≥；③对数的真数0>. 17.用定义判断奇偶性的方法：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定)(x f -与)(x f 的关系；③得出结论：若)()(x f x f =-或者0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数；若)()(x f x f -=-或者0)()(=+-x f x f ，则)(x f 是奇函数；第二章 基本初等函数（Ⅰ）1. 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。
高中数学知识点总结大全（文科）
高中数学知识点总结目录第一章一一集合与简易逻辑 (1)第二章一一函数 (4)第四章三角函数 (19)第六章不等式 (33)第七章直线和圆的方程 (38)第八章圆锥曲线 (48)第九章(B)直线、平面、简单几何体 (53)第十章排列、组台、二项式定理 (69)第三章导数 (78)第一章一一集合与简易逻辑集合一识点归纳：定义：一组对象的全体形成一个集合.特征：确定性、互异性、无序性.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图分类：有限集、无限集.数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集如关系：属于E、不属于£、包含于J(或U)、真包含于5、集合相等=・运算：交运算ACB={x|xEA且XEB}；并运算AUB={x|xGA或xEB};补运算C u A={x\x^A且xCU},U为全集性质：ACA：<1)CA：若ACB.BJC,则AJC：AAA=AUA=A；AA4> =4>：AU4)=A：AAB=A<=>AUB=B<=>ACB；Anc t/A=4)；AUC"A=I：C[7(C L rA)=A：C L-(AoB)=(C Lr A)n(C L.B).方法：韦恩示意图，数轴分析.注意:①区别6与W、乒与己、a与{a}、4>与{4)}.{(1,2)}与{1,2}；②ACB时，A有两种情况：A=4>与AN4>・③若集合A中有n(WGAT)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2”，所有真子集的个数是2”-1,所有非空真子集的个数是2”-2.④区分集合中元素的形式:如A={x\y=x2+2x+l}^B={y\y=x2+2x+l}^ C={(x,y)|y=X：+2x+1}：D={x\x=x2+2x+]}i E=((x,y)|y=x2+2x+l,x e Z,y e Z}:F={(x,V)|y=尸+2x+1}；G={z|y=[2+2x+l,z=与.X空集是指不含任何元素的集合.{0}、。
高中文科数学高考必备基础知识
高中文科数学高考必备基础知识重难点简摘§3数列一、数列的定义和基本问题1．通项公式：)(n f a n =（用函数的观念理解和讨论数列，特殊注重其定义域的特别性）； 2．前n 项和：12n n S a a a ++?+=；3．通项公式与前n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：11,1,2n n n S n a S S n -=?=?-≥?二、等差数列：1．定义和等价定义：1(2){}n n n a a d n a --=≥?是等差数列；2．通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1；推广：d m n a a m n )(-+=； 3．前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=?+=2112)1(2； 4．重要性质举例：①a 与b 的等差中项2a bA +=；②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特殊地：若2m n p +=，则2m n p a a a +=；③奇数项135,,a a a ，…成等差数列，公差为2d ；偶数项246,,a a a ，…成等差数列，公差为2d . ④若有奇数项21n +项，则21(21)n S n a +=+中；中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=， 11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n （其中n 1a =a +中）；若有偶数项2n 项, 则d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差；⑤设n A=S ，2n n B=S -S ，3n 2n C=S -S ，则有C A B +=2；⑥当10,0a d >时，n S 有最小值.⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n 项和公式.（8）若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 三、等比数列： 1．定义：1(2,0,0){}nn n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列； 2．通项公式：11-=n n q a a ；推广n mn m a a q-=；3．前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--?；（注重对公比的研究）4．重要性质举例①a 与b 的等比中项G 2G ab G ?=?=,a b 同号）；②若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；特殊地：若2m n p +=，则2m n p a a a ?=；③设n A=S ，2n n B=S -S ，3n 2n C=S -S ，则有2B AC =?；④用指数函数理解等比数列（当10,0,1a q q >>≠时）的通项公式. 四、等差数列与等比数列的关系举例 1．{}n a 成等差数列?{}na b 成等比数列；2．{}na 成等比数列{}0log n a b na >?成等差数列.五、数列求和办法：1．等差数列与等比数列； 2．几种特别的求和办法（1）裂项相消法；)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（2）错位相减法：n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211；则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，… （3）通项分解法：n n n c b a ±=六、递推数列与数列思想 1．递推数列（1）能按照递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由(,)0n n f S a =，求,n n a S .解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 2．数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导办法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……；（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导办法）若1()(2)nn a g n n a -=≥，则……；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导办法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导办法）.§5平面对量一、向量的基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量. 二、加法与减法运算1．代数运算(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）, b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
数学高三知识点大全集文科
数学高三知识点大全集文科数学高三知识点大全集（文科）在高三数学学科的学习中，我们要掌握一系列的数学知识点，这些知识点涵盖了数学的各个方面。
本文将为大家整理一个数学高三知识点大全集，以供参考。
一、函数与方程1. 函数的性质及图像：包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等；函数图像的平移、伸缩、翻转等变换。
2. 一次函数与一元一次方程：一次函数的定义及性质；一元一次方程的解法、解集表示及应用。
3. 二次函数及二次方程：二次函数的定义及性质；二次方程的解法、解集表示及应用。
4. 不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的解法与图像表示。
5. 绝对值函数及方程：绝对值函数的定义及性质；绝对值方程的解法及应用。
二、数列与数列极限1. 等差数列：等差数列的通项公式、前n项和公式及应用。
2. 等比数列：等比数列的通项公式、前n项和公式及应用。
3. 递推数列：递推数列的通项公式、前n项和公式及应用。
4. 数列极限：数列极限的定义与性质；数列极限的判定方法；无穷大与无穷小概念及其性质。
三、概率与统计1. 概率基础：基本概念、事件间关系及计算方法；概率的加法、乘法规则；事件的独立性与完备事件的概念。
2. 排列与组合：排列与组合的基本概念与性质；排列组合问题的应用。
3. 随机变量：随机变量的概念与性质；离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
4. 统计学基本概念：总体与样本的概念与描述统计指标；频率分布表与频数分布直方图。
四、立体几何1. 空间几何体：立体几何体的基本概念与性质；球、圆锥、圆柱、圆台、棱柱、棱锥的体积与表面积计算方法。
2. 空间坐标与向量：空间直角坐标系的建立与应用；向量的基本概念与性质；向量的运算与应用。
3. 空间关系与距离：点与直线、点与平面、直线与平面间的位置关系与距离计算。
五、数与代数1. 指数与对数：指数与对数的基本概念与性质；指数和对数的运算及应用。
2. 复数：复数的定义与运算；复数的模、辐角表示及指数形式。
高中文科类数学基本知识总结
一 集合和简易逻辑基本知识点1一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成集合集合中的每一个对象_叫元素;2.集合的分类含有有限个元素的集合叫有限集 含有无限个元素的集合叫无限集不含任何元素的集合叫空集;3.集合的表示将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“｛｝”内,这种表示集合的方法叫列举法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{(x)}的形式,这种表示集合的方法叫描述法, 用图表示集合的方法叫图示法;4.集合元素的3个性质:1确定性_; 2互异性_;3无序性_;5.常见的数集:子集,记作 . 如果 ,且A ≠B,那么集合A 叫集合B.真子集. 如果 ,且 ,那..两集合相等;7.如果集合S 包含我们所要研究的各个集合可以看. 全集..设 ,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为A 在S 中. 补集;8..由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合,称为A 和B.交集,记作A ∩B. 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合,称为A 和B 的叫并集,记作A ∪B;.9.含有n 个元素的集合有 2n 个子集.10.原命题:若p 则q;逆命题为: 若q 则p ;否命题为: 若﹁p 则﹁q ;逆否命题为: 若﹁q 则﹁p ;11.四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为偶数个. 12.充分条件和必要条件:⑴如果p ⇒q,则p 是q 的 充分 条件是p 的 必要 条件; ⑵如果p ⇒q,且q ⇒p,则p 是q 的 充分必要 条件; ⑶如果 p ⇒q,且qp ,则p 是q 的充分而不必要条件; ⑷如果 q⇒p,且pq ,则p 是q 的必要而不充分条件; ⑸如..p q,且q .. ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 13.14”的否定为∃x∈M,﹁p(x);“∃x∈(x)”的否定为∀x∈M,﹁p(x);15.“p∧q”的否定. ﹁p∨﹁.. ;“p∨q”的否定.﹁p∧﹁..;二基本初等函数知识点1.函数的定义设是两个非空数集,如果按照某个确定的对应法则,对于集合A中的每一个元素x,集合B中都有唯一元素y和它对应,那么称→B 为从集合A到集合B的一个函数, 所有输入值x组成的集合叫定义域所有输出值y组成的集合_叫值域.2.函数的表示方法:⑴_解析式_;⑵列表法_;⑶图象法;3设函数(x)定义域为A,区间 ,对于区间I内的任意两个值x12,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就说(x)在区间I上是_增函数; 对于区间I内的任意两个值x12,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就说(x)在区间I上是减函数;4 设函数(x)定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=－f(x),那么称函数(x)是奇函数;其图象特征关于原点对称;如果对于任意的x∈A,都有f(－x)(x),那么称函数(x)叫偶函数;其图象特征关于y轴对称;奇偶函数的定义域关于原点对称;5. 对于函数(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任意一个值时,都有f()(x),那么(x. 叫周期函数称为这个函数的周期_..如果在周期函数(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小正. 叫最小正周期.性质定义域 R (―∞,0)∪(0∞) 值域 R(―∞,0)∪(0∞)单调性在R 上递增在R 上递减在(―∞,0), (0∞)上递减 在(―∞,0), (0∞)上递增二次函数2(a≠0)钩函数桥函数－a>0a<0图象性质 定义域 R(―∞,0)∪(0∞) (―∞,0)∪(0∞) 值域 [∞)(－∞,](―∞,－2)∪(2∞) R顶点(－,) 极值点:(―1,―2),(1,2) 零点:(―1,0),(1,0)对称轴－渐近线:渐近线:单调性在(－∞,－]上递减在[－∞)上递增 在(－∞,－]上递增在[－∞)上递减 在[－1,0),(0,1]上递减在(－∞,－1], [1∞)上递增在(―∞,0), (0∞)上递增7.nm a ＝n m a ;nm a -＝nm a1＝ (a>0∈N*);8.对数定义＝N(a>0≠1);9.对数运算性质:⑴();⑵ －;⑶ ; 10.对数恒等式:N a Na=log;换底公式:;y2(a>0)x y2(a<0)x y0 x y －0 x11.指数函数,对数函数图象和性质指数函数y ＝(a>0≠1)对数函数y ＝(a>0≠1)a>10<a<1a>10<a<1图象性质定义域 R (0∞) 值域 (0∞) R 过定点(0,1)(1,0)单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数(0∞)上递增 (0∞)上递减12.幂函数的图象和性质三 导数基本知识点1.设函数(x)在区间上()有定义0∈(),当x 的增量△x 无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称函数f(x)在0处可导,并称该常数A 为函数(x)在0处的_导数_,记作′(x 0).2.导数的几何意义:曲线(x)上有两点(x 0((x 0))(x 0+△((x 0+△x)),则割线的斜率为,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时＝无限趋近点Q 处切线的_斜率_,即(x)在点(x 0((x 0))处的导数.4.基本初等函数的求导公式:(C)′＝0;(x α)′＝αx α－1,(α为常数);()′＝(a ＞0≠1);y(0<a<1)x 0(1,0) 1x(1,0)1(a>1)yy(0<a<1) 1 0 1 xy (a>0)10 1()′＝＝,(a ＞0≠1);注:当a ＝e 时, ()′＝ ,()′＝,()′＝,()′＝－. 5.导数的运算法则法则1 [u(x)±v(x)]′＝ u ′(x)±v′(x); 法则2 [(x)]′＝ ′(x);法则3 [u(x)v(x)]′＝′(x)v(x)(x)v′(x); 法则4 []′＝(v(x)≠0).6.用导数的符号判别函数增减性的方法:若f′(x)>0,则函数f(x)为增函数,若f′(x)<0,则函数f(x)为减函数;7.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:⑴确定函数f(x)的定义域;⑵求f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出它在定义域内的一切_实数解;⑶把上面的各实根按由从小到大_的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;⑷确定f′(x)在各个小区间内的符号,根据f′(x)的符号判断函数f′(x)在每个相应小区间内的增减性;8.函数极值的定义:设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有f(x)<f(x 0)(或f(x)>f(x 0)),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值); 极大值和极小值统称为极值;9.求可导函数f(x)在[]上的最大或最小值的一般步骤和方法:①求函数f(x)在()上的值;②将极值和区间端点的函数值f(a)(b) 比较,确定最值.四三角函数基本知识点1.和角α终边相同的角的集合{β|β·360°+α∈Z};2.360°＝_2π,180°＝_π,1°＝180π≈_0.01745,1＝π180°≈_57.3_°;3.用弧度表示的弧长公式α,面积公式:.4.三角函数定义平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P 的坐标是(),它和原点的距离是r,则xyr x r y ===αααtan ,cos ,sin ;正弦,余弦,正切在各个象限的符号α,一,二象限正,三,四负α,一,四正,二,三负, α,一,三正,二,四负,(记忆口诀:一全,二正,三切,四余) .5同角三角函数关系公式:⑴平方关系2α2α=1,⑵商数关系:;6诱导公式:⑴(2kπ＋α)＝_ α(2kπ＋α)＝_ α(2kπ＋α)＝_ α_;⑵(－α)＝－α(－α)＝α(－α)＝－α;⑶(π－α)＝α(π－α)＝－α(π－α)＝－α;⑷(π＋α)＝－α(π＋α)＝－α(π＋α)＝α;⑸(2π－α)＝－α(2π－α)＝α(2π－α)＝－α;⑹(－α)＝_ α(－α)＝_ α_; ⑺(＋α)＝_ α(＋α)＝_ －α_;⑻(－α)＝－α(－α)＝－α_;⑼(+α)＝_ －α(+α)＝_ α_;记忆口诀奇变偶不变,符号看象限.7.特殊角三角函数值角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2πα010－10α10－－－－101α01不存在－－1－0不存在08.三角函数图象和性质函数正弦余弦正切图象定义R R{≠π∈Z}y＝(ωx＋10和差角公式:(α－β)＝αβαβ(α＋β)＝αβ－αβ;(α－β)＝αβ－αβ(α＋β)＝αβαβ;(α－β)＝(α＋β)＝;11. 辅. 公式:α＋α＝ tan ),sin( 22ab b a =++ϕϕα; 12. 2倍. 公式:2α＝ 2αα 2α＝ 2α－2α ＝ 22α－1 ＝ 1－22α , 2α＝;13降幂(或半角)_公式:2α＝2α＝2α＝;14万能公式_公式: 设t ＝,则＝α＝α＝; 15.用αα表示＝＝; 16.正弦定理: 2R sinCcsinB b sinA a===; 17.三角形面积公式: sin 21sin 21sin 21 B ac A bc C ab S ===;18.余弦定理:⑴a 2＝22－2, b 2＝a 22－2 , c 2＝a 22－2 ; ⑵＝,,;五 向量基本知识点1长度为零的向量_叫零向量长度等于一个单位的向量_叫单位向量; 2.向量加法运算律:⑴交换律: a b b a +=+; ⑵结合律:)()(c b a c b a ++=++;3.向量共线定理:a 和b 共线⇔b a λ=;4.向量加法,减法,数乘的坐标运算法则:已知a ＝(x 11),b ＝(x 22),λ∈R,那么a ＋b ＝ (x 1+ x 212) ;a －b ＝ (x 1－ x 21－y 2) ;λa ＝(λx 1,λy 1) ;5.向量AB 坐标()和其起点A(x 11),终点B(x 22)坐标关系 (x 2－x 12－y 1)_;6.向量平行的坐标表示:已知a ＝(x 11),b ＝(x 22),a 和b 平行⇔1y 2－x 2y 1=0;7.向量数量积的定义: cos | | || θb a b a =⋅;8.向量数量积的运算律:⑴ a b b a ⋅=⋅; ⑵ ) ()() ( b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ; ⑶ )( c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅;9.向量数量积的坐标表示:已知a ＝(x 11),b ＝(x 22),则a ·b ＝1x 21y 2_;10.已知a ＝(),则a 2＝22_; a ＝＝; 11.两点间距离公式;12.已知非零向量a ＝(x 11),b ＝(x 22),它们的夹角为θ,则其夹角公式: θ_＝＝;13.已知非零向量a ＝(x 11),b ＝(x 22),则a ⊥b ⇔ 0 =⋅b a ⇔_ x 1x 21y 2=0_ 六数列基本知识点 ㈠数列1. 按一定次序排列的一列. 叫数列. 其中的每一个. 叫数列的项,数列可以看作一个定义域. N*或其真子集{1,2,3…. 的函数,它的图象. 一群孤立的. .2. 一个数列{}的第n 项和项数n 之间的关系,如果可以用一个公式来表示,这个公. 叫数列的通项公式.3. 一个数列{}的第n 项可以用它的前几项来表示,这样的公. 叫数列的递推公式.4.数列的分类:⑴按项数分: 有穷数列 , 无穷数列 ;⑵按照项和项的大小关系分: 递增数列 , 递减数列 , 摆动数列 , 常数列 ,5.若已知数列{}的前n 项和,则其通项.㈡等差数列6. 如果一个数列从第2项起,每一项和它的前一项的差等于同一个常数,这个数. 叫等差数列.常数叫这个等差数列. 公. .7. 成等差数列,则P 叫. 等差中项.8.等差数列的通项公式 1+(n －1)d , (n －m)d . 9.等差数列的图象是 一条直线上均匀分布的点 . 10.等差数列前n 项和公式, d 2)1( 1-+=n n na S n .求等差数列前n 项和的方法叫 倒序相加法 . 11.{}是等差数列＝ ; {}是等差数列＝ 2 ;12.一个等差数列有五个基本元素: a 1 ,知道其中 三 个,就可以求出其它 两 个,即“知 三 求 二 ”. 13.等差数列的单调性:①d>0时,{}递 增 有最 小 值;②d<0时,{}递 减 有最 大 值; ③d ＝0时,{} 为常数列 .14.下标和性质:等差数列{}中∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 ;若m ＋n ＝2p,则 2 .15.等差数列{}中是前n 项和,则, S 2m － , S 3m －S 2m 是等差数列. 16.{},{}均为等差数列∈R,则 {},{} 仍是等差数列. 17.等差数列{},{}的前n 项和分别为,则＝. 18.等差数列{}中,①若＝＝n(m≠n),则＝ 0 ; ②若＝＝n(m≠n),则＝ －() ;㈢等比数列19. 如果一个数列从第2项起,每一项和它的前一项的比等于同一个常数,这个数. 叫等比数列.常数叫这个等比数列. 公. . 20. 成等比数列,则P 叫. 叫等比中项. 21等比数列的通项公式 1－1 , －m. 22.等比数列前n 项和公式 1 1)(1,1q 11qq a a S q q a Sn n n n--=--=≠或时, 1时, 1 .求等比数列前n 项和的方法叫 错位相减法 .23.一个等比数列有五个基本元素: a 1 ,知道其中 三 个,就可以求出其它 两 个,即“知 三 求 二 ”. 24.已知等比数列{}首项a 1,公比q,则其单调性: ① a 1>0>1或a 1<0,0<q<1 时,{ }递增; ② a 1<0>1或a 1>0,0<q<1 时,{ }递减;③ 1 时,{}为常数列;④ q<0 时,{}为摆动数列.25.下标和性质:等比数列{}中∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 ·· ;若m ＋n ＝2p,则 ·2.26.等比数列{}中是前n 项和,则, S 2m － , S 3m －S 2m 是等比数列. 27.{},{}均为等比数列∈R,则{},{},{}n n n n nma ma ma b b ⋅仍是等比数列.七不等式基本知识点 1.三个“二次型”的关系判别式△＞0△=0△＜0二次函数2 (a ＞0)的图象一元二次方程20(a ＞0)的解x 12 (x 1<x 2)x 12=－ 无实数根一元二次不等式的解集2＞0(a ＞0){<x 1>x 2}{≠－}R2＜0(a ＞0){ x 1<x<x 2}φ φ⇔ b<a ; ②传递性a>>c ⇒ a>c ;③加法性质a>b, c ∈R ⇒ > >>d ⇒ > ;④乘法性质a>>0⇒ > ><0⇒ < >b>0>d>0⇒ > ; ⑤正数乘方a>b>0⇒ > ; ⑥正数开方a>b>0⇒ > .3.已知∈(0∞),有四个数:,,,,用“≤”连接这几个数2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+.4>0>0的乘积为定值p 时,那么当且仅当 时有最小值是 2 ; 的和为定值s时,那么当且仅当时有最大值是.5.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线0(不同时为0)将平面分成三个部分,直线上的点满足. . ,直线一边. >. ,另一边. <. ,如何判断不等式只需取一.. 不在直线上的特殊. 代入即可.6.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出变量 ;⑵找出线性约束条件 ;⑶确定线性目标函数 ;⑷画出可行域 ;⑸利用线性目标函数画出平行直线系 ;观察函数图形,找出最优解 ,给出答案.八立体几何基本知识点㈠空间几何体及表面积和体积1. 由一个平面多边形沿某一方向平移形成. 的几何体叫棱柱,棱柱的底面. 两个全等的平面多边. ,且对应. 平行且相.,侧面都.平行四边.;2.棱柱的一个底面缩成一个点时形.的几何体叫棱锥,棱锥的底面. 平面多边. ,侧面. 有一个公共顶点的三角. ;3. 棱锥被平行于底面的一个平面所截,截面和底面之. 的几何体叫棱台.4.圆柱由矩形绕它的一边旋转而成;圆锥由直角三角形形绕一直角边旋转而成;圆台由直角梯形形绕垂直于底边的腰旋转而成;球由半圆形绕它的直径旋转而成.5.直棱柱侧面积公式直棱柱= ; 正棱锥侧面积公式正棱锥= ′ ;正棱台侧面积公式正棱台= (′)h′ ; 球表面积公式球= 4πR2 ;6.柱体体积公式柱体= ;锥体体积公式锥体= ;球体体积公式球=πR3 .㈡点线面位置关系1.平面的基本性质及推论:⑴公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 ;⑵公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 ;⑶公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 ; ①推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 ; ②推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ; ③推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面 ; 公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ;等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 ;2.空间两条直线的位置关系有: 相交,平行,异面 ,通常有两种分类方法:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧异面平行无公共点相交有公共点异面平行相交共面 . 3.过空间任一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫异面直线所成角,其范围.(0°,90°..成角,若直线和平面垂直,就说它们所成角是90°,所以其范围.[0°,90°..7.平面和平面的位置关系有两种:8.从同一条直线出发的两个半平面组成的图. 叫二面角. 在二面角的棱上任取一点,过该点在两个半平面内分别作两条射线垂直于棱,则两条射线所成的. 叫二面角的平面角,其范围. [0°,180°..,,b b b ββαααβ⎫⎪⊂⊂⇒⎬⎪⋂⎭九解析几何基本知识点1. 对于一条和x轴相交的直线l,把x轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时,所转过的最小正. 叫直线的倾斜角,其范围. [0,180°. . 已知两点P1(x11)2(x22),如果x1≠x2,那么叫直线P1P2的斜率,它和倾斜角α的关系. . .2.直线方程有5种形式:①点斜式: y－y1(x－x1) ;②斜截式: ; ③两点式:;④截距式:;⑤一般式: ＋＋C＝0 .3.已知直线l1＝k1x＋b12＝k2x＋b2,则l1∥l2⇔ k1＝k2,且b1≠b21和l2重合⇔ k1＝k2,且b1＝b2 1和l2相交⇔ k1≠k21⊥l2⇔ k1·k2=－1 ;已知直线l11x＋B1y＋C1＝022x＋B2y＋C2＝0,则l1∥l2⇔; l1和l2重合⇔; l1和l2相交⇔1⊥l2⇔ A1·A2+ B1·B2＝0 .4.已知直线l11x＋B1y＋C1＝022x＋B2y＋C2＝0,则方程组无解时, l1∥l2;方程组有无数组解时1和l2重合;方程组只有一组解时1和l2相交, 这组解就是交点坐标.5.坐标平面上两点间距离公式:1P2;中点坐标公式.6.点P(x00)到直线＋＋C＝0距离公式:;两平行直线l1＋＋C1＝0,l 2＋＋C 2＝0间距离公式.7.圆的标准方程: (x －a)2+(y －b)22 ;圆的一般方程: x 220(D 22－4F>0) ; 已知点A(x 11)(x 22),以线段为直径的圆方程: (x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0 .8.已知⊙C 方程f()=0,点P(x 00),则点P 在⊙C 上⇔(x 00)=0;点P 在⊙C 外⇔ f(x 00)>0;点P 在⊙C 内⇔ f(x 00)<0; 9.直线和圆的位置关系.10.圆的切线:⑴点P(x 00)在圆x 222上,则过点P 的圆的切线方程002; ⑵点P(x 00)在圆(x －a)2+(y －b)22上,则过点P 的圆的切线方程(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)2;⑶点P(x 00)在圆C 外,则过点P 的圆的切线有两_条,先设出切线的点斜式_式方程,再利用 求出切线斜率,如果只求出一个斜率值,要注意斜率不存在时的情况.11.直线和圆相交,⑴设圆心到直线距离为d,圆的半径为r,则直线被圆截;⑵斜率为k 的直线l 和曲线相交于点A(x 11)(x 22),则1－x 2_. 12.断圆和圆的位置关系.两圆半径)13.⑴经过圆C 1()=0,圆C 2()=0交点的圆系方程()+λg()=0(λ≠－1); ⑵经过圆C 1()=0,圆C 2()=0交点的直线(即公共弦所在直线)方程: f()－g()=0_;14.空间直角坐标系中两点间距离公式: 1P 2 ; 中点坐标公式.㈡ 椭圆1椭圆的第一定义: 平面上到两个定点F 12距离之和等于定长(>1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.注＞0,当1|＋2|＝2a ＞ 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 椭圆 ; 当1|＋2|＝2a ＝ 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 线段F 1F 2 ; 当1|＋2|＝2a ＜ 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 不存在 .2.椭圆的第二定义: 平面上到一个定点和一条定直线距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆.3.椭圆的的标准方程和几何性质标准方程 +＝1(a>b>0) +＝1(a>b>0)图 形几何性质范围 x ∈[－]∈[－] x∈[－]∈[－] 焦点 F 1(－c,0)2(c,0)22－b 2 F 1(0,－c)2(0)22－b 2 顶点 A 1(－a,0)2(a,0), B 1(0,－b)2(0), A 1(0,－a)2(0), B 1(－b,0)2(b,0),对称性 关于原点轴轴对称长短轴 长轴:线段A 1A 2,长2a; 短轴:线段B 1B 2,长2b; 长轴:线段A 1A 2,长2a; 短轴:线段B 1B 2,长2b;离心率 ∈(0,1)准线方程± ±㈢ 双曲线4.双曲线的第一定义: 平面上到两个定点F 12距离之差的绝对值等于定长(<1F 2|)的点的轨迹叫双曲线. 注＞0,当| 1|－2||＝2a ＜ 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 双曲线 ; 当| 1|－2| |＝2a ＝ 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 两条射线 ; 当| 1|－2| |＝2a ＞ 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 不存在 . 5.双曲线的第二定义: 平面上到一个定点和一条定直线距离之比等于常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线. 6.双曲线的的标准方程和几何性质标准方程 －＝1(a>0>0) －＝1(a>0>0)图 形几何性质范围 x∈(－∞]∪[∞)∈R y∈(－∞]∪[∞)∈R 焦点 F 1(－c,0)2(c,0)222 F 1(0,－c)2(0)222 顶点 A 1(－a,0)2(a,0), A 1(0,－a)2(0),对称性 关于原点轴轴对称实虚轴长 实轴:线段A 1A 2,长2a; 虚轴:线段B 1B 2,长2b; 实轴:线段A 1A 2,长2a; 虚轴:线段B 1B 2,长2b;离心率 ∈(1∞)准线方程 ± ±渐近线方程±x±x㈣ 抛物线7.抛物线的定义: 平面上到一个定点和一条定直线距离之比等于常数1的点的轨迹是抛物线.标准方程 y 2=2(p>0) y 2=－2(p>0) x 2=2(p>0) y 2=－2(p>0)图 形几 范围 x∈[0∞)∈R x ∈(－y ∈[0∞)∈R y ∈(－十复数基本知识点1.复数的概念及分类:⑴概念:形如a ＋(∈R)的数叫做 复数 ,其中a 和b 分别为它的 实部 和虚部.⑵分类:①若a ＋(∈R)为实数,则 0 ,②若a ＋(∈R)为虚数,则 b≠0 ,③若a ＋(∈R)为纯虚数,则 0≠0 ; ⑶复数相等:若复数a ＋＝c ＋(∈R)⇔ 且 ;⑷共轭复数: a ＋和c ＋共轭(∈R)⇔且－的共轭复数记作 z ; 2.复数的加、减、乘、除法则:设z 1＝a ＋2＝c ＋(∈R),则⑴加法1＋z 2＝ (a ＋c)+(b ＋d)i ;⑵减法1－z 2＝ (a －c)+(b －d)i ;⑶乘法1·z 2＝ (－)+(＋)i ;⑷乘方＝zzz z n·＝ ;()n＝ ;(z 1·z 2)n ＝ z 1n ·z 2n ;⑸除法:＝2222()()()()a bi a bi c di ac bd ad bc i c dic di c di cd c d ++-+-==+++-++;3.复数的几何意义:⑴复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 , x 轴 叫做实轴, y 轴 叫做虚轴;实轴上的点表示 实数 ,除原点外,虚轴上的点都表示 纯虚数 .⑵复数都可以由复平面中的点()表示,因而复数和复平面中的点是 一一对应关系;⑶复平面上,两个复数z 12对应的两点Z 12间的距离| Z 1Z 2 1－z 2| .4.复数的模:向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋(∈R)的 绝对值 (或 模 ),即＝＋＝ ;复数模的性质:⑴1|－2|≤1±z 2|≤1|＋2|;⑵2＝||2＝2|＝|2|＝z·;5.常见的结论:⑴i 的运算律4n ＝ 1 , i 41＝ i _, i 42＝ －1 , i 43＝ －i ＋1＋2＋3＝ 0 ;⑵(1＋i)2＝ 2i ;(1－i)2＝ －2i ;＝ i ;＝ －i .⑶设ω＝－±i,则ω3＝ 1 ,ω2＝ ,1＋ω＋ω2＝ 0 .十一算法框图、概率统计基本知识点1.算法是指: 对一类问题机械的,统一的求解方法 .2.算法的特点:⑴确定性;⑵有限性.3.流程图是是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形 ;算法的三种基本结构有①顺序结构 ;②选择结构 ;③循环结构 .6. 一定条件下必然发生的事件叫必然事件,用Ω表示; 一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件,用表示; 在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件叫随机事件,随机事件A的概率记作P(A) .7. 不可能现时发生的两个事件叫互斥事件; 两个事件必有五个发生的互斥事件叫对立事件; 互斥事件概率的加法公式: P()(A)(B) ; 特别地,若事件A和B是对立事件,则其概率关系为P(A)(B)=1 .8.古典概型必然满足的两个条件是:⑴试验中所有可能出现的基本事件有有限个;⑵每个基本事件出现的可能性相同 .9.求古典概型概率的公式为: P(A) = ,求几何概型概率的公式为:P(A) = .10.几何概型必然满足的两个条件是:⑴试验中所有可能出现的基本事件有无限个;⑵每个基本事件出现的可能性相同 .。
高中数学基础知识完全总结(文科类)
高中数学（文科）基础知识整合第一部分 集合1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况； （3）)()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==。
第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222ba b a ab +≤+≤；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。
高三数学文科学习知识点
高三数学文科学习知识点高三数学文科学习知识点11.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N_或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N_(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.高三数学文科学习知识点2一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
文科高考数学必背知识点
文科高考数学必背知识点
一、数学基础知识点
1.关系和映射：包括函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本关系和映射的概念、性质和图像。
2.数列和数列的通项公式：包括等差数列、等比数列、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等。
3.平面几何：包括平面点的坐标、平面上的图形的性质、平面几何中的相似性质和等角性质等。
4.立体几何：包括空间点的坐标、直线和平面的方程、立体几何中的交线、投影和旋转等。
5.概率与统计：包括概率的基本原理、离散型概率分布、连续型概率分布、统计学中的抽样和参数估计等。
二、解题技巧
1.分析题目：理解题目的意思，明确要求解的问题。
2.掌握解题方法：根据题目中的条件和要求，选择合适的解题方法。
3.引入辅助条件：对于复杂的问题，可以引入适当的辅助条件来简化问题的求解过程。
4.整理思路：将题目中给出的条件和要求进行整理和归类，有助于更好地理解问题的本质和解题思路。
5.分步求解：对于较复杂的问题，可以采用分步求解的方法，逐步推进，确保每一步都是正确的。
6.变量替换：对于一些特殊的问题，可以采用变量替换的方法，将问题转化为更简单的形式。
7.画图辅助：对于几何题目，可以通过画图来辅助解题，有助于直观地理解问题的条件和解题的过程。
人教A版高中数学知识点与公式大全(文科)
高中（文科）数学知识点与公式大全（按照教学顺序）必修一第一章集合与函数概念1.集合1.1集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+N ZQR1.2集合间的基本关系性质符号表示空集空集是任何集合的子集A⊆∅空集是任何非空集合的真子集）（∅≠⊄∅A A 相等集合A 与集合B 所有元素相同A=B子集集合A 中的任何一个元素均是集合B 中的元素BA ⊆真子集集合A 中的任何一个元素均是集合B 中的元素,且B 中至少有一个元素在A 中没有1.3集合之间的基本运算符号表示集合表示并集B A ⋃}{B A x x ∈∈x |或交集B A ⋂}{B x A x x ∈∈且|补集AC U }{A U x x ∉∈x |且【重要提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UU A B A B U ⇔=∅⇔=.3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()UUU A B A B ．2.函数及其表示2.1函数与映射的相关概念函数映射两个集合A 、B设A 、B 是两个非空数集设A 、B 是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈Af ：A →B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2.2函数的三要素（1）．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}.（2）．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.（3）．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y ＝kx ＋b (k 为常数且k ≠0)的值域为R .(2)反比例函数ky x=(k 为常数且k ≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)，当a >0时，二次函数的值域为24[,)4ac b a -+∞；当a <0时，二次函数的值域为24(,]4ac b a--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++.2.3分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．3.函数基本性质3.1函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件（1）对于任意的x I ∈，都()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M=（3）对于任意的x I ∈，都()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论M 为最大值M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数；（2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 单调性相反；（3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反；（4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y =的单调性相同；（5）一些重要函数的单调性：①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；②by ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．3.2函数的奇偶性（1）．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数图象关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数图象关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x ()g x ()()f xg x +()()f xg x -()()f xg x (())f g x 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．重难点复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数；第二章基本初等函数2.1指数与指数函数（1）根式概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.（2）分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.（3）指数函数及其性质概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数2.2对数与对数函数（1）对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①N M MN a a a log log )(log +=；②N M N Ma a alog log log -=；③M n M a na log log =(n ∈R)；④b nm b a ma n log log =.(3)换底公式：abb c c a log log log =(a ，b 均大于零且不等于1).（3）对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2.3幂函数(1)幂函数的定义：一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.第三章函数的应用1.函数零点的定义一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点.重点强调：零点不是点，是一个实数；2.零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间（a ,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c也就是方程0)(=x f 的根.3.二分法二分法求零点：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4.注意：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.必修四第一章三角函数1.角的概念1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类按旋转方向不同分类正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2.弧度制及应用1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．弧度制下的有关公式3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记sinαx叫做α的余弦，记cosαyx叫做α的正切，记tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4.同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝sinαcosα2．同角三角函数基本关系式的应用技巧5.三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质6.函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五点是：(0,1)(π，－1)(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)振幅周期频率相位初相(A >0，ω>0)AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ3.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ)A－A第二章平面向量1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b＋c)平行四边形法则减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb 3.平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)4.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a ∥b ，θ＝90°⇔a ⊥b5.平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b投影|a|cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积6.向量数量积的运算律交换律a ·b ＝b ·a 分配律(a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c 数乘结合律(λa)·b ＝λ(a ·b)＝a ·(λb)第三章三角恒等变换1、同角三角函数的基本关系式：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ，2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±4、二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==必修五第一章解三角形【正弦定理】2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）.【正弦定理的变形】①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C===②2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++【三角形常用结论】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔>（2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.（3)面积公式：①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.第二章数列2.1等差数列（1）.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列）①1(n n a a d d +-=为常数）或②11(2)n n n n a a a a n +--=-≥（2）．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d=+-①当0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；（3）．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+①前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（4）、等差中项：⑴若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
2019年高考文科数学必考基础知识复习汇总(完整版)
2019年高考文科数学必考基础知识复习汇总（完整版）高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∉，两者必居其一.∈，或者a M（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A =∅=∅ B A ⊆A B B⊆并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集UA{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到→．B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，那么a Ab B我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞,)a +∞上为增函数，分别在[上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④logaNa N =⑤log log (0,)bn a a n M M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2bq a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p = 0<时) ()p ()2b f a - ③若2b q a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学知识点总结大全(文科)
高中数学知识点总结第一章——集合与简易逻辑集合——知识点归纳定义：一组对象的全体形成一个集合特征：表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}分类：有限集、无限集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ关系：属于∈、不属于、包含于或、真包含于、集合相等＝运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算CUA＝且x∈U}，U为全集性质：；；若A，，则；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝∪B＝；A∩CUA＝φ；A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A；＝(CUA)∩(CU方法：韦恩示意图, 数轴分析注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是④区分集合中元素的形式：如；；；；；；⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集1⑥符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系绝对值不等式——知识点归纳1绝对值不等式与型不等式与型不等式的解法与解集：不等式的解集是不等式的解集是或不等式的解集为不等式的解集为或解一元一次不等式①②3韦达定理：方程（）的二实根为x1、x2， 2则且①两个正根，则需满足，②两个负根，则需满足，③一正根和一负根，则需满足4222 对于一元二次不等式或，设相应的一元二次方程的两根为x1、x2且，，则不等式的解的各种情况如下表：方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决注意：含参数的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立问题含参不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况简易逻辑——知识点归纳命题可以判断真假的语句；逻辑联结词或、且、非；简单命题不含逻辑联结词的命题；复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题三种形式p或q、p且q、非p真假判断p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真, 否则为假；非p，真假相反原命题若p则q；逆命题若q则p；若则；若则；3反证法步骤充要条件条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，第二章——函数函数定义——知识点归纳1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C 和对应法则f数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同3映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一1函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系2求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；4（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例1（1）已知x1，求f(x)；3x（2）已知，求f(x)；（3）已知f(x)是一次函数，且满足，求f(x)；2x1x111313解：（1）∵，xxxx（4）已知f(x)满足，求f(x)∴（或）32，（）x222则，∴，∴（2）令（3）设，则，∴，，∴（4）①， 1x113，得②，xxx3①②得，∴把①中的x换成注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法定义域和值域——知识点归纳5由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知f(x)的定义域，其复合函数的定义域应由解出3求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为，值域为；x二次函数的定义域为R，；当a>0时，值域为当a<0时，值域为6②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：利用平均值不等式公式来求值域；，x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：单调性——知识点归纳1函数单调性的定义：2 证明函数单调性的一般方法:①定义法：设且；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号②用导数证明：若f(x)在某个区间A内有导数，则，（’3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法4复合函数在公共定义域上的单调性：①若f与g的单调性相同，则为增函数；注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 5①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：7增函数增函数g(x)是增函数；减函数减函数g(x)是减函数；增函数减函数g(x)是增函数；奇偶性——知识点归纳（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3f(x)为偶函数的定义域包含0，则使定义域不受影响；6 7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，8设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇1形式：；2 30，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4y轴对称，因此根据图象的对称性可以判8断函数的奇偶性5T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期反函数——知识点归纳1反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与x)互为反函数，函数的定义域为A、值域为B，则；，3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对4求反函数的一般方法：（1）由解出，（2）将中的x,y互换位置，得二次函数——知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，2a顶点坐标是用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法)有三种形式，即（一般式），（零点式）和3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0)9,则(2)x1>α,x2>α,则则则(5）若f(x)=0在区间的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点无实根的解集为或者是R;②的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是R;③的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根的解集为或者是指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(a)n=a②当n为奇数时，a=a；当n为偶数时，⑬根式的基本性质：，（）2分数指数幂的运算性质：10且x4指数式与对数式的互化：重要公式：，对数恒等式对数的运算法则如果有7对数换底公式：，8两个常用的推论:①，②（a, b > 0且均不为1m9对数函数的性质：11与对数函数互为反函数x11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（定义法）（转化法）取对数法))/logab(换底法)函数图象变换——知识点归纳1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿x轴方向向左或向右平移|a|个单位即可得到；12（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿x轴方向向上或向下平移|a|个单位即可得到①②③④左移h右移h上移h下移h到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数y的图像关于原点对称即可得到；①轴y轴②直线③④y=f(x) 直线原点⑤翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留的x轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横13坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的a倍得到；（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到a①②数列定义——知识点归纳（1）一般形式：(2)通项公式：(3)前n项和：及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系：等差数列——知识点归纳1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2等差数列的判定方法:②定义法：对于数列，若常数)，则数列③等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列3等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和: ⑤⑥对于公式2整理后是关于n5等差中项:⑥如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：或214在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质: 如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且，公差为d，则有⑧对于等差数列，若，则也就是：Sn是其前n项的和，⑨若数列是等差数列，那么Sk，，，*6奇数项和与偶数项和的关系：⑩设数列是等差数列，S奇是奇数项的和，项的和，则有如下性质：前n项的和SnS偶是偶数项项的和，Sn是前奇偶nd，其中d为公差；222当n为偶数时，S偶奇当中，奇偶中，奇为奇数时，则中，偶S奇偶（其中a是等差数列的中间一项），中奇偶S奇偶S奇S偶7前n项和与通项的关系：⑾若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则等比数列——知识点归纳如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）152等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b也就是，如果是的等比中项，那么3等比数列的判定方法：，即①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列an②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列 2 4等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为或着等比数列的前n项和：3当时，当时，前n项和必须具备形式Sn6等比数列的性质：如果ann项，am是等差数列的第m项，且，则有②，若，则也就是：如图所示：③若数列是等比数列，Sn是其前n项的和，N*，那么Sk，，成等比数列如下图所示：1等差数列的前n项和公式：16当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式2等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，3拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5分裂项法求和，如（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6反序相加法求和，如an=nC100 n7求数列{an}的最大、最小项的方法：①an+1-如an= -2n2+29n-如②③an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如an=数列的综合应用——知识点归纳1通项与前n项和的关系：2迭加累加法：若，则，a3，………，17迭乘累乘法：若，则，，………，a14裂项相消法：错位相减法：是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列ncn则所以有通项分解法：7等差与等比的互变关系：成等差数列成等比数列n成等差数列成等差数列成等比数列成等差数列成等比数列成等比数列成等差数列成等比数列无穷递缩等比数列的所有项和：成等比数列第四章三角函数181角和终边相同：几种终边在特殊位置时对应角的集合为：3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：180 1弧度弧长公式：（是圆心角的弧度数）5 扇形面积公式：任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为，那么；；；rrxxrr；；（192 三角函数的符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值y对于第r一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；②余弦值x对r于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；③正切值二、四象限为负（x,yy对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第x说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
高考数学知识复习宝典(文科)
高三复习宝典数学（文）如何学好高中数学一、课内重视听讲，课后及时复习.新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法.上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同.特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点.首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用不清楚立即翻书的方法.认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应养成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决.在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系.二、适当多做题，养成良好的解题习惯.要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路.刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律.对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正.在平时要养成良好的解题习惯.让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如.实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异.如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的.三、调整心态，正确对待考试.首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试所占得绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目，能多做点就多做点；认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳.调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪.特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感.在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度.对于一些容易的基础题要有十二分的把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥.由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去.目录1集合与简易逻辑 (1)2函数 (2)3导数 (10)4数列 (14)5三角函数 (17)6解三角形 (21)7平面向量 (22)8不等式 (25)9立体几何 (28)10直线与圆 (31)11圆锥曲线 (35)12复数 (43)13概率和统计 (44)14选讲部分 (47)高考文科数学必会知识点总结§1集合与简易逻辑一、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”或“⊆，”或“̹”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现： 面与直线(面)的关系 .（2）A B ：取A ，B 公共部分 ；A B ：取A 与B 的全部；U C A ：在全集U 中，除了A 以外的部分.（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ，();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==（摩根定律）切记：A B A B A ⊆⇔⋂= A B A B B ⊆⇔⋃=.空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，解题时别忽略空集的情况.（4）集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数是21n -，所有非空真子集的个数是22n -.二、常用逻辑用语：1、四种命题：（1）原命题：若p 则q ； （2）逆命题：若q 则p ；（3）否命题：若p ⌝则q ⌝； （4）逆否命题：若则注意：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价.判断命题真假时注意转化.2、注意命题的否定与否命题的区别：命题：若p 则q ，否定形式是：若p 则q ⌝； 否命题是：若p ⌝则q ⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝ 或q ⌝”.3、逻辑联结词：（1）且(and) ：命题形式p q ∧；（2）或（or ）： 命题形式p q ∨；（3）非（not ）：命题形式p ⌝.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”4、充要条件 由条件可推出结论，则条件是结论成立的充分条件； 由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件.例如：A B ⇒，则A 是B 的充分条件；B A ⇒，则A 是B 的必要条件；A B ⇔，则A 是B 的充要条件；A B ≠>，B A ≠>，则A 是B 的既不充分也不必要条件. 谨记：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围5、全称命题与特称命题：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示.含有全体量词的命题，叫做全称命题.短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.注意：记住符号的含义，任意:∀,存在：∃全称命题:p )(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定:p ⌝ )(,x p M x ⌝∈∃. 特称命题:p )(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定:p ⌝ )(,x p M x ⌝∈∀；§2函数和导数一、函数的性质1、常见函数定义域：（1）分母不能为零（2）偶次根号下的数大于等于零（3）0(0)x x ≠（4）log (0,,0,1)a y x x a a =>>≠2、抽象函数定义域：求复合函数()()y f t t q x ==，的定义域的方法：①若()y f t =的定义域为(),a b ，则解不等式得()a b q x <<即可求出()()y f q x =的定义域； ②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则求出()g x 的值域即为()f t 的定义域.注意：此类题型常考于复合函数中已知定义某个范围，然后利用函数性质求解，大家很容易忽略定义域！3、求函数的值域常见方法：（1）直接观察法：20x ≥，0x ≥，10x≠0≥，1sin 1x -≤≤，0x a >等等. （2）配方法：主要针对二次函数2()y a x h c =-+（3）换元法：将函数中的其中一个量看成一个整体设为t ，然后要注意t 的取值范围.（4）分离常数法：形如adb ax b ac y cxd c cx d -+==+++等， （5）数形结合法：主要针对含有绝对值的函数，需要取绝对值讨论.（6）判别式法：主要针对分子分母含有二次函数类型.4、函数的单调性(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠，那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.（3）奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.（4）导数法：求导判断（5）复合函数：记住“同增异减”.熟记以下几个结论:(1) ()f x （2）()f x 与()f x -的单调性相反； （3）()f x 与1()f x 的单调性相反. 5、函数的奇偶性一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．常见偶函数有：2x ，x ，cos x ，x x a a -+等等.奇函数有：x ，3x ，1x ，sin x ，x x a a --，1log 1a x x+-，log (a x 等等. 定义的应用：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.奇偶函数的常见性质：（1）如果奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =；（2）如果函数()f x 的定义域不关于原点对称，那么()f x 一定是非奇非偶函数;（3）如果()f x 既是奇函数又是偶函数，那么()f x 的表达式是()00f =.（4）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（5）在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．判断函数奇偶性的步骤：（1）首先确定定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定()f x 与()f x -的关系；（3）下结论.利用奇函数小技巧：形如()()g x f x a =+（()f x 是奇函数，a 是常数）则：（1）()()2g x g x a +-=； （2）若()g m k =，则()2g m a k -=-5、函数的周期性(1)周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．T 的整数倍都是()f x 的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．常见函数周期求法：(1)若对于R 上的任意的x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称．(2)若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=，且()()2f b x f x -= (其中a b <)，则：()y f x = 是以2()b a -为周期的周期函数.(3)若()()f x a f x +=-或()1()f x a f x +=或()1()f x a f x +=-，那么函数()f x 是周期函数，其中一个周期为2T a =；(3)若()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数()f x 是周期函数，其中一个周期为||2T a b =-. 必背知识：（1）若()()f x a f x b +=+成立，则函数)(x f 的周期是：T a b =-（2）若)()(x b f a x f -=+成立，则函数)(x f 的对称轴是：2b a x +=（3）若()()f x a f b x +=--成立，则函数)(x f 的对称中心是：(,0)2a b +（4）一个重要的函数双勾函数：函数(0,0)b y ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.二、函数的图象1．基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数)0,0(>>+=b a xb ax y .2．图象的变换(1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减()y f x =的图象向左平移(0)a a >个单位得到函数()y f x a =+的图象;()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位得到函数()y f x b =-的图象;()y f x =的图象向上(下)平移(0)h h >个单位得到函数()y f x h =±的图象. (2)对称变换:()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称;()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称;()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称;(3)翻折变换：①|()|y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留x 轴上方部分，并把x 轴下方部分翻折到x 轴的上方即可.②(||)y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留y 轴右侧部分，并把y 轴右侧部分翻折到y 轴的左侧即可.三、函数的零点及二分法(1)函数零点的定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.(2)几个等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a b ,内有零点，即存在()c a b ∈,，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义：对于在区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下：①确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度ε；②求区间()a b ,的中点c ；③计算()f c ；(ⅰ)若()0f c =，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若()()0f a f c ⋅<，则令b c = (此时零点0()x a c ∈,)；(ⅲ)若()()0f c f b ⋅<，则令a c = (此时零点0()x c b ∈,)．④判断是否达到精确度ε.即：若||a b ε-<，则得到零点近似值()a b 或；否则重复②③④.四、函数、方程与不等式1、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a =0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b .若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布.设21,x x 为方程)0(,0)(>=a x f 的两个实根.①若,,21m x m x ><则0)(<⇔m f ；②当在区间),(n m 内有且只有一个实根，时，(1)()()0(2)f m f n ⋅<⎧⇔⎨⎩考虑端点，验证端点。
高考数学知识复习宝典(文科)
高三复习宝典数学（文）复习寄语：如何学好高中数学一、课内重视听讲，课后及时复习.新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法.上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同.特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点.首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用不清楚立即翻书的方法.认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应养成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决.在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系.二、适当多做题，养成良好的解题习惯.要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路.刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律.对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正.在平时要养成良好的解题习惯.让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如.实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异.如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的.三、调整心态，正确对待考试.首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试所占得绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目，能多做点就多做点；认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳.调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪.特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感.在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度.对于一些容易的基础题要有十二分的把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥.由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去.目录1集合与简易逻辑 (1)2函数 (2)3导数 (10)4数列 (14)5三角函数 (17)6解三角形 (21)7平面向量 (22)8不等式 (25)9立体几何 (28)10直线与圆 (31)11圆锥曲线 (35)12复数 (43)13概率和统计 (44)14选讲部分 (47)高考文科数学必会知识点总结§1集合与简易逻辑一、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”或“⊆，”或“̹”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现： 面与直线(面)的关系 .（2）A B ：取A ，B 公共部分 ；A B ：取A 与B 的全部；U C A ：在全集U 中，除了A 以外的部分.（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ，();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==（摩根定律）切记：A B A B A ⊆⇔⋂= A B A B B ⊆⇔⋃=.空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，解题时别忽略空集的情况.（4）集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数是21n -，所有非空真子集的个数是22n -.二、常用逻辑用语：1、四种命题：（1）原命题：若p 则q ； （2）逆命题：若q 则p ；（3）否命题：若p ⌝则q ⌝； （4）逆否命题：若则注意：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价.判断命题真假时注意转化.2、注意命题的否定与否命题的区别：命题：若p则q，否定形式是：若p则q⌝；否命题是：若p⌝则q⌝.命题“p或q”的否定是“p⌝且q⌝”；“p且q”的否定是“p⌝”.⌝或q Array 3、逻辑联结词：（1）且(and) ：命题形式p q∧；（2）或（or）：命题形式p q∨；（3）非（not）：命题形式p⌝.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”4、充要条件由条件可推出结论，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件.例如：A B⇒，则A是B的充分条件；⇒，则A是B的必要条件；B A⇔，则A是B的充要条件；A B≠>，则A是B的既不充分也不必要条件.≠>，B AA B谨记：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围5、全称命题与特称命题：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示.含有全体量词的命题，叫做全称命题.短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.注意：记住符号的含义，任意:∀,存在：∃全称命题:p )(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定:p ⌝ )(,x p M x ⌝∈∃. 特称命题:p )(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定:p ⌝ )(,x p M x ⌝∈∀；§2函数和导数一、函数的性质1、常见函数定义域：（1）分母不能为零（2）偶次根号下的数大于等于零（3）0(0)x x ≠（4）log (0,,0,1)a y x x a a =>>≠2、抽象函数定义域：求复合函数()()y f t t q x ==，的定义域的方法：①若()y f t =的定义域为(),a b ，则解不等式得()a b q x <<即可求出()()y f q x =的定义域； ②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则求出()g x 的值域即为()f t 的定义域.注意：此类题型常考于复合函数中已知定义某个范围，然后利用函数性质求解，大家很容易忽略定义域！3、求函数的值域常见方法：（1）直接观察法：20x ≥，0x ≥，10x≠0≥，1sin 1x -≤≤，0x a >等等. （2）配方法：主要针对二次函数2()y a x h c =-+（3）换元法：将函数中的其中一个量看成一个整体设为t ，然后要注意t 的取值范围.（4）分离常数法：形如adb ax b ac y cxd c cx d -+==+++等，（5）数形结合法：主要针对含有绝对值的函数，需要取绝对值讨论.（6）判别式法：主要针对分子分母含有二次函数类型.4、函数的单调性(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠，那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.（3）奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.（4）导数法：求导判断（5）复合函数：记住“同增异减”.熟记以下几个结论:(1) ()f x （2）()f x 与()f x -的单调性相反； （3）()f x 与1()f x 的单调性相反. 5、函数的奇偶性一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．常见偶函数有：2x ，x ，cos x ，x x a a -+等等.奇函数有：x ，3x ，1x ，sin x ，x x a a --，1log 1a x x+-，log (a x +等等. 定义的应用：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.奇偶函数的常见性质：（1）如果奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =；（2）如果函数()f x 的定义域不关于原点对称，那么()f x 一定是非奇非偶函数;（3）如果()f x 既是奇函数又是偶函数，那么()f x 的表达式是()00f =.（4）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（5）在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．判断函数奇偶性的步骤：（1）首先确定定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定()f x 与()f x -的关系；（3）下结论.利用奇函数小技巧：形如()()g x f x a =+（()f x 是奇函数，a 是常数）则：（1）()()2g x g x a +-=； （2）若()g m k =，则()2g m a k -=-5、函数的周期性(1)周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．T 的整数倍都是()f x 的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．常见函数周期求法：(1)若对于R 上的任意的x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称．(2)若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=，且()()2f b x f x -= (其中a b <)，则：()y f x = 是以2()b a -为周期的周期函数.(3)若()()f x a f x +=-或()1()f x a f x +=或()1()f x a f x +=-，那么函数()f x 是周期函数，其中一个周期为2T a =；(3)若()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数()f x 是周期函数，其中一个周期为||2T a b =-. 必背知识：（1）若()()f x a f x b +=+成立，则函数)(x f 的周期是：T a b =-（2）若)()(x b f a x f -=+成立，则函数)(x f 的对称轴是：2b a x +=（3）若()()f x a f b x +=--成立，则函数)(x f 的对称中心是：(,0)2a b +（4）一个重要的函数双勾函数：函数(0,0)b y ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.二、函数的图象1．基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数)0,0(>>+=b a xb ax y .2．图象的变换(1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减()y f x =的图象向左平移(0)a a >个单位得到函数()y f x a =+的图象; ()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位得到函数()y f x b =-的图象; ()y f x =的图象向上(下)平移(0)h h >个单位得到函数()y f x h =±的图象.(2)对称变换:()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称; ()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称; ()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称;(3)翻折变换：①|()|y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留x 轴上方部分，并把x 轴下方部分翻折到x 轴的上方即可.②(||)y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留y 轴右侧部分，并把y 轴右侧部分翻折到y 轴的左侧即可. 三、函数的零点及二分法(1)函数零点的定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. (2)几个等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a b ,内有零点，即存在()c a b ∈,，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义：对于在区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： ①确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度ε； ②求区间()a b ,的中点c ； ③计算()f c ；(ⅰ)若()0f c =，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若()()0f a f c ⋅<，则令b c = (此时零点0()x a c ∈,)； (ⅲ)若()()0f c f b ⋅<，则令a c = (此时零点0()x c b ∈,)．④判断是否达到精确度ε.即：若||a b ε-<，则得到零点近似值()a b 或；否则重复②③④. 四、函数、方程与不等式1、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a =0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b .若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布.设21,x x 为方程)0(,0)(>=a x f 的两个实根. ①若,,21m x m x ><则0)(<⇔m f ； ②当在区间),(n m 内有且只有一个实根，时，(1)()()0(2)f m f n ⋅<⎧⇔⎨⎩考虑端点，验证端点。
1.高中数学(文科)知识要点及练习doc
高中数学知识要点（文）一、集合与常用逻辑用语（一）1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：(2)元素与集合的关系是：，用符号表示．(3)集合的表示法：．(4)常用数集：自然数集；正整数集(或)；整数集；有理数集；实数集.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则(或)(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的，是任何非空集合的即∅⊆A，∅ B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|}．(2)交集：A∩B＝{x|}．(3)补集：∁U A＝{x|}，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔，A∩B＝A⇔②A∩A＝，A∩∅＝；③A∪A＝，A∪∅＝；④A∩∁U A＝，A∪∁U A＝，∁U(∁U A)＝练习1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于．2．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()．A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有个5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.（二）1．命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断的陈述句叫做命题．其中判断为的语句叫真命题，判断为的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题：原命题，若p，则q逆命题否命题逆否命题(2)四种命题间的逆否关系原命题等价于，逆命题等价于(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的(3)集合法：若A⊆B，则A是B的条件或B是A 的条件；若A＝B，则A是B的条件．练习1．以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b3．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的条件4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.二、函数与导数（一）函数：1，(1)函数的三要素：(2)相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：,3．分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．两个区别(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，若A，B不是数集，则这个映射便不是函数．练习：1．函数f (x )＝4－x x －1的定义域为 2．下列各图形中，是函数图象的是( )．3．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡ f ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝ 5．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 4．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．5．函数的最值设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足；若对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ，则M 为最大值；若对于任意x ∈I ，都有 ；存在x 0∈I ，使得 则M 为最小值注意： 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式：设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①f(x1)－f(x2) x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是函数；f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是函数．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．练习：1．函数f(x)＝1－1x－1()．A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减2．若y＝(2k＋1)x＋b是R上的减函数，则有3．如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围4．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()．A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|5．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是（二）．奇、偶函数的概念(1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且，则这个函数叫做奇函数．(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且，则这个函数叫做偶函数．(3)奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)；若f(－x)＝则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是 函数又是 函数；若f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )，则f (x )既不是奇函数又不是偶函数．即非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．两个性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．练习；1．下列函数中，其中是偶函数的是( )．A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 3－2xC ．f (x )＝1x 2D ．f (x )＝x 4＋x 32．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )． A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 133．“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的( )．A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是 ( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________.(三)．根式；概念①⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n a n ＝ .②当n 为奇数时，n a n ＝当n 为偶数时，n a n ＝ |a |＝｛③负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)．②零指数幂：a 0＝ (a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝ (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂转化为根式：a m n ＝ (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)． ⑤负分数指数幂转化为根式：a －mn ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝ (a ＞0，r 、s ∈Q )．②(a r )s ＝ (a ＞0，r 、s ∈Q )．③(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．3．指数函数的图象与性质2．已知函数f(x)＝4＋a(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是3．函数f(x)＝1－2x的定义域是4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于5．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．（四）．对数的概念(1)定义：如果a x＝N(a＞0，a≠1)，那么数x就叫做以a 为底N的对数，记作，其中a叫做对数的数，N叫做数．即a x＝N⇔x＝log a N(a＞0，a≠1)．(2)对数的性质①零和负数无对数；②log a1＝(a＞0，a≠1)；③log a a＝(a＞0，a≠1)；④a log aN＝（a＞0，a≠1)；⑤log a a m＝(a＞0，a≠1)．(3)对数的运算性质；如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①log a(M·N)＝；②log a M N＝；③log a M n＝(n∈R)．(4)将以10为底的对数叫常用对数，记为，次e＝2.718 28…为底的对数叫自然对数，记作(5)换底公式log a b＝(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0)，且①log a b·log b a＝；②log an b m＝2．对数函数的定义、图象与性质(1)对数函数的定义一般地，函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫做对数函数．3.指数函数y ＝a (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 练习；1．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为2．已知5lg x ＝25，则x =3．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则 a ＝ ，b ＝4．(2011·北京)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________．（五）1．二次函数的基本知识(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是 .(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝ ，顶点坐标是. ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在上 递减，在 上递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝ ；②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当x ＝ 时，f (x )max ＝4ac －b 24a .③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：；②顶点式：；③两根式：．2．幂函数(1)幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x ＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x ＝(a为常数)．两种问题；与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是练习；1．下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝1x2C．y＝x2＋x D．y＝－1x2．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是3．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．4．函数的图象是()．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.（六）．作图：描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)；④画出函数的图象．2．图象变换法(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．(3)翻折变换①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象．②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．(4)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的1 a.练习1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s看作时间t的函数，其图象可能是()．2．函数f(x)＝x＋|x|x的图象是()．3．下列函数图象中不正确的是()．4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()．A．1 B．－1 C.－1－52D.－1＋525．函数y＝3x－1x＋2的图象关于________对称．（七）函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在定理如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系2．对于在区间[a，b]上连续不断、且f(a)·f(b) 0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．练习1．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )．2．函数f (x )＝x －4x 的零点个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．无数个3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点为2，则g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )．A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－124．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )．A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，经第一次计算得f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________，这时可判断x 0∈________.（八）．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝(x＞0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝(x＞0，a＞0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝(a，b为常数，a≠0)；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．2．（九）．平均变化率(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率可以表示为f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)函数f(x)在x0附近的平均变化率Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝li m Δx →0 Δy Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δ x )－f (x 0)Δ x. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )上在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式若f (x )＝c ，则f ′(x )＝ ； 若f (x )＝x n (n ∈Q )，则f ′(x )＝ ；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝ ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝ ； 若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝ （a ＞0且a ≠1）；若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝ ；若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝ (a ＞0且a ≠1)； 若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ .5．导数的运算法则若f ′(x )、g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝ ；(2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝ (g (x )≠0)． 一个区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线唯一，当f ′(x 0)存在时，切线的斜率k ＝f ′(x 0)．曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．练习1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为 ( )．A ．1 B.2 C ．－1D ．02．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )．A ．1B ．2C ．e D.1e3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )．A ．(1,0)或(－1，－4)B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(－1，－4)4．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )．A ．－eB ．－1C ．1D ．e5．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝______；函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．（十）函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )为 函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极值；②如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．两个条件(1)f ′(x )＞0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．练习1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )．A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)2．函数y ＝1＋3x －x 3有( )．A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值3D ．极小值－2，极大值23．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )．4．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )．A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6435．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．三、三角函数，解三角形（一）任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为②按终边位置不同分为 角和 角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成 (k ∈Z )．(3)弧度制①1弧度的角： 叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为 数，负角的弧度数为 数，零角的弧度数为 ，|α|＝ ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值l r与所取的r 的大小 关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度．⑤弧长公式：，扇形面积公式：S 扇形＝ ＝ .2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，r= ,那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．两个规律(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪ β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪ β＝k π2，k ∈Z .三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．练习：1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为()．A．－55 B.255C．－255D．－125．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.（二）1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：(2)商数关系：；（3）倒数关系2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝ ，cos(α＋2k π)＝ ，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ . 练习；1．已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )． A.43 B.34 C ．±43 D ．±344．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.（三） “五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质两条规律(1)周期性；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性；三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．练习；1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )．A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数4．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 5．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为________． （四）1，函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时， 叫做振幅，T ＝ 叫做周期，f ＝ 叫做频率， 叫做相位， 叫做初相．一种方法；y ＝A sin(ωx ＋φ)+k,在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．练习；1． y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82．已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6 D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )．A.23B.43C.32D ．35．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.（五）1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝ ；(2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝ ；(3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝ ；(4)S (α－β)：sin(α－β)＝ ；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝ ；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝ .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α：sin 2α＝ ；(2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ；(3)T 2α：tan 2α＝ .3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧； (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．练习；1．下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )．A ．－22 B.22 C.32D ．13．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53B ．－19 C.19 D.534．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．A．－79B．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.（六）1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝∶∶；(2)a＝，b＝，c＝；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝，b2＝，c2＝余弦定理可以变形为：cos A ＝，cos B＝，cos C ＝.3．S△ABC＝12ab＝12bc＝12sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则一条规律；在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.练习；1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c 等于()．A．52B．102 C.106 3D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为()．A．30°B．45°C．60°D．90°3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为()．A．33B．23C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．（七）1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．练习；1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522 m2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )．A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．四、平面向量（一）1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度等于 的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于 的向量．(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且 相同的向量．(6)相反向量：长度相等且 相反的向量．2．向量的线性运算加法；△ABC 中，AB→+BC →= ; 平行四边形ABCD 中，AB→+AC →= 减法，△ABC 中，AB→－AC →= ，若D 为BC 边中点，则有；3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb .4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .练习；1． D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD→等于( )．A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA → 2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|.正确的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE→ C.AD → D.CF → 5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.（二）1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，λa ＝ ，|a |＝ .(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB→＝ ，|AB →|＝ .3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当 时，向量a ，b 共线．向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．练习；1．已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )．A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )．A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b3．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．24．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6)5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.（三）1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝ ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积即|b|cos θ= ．4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则(1)e ·a ＝a ·e ＝ ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝ ；(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝a·a；(4)cos θ＝；(5)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝；(2)|a|＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔.→＝a，则|a| 7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝．两个探究；(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范； (1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c 与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB→与BC→的夹角应为120°，而不是60°.练习；1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．A.π3 B.π4 C.2π3D.3π42．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．m(a＋b)＝m a＋m b D．(a·b)·c＝a·(b·c)3．已知m∈R，a＝(m,1)，若|a|＝2，则m为()．A．1 B. 3 C．±1 D．±34．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．A．9 B．4 C．0 D．－4 5．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝________.（四）1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．。
高考数学知识宝典(文科)
高考数学知识宝典（文科）1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
例如：已知集合φ≠-≤<+=<≤-=}121|{},72|{m x m x F x x E ，若E F E =⋃则实数m 的取值范围是（ ）A.)4,3[- B.)4,2( C. ]4,2( D. )4,(-∞ 3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。
） 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。
7.复数的题目一定要做对，细心地做，就是考察复数概念，复数相等的充要条件，复数的代数运算和几何意义，共轭复数，复数的模等等8.程序框图能百分百全对吗？拿分有把握？了解算法的含义和思想，知道算法的五大特征：概括性、逻辑性、不唯一性、普遍性.看懂有三个结构的框图：顺序、条件分支、循环.从特殊入手执行一下程序即可. 9. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
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a ( y) 0 时，由于 x, y 为实数，故必须有
b2( y) 4 a( y ) c( y ) 0 ，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
f : A B．
②函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （ 2）区间的概念及表示法
①设 a, b 是两个实数，且 a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 [ a, b] ；满足 a x b 的实数 x 的集
合叫做开区间， 记做 ( a, b) ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间， 分别记做 [ a,b) ， (a ,b] ；
（1）
(2)若 A
A （ A 为非空子集） B 且 B C ，则 A C
示意图
A(B)
B
A
或
BA
A 中的任一元素都属
集合
(1)A B
相等
AB
于 B ，B 中的任一元素 (2)B A
A(B)
都属于 A
（ 7）已知集合 A 有 n(n 1) 个元素， 则它有 2n 个子集， 它有 2n 1个真子集， 它有 2n 1个非空子集， 它有 2n 2 非空真子集 .
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知识宝典（数学篇—高中版）目录必修1 ............................................................................................... - 1 -一.集合 ..................................................................................... - 1 -二.函数 ..................................................................................... - 1 -必修2 ............................................................................................... - 5 -三.直线和圆的方程.................................................................. - 5 -四.直线、平面、简单几何体.................................................. - 8 -必修3 ............................................................................................. - 10 -五、概率与统计..................................................................... - 10 -必修4 ............................................................................................. - 11 -六.三角函数............................................................................ - 11 -七.平面向量............................................................................ - 13 -必修5 ............................................................................................. - 15 -八.不等式 ............................................................................... - 15 -九.数列 ................................................................................... - 17 -文科选修1-1 .................................................................................. - 20 -十.简易逻辑............................................................................ - 20 -十一.圆锥曲线方程................................................................ - 21 -十二.导数 ............................................................................... - 26 -文科选修1-2 .................................................................................. - 27 -十三.复数 ............................................................................... - 27 -必修1一.集合1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.2.集合的性质：①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆.②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =；A B C A B C =（）（）；A B C A B C =（）（）. ⑤A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=∅U C A B R ⇔=.⑥含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n-. 二.函数1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).②一一映射f :A B →：⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象.2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集。
据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>且1≠；零指数幂的底数0≠)； 实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②换元法(特别注意新元的范围).③不等式法；④单调性法；⑤数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑥导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()1(()0)f x f x f x -=±≠；⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0f x =定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移--“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.⑶对称变换：函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；若函数()y f x =对x R ∈时，()(f ax f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a bx +=对称；9.函数的周期性(必修4)：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；10.对数：⑴log log nn a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈； ⑵对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>；⑶log a (M ∙N )=log a M +log a N ；log a (M N )=log a M −log a N ；1log log a a n M =； ⑷对数换底公式log log log b b a Na N =(0,1,0,1)a ab b >≠>≠；11.方程()k f x =有解k D ⇔∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ⇔≥最大值,()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值.12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠；③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求()g x 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0f u g x u h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0()0f a f b ≥⎧⇔⎨≥⎩(或()0()0f a f b ≤⎧⎨≤⎩)； 18.函数(0,)ax b cx dy c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d c x =-(由分母为零确定)和直线a cy =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c -；③反函数为b dx cx ay --=； 19.函数(0,0)b x y ax a b =+>>：增区间为(,)-∞+∞,减区间为[-.必修2三.直线和圆的方程1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan ()k παα=≠ 3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.⑶两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为112121y y x x y y x x ----=,它不包括垂直于坐标轴的直线.⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1xy a b +=,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)；⑵相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为 0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.6.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式：d =；两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是：d =.7.设三角形ABC ∆三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123(,)33x x x y y y G ++++； 8.有关对称的一些结论⑴点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是：(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a .⑵曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=；②x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =：(,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=.10.⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程： 22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)DE--,的圆 二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且220,40B D E AF =+->).⑶以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=；11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外；②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆内；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上.12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为：200x x y y r +=；过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=.13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线.14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离 ②d r =⇔相切 ③d r <⇔相交15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切；||R r d R r -<<+⇔两圆相交；||d R r =-⇔两圆相内切；||d R r <-⇔两圆内含；0d =⇔两圆同心.16.过圆221110x y D x E y F ++++=与222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为：2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=. 当1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.四.直线、平面、简单几何体1.定理与公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。