流体力学-2-4

大气流体力学
大气科学学院，王伟
应力张量
广义牛顿粘性假设
内容
第一节 连续方程
第二节 作用于流体上的力、应力张量
第三节 运动方程及其简化
第四节 能量方程
第五节 纳-斯托克斯方程的简单解
第三节 运动方程
作用于流体的力 牛顿第二定律（动量守恒）
•流体的运动方程 （普遍形式） •纳维--斯托可斯（N--S）方程（具体形式） •欧拉方程（理想流体运动方程） •静力方程 （最简单情形的运动方程）
p g ( z )z +常数
而对于均匀不可压流体，则有：
p gz +常数
以上二式表明，流体静止时压力只与流体深度有关。
1 gk p

阿基米德定律－－－静力方程的变形：当体积为 的物体 浸于流体中时，四周液体对物体表面存在静压力的作用， 且压力合矢量为：
2 dV 1 1 F p graddivV V dt 3
欧拉方程表明：压力梯度力可以引起运动状态的变化，反 之流动结果又会使原来的压力分布状况发生变化（或者说 压力梯度发生变化）。
注意：欧拉方程适用于不可压缩和可压缩理想流体。 1 dV F p dt
1 2 0 x y z 3
2 （2） graddiv V 0 3
1 0 x y z 0
p
0 p 0
0 0 p
2 （ 1 ） graddiv V V
dV 1 F+ P dt
根据广义牛顿粘性假设及张量运算知识， 导出N-S方程。 解：
dV 1 F+ P dt
2 P 2 A ( p divV ) I 3
dV 1 F P dt
2 P 2 A ( p divV ) I 3
ab
2
p p dx dy dp x y
( x 2 y 2 ) c0
等压线方程 ( x 2 y 2 ) c
上下侧面： p pzx z xy zx
p yxxz

z

p zx xy
因此，周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x方向的 表面力合力为：
p xx p yx pzx x y z xyz
质量力
小体元还受质量力的作用：
p xx p yx pzx 最终有： du F 1 x dt x y z dv 1 p xy p yy pzy 流体运动方程 Fy dt x y z 的普遍形式 dw 1 p xz p yz pzz Fz dt x y z 矢量形式 dV 1 px p y pz F dt x y z
x
x 前后侧面：
yz
p xx
?
p xx
p xx x yz p xx x
p xxyz
小体元所受的x方向的表面力 =
p xx x y z 前后侧面之和： x
p yx 右左侧面： p yx y y xz
2 graddiv V V
dV 1 F P dt
2 P 2 A ( p divV ) I 3
0 u v w x y z 0 0 0 u v w x y z
u v w x y z
1 u w ( ) 2 z x 1 v w ( ) 2 z y w z
u 1 u v ( ) x 2 y x 1 1 v u v 2 ( ) x y z 2 x y y 1 w u 1 w v ( ) ( ) 2 x z 2 y z
dV 1 2 F p V dt
②方程最后一项 V ，是周围流体对单位质量流点的粘
2
性力的合力矢，其效果也相当于质量力，称之为粘性（粘滞、 摩擦）力。
粘性力的存在，不但与流体的粘性有关，而且取决于流 速的分布。 2 当流体做整体运动时， V 0 ，流点就不受粘性力的 作用。 通常，粘性力可以是曳力，也可以是阻力，这由流速的 拉普拉斯所决定。从物理意义上来看，如果周围流体的运动 比所考虑的流点的运动快，该流点所受的粘性力为曳力，反 之，则为阻力。这是与外摩擦力的主要区别。
p pnd

应用体积分变换，可以得到： p pd gkd gk 上式表明，物体浸于液体时，将受到来自液体的向上的浮 力，其大小等于物体所排开的同体积的液重。

注意：以上结论只有在流体处于静止时才适用。
例题2-3-1由方程
du 1 p dt x
dv 1 p dt y
u = ay，v =bx，w =0
u 1 v y v 1 u x p 1 abx x p 1 aby y p x p y
p
p abx x p aby y
单位质量流体在 x 方向的运动方程
同理可得：
dv 1 p xy p yy pzy Fy dt x y z
单位质量流体在 y 方向的运动方程
dw 1 p xz p yz pzz Fz dt x y z
4、静力方程
1 dV F p dt
如流体静止时，即流体的速度和加速度的个体变化均为零， 作用于流体的力应该达到平衡。此时，可得如下形式方程：
1 0 F p

即所谓的静力方程。
它表明了流体的粘性只与流体的运动状态有关，或者说流 体的粘性只有在相对运动时才体现出来。也就是说，当流 体静止时，理想流体和粘性流体均满足以上平衡方程。
xyz x方向的质量力= F x
据牛顿运动定律：小体元受力等于其质量与加速度的乘积：
p xx p yx pzx du xyz Fx xyz xyz dt y p yx pzx Fx dt x y z
单位质量流体在 z 方向的运动方程
p xx p xy p xz 1 d V 或者： F P 其中： P x y z p yx p yy p yz dt p p p
zx zy zz
①方程右端的第二项 p 可作变换：
pd
1 1
1
1
1
pnd

从而得到：
1 p lim pnd 0
即为周围流体通过单位质量流点的表面，对其所产生的压力 的合力矢量＝＝＝相当于作用于单位质量流点上的质量力， 将其称为压力梯度力，它是由于正压力引起的。
这就是适合牛顿粘性假设的流体运动N-S方程。
定义 / 流体运动学粘性系数，记作 。 对于不可压流体 divV 0 dV 1 2 F p V 方程简化为： dt
直角坐标系中形式为：
u u u u 1 p 2 u v w F u x t x y z x v v v v 1 p u v w F 2 v y x y z y t w w w w 1 p u v w F 2 w z x y z z t
3、欧拉方程
理想流体（不考虑流体粘性），则纳维--斯托可斯方程：
2 dV 1 1 F p graddivV V dt 3
可以简化，相当于去掉方程中含有粘性的项。 于是，方程简化为：
1 dV 欧拉方程： F p dt
理想流体的运动方程
牛顿第二定律在流体力学 中的表示式，表明了作用 力与流体运动参量之间的 关系。
方程物理意义的讨论：
dV 1 2 F p V dt ① ②
其中 dV / dt 是单位质量流体的加速度， F 为单位质量流体 所受的质量力。
dV 1 2 F p V dt
一、流体的运动方程
在运动流体中选取一小六面体体元， 其边长分别为： z x, y, z
z
根据牛顿第二定律：
dV xyz =质量力+表面力 dt dV F F质 F表 dt
y
x
x
y
为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。
表面力分析
周围流体对小体元的六个表面有表面力的作用，而通过六个 侧面作用于小体元沿 x 方向的表面力分别为：

二、纳维--斯托可斯（Navier—Stokes）方程
流体运动方程 的普遍形式
广义牛顿粘性假设
应力张量展开
纳维--斯托可斯方程
dV 1 F P dt
流体运动方程 的普遍形式
2 P 2 A ( p divV ) I 3
广义牛顿粘性假设
2 dV 1 1 F p graddivV V dt 3
2 dV 1 1 F p graddivV V dt 3
例题2-3-2已知流场 u = ay，v =bx，w =0，其中a、b为常数， 试根据不计质量力和流体粘性的运动方程，导出 等压线方程。
解：不计质量力和流体粘性的运动方程：
dV 1 P dt
静力方程应用举例：
假设流体所受的质量力就是重力， 静力方程可以变化为：
1 0 F p

1 gk p

或者
p gz
上式表明：当流体静止时，作用于单位截面积流体柱的顶 面、底面上的压力差，正好等于流体柱的重力；流体静止 时的压力，可以用流体柱的质量来表示。