复杂介质中反常扩散分数阶导数建模与应用基本思想与进展
基于分数阶导数的岩石非线性蠕变损伤模型
基于分数阶导数的岩石非线性蠕变损伤模型王晴;仇晶晶;朱其志;刘思利;余健【摘要】利用Riemann-Liouville分数阶理论,给出一种分数阶软体元件及其本构方程,阶数取值不同,可分别模拟蠕变的三个阶段.采用两个分数阶软体元件与虎克体进行组合,引入岩石硬化函数、损伤变量,提出一种新的含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型,并推导出该模型的本构方程.利用砂岩的蠕变试验数据进行验证,发现该模型能有效描述砂岩的蠕变特性.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2019(037)003【总页数】5页(P406-410)【关键词】分数阶;软体元件;非线性蠕变【作者】王晴;仇晶晶;朱其志;刘思利;余健【作者单位】河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京 210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098;江苏纬信工程咨询有限公司,南京 210014;河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098;河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京 210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098;河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京 210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098【正文语种】中文【中图分类】TU45在工程实际中，岩石蠕变特性是岩石材料重要力学性质之一，与岩体工程的安全性、稳定性密切相关，因此，岩石蠕变研究越来越被人们重视［1］.国内外研究者多采用元件模型来研究蠕变本构关系，代表性的有Burgers模型、Maxwell模型等，其中的胡克元件仅可描述纯弹性行为，可模拟蠕变线弹性阶段；牛顿体元件仅可描述材料的黏滞性，用以模拟蠕变稳定阶段.基于此，国内外很多学者引进非线性元件来模拟蠕变加速阶段，并适当组合非线性元件和线性元件，从而能更好地模拟蠕变的三个阶段［2-11］.为更好地模拟，必须使用多个元件，导致了模型参数增加.由此，一些学者提出了含参数少、方程简洁的分数阶软体元件.殷德顺等［12］基于分数阶微积分理论，提出一种介于理想固体和流体之间的分数阶软体元件，将该软体元件与弹簧元件分别进行串联和并联得到两种模型，推导出本构方程，与土的试验数据进行比较，发现模型能有效描述蠕变特性；何志磊等［13］改进了西原模型，将西原模型中的牛顿黏壶替换为分数阶Abel黏壶，克服了西元模型不能描述蠕变加速阶段的缺点，得到分数阶非定常蠕变模型；吴斐等［14］引入了分数阶非线性黏壶元件，提出了参数少且可描述蠕变三个阶段的新的岩石蠕变模型；郭佳奇［15］等将Kelvin-Voigt蠕变模型中的牛顿体元件替换为分数阶软体元件，得到分数阶Kelvin-Voigt蠕变模型，与实验数据拟合后，比较发现分数阶Kelvin-Voigt蠕变模型不仅参数更少，且拟合效果比整数阶5参数开尔文蠕变模型和整数解Kelvin-Voigt蠕变模型好.在上述研究基础上，本文讨论了阶数取值对分数阶软体元件的影响，提出了一种新的含有分数阶导数的非线性蠕变损伤模型，利用两个不同阶数的分数阶软体元件，同时引入岩石硬化函数和损伤变量，最后结合砂岩蠕变试验进行验证.1 分数阶非线性蠕变损伤模型建立1.1 含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型分数阶微积分定义有多种，本文采用Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，Riemann-Liouville积分形式为式中：为Gamma函数［15-16］.Riemann-Liouville微分形式为函数 f(t)的r阶Riemann-Liouville分数阶微分［15-16］.将应力-应变关系用分数阶微分形式进行表示，如式（3）：式中：ξ和β均为材料常数.可知，当β=0，式（3）可表示理想固体的应力-应变关系：σ(t)-ε(t)，满足胡克定律；当β=1，式（3）可表示理想流体的应力-应变关系：σ(t)-d1ε(t)/dt1，满足牛顿黏性定律.当σ(t)=const应力恒定时，可描述蠕变现象.对式（3）两边进行积分，可得软体元件的蠕变方程为［17-18］：如图1和图2所示，应力水平保持恒定，当β采用不同值时，由式（4）表示的一系列蠕变曲线.可知，随着β取值的增大，软体元件应力-应变的非线性增加，这与理想固体保持不变的状态和理想流体线性增加的状态不同.从图1可以看出，当0＜β＜1时，随着β增加，软体元件的应力应变关系线性特征逾明显，可以用来描述蠕变的线性、稳态阶段；从图2可以看出，当β＞1时，随着β增加，软体元件的应力应变曲线的斜率越来越大，可以描述蠕变加速阶段.图1 分数阶软体元件的蠕变曲线图（0＜β＜1）Fig.1 Creep curves of fractionalsoftware components（0＜β＜1）由此发现，可以通过调整分数阶的阶数来模拟蠕变的不同阶段，故提出如图3所示模型：第I部分为引入硬化函数的虎克体元件；第II部分为黏弹性分数阶软体元件，其阶数小于1；第III部分为引入损伤变量、阶数大于1的黏塑性分数阶软体元件和应力阈值开关元件并联组成.图2 分数阶软体元件的蠕变曲线图（β＞1）Fig.2 Creep curves of fractional software components（β＞1）图3 含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型Fig.3 Nonlinear creep damage model with fractional derivatives1.2 蠕变本构方程对于第I部分，引入硬化函数，由陈化理论［19］可知，材料强度H(σ,t)可表示为式中：H(σ ,t)为材料强度；σ、t分别为应力、时间；H0为初始强度；λ、n为材料常数.本文为方便计算，取n=0.则第I部分的本构方程为对于第II部分，使用黏弹性分数阶软体元件，其阶数小于1，本构方程为式中：γ1,α分别为材料常数和分数阶阶数，且0＜α＜1.对式（7）两边积分，可得第II部分本构方程为对于第III部分，引入损伤变量.根据能量损伤的方法，定义损伤变量为：式中：D(σ,t)表示t时刻材料的损伤变量；E(σ,t)表示任意t时刻的弹性模量，其值与t时刻对应的应力水平有关；E0表示材料初始弹性模量.由经典蠕变损伤模型可定义E(σ,t)为式中：e为自然常数；θ表示材料常数.将式（10）代入式（9），可得由式（11）可知：t→∞时，D=1，表示材料已经完全损伤.易知，随时间t和应力σ增长，试样弹性模量逐渐减小，损伤慢慢变大.Kachanov定义有效应力为式中：为有效应力；σ为名义应力.将式（11）带入式（12），得当σ＞σs（长期强度）时，进入蠕变损伤阶段，则本构方程为式中：γ2,β分别为软体元件的材料常数和阶数，且β＞1.对式（14）积分，并将式（13）代入，得第III部分本构方程为综上，当σ＜σs时，蠕变无加速阶段，模型中仅存在第I、II部分，此时本构方程为当σ＞σs时，蠕变会进入加速阶段，此时模型包含第I、II、III部分，本构方程为2 蠕变实验及模型验证2.1 实验准备及实验结果试验采用全自动岩石三轴伺服仪，如图4所示.试样为砂岩（如图5所示），标准圆柱形，尺寸为50 mm×100 mm（直径×高度）.图4 全自动岩石三轴伺服仪Fig.4 Automatic three-axis rock servo试验室温度控制在（21±0.5）℃内，以减小温度对试验数据的影响.试验期间，先将围压加载至目标值10 MPa，并保持恒定，加载速率3 MPa/min.待围压、温度稳定后，采用轴向应力控制方法加载偏压至目标值（分别为：118、119 MPa），加载速率为0.3 MPa/min.保持温度、偏压稳定，直到试样破坏.蠕变试验曲线如图6所示.图5 砂岩试样Fig.5 Sandstone sample2.2 模型验证及参数识别利用以上蠕变试验数据验证模型，对实验数据进行非线性拟合，得模型参数见表1.由于试样之间的差异性，所得参数存在一定差异.如图7所示，根据拟合结果可知，本文提出的非线性蠕变损伤模型能较好地模拟蠕变试验的全过程.图6 不同强度下的蠕变试验应力-应变曲线Fig.6 Stress-strain curve of creep test under different strength图7 非线性蠕变损伤模型的拟合曲线Fig.7 Fitting curve of nonlinear creep damage model表1 模型参数Tab.1 Parameters of model应力水平/MPa 118 119 λ α β θ0.484 0.456 γ1/（h·MPa-1）0.726×103 0.789×103 0.245 0.286 γ2/（h·MPa-1）3.967×1011 2.177×1011 8.121 9.152 0.301 0.6713 结论1）基于Riemann-Liouville分数阶微积分理论，给出了分数阶软体元件及其本构关系，并发现当分数阶阶数取值小于1时，软体元件可模拟瞬时弹性和稳定蠕变阶段，当阶数取值大于1时，软体元件可以模拟加速蠕变阶段.2）通过两个软体元件与虎克体进行组合，引入硬化函数和损伤变量，增加应力阈值开关，提出含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型，并推导出该模型的本构方程.由砂岩试验数据进行验证，提出的非线性蠕变损伤模型能较好地描述蠕变全过程.【相关文献】［1］徐平，杨挺青.岩石流变试验与本构模型辨识［J］.岩石力学与工程学报，2001，20（S1）：1739-1744.［2］徐卫亚，杨圣奇，杨松林，等.绿片岩三轴流变力学特性的研究（I）：试验结果［J］.岩土力学，2005，26（4）：531-537.［3］徐卫亚，杨圣奇，谢守益，等.绿片岩三轴流变力学特性的研究（II）：模型分析［J］.岩土力学，2005，26（5）：23-28.［4］杨广雨，王伟，熊德发，等.岩石非线性黏弹塑性蠕变模型研究［J］.河北工程大学学报（自然科学版），2017，34（4）：23-26.［5］蒋昱州，张明鸣，李良权.岩石非线性黏弹塑性蠕变模型研究及其参数识别［J］.岩石力学与工程学报，2008，27（4）：832-839.［6］赵延林，曹平，文有道，等.岩石弹黏塑性流变试验和非线性流变模型研究［J］.岩石力学与工程学报，2008，27（3）：477-486.［7］张英.岩石流变的一种非线性黏弹塑性流变模型研究［J］.湖南工业大学学报，2015，29（3）：10-14.［8］蒋海飞，胡斌，刘强，等.一种新的岩石黏弹塑性流变模型［J］.长江科学院院报，2014，31（7）：44-48.［9］马明军，钟时猷.一个软弱岩石的粘弹塑性流变力学模型［J］.中南矿冶学院学报，1990，21（3）：236-241.［10］ LIU L，WANG G，CHEN J，et al.Creep experiment and rheological model of deep saturated rock［J］.Transactions of Nonferrous Metals Society of China，2013，23（2）：478-483.［11］ MARANINI E，YAMAGUCHI T.A non-associated viscoplastic model for the behaviour of granite in triaxial compression［J］.Mechanics of Materials，2001，33（5）：283-293.［12］殷德顺，任俊娟，和成亮，等.一种新的岩土流变模型元件［J］.岩石力学与工程学报，2007，26（9）：1899-1903.［13］何志磊，朱珍德，朱明礼，等.基于分数阶导数的非定常蠕变本构模型研究［J］.岩土力学，2016，37（3）：737-744.［14］吴斐，刘建锋，武志德，等.盐岩的分数阶非线性蠕变本构模型［J］.岩土力学，2014，35（S2）：162-167.［15］郭佳奇，乔春生，徐冲，等.基于分数阶微积分的Kelvin-Voigt流变模型［J］.中国铁道科学，2009，30（4）：1-6.［16］何明明，李宁，陈蕴生，等.基于分数阶微积分岩石的动态变形行为研究［J］.岩土工程学报，2015，37（S1）：178-184.［17］宋勇军，雷胜友.基于分数阶微积分的岩石非线性蠕变损伤力学模型［J］.地下空间与工程学报，2013，9（1）：91-95.［18］王学彬.拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2016，41（7）：7-12.［19］穆霞英.蠕变力学［M］.西安：西安交通大学出版社，1990.。
分形微积分算子的定义及其应用
分形微积分算子的定义及其应用现代计算科学主要是建立在微积分方程概念和建模方法基础上的，特别是连续介质力学问题的描述离不开微积分方程建模方法，但对于复杂分形结构材料和系统，经典的微积分方程方法面临着巨大的困难.一般的应用策略是直接拓广经典连续介质力学模型，运用非线性项描述分形介质中的复杂力学行为，因此模型中往往含有多个经验参数，且部分人为参数缺乏物理意义.近年来，分数阶微积分方程建模方法引起广泛关注，成为描述复杂物理力学问题的一个有竞争力的建模方法.由于分数阶模型仍然是线性的，能够较好地刻画系统的历史和路径依赖特征，应用在某些问题上比非线性方法有一定的优越性.但是，分数阶微积分和分形几何的数学联系至今还不是很清楚，已有的研究多是定性讨论.分形几何方法在描述复杂系统的几何特征、统计行为、数据结果的幂律特征等方面取得很多有意义的成果，但其对应的微积分建模方法至今没有完整地建立起来.这极大地限制分形方法在科学和工程问题中的应用.CHEN等首次定义分形维α上分形导数的概念为dg（t）dtα=limt′→tg （t）-g（t′）tα-（t′）α（1）式中：g（t）为所考察的物理量；t为自变量；α为任意实数分形维.此后，分形导数建模在反常扩散等问题上取得一些有意义的结果.分形导数是局部导数，不同于全域定义的分数阶微积分，因而计算量和内存需求大大减少，但分形导数微分方程的应用目前很不成熟，在多维问题中的应用还很少.针对多维分形空间问题，本文进一步发展分形导数的概念，定义分形维上的微积分算子.这项研究的关键创新点是拓广经典微分算子的基本解，提出分形维上微分算子基本解的概念.运用陈文等提出的隐式微积分建模方法，根据分形维上的基本解“隐式”地定义分形微积分算子.分形微积分算子可以方便地数值计算和使用，但不一定具有显式表达式或其显示表达式难以得到.本文以分形维上的拉普拉斯算子为例，详细介绍分形微积分算子的概念和具体应用，主要数值求解技术是奇异边界法.该方法以距离为基本变量，不依赖于问题的维数，本质上是格无数值积分方法，编程容易，能够计算高维复杂几何形状问题.首先，引入分形维上微分算子基本解的概念.以拉普拉斯算子为例，比较分形和分数阶导数2种拉普拉斯算子基本解的区别与联系；然后，采用隐式微积分方程建模方法定义分形微积分算子，并给出分形维上拉普拉斯算子、亥姆霍兹算子、修正亥姆霍兹算子、扩散算子的定义；再次，以分形拉普拉斯算子方程为例，采用奇异边界法数值模拟二维和三维分形拉普拉斯算子方程，并对数值结果进行讨论和分析；最后，总结分形微积分算子的特点和建模方法的优势，以及若干有待深入研究解决的问题.1分形维上微分算子的基本解为不失一般性，以整数维上的整数阶拉普拉斯方程为例，其数学形式为Δu（x）=0，x∈Rn（2）式中：Δ为Rn上的拉普拉斯算子；n为整数阶空间维数（二维n=2得到的是平凡基本解）；u为待求势函数.相应的基本解为u*n（r）=1（n-2）Sn（1）r2-n（3）式中：Sn（1）=2πn/2/Γ（n/2）；r=||xξ||为点x和ξ的欧氏距离.近年来引起广泛关注的分数阶拉普拉斯算子（-Δ）s/2能够表征物理力学系统的空间非局部性.采用隐式微积分建模方法，从其Riesz分数阶势出发，直接构造出分数阶拉普拉斯算子的基本解为u*s（r）=1（d-s）Sd（1）rs-d（4）式中：s为分数阶数是0～2范围内的任意实数.经典整数阶拉普拉斯算子是一个特例，即s=2；这里s表征材料的非局部性，刻画幂律特征.推广式（3）和（4）得到整数阶拉普拉斯算子在分形维d上的基本解为u*d（r）=1（d-2）Sd（1）r2-d（5）这里d可以是任意实数.以三维空间问题为例，比较讨论分形维上的拉普拉斯基本解与分数阶拉普拉斯算子基本解的区别和联系.大部分三维空间问题的分形维在（2，3]范围内，相应的分形维拉普拉斯算子的距离变量指数（2-d）在[-1，0）范围内；分数阶拉普拉斯算子基本解的距离变量指数（s-3）在（-3，-1]范围内.由此可见，分形和分数阶拉普拉斯算子有各自不同的适用对象和范围，经典的整数阶拉普拉斯算子基本解1/r是两者的极端特例.2分形微分算子的定义根据隐式微积分建模方法，可以用基本解定义微分方程模型，不需要微分方程的显式表达式.基于此，本节运用分形维上的算子基本解，定义分形维上的4类典型微分算子方程.拉普拉斯方程Δdu（x）=0，x∈Ω（6）亥姆霍兹方程（Δ+k2）du （x）=0，x∈Ω（7）修正亥姆霍兹方程（Δ-k2）du（x）=0，x∈Ω（8）扩散方程αΔdu（x）=u（x）t，x∈Ω，t≥0（9）式（6）～（9）中：下标d为分形维值为d的微分算子，以区别于经典的整数阶和分数阶微分算子.推广相应整数阶基本解，分形维上亥姆霍兹、修正亥姆霍兹以及扩散算子的基本解定义为u*d（r）=12π-ik2πr（d/2）-1K（d/2）-1（-ikr）（10）u*d（r）=12πk2πr（d/2）-1K（d/2）-1（kr）（11）u*d（r）=H（t）（4παt）d/2e-r2/4αt（12）式中：K（d/2）-1为第二类修正贝塞尔函数；H（t）为赫维赛德阶跃函数；t=|t2-t1|为时刻到时刻的时间间隔；α为扩散系数；d为分形维数.分形维上的拉普拉斯算子基本解见式（5）.3分形拉普拉斯势问题的数值模拟拉普拉斯算子是最重要的椭圆型算子，在物理和力学中有着广泛而重要的应用.本节以拉普拉斯方程为例，数值考察分形维微分算子方程的行为特征.奇异边界法是一种边界型径向基函数配点法，以基本解作为插值基函数，能够无网格、无数值积分求解高维复杂几何域问题，不需要微分方程的具体表达式.本节基于分形维上拉普拉斯算子的基本解，采用奇异边界法求解分形维拉普拉斯控制方程和相应边界条件的稳态热传导问题.首先，考虑一个二维正方形域分形介质中的稳态热传导问题，其边界条件见图1：左右边界绝热，热流量q=0，上边界温度u=0 °C，下边界温度u=10 °C.为考察温度变化与分形维数之间的关系，不同分形维数d情况下沿直线x=1.0温度值变化的数值计算结果见图2.由此可见：二维整数维情况下，温度的变化呈线性减小；相比较而言，分形维时温度变化呈指数趋势减小，且维数越小温度变化越剧烈.一般情况下，在不知道分形维上拉普拉斯方程的精确解时，可以通过指定与整数维方程相同的边界条件，考察分形维方程的数值解是否逼近于整数维方程的精确解.在本算例中，考察d趋于2时，方程的解是否逼近d=2整数阶拉普拉斯方程的解.从图2中可以看到，当维数d趋近于2时，分形维拉普拉斯方程的解确实单调趋近于整数维2的解.Fig.4Variation of temperature u on line {（x，y，z）| x=1，y=1，0≤z≤2}against fractal dimension d由图4可以看出：在完全相同边界条件下维数d趋近于3时，分形维拉普拉斯方程的解单调趋近于整数维为3的解；另外，三维整数维情形下温度的变化呈线性减小，而当材料具有分形特征时，温度变化在底部附近比整数维的变化缓慢，中间部分比整数维的变化剧烈，接近上顶部时温度的减小趋势又变缓.4结束语引入分形微积分算子是分形导数概念的进一步发展，可推广连续介质力学微积分建模方法的使用范围，克服现有分形方法局限于几何描述和数据拟合的瓶颈问题，拓广分形方法的应用范围和深度.本文提出分形维上基本解的概念，基于隐式微积分建模方法，定义分形维上的微积分算子，微分控制方程表达式本身不再是必要的环节和对象.数学、力学建模和数值建模自然成为一体，极大地简化工程仿真的难度.从数学上看，分形维上微分算子基本解表达式中的维数d甚至可以是复数或负数，但相关的物理力学意义并不清楚.此外，目前也有多种分形的测量方法和定义，具体到某个应用选择何种定义需要研究.本文提出的分形维微积分算子方法是唯象建模技术，还缺少扎实的数理基础；该方法的适用范围和有效性还有待在科学工程问题中充分验证.说明：陈文提出本文的基本数学方法和整体研究思路；王发杰负责编程和数值结果整理；杨旭负责收集分形材料的有关数据.。
分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用
分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用尊敬的读者，今天我将和大家一起探讨分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用。
分数阶微积分，作为传统微积分的延伸，已经在科学领域中展现出了其独特的价值和广泛的应用。
特别是在量子力学和反常扩散方程这两个领域，分数阶微积分的应用更是显得异常重要。
在本文中，我们将从浅入深地探讨这一主题，并深入分析其在量子力学和反常扩散方程中的具体应用。
希望通过本文的阅读，能够让您对分数阶微积分的应用有一个更深入的理解。
1. 分数阶微积分让我们先来了解一下分数阶微积分。
传统微积分是将整数阶微分和积分的概念推广到非整数阶的情况，由此引申出了分数阶微积分。
分数阶微积分的提出，为描述一些非线性、非平稳和非马尔科夫过程提供了一个更为精确的数学工具。
在分数阶微积分中，导数和积分的阶数不再局限于整数，而是可以是分数。
这一特性使得分数阶微积分在描述一些复杂系统的动力学行为时具有更好的适用性。
2. 分数阶微积分在量子力学中的应用接下来，我们将探讨分数阶微积分在量子力学中的应用。
量子力学是描述微观世界中粒子运动规律的理论框架，而分数阶微积分的引入对于描述微观粒子的运动具有重要意义。
在传统微积分中，对于粒子的位置和动量可以用整数阶偏导数来描述，然而在一些复杂的情况下，粒子的运动规律可能表现出分数阶的动力学特征。
这时，分数阶微积分就能够更准确地描述粒子的运动规律，为我们理解微观世界提供了新的视角和工具。
3. 分数阶微积分在反常扩散方程中的应用除了在量子力学中的应用，分数阶微积分还被广泛应用于描述反常扩散。
传统的扩散方程是基于整数阶微分的，而在一些介观尺度下，粒子的扩散行为往往表现出非常规的特性。
这时，传统的扩散方程往往难以准确描述系统的扩散行为，而引入分数阶微积分可以更好地刻画介观尺度下的反常扩散行为。
通过分数阶微积分，我们能够更准确地描述介观尺度下的扩散过程，从而为我们理解复杂系统的动力学行为提供了重要工具。
分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用的开题报告
分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用的开题报告题目：分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用一、研究背景和意义：分数阶微积分在现代数学和物理学领域中已成为一个热门研究课题。
其中，分数阶扩散方程是分数阶微积分理论中重要的应用之一。
分数阶扩散方程与传统的整数阶扩散方程相比，具有更广泛的适用性和更精确的模拟效果。
分数阶奇异扩散方程则将分数阶微积分理论应用于奇异扩散过程，即扩散系数存在奇异性。
这种方程的研究不仅能够拓展分数阶微积分的应用，还具有重要的应用价值，例如在生物医学和环境科学等领域中。
因此，对分数阶奇异扩散方程的研究具有重要的理论和实际意义。
二、研究内容和方法：本课题主要研究分数阶奇异扩散方程的解法及其应用。
具体研究内容如下：1.研究分数阶奇异扩散方程的基本概念和数学模型，并对其进行分析和求解。
2.综述分数阶奇异扩散方程目前的研究进展，并对不同的求解方法进行比较和评价。
3.利用数值求解方法，如有限差分法和有限元法等，对分数阶奇异扩散方程进行数值模拟和模型验证。
4.应用分数阶奇异扩散方程模型，研究其在生物医学和环境科学等领域中的应用及其效果。
三、研究进度安排：第一学期：1.研究分数阶奇异扩散方程的基本概念和数学模型，并对其进行分析和求解。
2.综述分数阶奇异扩散方程目前的研究进展，并对不同的求解方法进行比较和评价。
第二学期：1.利用数值求解方法，如有限差分法和有限元法等，对分数阶奇异扩散方程进行数值模拟和模型验证。
2.应用分数阶奇异扩散方程模型，研究其在生物医学和环境科学等领域中的应用及其效果。
四、预期研究结果：1.掌握分数阶奇异扩散方程的基本概念和求解方法。
2.探索分数阶奇异扩散方程在不同领域中的应用，如生物医学和环境科学等。
3.提出新的分数阶奇异扩散方程数值解法，提高模拟效果和计算效率。
五、论文大纲：1.绪论1.1研究背景和意义1.2研究现状和进展1.3研究内容、方法和进度安排2.分数阶奇异扩散方程2.1基本概念和数学模型2.2求解方法及其比较评价2.3应用案例分析3.数值模拟和算法设计3.1有限差分法3.2有限元法3.3其他求解方法4.应用研究4.1生物医学领域中的应用4.2环境科学领域中的应用5.结论和展望参考文献。
江苏省力学学会通讯
江苏省力学学会通讯（2013年第一期）江苏省力学学会办公室编印 2013年3月31日目录二O一二年工作总结二O一三年活动计划报道·我会荣获江苏省科学技术协会颁发的“2012年度省级学会工作先进集体”称号·江苏省科协党组书记陈惠娟一行来我会进行调研·我会组团赴港参加“第九届苏港力学及其应用论坛”学术活动通知·《MS16第四届灾变破坏力学与数值模拟专题研讨会》征稿启事·第九届全国周培源大学生力学竞赛（江苏赛区）暨“矿大杯”第八届江苏省大学生力学竞赛通知（第一号）二O一二年江苏省力学学会工作总结 江苏省力学学会根据2012年初制定的工作目标与任务，依靠全省力学科技、教育工作者，努力促进力学科学技术的繁荣和发展，促进力学科学技术的普及和推广，促进力学科学技术人才的成长和提高，促进力学科学技术与经济的结合，争创一流的学会工作，在充分体现学会“三服务一加强”的工作定位，学会为转型升级、创新驱动服务的能力和效果，学会党组织建设和人才建设等方面取得较为显著的成绩。
组织建设一．各专业委员会、工作委员会完成换届工作我会所属的一般力学、固体力学、流体力学、岩土力学、实验力学、计算力学、环境与灾害力学七个专业委员会，青年、教育科普、工程应用三个工作委员会及信息服务部和国际合作与交流部均完成换届工作。
产生新一届委员，并颁发聘书。
本次换届工作体现以下几个特点：1、在委员分布上充分考虑了各会员单位的需求。
2、在年龄层次上倾斜一线科研人员，同时考虑到工作的连续性和影响力，不少委员会设置了名誉主任委员、顾问等职。
3、为方便工作，在组织机构上，有的委员会还设置了常务副主任、秘书长等职。
4、为吸引各方人士对学会工作的支持，有的委员会还设置了特邀委员一职，吸纳企业人员和外省力学人士加入。
5、利用换届机会开展学术交流活动。
通过委员会的换届工作，使我会学术水平登上新台阶，管理队伍得到充实与加强。
复杂介质中反常扩散分数阶导数建模与应用基本思想与进展
a Dtp y(t)
1 (n
p)
dn dxn
t
(t
a
)n p1 f
( )d , (n 1
p
n)
微分-积分定义（Caputo）
C
a
Dpt f
(t)
1 (n
p)
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f (n) ( ) )p1n
d
,
(n
1
p
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陈文、孙洪广、李西成，力学与工程问题的分数阶导数建模，科学出版社, 2010年
• 结论与展望
2/31
应用背景
地下水溶质运移
非饱和土壤水分和溶质扩散
泥沙输运
3/31
研究背景
中国地下水信息网 /dxs/HydRes.htm /articleread.asp?u=104w293w3426t0
4/31
• 更多实验验证； • 模型参数率定方法； • 大规模数值模拟
29/31
合作者
陈文：河海大学 张勇，陈力，Donald M. Reeves： 美国沙漠研究所 陈东：中科院地理所 Mark M. Meerschaert：密西根州立大学 朱建亭：怀俄明大学 KY Sze: 香港大学
基金支持：11202066， 2013B05114，2010CB832702，
201101014
30/31
请批评指正！
分数阶动力学网站: /ismmlink/PLFD/index.html
31/31
Nielsen et al. (1962)
Columbia silt loam wet at-100 mb
El Abd and Milczarek (2004) White siliceous brick (sil #1)
《2024年空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》范文
《空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》篇一一、引言在数学建模和数值分析领域，空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统扮演着重要角色。
随着科学与技术的进步，这两个模型在众多领域如生物学、材料科学和电磁学中得到了广泛应用。
有限元方法作为一种有效的数值计算工具，常被用来解决复杂的数学模型问题。
本文旨在探究如何应用有限元方法来处理这两个复杂系统的数学问题。
二、空间分数阶Gray-Scott模型空间分数阶Gray-Scott模型是一个常用于描述复杂反应扩散系统的偏微分方程模型。
它具有非线性特性和空间分数阶导数，为解决此类问题提供了数学框架。
本文将详细介绍该模型的数学形式、物理背景以及其求解的必要性。
三、时间分数阶Maxwell系统时间分数阶Maxwell系统则是用于描述电磁波传播及物质响应的数学模型。
其方程中的时间分数阶导数使得模型能够更好地反映实际物理现象的复杂性和非局部性。
本部分将详细阐述该系统的数学表达、物理意义及其在电磁学中的应用。
四、有限元方法的基本原理在解决上述两个复杂系统的问题时，有限元方法是一种有效的数值计算工具。
本部分将详细介绍有限元方法的基本原理、步骤和特点，包括其求解过程、计算效率和精度等优势。
五、空间分数阶Gray-Scott模型的有限元方法实现本部分将详细描述如何将有限元方法应用于空间分数阶Gray-Scott模型的求解过程。
包括离散化处理、基函数选择、数值积分等关键步骤的详细解释和实现过程。
此外，还将讨论该方法在求解过程中的稳定性和收敛性等问题。
六、时间分数阶Maxwell系统的有限元方法实现类似地，本部分将详细介绍如何将有限元方法应用于时间分数阶Maxwell系统的求解过程。
包括系统的离散化、时间步长的选择、电磁场量的离散化处理等关键步骤的详细解释和实现过程。
此外，还将讨论该方法在处理复杂电磁现象时的优势和局限性。
一种改进的R_L分数阶导数定义在固体推进剂粘弹性本构模型中的应用_石增强
= Γ(n
1 +1
t
-γ)0
(f ( t n-+1τ))(γτ-)n d
τ,
(n < γ< n +1) (3) 式中 :Dγ为分数微分算子 , 是整数微分算子 D 的推
广 ;Γ(z)为伽马函数
∫∞
Γ(z)= tz-1 e -t d t , Γ(1 +z)=zΓ(z) (4) 0
但是上述定义存在两个问题 。
针对 Riemann-Liouville 分数阶导数定义的两
个问题 , 将其作简单的改进
∫ D γ[ f (t)]
=
1
d
Γ(1 -γ)d x
t 0
f ((τ) t --τf)(γ0)d τ
(0 < γ< 1) (5) D γ[ f (t)] =D [ (γ-n) f (n)(t)] (n < γ<n +1)(6)
20 1.301 0.052 1.127 0.147 1.403 0.250 1.778 0.388 2.443 0.659 4.560 0.921 8.337
40 1.602 0.018 1.042 0.107 1.279 0.199 1.581 0.334 2.158 0.595 3.936 0.851 7.096
由式(11)可知 , 在起始时间当 t 很小时 , 松弛模
量趋近于无穷大 , 体现材料的刚性 ;当 t 很大时 , 松弛
模量趋近于 E0(称之为平衡模量), 主要是弹簧起作
用 , 表现材料的弹性 。因此类 Kelvin 体主要用于模拟
初始模量较大的弹性固体材料 。且(11)式中只有 E0 、
E1 、β 三个参数 , 模型的形式简单 , 参数数目较少 。
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》范文
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》篇一一、引言分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equations，FPDEs）在物理、工程、生物医学等多个领域有着广泛的应用。
由于分数阶导数能够更好地描述复杂系统的非局部特性，因此研究分数阶偏微分方程的数值解法具有重要的理论和实践意义。
有限元方法作为一种有效的数值计算工具，在处理分数阶偏微分方程问题上表现出了突出的优势。
本文旨在综述分数阶偏微分方程的几类有限元方法的研究进展，探讨各自的优缺点和适用场景。
二、Caputo-Fabrizio 分数阶导数与偏微分方程的引入首先介绍Caputo-Fabrizio 分数阶导数的定义及其性质，这是研究分数阶偏微分方程的基础。
接着介绍不同领域中常见的偏微分方程，以及当其与分数阶导数结合时所形成的FPDEs。
这类方程在描述复杂系统的扩散、传播等过程时具有更高的精度和适应性。
三、有限元方法在分数阶偏微分方程中的应用（一）传统有限元方法传统有限元方法在处理FPDEs时，通过将连续的求解域划分为有限个离散单元，将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
对于FPDEs中的空间分数阶导数和/或时间分数阶导数，可以借助数值积分或差分法进行离散化处理。
本节将详细介绍传统有限元方法在FPDEs中的应用及其优缺点。
（二）局部弱解有限元方法局部弱解有限元方法是一种针对FPDEs的特殊有限元方法，其核心思想是利用弱解形式将FPDEs转化为等价的变分问题。
该方法能够有效地降低求解问题的复杂性，并提高求解精度。
本节将详细介绍局部弱解有限元方法的原理和实现过程，以及其在FPDEs中的应用实例。
（三）混合型有限元方法混合型有限元方法是一种结合了传统有限元方法和其他数值方法的混合型数值方法。
针对FPDEs中的不同类型导数（如空间导数和时间导数），可以灵活地选择不同的数值处理方法，以达到更好的求解效果。
本节将详细介绍混合型有限元方法的原理和实现过程，以及其在FPDEs中的实际应用。
反常扩散的分数阶微分方程和统计模型
反常扩散的分数阶微分方程和统计模型1. 引言扩散过程是自然界中普遍存在的现象，它在化学、生物、物理、地质等领域都有广泛应用。
然而，传统扩散理论中常常将扩散过程看做是线性、连续且介质均一的，使得很多非线性、离散或不均匀介质中的扩散问题得不到很好的描述。
为了更加贴近实际情况，研究者们提出了一系列反常扩散理论，其中分数阶微积分是一种有效的描述工具之一。
2. 分数阶微积分传统微积分中，导数和积分都是整数次的，而在分数阶微积分中，导数和积分可以是非整数次的。
例如，分数阶导数定义为：$$\frac{d^\alpha f(x)}{dx^\alpha}=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{(x-t)^\alpha}dt$$其中$\Gamma$为Gamma函数，$\alpha$为分数阶指数。
分数阶微积分的引入可以更好地描述非线性和非均匀介质中的物理现象。
3. 分数阶扩散方程将分数阶微积分引入扩散方程中，可以得到分数阶扩散方程，其一般形式为:$$\frac{\partial^{\alpha} c(x,t)}{\partialt^{\alpha}}=D\frac{\partial^2 c(x,t)}{\partial x^2}$$其中$c(x,t)$为浓度分布函数，$D$为扩散系数，$0<\alpha<2$为分数阶指数。
该方程可以较好地描述离散、非线性、非均匀介质中的扩散行为。
4. 分数阶随机过程实际中，扩散过程往往受到各种随机因素的影响，因此随机过程在反常扩散中的应用也备受关注。
分数阶随机过程是一种综合了分数阶微积分和随机过程的描述工具，可以有效地描述具有长程记忆的随机过程。
分数阶随机过程类似于经典随机过程，但是对于分数阶微积分的引入使得其可以更好地描述非平稳、长程相关的现象。
5. 分数阶扩散的应用分数阶扩散方程和分数阶随机过程被广泛应用于晶体生长、药物传输、交通流动、股票价格等领域。
分数阶导数与分数阶微分方程
要点三
计算方法
整数阶导数的计算方法相对简单，可 以通过求极限的方式得到；而分数阶 导数的计算涉及复杂的数学运算，如 特殊函数的计算、数值逼近等。
02 分数阶导数的定 义与性质
分数阶导数的定义
分数阶导数是一种扩展了整数阶导数的概念，其中导数的阶数可以是任意 实数或复数。
分数阶导数描述了函数在某一点的非局部性质，即函数在该点附近的变化 情况，而不仅仅是该点的局部变化率。
生物医学工程
在生物医学工程中，分数阶微分方程可以用来描述生物组 织的电生理特性、药物代谢过程等，为生物医学研究和治 疗提供新的思路和方法。
04 分数阶导数与分 数阶微分方程的 数值计算
分数阶导数的数值计算方法
01
Grunwald-Letnikov方法
基于整数阶导数的差分定义，通过极限过程推导得到分数 阶导数的差分格式。
描述复杂系统的动力学行为
分数阶导数能够更准确地描述具有记忆效应和长程相互作 用的复杂系统的动力学行为，如黏弹性材料、电解质溶液 等。
建模非线性物理现象
分数阶微分方程可用于建模非线性物理现象，如混沌、分 形、湍流等，这些现象在传统整数阶导数框架下难以准确 描述。
量子力学与统计物理中的应用
在量子力学和统计物理中，分数阶导数和分数阶微分方程 可用于描述粒子的非经典扩散行为、量子隧穿等现象。
分数阶导数具有非局部性，即函 数在某一点的分数阶导数不仅与 该点的函数值有关，还与函数在 该点附近的其他点的函数值有关 。
分数阶导数的计算方法
分数阶导数的计算可以通过定义直接进 行，但这种方法通常比较复杂且计算量 大。
可以利用一些特殊函数（如Gamma函数、 Beta函数等）的性质来简化分数阶导数的计 算。
地下水溶质反常运移的分数阶对流扩散模型研究进展
地下水溶质反常运移的分数阶对流扩散模型研究进展
王景瑞;赵建世;胡诗若
【期刊名称】《中国环境科学》
【年(卷),期】2022(42)12
【摘要】地下水溶质在非均质多孔介质中的扩散过程并不总是遵循Fick定律,因此称为反常扩散或反常运移,其本质上是非马尔可夫非局域性过程.分数阶对流扩散模型可以对含水层中溶质的这种运移进行充分而准确的描述.本文在阐明多孔介质溶质反常运移基本问题及其动力学机理基础上,综述了三类分数阶对流扩散模型,即空间分数阶对流扩散模型、时间分数阶对流扩散模型和分布式分数阶对流扩散模型,并详细讨论了分数阶对流扩散模型在地下水溶质反常运移领域的应用前景和挑战.【总页数】11页(P5845-5855)
【作者】王景瑞;赵建世;胡诗若
【作者单位】清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】X523;P641.2
【相关文献】
1.SWMS二维地表水水流和溶质运移模型系统 GWMS三维地下水水流和溶质运移模型系统
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3.SWMS二维地表水水流和溶质运移模型系统 GWMS三维地下水水流和溶质运移模型系统
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GWMS三维地下水水流和溶质运移模型系统5.基于时空分数阶导数模型的潜流带溶质运移模拟
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一类分数阶种群扩散模型解的研究
一类分数阶种群扩散模型解的研究刘艳芹【摘要】Time fractional nonlinear Fisher' s single population equations from the generalized Fick diffusion law are studied. Its numerical solutions are obtained by using the variational iteration method, and the results are also discussed.%从推广的Fick扩散定律出发研究了一类时间分数阶Fisher单种群扩散模型.利用变分迭代法求解了三种不同情况下的近似解,对结果进行了讨论和数值模拟.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2012(048)024【总页数】4页(P7-9,19)【关键词】分数阶微积分;分数阶Fisher方程;非线性方程;变分迭代法【作者】刘艳芹【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O175.291 引言分数阶微积分[1-3]的发展史几乎与整数阶微积分的发展史相同。
然而，由于长期没有得到实际应用背景的促进而发展缓慢。
近些年来，由于在物理方面大量的应用和较合理的几何解释而被关注，从而广泛地应用在科学技术和工程等学科中。
例如，分形介质的反常扩散、粘弹性流体力学、量子力学[4-5]等方面。
Fatemeh[6-7]等人对一类种群模型利用变分迭代法进行了研究。
Wazwaz[8]研究了一系列Fisher型非线性种群扩散问题，目前关于分数阶种群模型的研究尚处于初步的阶段。
考虑到实际问题环境的复杂性和分数阶算子的长范围相关性，首先建立推广的时间分数阶Fick扩散定律：这里的J是由于密度的空间分布不均匀而导致的扩散流，将方程（1）代入到质量守恒方程d/dt=∂/∂t+∇·J中得到如下有源情况下推广的分数阶Fisher型单种群扩散方程：这里u(x，t)表示单种群的密度，反应项F(u)是依赖于种群出生率和死亡率的种群增长项并且满足F(0)=F(1)=0，F′(0)＞0＞F′(1)，方程（1）中的分数阶导数采用Caputo导数定义，且0＜α≤1，t＞0，x∈R。
分数阶反应扩散模型在图灵斑图中的应用及数值模拟
分数阶反应扩散模型在图灵斑图中的应用及数值模拟张荣培;王语【摘要】斑图是在空间或时间上具有某些规律性的非均匀宏观结构,是可以用反应扩散系统描述其图案形成的数学模型之一.反应扩散系统中,稳定状态会在某些条件下失稳,产生空间定态图纹,即图灵斑图.分数阶反应扩散系统可以用来描述反常扩散运动.通过分数阶拉普拉斯算子的谱分解进行线性稳定性分析,研究系统模型的图灵不稳定性,详细阐述分数阶图灵斑图的数学机制和二维分数阶Gierer-M einhardt 模型下斑图的形成机理.在数值计算中,采用了高效、高精度的数值格式,空间离散采用傅里叶谱方法,离散结果具有谱精度.时间离散采用四阶龙格库塔指数时间差分方法.在数值模拟方面,以分数阶Gierer-M einhardt模型为例,发现系统可以通过控制分数阶阶数的变化生成斑图,并验证了之前的理论结果.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(037)003【总页数】4页(P215-218)【关键词】图灵斑图;分数阶反应扩散方程;傅里叶谱方法;指数时间差分方法【作者】张荣培;王语【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O241.82反应扩散系统在生物、化学、物理和工程中的图案形成中有着广泛的应用。
如生物学[1-3]、物理学[4-5]、神经科学[6]、光学[7]、化学[8]和地质学[9]等。
近几十年来,分数反应扩散模型因其在各个科学和工程领域的应用也引起了人们的广泛关注和兴趣[10]。
从数学的观点来看,分数阶反应扩散系统可以用一个偏微分方程组描述:(1)其中:u为“活化剂”;而v为“抑制剂”;Du,Dv为常数扩散系数;表示分数阶拉普拉斯算子;f,g描述了反应动力学;α1<2,α2<2描述了分数次超扩散。
边界采取零通量边界条件:(n·)对于大多数分数阶微分方程,没有一种普遍有效的方法来求精确解。
复杂介质中扩散和耗散行为的分数阶导数唯象建模
复杂介质中扩散和耗散行为的分数阶导数唯象建模
近几年来，随着互联网技术的不断发展，分数阶导数唯象建模也异常广泛的应用于复杂介质中的扩散和耗散行为的研究。
分数阶导数唯象建模是通过用算法对复杂介质中的非均匀性和时变性进行描述，来处理描述复杂介质。
它比传统的模型要复杂的多，它能够有效的模拟出复杂介质中扩散和耗散行为的物理意义，从而为复杂介质的研究提供宝贵的参考。
分数阶导数模型最大的优势在于它可以更好地描述复杂介质扩散过程中的波动行为。
包括建立扩散模型、求解扩散模型的混合积分方程、模拟出复杂介质中的波动行为等，它们都可以在分数阶导数模型中得以较好的实现。
例如，分数阶导数模型可用于模拟水土流失和耕地覆被变化，还可以用于模拟色、形状波动行为，从而更加精确预测复杂介质中对物质运移的影响。
另外，由于分数阶导数模型比传统模型更加灵活，所以它能够更加精确的模拟出复杂介质中的各种复杂变化行为。
与传统模型相比，它的计算效率也更加高效，能够在更短的时间内完成更加复杂的任务。
总而言之，分数阶导数唯象建模技术是一种处理复杂介质问题的十分有效的模型，它可以用来更加准确的模拟出复杂介质中扩散和耗散行为，为复杂介质的仿真提供重要的参考，也大大提升了信息处理的效率。
空间分数阶对流扩散方程
空间分数阶对流扩散方程摘要：1.空间分数阶对流扩散方程的概述2.分数阶微分方程的发展与应用背景3.分数阶对流扩散方程的数值解法4.数值解法的应用及挑战5.未来研究方向与展望正文：1.空间分数阶对流扩散方程的概述空间分数阶对流扩散方程是一类描述物质传输过程的偏微分方程，其中包含分数阶导数。
与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程能够更好地模拟某些自然物理现象和动态系统过程，因此在物理、工程、金融、地下水和环境问题中得到了广泛应用。
然而，分数阶微分方程的求解方法远不如整数阶微分方程那样完善，目前尚无系统的求解公式，研究仍处于初级阶段。
2.分数阶微分方程的发展与应用背景分数阶微分方程是从实际问题中抽象出来的一类微分方程。
随着科学技术的发展，分数阶微分方程在各个领域的应用日益广泛，例如物理学中的混沌现象、工程学中的动态系统、金融学中的风险管理等。
这使得分数阶微分方程的研究成为了一个重要的课题。
3.分数阶对流扩散方程的数值解法针对分数阶对流扩散方程，目前主要的数值解法有有限差分法、有限体积法、有限元法等。
这些方法各有优缺点，例如有限差分法简单易行，但可能存在数值稳定性问题；有限体积法和有限元法较为稳定，但计算复杂度较高。
此外，还有一些基于特殊函数或级数的数值解法，但它们的适用范围较有限。
4.数值解法的应用及挑战分数阶对流扩散方程的数值解法在实际应用中具有重要意义，可以用于模拟污染物的扩散、生物种群的演化、金融市场的风险等。
然而，在实际应用过程中，仍然面临许多挑战，例如如何选择合适的数值方法、如何处理复杂的边界条件和初始条件、如何提高计算效率和精度等。
5.未来研究方向与展望针对分数阶对流扩散方程的研究，未来的发展方向包括：寻求更一般、更简洁的数值解法；研究分数阶对流扩散方程的稳定性和收敛性；探讨分数阶对流扩散方程与其他数学领域的联系；深入研究分数阶微分方程的性质及其应用。
一类描述次扩散现象的分数阶偏微分方程研究
一类描述次扩散现象的分数阶偏微分方程研究毛志【摘要】In this paper, we derive the fractional partial differential equation describing subdiffusion from the master e- quation in its integral form. It shows that this master equation is equivalent with continuous time random walk model.%通过积分形式的主方程出发导出了一类分数阶偏微分方程，进一步说明了其可用来描述反常扩散中的次扩散现象。
最后，证明了该积分形式的主方程与连续时间随机游走（CTRW）模型是等价的。
【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(007)004【总页数】3页(P12-14)【关键词】分数阶偏微分方程;反常扩散;主方程;连续时间随机游走;次扩散【作者】毛志【作者单位】铜仁学院数学与计算机科学系,贵州铜仁554300 湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105【正文语种】中文【中图分类】O172.11 引言近年来，在破缺媒介及非大数定理统计下的反常扩散现象引起了人们的极大关注。
[1]例如在多孔介质、等离子体、核磁共振、湍流、高分子聚合物、DNA 和蛋白质分子的传输等系统中就表现出偏离布朗运动的特征。
[2] 正常扩散粒子的运动是布朗运动，其均方位移(位移平方的均值)＜x2(t)＞与运移时间t 呈线性关系:＜x2(t)＞= 2K1t，其中K1 为扩散系数。
布朗运动本质上是一种马尔科夫局域性的运动。
[3]而对于反常扩散粒子的运动而言，则是非马尔科夫非局域性的运动。
因此，反常扩散必须考虑运动过程的记忆性和长程相关性。
于是，反常扩散粒子的运动不再是布朗运动，其均方位移是运移时间的非线性函数:＜x2(t)＞～Kαtα 。
分数阶微积分及其在无限分形介质反常扩散方程中的应用的开题报告
分数阶微积分及其在无限分形介质反常扩散方程中的应用的开题报告一、研究背景及意义在自然界中，许多物理、化学和生物过程的动力学都表现出非线性及反常行为。
一般的偏微分方程及常规微积分工具难以解释和描述这些现象，因此分数阶微积分被引入用于研究这些反常行为。
分数阶微积分不仅为解释自然界的非线性和反常行为提供更广阔的视角，而且在应用中也具有广泛和重要的意义。
例如，在物理学和化学中，分数阶微积分已成功应用于描述粘性流体、时空分形介质中的扩散、介电材料中的电导、缓释药物的释放以及分形骨架监测等方面。
因此，本研究将利用分数阶微积分的理论工具，探索其在无限分形介质反常扩散方程中的应用，为更好地理解和描述自然界的反常行为提供一定的理论支持。
二、研究内容及方法本研究将围绕无限分形介质反常扩散方程展开研究，并尝试使用分数阶微积分的概念和方法来解释和描述其反常扩散特征。
具体而言，研究将包括以下内容：1.分数阶微积分初步理论概念及其应用在无限分形介质反常扩散方程中的分析和应用；2.利用数值方法分析分数阶无限分形介质反常扩散方程的解的性质及稳定性；3.推导分数阶扩散方程的稳定性条件，并探究其反常扩散机理。
本研究将主要采用数学分析和计算机数值计算方法，并结合现有的理论和实验研究成果进行探讨。
三、预期成果通过本研究的实施，预期将得到以下成果：1.深入理解分数阶微积分的理论基础，以及其在反常扩散方程中的应用和意义的进一步认识；2.深入理解无限分形介质反常扩散方程的性质和特征的认识，包括其稳定性和可解性的研究；3.推导分数阶扩散方程的稳定性条件，并归纳其反常扩散机理。
通过这些成果，我们将为更好地理解和描述自然界的反常行为提供理论支持，以及为更有效地实现反常扩散行为的控制和应用提供基础。
分形介质分数阶反常守恒扩散模型及其解析解
分形介质分数阶反常守恒扩散模型及其解析解
蒋晓芸;徐明瑜
【期刊名称】《山东大学学报：理学版》
【年(卷),期】2003(38)5
【摘要】建立了分形介质中分数阶瞬时点源反常守恒扩散模型 .并利用分数阶微积分理论和Fox函数理论给出了解析解 ,同时给出了散射函数谱的表达式 .结果表明 ,散射函数谱仍具有尺度函数的特性 ,经典的瞬时点源扩散问题可作为特例 ,所得解析解可作为基本解进行叠加 .
【总页数】4页(P29-32)
【关键词】反常扩散;分数阶微积分;Fox函数;散射函数
【作者】蒋晓芸;徐明瑜
【作者单位】山东大学数学与系统科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O29;O175.6
【相关文献】
1.分数阶反常扩散方程及其精确解 [J], 吕龙进;肖建斌
2.有限分形介质中分数阶反应扩散方程及其解析解 [J], 刘艳芹; 蒋晓芸
3.时间分布阶反常扩散方程的解析解 [J], 郑达艺;张洁
4.时间分布阶反常扩散方程的解析解 [J], 郑达艺;张洁
5.药物控释系统中分数阶反常扩散可动边界问题的精确解 [J], 刘君义;徐明瑜
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地下含水层溶质运移（III）
天然裂隙介质中荧光素钠的迁移过程（瑞士Grimsel实验基地）
反常扩散过程中介质结构、饱和度或孔隙率变化引起扩散行为 的改变。
G. Kosakowski et al., PSI Rep. 05-03, Paul Scherrer Inst., Switzerland, 2005.
C(r, t) t
C(r, t) r
(k C(r, t)), r r
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HG Sun, W. Chen and YQ Chen. Phy. A, 389(2010) :2719-2724. HG Sun, et al. Adv. Water Res., 52(2013): 292-295
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国际华人青年水科学协会(CYWater)2013夏季会议，北京，2013年8月3日
复杂介质中反常扩散分数阶导数 建模与应用：基本思想与进展
报告人：孙洪广 河海大学，水力学与流体力学研究所
Email：shg@
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• 研究背景
目录
• 建模与应用
1.分数阶导数&反常扩散建模 2.相关实验数据分析
相关实验数据分析
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地下含水层溶质运移（I）
溴离子在地下含水层中的迁移过程（美国内华达州）
控制方程
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地下含水层溶质运移（I）
实验与数值结果比较
长时间历程溶质浓度演化曲线
Sun HG, et al. Philosophical Transactions of Royal Society A, 2013, 371, 20120268.
研究的必要性与范围
• 污染物扩散或迁移过程的机理分析是水文和环境科学主要 的研究课题之一；
• Fick扩散定律是分析溶质在均匀介质中运移的基本工具， 但是实验和实测结果表明各向异性介质中的扩散行为一般 不符合Fick扩散定律；
• 污染物扩散或迁移过程机理分析的核心问题之一是复杂介 质中反常扩散（非Fick扩散）过程的分析与模拟；
B. Berkowitz, et al., Rev. Geophys., 44(2006), RG2003.
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分数阶导数&反常扩散建模
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分数阶导数定义
离散定义（Gruwald-Letinikov）
a Dtp
lim h p
h0 nht a
r
n 0
(1)r
p r
f
(t
rh)
积分-微分定义（Riemann-Liouville）
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拖尾现象
时间分数阶模型
a
C(r, t
t)
C(r, t
t)
C(r, r
t)
r
(k
C(r, r
t)
)
Y. Zhang. Phys. Rev. E 78 (2008), 036705
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非Gaussian分布
空间分数阶模型
C(r, t
t)
C(r, r
t
)
K
C(r, r
t)
Y. Zhang , et al. Adv. Water Res. 32 (2009): 561–581
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D. A. Benson, et al Water Resour. Res., 40(2004): W12416.
分数阶导数模型的延伸与物理解释
分数阶布朗运动
Lévy统计
统计物 分数阶导数 理解释 溶质扩散方程
变导数 溶质扩散方程
随机行走模拟 （CTRW）
分形导数 溶质扩散方程
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• 主要研究复杂介质中的反常扩散建模与应用，本文考虑的 复杂介质主要是地下含水层和土壤。
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反常扩散
• 反常扩散一般是指不遵守Fick扩散定律或布 朗运动规律的扩散行为。
H=0.5 正常扩散过程（Fick扩散定律）
H>0.5 超（快速）扩散过程 H<0.5 次（慢）扩散过程
反常扩散过程
R. Metzler, J. Klafter, Physics Reports 339 (2000) 1-77
基本理论模型
分数阶对流-扩散方程模型
C(r, t
t)
C(r, r
t)
r
(k
C(r, r
t)
),
0 1;
1 2.
变导数分数阶对流-扩散方程模型
(c,x,t)C(r, t) t (c,x,t)
C(r, t) r
r
(k
( c, x , t )分形导数对流-扩散方程模型（尺度变换方法）
HG Sun, et al. J. Contaminant Hydrology, 2013 (under Review).
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分数阶扩散模型刻画悬移质运动
平稳状态下悬移质运动的扩散模型可表述为
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反常扩散
• 机理: (1)流场的复杂性；(2)介质的各向异性与非 均匀性; (3)化学反应与生物活性的影响；
• 地下含水层中，优势水流通道网络的存在导致超 （快）扩散现象，而某些介质中存在的低渗透基质 将对扩散过程形成阻滞作用，造成次（慢）扩散现 象；
• 问题：反常扩散或迁移过程量化建模分析的理论框 架还不完善。
• 结论与展望
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应用背景
地下水溶质运移
非饱和土壤水分和溶质扩散
泥沙输运
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研究背景
中国地下水信息网 /dxs/HydRes.htm /articleread.asp?u=104w293w3426t0
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a Dtp y(t)
1 (n
p)
dn dxn
t
(t
a
)n p1 f
( )d , (n 1
p
n)
微分-积分定义（Caputo）
C
a
Dpt f
(t)
1 (n
p)
t a
(t
f (n) ( ) )p1n
d
,
(n
1
p
n)
陈文、孙洪广、李西成，力学与工程问题的分数阶导数建模，科学出版社, 2010年
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地下含水层溶质运移（II）
某天然介质中，氢同位素（氚 ）的迁移过程（美国密西西比）
实验地点
测量点布置
含水层成分
Boggs, J. M., et al., Water Resour. Res., 28(12)(1992): 3281-3291. Y. Zhang , et al. Water Resour. Res., 43 (2009): W05439