2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功

解题能力展示试题参考答案

13．79−

14．3

11

15． 16．

4

π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.

由22

12a b b =，可得22

21

36a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.

………………………………………2分

因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以2

11n n n a b b ++=，

因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分

于是当2n ≥时，n a =.

将②、③代入①式，可得，因此数列

是首项为4，公差为2的等差数列，

()122n d n −=+，于是()2

41n b n =+. ………………………………………………4分

由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为2111

12

72347

4417

n n ++++

<

+−.………………………8分 方法一:首先证明2

121144171n n n n ⎛⎫

<− ⎪+−+⎝⎭

（2n ≥）. 因为

22

222

121112778824417144177n n n n n n n n n n n n

⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，2

11

112111

11212723

441772317727

n n n n ⎡⎤⎛⎫

⎛⎫+++

<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭

⎝⎭⎣⎦. …10分 当1n =时，

1277

<.

…………………………………………………………………11分

综上所述，对一切正整数n ，有7

2

11...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法二:

()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫

<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭

.

当3n ≥时，

2111

723

441

n n +++

+−

z

F

11111111

11172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<

++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

111111112

723457714147

⎛⎫<

+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分 当1n =时，

1277<；当2n =时，11112723777

+<+=. ………………………………………11分

综上所述，对一切正整数n ，有7

2

11...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法三:

()()22

11111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫

<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭

. 当4n ≥时,

2111

723441

n n +++

+−

111111111

1117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<

+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦

1111272347147<

+++<. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112

723777+<+=；

当3n =时，1111112

72347714147

++<++=. ……11分

综上所述，对一切正整数n ，有

7

2

11...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,

所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BC

CF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,

又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,

设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00

BD BE ⎧⋅=⎨

⋅=⎩n n ,即0

20

x y x z −+=⎧⎨

−+=⎩,

解得22x z

y z

=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则

sin θ=4cos ,9

CE CE CE ⋅<>=

=n

n n ,

所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为

4

9

. ……………………9分