第18章 平行四边形 小结与复习

第十八章小结与复习

【学习目标】

1．回顾平行四边形特殊四边形的性质与判定，三角形的中位线及其性质，直角三角形斜边上的中线的性质．2．总结本章的重要思想方法．

【学习重点】

平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定．

【学习难点】

几种特殊平行四边形之间的联系和区别．、

情景导入生成问题

知识结构我能建：

自学互研生成能力

知识模块一平行四边形的性质与判定

【自主探究】

四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(D) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC

【合作探究】

如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.

(1)求证：BO＝DO；

(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AD的长．

解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∴∠ODF ＝∠OBE .

在△ODF 与△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODF ＝∠OBE ，∠DOF ＝∠BOE ，DF ＝BE ，

∴△ODF ≌△OBE (AAS)，∴BO ＝DO ；

(2)∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝90°.∵∠A ＝45°，∴∠DBA ＝∠A ＝45°.

∵EF ⊥AB ，∴∠G ＝∠A ＝45°，∴△ODG 是等腰直角三角形．

∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴DF ⊥OG ，∴OF ＝FG ，△DFG 是等腰直角三角形．

∵△ODF ≌△OBE (AAS)，∴OE ＝OF ，∴GF ＝OF ＝OE ，即2FG ＝EF .

∵△DFG 是等腰直角三角形，∴DF ＝FG ＝1，∴DG ＝2＝DO ，∴在等腰Rt △ADB 中，DB ＝2DO ＝22＝AD ，∴AD ＝2 2.

知识模块二 特殊四边形的性质与判定

【自主探究】

如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为20．

【合作探究】

如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10 cm的等边三角形，且B，D，C，E都四点在同一直线上，连接AD，CF.

(1)求证：四边形ADFC是平行四边形；

(2)若BD＝3 cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1 cm/s的速度运动，设△ABC运动时间为t s，当t＝13时，请判断四边形ADFC的形状并求出它的面积．

解：(1)∵△ABC和△DEF是两个边长相等的等边三角形，∴AC＝DF，∠ACD＝∠FDC＝60°，∴AC∥DF，∴四边形ADFC是平行四边形；

(2)当t＝13时，四边形ADFC是矩形．理由如下：当t＝13时，B与E重合，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴∠ABC＝∠FBD＝60°，∴∠ABD＝120°，∴∠FBD＋∠ABD＝180°，即A，B，F三点在同一直线上．∵△ABC和△DEF是两个边长等于10 cm的等边三角形，

∴AB＝BC＝BD＝BF＝10 cm，

∴AF＝CD＝20 cm，∴▱ADFC是矩形，∴∠CFD＝90°，则CF＝CD2－DF2＝202－102＝103(cm)，∴S ＝10×103＝1003(cm2)．

矩形ADFC

知识模块三四边形的综合应用

【自主探究】

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；

②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是(D)

A．②③B．②④

C．①③④ D．②③④

【合作探究】

如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在的AD延长线上，且P A＝PE，PE交CD于F.

(1)证明：PC＝PE；

(2)求∠CPE的度数；(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.

∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP，∴P A＝PC.

∵P A＝PE，∴PC＝PE；

(2)∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP.

∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠FCP＝∠E.

∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°，∴∠CPE＝∠EDF＝90°；

(3)AP＝CE.理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，

∴∠ADC＝120°.∴∠EDC＝60°.同理可得∠CPE＝∠EDF＝60°.

又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形．∵P A＝PE，∴AP＝CE.

交流展示生成新知

【交流预展】

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】

知识模块一平行四边形的性质与判定

知识模块二特殊四边形的性质与判定

知识模块三四边形的综合应用

检测反馈达成目标

【当堂检测】

1．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D)

A．矩形B．对角线相等的四边形

C．菱形D．对角线互相垂直的四边形

2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长是8．

【课后检测】见学生用书

课后反思查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________