2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二)数学

2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}12B x x =-<，则A B =（ ） A. ()1,3-B. ()1,1-C. ()()1,00,1-D.()()1,01,3-【答案】D 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合AB .【详解】()()1110,01,x A x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=>=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}{}()122121,3B x x x x =-<=-<-<=-，因此，()()1,01,3A B =-.故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A.32B.32i C. 32-D. 32i -【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.在正项等比数列{}n a 中，若374a a =，则()52a -=（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求得5a 的值，进而可求得()52a-的值.【详解】在正项等比数列{}n a 中，50a >，由等比中项的性质可得25374a a a ==，52a ∴=，因此，()()52224a -=-=.故选：C.【点睛】本题考查等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 4.当5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，方程22cos sin 1x y αα+=表示的轨迹不可能是（ ） A. 两条直线 B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】B 【解析】 【分析】 分,32ππα、2πα=、5,26ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭三种情况讨论，分别判断出三种情况下方程22cos sin 1x y αα+=所表示的曲线，进而可得出合适的选项.【详解】当,32ππα时，0cos sin 1αα<<<，方程22cos sin 1x y αα+=表示的曲线为椭圆； 当2πα=时，方程为21y =，即1y =±，方程22cos sin 1x y αα+=表示两条直线；当5,26ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0sin αα<<，方程22cos sin 1x y αα+=表示的曲线为双曲线. 综上所述，当5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程22cos sin 1x y αα+=表示的轨迹不可能是圆. 故选：B.【点睛】本题考查方程所表示的曲线形状的判断，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于基础题.5.已知4log 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】利用对数的运算以及幂函数的单调性，进行判断即可. 【详解】12441log 2log 42a ===6611623111111,,2642839⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦6611632111232⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥<< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦6y x =在[0,)+∞上单调递增1132111232⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c b << 故选：A【点睛】本题主要考查了比较指数式，对数式的大小，关键是借助幂函数的单调性进行比较，属于中档题.6.在平行四边形ABCD 中，3DE EC =，若AE 交BD 于点M ，则AM =（ ） A. 1233AM AB AD =+ B. 3477AM AB AD =+ C 2133AM AB AD =+ D. 2577AM AB AD =+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案. 【详解】3DE EC =，E ∴为线段DC 靠近点C 的四等分点显然ABM EDM ∆∆，即43AM AB ME DE == 444334()777477AM AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫∴==+=+=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.7.某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测： 甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上； 丙说：丁竞选成功； 丁说：丙竞选成功；若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论当选上的人为甲、乙、丙、丁时，判断每个人说的是否正确，即可得到正确答案. 【详解】若甲被选上，甲、乙、丙、丁说的均错误，故A 错误； 若乙被选上，甲、丙、丁说的均错误，乙说的正确，故B 错误； 若丙被选上，甲、乙、丁说的正确，丙说的错误，故C 错误； 若丁被选上，甲、丙说的正确，乙、丁说的错误，故D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了推理与证明，考查学生逻辑推理的能力，属于基础题.8.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ,04π⎛⎫-⎪⎝⎭D.,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】令()()sin g x f x x =，()[()()tan ]cos g x f x f x x x '=+'，当(0,)2x π∈时，根据()()tan 0f x f x x +'>，可得函数()g x 单调递增．根据()f x 是定义在(2π-，)2π上的奇函数，可得()g x 是定义在(2π-，)2π上的偶函数．进而得出()()2g x g x π+>，解出即可．【详解】解：令()()sin g x f x x =，()()cos ()sin [()()tan ]cos g x f x x f x x f x f x x x '=+'=+'，当[0x ∈，)2π时，()()tan 0f x f x x +'>，()0g x ∴'>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，∴[0,)2x π∈时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在(2π-，)2π上的奇函数，()g x ∴是定义在(2π-，)2π上的偶函数． 不等式cos ()sin ()02x f x x f x π++->， 即sin()()sin ()22x f x xf x ππ++>，即()()2g x g x π+>，||||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120x x +-≤的解可以为（ ）B. 3C. -4.5D. -5【答案】BC 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到[]43x -≤≤，再根据[]x 表示不小于实数x 的最小整数求解.【详解】因为不等式[][]2120x x +-≤， 所以[]()[]()340x x -+≤，所以[]43x -≤≤，又因为[]x 表示不小于实数x 的最小整数， 所以不等式[][]2120x x +-≤的解可以为3，-4.5.故选：BC【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及实数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，下列结论正确的是（ ） A. C 的离心率为2 B. C的渐近线方程为y x = C. 动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D. 当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为14【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线C 的方程求出a 、b 、c 的值，可求得双曲线C 的离心率和渐近线方程，可判断A 、B 选项的正误；设点P 的坐标为()00,x y ，利用点到直线的距离公式结合双曲线C 的方程可判断C 选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D 选项的正误.【详解】对于双曲线22:13y C x -=，1a =，b =2c =，所以，双曲线C 的离心率为2ce a==，渐近线方程为y =，A 选项正确，B 选项错误； 设点P 的坐标为()00,x y ，则220013y x -=，双曲线C的两条渐近线方程分别为03x y -=和0x y =，则点P到两条渐近线的距离之积为2203343y x -==，C 选项正确； 当动点P 在双曲线C 的左支上时，11PF c a ≥-=，21122PF a PF PF =+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PF PF PF ===≤=+++++，当且仅当12PF =时，等号成立，所以，122PF PF 的最大值为18，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的离心率、渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线几何性质和定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b ∈R 有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（ ） A. ()00f = B. ()11f -=C. ()f x 是偶函数D. ()f x 是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出()()+()f ab bf a af b =，再赋值可得解 【详解】()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭1=()+()(1)y f a f b a --，2=()(1)+()y f a b f b +()12f ab y y =+，()()+()(1)()(1)+()=()+()f ab f a f b a f a b f b bf a af b =--++令0ab ,则(0)=0(0)+0(0)=0f f f ，令1a b ==,则(1)=(1)+(1)f f f ，(1)=0f ，令1a b ==-,则(1)=(1)(1)f f f ----，(1)=0f -，令1a x,b ==-,则()=()(1)f x f x xf --+-，()()=0f x f x +-， 故选：AD【点睛】利用奇偶性解题的类型及方法(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足()=()f x f x －－或偶函数满足()=()f x f x －列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据()00f ＝列式求解，若不能确定则不可用此法． 12.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ） A. 当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B. ()0,1x ∀∈，液面都可以成正三角形形状C.D. 当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的截面性质依次判断每个选项：根据对称性知A 正确，取12x =得到B 错误，液面为正六边形时面积最大，计算得到 C 正确，将1111D C B A 绕11C D 旋转2π，根据两点间线段最短得到D 正确，得到答案. 【详解】当12x =时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，根据对称性知两部分完全相同，A 正确； 取12x =，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，故B 错误； 当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，16222S =⨯=， C 正确； 当液面过1DB 时，截面为四边形1B NDG ，将1111D C B A 绕11C D 旋转2π，如图所示：则''111DN B N DN B N DB +=+≥=='1DNB 共线时等号成立，故周长最小值为D 正确. 故选：ACD .【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos2=α______ 【答案】35【解析】 【分析】首先根据诱导公式得到sin 2cos αα=，联立22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩得到21cos 5α=，再利用二倍角公式计算即可.【详解】因为()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα-=-，即sin 2cos αα=.222sin 2cos 1cos sin cos 15ααααα=⎧⇒=⎨+=⎩. 23cos 22cos 15αα=-=-故答案为：35【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题. 14.设随机变量()4,9N ξ，若实数a 满足()()3221P a P a ξξ<+=>-，则a 的值是______【答案】75【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性列式可解得. 【详解】因为随机变量()4,9N ξ，所以正态曲线关于4x μ==对称，又()()3221P a P a ξξ<+=>-，所以32a ++21a -24=⨯， 解得75a =. 故答案为：75.【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 15.已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-，设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==， 所以3tan FMN '∠=， 即直线MF 3MF 的方程为32y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x -=，解得3x =或43x （舍），所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯=， 43【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题． 16.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值.若正实数a [][]0,,232a a a M M ≥则[]0,a M =______a 的取值范围是______ 【答案】 (1). 1 (2). 27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由正弦函数的值域可知分a 在不同区间进行讨论,得出符合条件的a 值.【详解】当4(0,]a π∈，[0,][,2]2(0,],sin ,sin 22a a a a M a M a π∈==，[][]0,,22a a a M ≥，2sin 24sin cos cos 44a a a a a a a π≥⇒≥⇒≤⇒≥， 与4(0,]a π∈矛盾，舍去；当(,]42a ππ∈，[0,][,2]2(,],sin ,12a a a a M a M ππ∈==，[][]0,,22a a a M ≥2a ≥， 解得sin 1a ≥>，此时不成立； 当,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a M M a ππ∈==，[][]0,,22a a a M ≥2sin a ≥，解得sin 2a ≤， 所以23a ππ≤≤， 当3,, 2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,][,2]2[2,3],1,sin 2a a a a M M a ππ∈==或1，[][]0,,22a a a M ≥2sin 2a 2≥（不成立），解得sin 22a ≤， 所以2223a πππ≤≤+，即76a ππ≤≤， 当3,2a π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2] 2[3,),1,1a a a a M M π∈+∞==[][]0,,22a a a M ≥2≥，此时不成立， 综上27[,]36a ππ∈，此时[]0,1a M =，故答案为：1；27[,]36ππ 【点睛】本题主要考查了正弦函数的最值问题，正弦函数的性质，也考查了分类讨论和运算求解能力,属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.下面给出有关ABC 的四个论断：①ABCS =；②222b ac a c +=+；③2a c =或12；④b =以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若______，则_______（用序号表示）并给出证明过程： 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先选取3个条件做题设，剩下的一个条件为结论，进一步利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.【详解】方案一：如果①②③，则④； 证明：由②得222b a c ac =+-，得1cos 2B =-，即60B =︒；由①ABCS=，得1sin 2ac B =，且60B =︒，得2ac =；由③2a c =或12，不仿取2a c=，联立2ac =，得2a =，1c =；余弦定理：2224123b a c ac =+-=+--，得b =方案二：如果①②④，则③；证明：由②得222b a c ac =+-，得1cos 2B =-，即60B =︒；由①2ABCS=，得1sin 22ac B =，且60B =︒，得2ac =；由④b =222b a c ac =+-，得223a c ac +-=；从而()23693a c a c +=+=⇒+=，()23211a c a c -=-=⇒-=±；得21a c =⎧⎨=⎩或12a c =⎧⎨=⎩，得2a c =或12，③成立；方案三：如果①③④，则②；证明：由①ABCS=，得1sin 2ac B =，由③2a c =或12，不仿取2a c =，得2sin 2c B =，即2sin 2B c =；由④b =2222cos b a c ac B =+-，2ac=，得2254cos 3c c B -=， 从而2253cos 4c B c-=； 同时22sin cos 1B B +=，得4231070c c -+=，得1c =当1c =时，得21a c =⎧⎨=⎩，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，且b =得1cos 2B =，即60B =︒；即222b a c ac =+-，②成立；当c =a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222cos b a c ac B =+-，且b =13cos 14B =，即60B =︒不成立；即222b a c ac =+-不成立，②不成立； 方案四：如果②③④，则①；证明：由②得222b a c ac =+-，得1cos 2B =-，即60B =︒；由④b =2222b a c ac =+-，得223a c ac +-=；由③2a c =或12，不妨取2a c=，代入223a c ac +-=，即231c =，得1c =，2a =；从而得1sin 2ac B =，ABCS =【点睛】本题主要考查了三角形知识的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了运算能力和转化能力及思维推理能力，属于中档题. 18.已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当时()1n n n a a b n *+-=∈N，数列{}nb 为等差数列125a =，367a =，5101a =.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的最大值【答案】（1）224n b n =-+；（2）157 【解析】 【分析】（1）根据定义求出12b b +，34b b +，从而可得公差d ，再得1b 后可得通项n b ； （2）由n b 采取累加法可求得n a ，结合二次函数性质可得最大值．【详解】（1）由定义知：121b a a =-，232b a a =-，343b a a =-，454b a a =-； 得123142b b a a +=-=，345334b b a a +=-=； 设数列{}n b 的公差为d ，()()341248b b b b d +-+==-， 即得2d =-，122b =，数列{}n b 的通项公式为224n b n =-+；（2）由于：121b a a =-，232b a a =-，343b a a =-，454b a a =-，…，11n n n b a a --=-， 累加可得：()()()1122111211n n n n n n n a a a a a a a a b b b a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++()(){}1222124252n n -+--+⎡⎤⎣⎦=+2252425n n =-+-+2251n n =-++，由于二次函数2251y x x =-++在252x =时取得最大值， 所以数列{}n a 得最大值为1213157a a ==.【点睛】本题考查数列新定义“二阶等差数列”，解题关键是理解新定义，问题转化为等差数列是解题关键．19.新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫（即0、1、6月龄），假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10μg /次剂量组与20μg/次剂量组，试验结果如下：（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断能否有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关？（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考附表：【答案】（1）方案20μg/次剂量组接种效果好，有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关；（2）273人【解析】【分析】（1）比较两种方案的成功人数可得，按公式计算2K得结论；（2）按题意成功人数是973人，假设接种一次成功概率为p，由独立重复试验的概率公式可计算出0.7p=，设参与试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数为X，显然()~1000,0.7X B，计算出期望即平均人数后可得提高的人数．【详解】（1）由于两种接种方案都是1000人接受临床试验，接种成功人数10μg /次剂量组900人，20μg /次剂量组973人，973>900，所以方案20μg /次剂量组接种效果好； 由公式()()()()()()22220009002710097344.80610.828100010001873127n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关 （2）假设20μg /次剂量组临床试验接种一次成功的概率为p ， 由数据，三次接种成功的概率为9730.9731000=，不成功的概率为270.0271000=， 由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等， 所以()310.027p -=，得0.7p =，设参与试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数为X ， 显然()~1000,0.7X B ，()10000.7700E X =⨯=参与试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数平均为700人， 且973-700=273，所以选用20μg /次剂量组方案，参与该试验的1000人比此剂量只接种一次成功人数平均提高273人.【点睛】本题考查独立性检验，考查独立重复试验的概率，考查二项分布及其期望，按所给数据计算是解题的基本方法．本题考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题． 20.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，112CD CB AB ===，M ，N 分别是棱AB ，11B C 的中点（1）证明：直线//MN 平面11ACC A ；（2）若1D C ⊥平面ABCD ，且13DC =，求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）513. 【解析】 【分析】（1）取11A C 的中点P ，连结,AP NP ，证得//MN AP ，利用线平行的判定定理，即可证得直线//MN 平面11ACC A ；（2）以1,,CA CD CD 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面1A MN 和平面11ACC A 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）取11A C 的中点P ，连结AP ，NP ，所以11PN A B //，且1112PN A B =， 所以//PN AM ，且PN AM =，所以AMNP 是平行四边形，所以//MN AP ， 因为AP ⊂平面11ACC A ，所以直线//MN 平面11ACC A .（2）连结CM ，由己知可得，MB BC CM ==，所以MBC △为等边三角形， 所以60ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，所以90ACB ∠=︒， 即BC AC ⊥，所以3AC =分别以1,,CA CD CD 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则)3,0,0A，131322A ⎛ ⎝，()0,0,0C ，()0,1,0B ，(13D ，131322C ⎛- ⎝，133 ,,3 22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝，所以31,,022M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，31,,322N⎛⎫- ⎪⎪⎝，可得()10,0,3MA=，13,,32MN⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0,0CA=，131,,322CC⎛⎫=- ⎪⎪⎝. 设平面1A MN的法向量为(),,m x y z=，所以1MA mMN m⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3013302zx y z⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，取3x=，解得,06y z==，所以()36,0m=，，设平面11ACC A的一个法向量为()111,,n x y z=，1CA nCC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3031302xx y z⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，取3z=-，可得0,6x y==，所以()0,6,3n=-，设平面1A MN与平面11ACC A所成二面角的大小为θ，所以3612cos3913m nm nθ⋅===⋅，则25sin1cos13θθ=-=所以平面1A MN与平面11ACC A所成二面角的正弦值为513.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率是32，P为椭圆上的动点.当12F PF ∠取最大值时，12PF F △（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB ⋅=，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2245x y += 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P 为椭圆短轴端点时，12F PF ∠取最大值，再根据三角形面积及222a b c =+，求得2a =，1b =，c =，即可得到答案；（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得d =，即可得到答案；【详解】（1）依题意可得2c e a ==， 设12F PF θ∠=，由余弦定理可知：22212124||||2||||cos c PF PF PF PF θ=+-⋅，所以2222212122221cos 2||||||||b b b PF PF PF PF aθ⎛⎫+=⋅= ⎪⋅+⎝⎭，当且仅当12||||PF PF =（即P 为椭圆短轴端点）时等号成立，且12F PF ∠取最大值； 此时12PFF △的面积是122c b bc ⋅== 同时222a b c =+，联立bc =c a =解得2a =，1b =，c =，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x n =，所以2244n n +=，245n =，此时5d =， 当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，原点O 到直线1的距离为d d =，整理得()2221m dk=+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222418440k x kmx m +++-=， ()()()()2222284414416410km k m k m ∆=-+-=-+>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224484414141m km m k k km m k k k ---=⋅+⋅+=+++ 2222212122224445440414141m m k m k OA OB x x y y k k k ----⋅=+=+==+++ 225440m k --=， ()22251440d k k +--=，恒成立，即()()225410d k -+=恒成立 ， 所以2540d -=，所以d =， 所以定圆C 的方程是2245x y +=所以当0OA OB ⋅=时 ， 存在定圆C 始终与直线l 相切 ， 其方程是2245x y +=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线的斜率分存在不和存在两种情况的讨论. 22.已知函数()2ln f x x x x ax =+-（1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当2n ≥，（n *∈N ）时，求证：22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：2121e x x >（e 为自然对数的底数）【答案】（1）1a ≥；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)由题意可知ln 220x ax -+≤在[)1,+∞上恒成立，通过参变分离可知maxln 22x x a +⎛⎫⎪⎭≤⎝恒成立，结合导数可求出()ln 22x g x x+=的最大值，从而可求出实数a 的取值范围. (2)由(1)可知ln 1x x <-，从而可知221111ln 1111n n n n ⎛⎫+<+-<-⎪-⎝⎭，结合累加法可知222111ln 111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而可证出22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)由题意可知()ln 220f x x ax '=-+=有两个相异实根1x ，2x ，进而可知12121212ln ln ln 4ln x x x x x x x x ++-=+-，结合导数证明()21ln 01t t t --<+在01t <<成立，从而可知2112211ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>-，进而可知2121e x x >.【详解】解：(1)()1ln 12ln 22f x x ax x ax '=++-=-+，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则()0f x '≤在[)1,+∞上恒成立，即ln 220x ax -+≤在[)1,+∞上恒成立， 即ln 22x a x+≤区间[)1,+∞上恒成立，所以max ln 22x x a +⎛⎫ ⎪⎭≤⎝.令()ln 22x g x x +=，则()()()()2222ln 2ln 122x x g x x x -+-+'==， 因为1x ≥，所以ln 0x ≥，所以()0g x '≤，()g x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max 11g x g ==，故1a ≥，所以实数a 的取值范围a 1≥. (2)由(1)可知，当1a ≥时，函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，所以，当1a =时，()2ln (1)0f x x x x x f =+-=≤，则当1x >时有ln 10x x +-<，即ln 1x x <-.因为当()2n n *≥∈N时2111n+>，所以2n ≥时， ()222111111ln 11111n n n n n n n ⎛⎫+<+-=<=- ⎪--⎝⎭，211ln 1122⎛⎫+<- ⎪⎝⎭， 2111ln 1323⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，……，2111ln 11n n n⎛⎫+<- ⎪-⎝⎭， 所以222111ln 1ln 1ln 123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-<-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222111ln 111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，不妨设12x x <， 即()ln 220f x x ax '=-+=有两个相异实根1x ，2x ，且12x x <.从而有1122ln 220ln 220x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩，将上两式相加得：1212ln l 4n 2x a x x x ++=+. 将上两式相减得：1212ln ln 2x x a x x -=-，从而12121212ln ln ln 4ln x x x x x x x x ++-=+-，即()()12121212ln 4ln ln ln x x x x x x x x +-++=-，即得()121221211ln ln 41x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-， 要证明2121e x x >，也就是证明122ln 0x x +>，即12ln 2x x >-，也就是证明2112211ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>-，令12x t x =，只需证明()1ln 21t t t +>-， 由120x x <<，知01t <<，因此只需证明()21ln 01t t t --<+ 令()()211lnt t h t t -=-+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以()h t 在区间()0,1上单调递增，又因为()10h =， 因此()()10h t h <=在区间()0,1上恒成立. 所以，当01t <<时，()21ln 01t t t --<+成立，所以有12ln 2x x >-成立，从而2121e x x >. 【点睛】本题考查了结合导数由函数的单调性求参数的取值范围，考查了结合导数求函数的最值，考查了结合导数证明不等式成立.本题较难，本题的难点在于将不等式的证明转化为求函数的最值.。