等价无穷小、常用极限、常用泰勒展开式
等价无穷小常用公式大全
等价无穷小常用公式大全
等价无穷小是微积分中的重要概念，常用的等价无穷小公式有很多，下面我将列举一些常见的等价无穷小公式大全：
1. 当 x 趋近于 0 时，常用的等价无穷小有：
x 和 sin(x) 是等价无穷小。
x 和 tan(x) 是等价无穷小。
x 和 ln(1+x) 是等价无穷小。
x 和 e^x 1 是等价无穷小。
x 和 arctan(x) 是等价无穷小。
x 和 sinh(x) 是等价无穷小。
x 和 tanh(x) 是等价无穷小。
2. 当 x 趋近于正无穷或负无穷时，常用的等价无穷小有：
1/x 和 1/(x^2) 是等价无穷小。
e^x 和 e^(2x) 是等价无穷小。
sin(x) 和 cos(x) 是等价无穷小。
ln(x) 和 ln(x+1) 是等价无穷小。
x 和 x^2 是等价无穷小。
3. 在极限运算中，常用的等价无穷小公式有：
若 f(x) 和 g(x) 是 x 趋近于 a 时的等价无穷小，且 h(x) 是 g(x) 的一个连续函数，则 f(x) 和 h(x) 也是等价无穷小。
若 f(x) 和 g(x) 是 x 趋近于 a 时的等价无穷小，且 c
是一个常数，则 cf(x) 和 cg(x) 也是等价无穷小。
若 f(x) 和 g(x) 是 x 趋近于 a 时的等价无穷小，则 f(x) + g(x) 也是等价无穷小。
以上是一些常用的等价无穷小公式大全，这些公式在微积分和数学分析中经常被使用，对于理解极限、导数和微分等概念非常重要。
希望这些公式对你有所帮助！。
等价无穷小
等价无穷小在微积分中，我们经常会遇到无穷小这个概念。
无穷小是极限理论中的一种特殊概念，用来描述函数在某一点附近无限接近于零的性质。
而等价无穷小则是在极限过程中，可以相互替代的一种特殊情况。
本文将介绍等价无穷小的概念及其在微积分中的应用。
无穷小的定义在微积分中，函数f(f)在点f处是无穷小，是指当f趋近于f时，函数值f(f)趋近于零。
数学上可以用极限的方式来表示无穷小：$$\\lim_{x \\to a} f(x) = 0$$无穷小可分为正无穷小和负无穷小。
正无穷小是指当f趋近于f时，函数值f(f)趋近于零，但是始终大于零。
负无穷小则是指当f趋近于f时，函数值f(f)趋近于零，但是始终小于零。
等价无穷小的定义如果两个无穷小$\\alpha(x)$和$\\beta(x)$满足以下条件：$$\\lim_{x \\to a} \\frac{\\alpha(x)}{\\beta(x)} = 1$$那么我们称$\\alpha(x)$和$\\beta(x)$是等价无穷小。
换句话说，当f趋近于f时，$\\alpha(x)$和$\\beta(x)$的行为非常相似，它们之间的比值接近于1。
等价无穷小的性质等价无穷小具有以下几个重要的性质：1.若$\\alpha(x)$为无穷小，则$c\\alpha(x)$也为无穷小，其中f为常数。
2.若$\\alpha(x)$和$\\beta(x)$为等价无穷小，则$\\alpha(x) \\pm \\beta(x)$也为等价无穷小。
3.若$\\alpha(x)$和$\\beta(x)$为等价无穷小，则$\\alpha(x)\\beta(x)$也为等价无穷小。
等价无穷小的应用在微积分中，等价无穷小的概念常常用于简化计算过程。
通过找到与给定无穷小等价的更简单的无穷小，我们可以化简复杂的极限计算和函数的近似表达。
举一个简单的例子，考虑函数$f(x) = \\sin(x) - x$，我们希望求解f趋近于0时，函数f(f)趋近于零的性质。
极限求解--泰勒公式理解
tan x - sin x x 1 x3 o(x3 ) - (x 1 x3 0(x3 )) 1 x3 o(x3 )
3
6
2
这里由“幂次最低”原则，因为分母化简后 x3 系数不为 0，因此取到 3 次幂即可，由此在化简
分子的时候，也只需要化简到 3 次幂就可以了；
由分子为复合函数相减，将(1)和(2)代进(3)，有：
次方即可（不理解的小伙伴可以根据前面的高阶无穷小计算规则进行理解）
在(6)式中，看似很复杂，我们主要抓住 3 次幂这个点就可以简单拆分了，如 1 (x 1 x3 )2 23
一般的计算结果为 1 (x2 2x 1 x3 (1 x3 )2 ) ，但我们可以看出后面两项为 o(x3 ) ，原因是
2
lim 计算
etan x esin x
x0 tan x sin x
【分析】
先将基本展开式写出来：
tan x x 1 x3 o(x3 ) (1) sin x x 1 x3 0(x3 ) (2)
3
6
因为分母看着要比分子容易化简，所以我们先化简分母
ex 1 x 1 x2 1 x3 o(x3 ) (3) 26
【举个栗子】已知当x
x2
0时，e 2
cos
x与ax b是等价无穷小, 求a, b
【分析】
当x 0时，
x2
e2
1 ( x2 ) 1 ( x2 )2 1 ( x2 )3 o(( x2 )3 )
222 62
2
cos x 1 x2 x4 o(x4 ) 2 24
由上面可见，当 x为4次方时，A和B的展开式系数不一样了 ，因此取到最低次幂也 就是4
33
除了第一项，其他的项进行展开时都带有 1 x3 ，所以实际上我们只需要将 1 (x 1 x3 )2 写成
数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法（定稿）（1）..
阜阳师范学院信息工程学院u F uy n y a ng g S h f i fa a n X u X ue u e y ua a n n X i nx x i G o G on n g h c he n e ng g X u X ue u e y uan an 本科毕业论文题 目目: : 数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法学学 生生: : 方方 常常 学学 号：号：号： 201002010312 201002010312 学学 院：院：院： 阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院专 业：业：业： 数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学 入学时间入学时间: 2010 : 2010 : 2010 年年 09 09 月月 13 13 日日 指导教师：指导教师： 王海坤王海坤王海坤 职称职称职称: : : 教授教授教授完成日期：完成日期：完成日期： 2014 2014 2014 年年 4 4 月月 20 20 日日诚信承诺书我谨在此承诺::本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种我谨在此承诺常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。
如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。
承诺人（签名）年月日目录摘要、关键字摘要、关键字 ...............................................................（...............................................................（11） 1 1 引言引言引言 .....................................................................（.....................................................................（.....................................................................（11） 2 2 极限的求法极限的求法极限的求法 ............................................................（............................................................（ (11)2.1 2.1 利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（11） 2.2 2.2 利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（22） 2.3 2.3 利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（33） 2.4 2.4 利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（33） 2.5 2.5 利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（44） 2.6 2.6 利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（44） 2.7 2.7 利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（55） 2.8 2.8 利用定积分求极限利用定积分求极限利用定积分求极限 ..........................................（..........................................（..........................................（66） 3 3 结束语结束语结束语 ..................................................................（..................................................................（..................................................................（66） 参考文献参考文献 .....................................................................（ (77)数学分析中求极限的几种常用方法姓名：方常方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤王海坤摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式三角函数是数学中的一类特殊函数，它们的输入是角度，输出是对应的三角比值。
三角函数主要包含正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，尤其在描述周期性现象和波动现象方面具有重要的作用。
正弦函数（sin）是最基本也是最常用的三角函数之一、它以单位圆上的点的纵坐标作为函数值，表示了一个角度的正弦值。
余弦函数（cos）以单位圆上的点的横坐标作为函数值，表示了一个角度的余弦值。
正切函数（tan）则表示了正弦函数与余弦函数的商，即正切值。
除了这些基本三角函数，还有诸如余割函数、正割函数、余切函数等其他与基本三角函数互为倒数关系的函数存在。
三角函数的最重要的性质之一是它们的周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，也就是说它们在每一个2π的长度上都会重复自身。
正切函数的周期是π，而其余割、正割和余切函数的周期分别是π/2、这种周期性使得三角函数在描述周期性现象和波动现象方面具有独特的优势。
极限是数学分析中一个重要的概念，用来描述数列或者函数在其中一点上的趋势或者接近程度。
在考察一点的邻域内，如果数列或者函数的取值可以无限接近其中一固定值，就称该固定值为该数列或者函数在这一点的极限。
极限的概念在微积分中占据了重要的地位，它是定义导数和积分的基础。
对于数列，如果n趋近于无穷大时，数列的极限称为数列的无穷极限。
对于函数，如果自变量x趋近于其中一点时，函数的极限称为函数的极限。
极限可以存在也可以不存在，可以是有限的也可以是无穷的。
如果存在，极限可以通过一些常用的极限法则来计算，例如加减法则、乘法法则、除法法则等。
在实际应用中，极限的计算经常用到泰勒展开等方法。
等价无穷小公式是极限计算中经常用到的重要工具，它主要用于求解一些关于无穷大的极限。
等价无穷小公式的思想是，当一个极限问题涉及到无穷大时，可以用一个与之等价的无穷小来进行近似计算。
常见的等价无穷小公式有以下几种：1. 当x趋近于0时，sin(x)与x等价，即sin(x)/x趋近于12. 当x趋近于0时，tan(x)与x等价，即tan(x)/x趋近于13. 当x趋近于无穷大时，exp(x)与x^n等价，其中n为常数，即exp(x)/x^n趋近于无穷大。
无穷小等价替换公式
无穷小等价替换公式在数学中，无穷小是一种极限的概念，指的是当自变量趋于其中一值时，相应的函数值无限接近于零的量。
无穷小等价替换则是指当无穷小之间相互替换时，它们可以在一些操作下被视为等价的。
下面详细介绍无穷小等价替换公式及其应用。
一、无穷小等价替换公式的基本概念1. 定义：设f(x)和g(x)是x趋于a时的无穷小，如果lim(x→a) [f(x)/g(x)] = 1，则称f(x)与g(x)是等价无穷小。
2.等价无穷小的性质：设f(x)和g(x)是x趋于a时的等价无穷小，则有以下性质：-基本性质：f(x)±g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-符号性质：当f(x)为正无穷小时，g(x)也为正无穷小，反之亦然；-乘法性质：f(x)g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-除法性质：f(x)/g(x)也是x趋于a时的等价无穷小。
1.x趋于零时的等价无穷小：-当n为正整数时，x的n次幂x^n是x趋于0时的等价无穷小；-当n为正整数时，x的n次方根x^(1/n)也是x趋于0时的等价无穷小；- sin(x)、tan(x)、arcsin(x)、arctan(x)等三角函数在x趋于0时都是等价无穷小。
2.无穷大替换为无穷小：-当x趋于无穷时，常数C是x趋于无穷时的等价无穷小；-当x趋于无穷时，指数函数a^x是x趋于无穷时的等价无穷小；- 当x趋于无穷时，对数函数log_a(x)是x趋于无穷时的等价无穷小。
三、无穷小等价替换公式的应用范围1.极限计算：在计算极限时，可以利用等价无穷小替换掉原函数中的无穷小项，从而将复杂的问题简化为计算等价无穷小的极限问题。
2.微分方程：在研究微分方程的解时，可以将微分方程转化为等价的无穷小方程，从而更容易求解。
3.泰勒展开：在进行泰勒展开时，可以用等价无穷小替代高阶无穷小，从而简化泰勒展开的计算过程。
4.渐近线研究：在研究函数的渐近线时，可以用等价无穷小替代函数中的无穷大项，从而找到函数的渐近线方程。
常用的等价无穷小公式大全
常用的等价无穷小公式大全等价无穷小是数学中一个重要的概念，用来描述当自变量趋于一些特定值时，函数与该值的差距相对于自变量的关系。
等价无穷小公式是用来表示等价无穷小的数学公式，可以帮助我们更快地理解和推导数学问题。
以下是一些常用的等价无穷小公式：1.当x趋于0时，常用的等价无穷小公式为：-x的n次方（n为正整数）：x^n与0的关系可以表示为x^n∼0。
- sin(x)：当 x 趋于 0 时，sin(x) ∼ x。
- tan(x)：当 x 趋于 0 时，tan(x) ∼ x。
-e^x-1：当x趋于0时，e^x-1∼x。
2.当x趋于无穷大时，常用的等价无穷小公式为：-x的n次方（n为正整数）：x^n与无穷大的关系可以表示为x^n∼∞。
-e^x：当x趋于无穷大时，e^x∼∞。
- ln(x)：当 x 趋于无穷大时，ln(x) ∼ ∞。
-1/x：当x趋于无穷大时，1/x∼0。
- sin(x)：当 x 趋于无穷大时，sin(x) 的取值在 [-1, 1] 区间内振荡。
3.在极限运算中，常用的等价无穷小公式为：-当x趋于a时，f(x)∼g(x)意味着f(x)-g(x)是一个无穷小。
-当x趋于a时，相对于f(x)的二阶无穷小有：f(x)+o(f(x))∼f(x)，其中o(f(x))表示相对于f(x)的二阶无穷小。
-当x趋于a时，f(x)∼g(x)和g(x)∼h(x)可以推出f(x)∼h(x)。
4.在求导过程中，常用的等价无穷小公式为：-当x趋于a时，f(x)-f(a)∼(x-a)f'(a)，其中f'(a)是函数f(x)在点a处的导数。
- 当 x 趋于 0 时，sin(x) - x ∼ 0.5 x^3- 当 x 趋于 0 时，tan(x) - x ∼ 0.5 x^35.在积分过程中，常用的等价无穷小公式为：- 当 x 趋于无穷大时，∫[a, x] f(t) dt ∼ F(x) - F(a)，其中F(x) 是函数 f(x) 的不定积分。
常用的等价无穷小公式大全
常用的等价无穷小公式大全
1.当x趋于无穷时：
-x的幂次：x^n（n为常数）的等价无穷小为无穷大。
-常数：任何常数c的等价无穷小为c。
- ln(x)：ln(x)的等价无穷小为无穷大。
-e^x：e^x的等价无穷小为无穷大。
- sin(x)、cos(x)、tan(x)等三角函数：这些三角函数的等价无穷小为无穷大。
-1/x：1/x的等价无穷小为无穷小。
2.当x趋于零时：
-x的幂次：x^n（n为常数）的等价无穷小为零。
- ln(1+x)：ln(1+x)的等价无穷小为x。
-e^x-1：e^x-1的等价无穷小为x。
- sin(x)、tan(x)：这些三角函数的等价无穷小为x。
- arcsin(x)：arcsin(x)的等价无穷小为x。
3.常用的等价无穷小公式：
- sin(x) ≈ x
- tan(x) ≈ x
- ln(1+x) ≈ x
-e^x≈1+x
- 1 - cos(x) ≈ (1/2) * x^2
- arcsin(x) ≈ x
- sqrt(1+x) ≈ 1+(1/2) * x
- 1 - cos(x) ≈ (1/2) * x^2
- ln(1+x) ≈ x
-e^x≈1+x
这些公式可以帮助简化计算，特别是在求极限、泰勒级数展开和近似计算时非常有用。
但是需要注意，这些等价无穷小公式只有在适当的情况下才成立，不能盲目地使用它们。
在具体的计算中，应该根据问题的性质和要求选择合适的公式使用。
等价无穷小公式大全
当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna（1+x)^a-1~ax(a≠0)值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）等价无穷小的定义：设当时，和均为无穷小量。
若，则称和是等价无穷小量，记作。
例如：由于，故有。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
定理无穷小等价替换定理设函数，，，在内有定义，且有(1)若，则；(2)若，则。
证明：(1)。
(2)。
例如：利用等价无穷小量代换求极限解：由于，而，，，故有。
注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。
如在上例中：若因有，，而推出,则得到的是错误的结果。
注：可直接等价替换的类型（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）需要满足一定条件才能替换的类型若，则（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。
公式编辑常见等价无穷小当时，注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
极限数学分析的基础概念。
它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。
极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
x趋于无穷的等价无穷小公式大全
无穷小，即趋于零的量，是微积分中非常重要的概念。
在数学分析中，我们常常遇到一些函数，当自变量趋于某个特定的值时，函数值会趋于无穷小。
而在研究这些函数的性质和极限时，无穷小的分类和等价无穷小的公式成为了不可或缺的工具。
在本篇文章中，我们将系统地介绍x趋于无穷的等价无穷小公式，并探讨其中的深度和广度。
1. 无穷小的定义让我们回顾一下无穷小的定义。
设f(x)是定义在某个区间上的函数，在x趋于无穷时，如果有极限lim(f(x))=0，那么称f(x)是x趋于无穷时的无穷小。
在实际运用中，我们常常需要研究x趋于无穷时函数表现的特点，而无穷小的概念能够帮助我们更好地理解函数的极限性质。
2. 等价无穷小的概念在研究无穷小的时候，我们经常需要比较不同函数的无穷小量级。
这时，等价无穷小的概念应运而生。
若函数f(x)与g(x)满足lim(f(x)/g(x))=1，且lim(f(x))=0，那么称f(x)与g(x)是等价无穷小。
等价无穷小的概念为我们在研究函数极限的过程中提供了更灵活的工具，使得我们能够更准确地刻画函数的渐近性质。
3. x趋于无穷的等价无穷小公式大全接下来，让我们系统地介绍x趋于无穷的等价无穷小公式。
在实际运用中，掌握这些公式能够帮助我们更快速、更准确地计算函数的极限。
下面是一些常用的x趋于无穷的等价无穷小公式：（1）当x→∞时，有sin x ≈ x，cos x ≈ 1（2）当x→∞时，有tan x ≈ x（3）当x→0时，有ln(1+x) ≈ x（4）当x→∞时，有e^x ≈ x^n (n为任意实数)（5）当x→0时，有1-cos x ≈ 1/2 x^2（6）当x→0时，有x-sin x ≈ 1/6 x^3以上是一些常用的x趋于无穷的等价无穷小公式，它们在研究函数极限和渐近性质时有着重要的应用价值。
4. 个人观点和理解对于无穷小和等价无穷小的概念，我个人认为它们在数学分析中具有非常重要的地位。
在研究函数的极限和性质时，我们常常需要借助这些概念来刻画函数的渐近行为，以便更深入地理解函数的特点。
常用的等价无穷小及泰勒公式-生活类
常用的等价无穷小及泰勒公式－生活类哎呀，说起等价无穷小和泰勒公式，可能好多人第一反应是：这不是数学里的高深玩意儿嘛，跟咱生活能有啥关系？其实啊，它们在生活中的用处可多着呢！先来讲讲我自己的一个小经历吧。
有一次我去市场买水果，摊主说他的苹果特别甜，一个差不多一斤重，十块钱三个。
我心里就琢磨了，这价格到底划不划算呀？这时候，等价无穷小和泰勒公式的思维就派上用场啦！咱们先来说说等价无穷小。
等价无穷小就像是生活中的“近似好帮手”。
比如说，当我们计算一个很复杂的东西时，如果其中一部分相对整个结果来说影响很小，那我们就可以用一个简单的、近似的东西来代替它，让计算变得容易多啦。
就像我买苹果的时候，我可以近似地认为，一斤重的苹果和 500 克重的苹果在价格上差别不大。
这就是一种等价无穷小的思维。
虽然不是完全精确，但在很多情况下能让我们快速做出大致的判断。
再聊聊泰勒公式。
泰勒公式就像是给复杂的事物来了个“解剖分解”。
它能把一个复杂的函数用一系列简单的多项式来逼近。
想象一下，你要做一个蛋糕，但是食谱上的配方特别复杂，什么几分之几克的材料，让人头大。
这时候你就可以用泰勒公式的思维，把复杂的配方近似地简化成容易理解和操作的步骤。
比如说，配方里说要加 314 克的糖，你可以近似地认为加 3 克糖也差不多，只要不是特别精细的要求，这样做出来的蛋糕也不会差太多。
在生活中，我们装修房子的时候也能用到这些知识。
比如说计算房间的面积，如果房间不是标准的长方形或者正方形，而是有各种奇怪的形状，我们就可以用近似的方法来计算，把复杂的形状看成简单的几何图形组合，这也是等价无穷小的应用呀。
还有啊，我们出去旅游规划路线和时间的时候。
如果要计算路程和时间，有时候实际情况很复杂，道路弯曲、交通状况不定。
这时候我们就可以用泰勒公式的思路，把整个行程分成几段简单的部分来估算，虽然不是百分百准确，但能给我们一个大致的参考，让我们心里有个数。
总之，等价无穷小和泰勒公式可不仅仅是数学课本里枯燥的知识点，它们就像隐藏在生活中的小魔法，能帮助我们在面对各种复杂情况时，快速找到简单的解决办法或者做出大致合理的判断。
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
常用十个泰勒展开公式
泰勒公式bai是将一个在x=x0处具有n阶导数的函du数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近zhi函数的方法。
若函数f（x）在包含daox0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。
（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在极限计算中起着至关重要的作用。
在实际运用中，我们常常会用到一些关于等价无穷小的常用公式，下面就来介绍几个常用的等价无穷小公式。
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$这是一个非常经典的等价无穷小公式，它在计算极限时非常常见。
这个公式表明，当$x$趋向于$0$时，$\sin x$与$x$的比值趋向于$1$，即$\frac{\sin x}{x} \to 1$。
这个公式在计算一些涉及正弦函数的极限时非常有用。
2. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$这个公式也是关于三角函数的一个常用的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$\cos x$与$1$的差值与$x$的比值趋向于$0$，即$\frac{1 - \cos x}{x} \to 0$。
这个公式在计算一些涉及余弦函数的极限时经常被使用。
3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$这个公式是关于指数函数的一个重要的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$e^x$与$1$的差值与$x$的比值趋向于$1$，即$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$。
这个公式在计算指数函数的极限时非常有用。
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$这是关于自然对数函数的一个常用的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$\ln(1+x)$与$x$的比值趋向于$1$，即$\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$。
这个公式在计算自然对数函数的极限时经常被使用。
5. $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$这个公式是关于一般指数函数的一个重要的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$a^x$与$1$的差值与$x$的比值趋向于$\ln a$，即$\frac{a^x - 1}{x} \to \ln a$。
等价无穷小公式大全
等价无穷小公式大全在微积分中，我们经常会接触到无穷小和等价无穷小的概念，它们在求极限、微分、积分等数学运算中起着重要的作用。
本文将为大家介绍等价无穷小的概念，并列举一些常见的等价无穷小公式，希望能对大家的学习和应用有所帮助。
首先，让我们来了解一下等价无穷小的概念。
在微积分中，如果函数f(x)和g(x)满足当x趋于某一点（通常为a）时，f(x)和g(x)的差趋于零，那么我们就称f(x)和g(x)在x趋于a时是等价无穷小。
这个概念在求极限、近似计算等方面有着广泛的应用。
接下来，我们将列举一些常见的等价无穷小公式，供大家参考：1. 当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：sin(x) ≈ x。
tan(x) ≈ x。
arcsin(x) ≈ x。
arctan(x) ≈ x。
ln(1+x) ≈ x。
e^x 1 ≈ x。
(1 + x)^a 1 ≈ ax (其中a为常数)。
2. 当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：e^x ≈ x^n (其中n为任意正整数)。
ln(x+1) ≈ x。
sin(x) ≈ x。
cos(x) ≈ x。
tan(x) ≈ x。
arcsin(x) ≈ x。
arccos(x) ≈ x。
arctan(x) ≈ x。
3. 其他常见的等价无穷小公式：x^a 1 ≈ ax (其中a为常数且不等于0)。
(1 + x)^a 1 ≈ ax (其中a为常数且不等于0)。
1 cos(x) ≈ x^2/2。
(1 + x)^n ≈ 1 + nx (其中n为常数且不等于0)。
这些等价无穷小公式在微积分中有着广泛的应用，可以帮助我们简化复杂的计算，求取极限，进行近似计算等。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的等价无穷小公式，并结合其他的数学工具进行分析和计算。
总之，等价无穷小是微积分中一个重要的概念，掌握好等价无穷小公式对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
希望本文列举的等价无穷小公式能对大家有所帮助，也希望大家能在学习和工作中灵活运用这些公式，提高自己的数学水平和解决实际问题的能力。
个等价无穷小公式
个等价无穷小公式等价无穷小公式是微积分中的重要概念之一，它在研究极限、微分和积分等方面起到了重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨一些常见的等价无穷小公式，并解释它们的含义和应用。
首先我们来定义等价无穷小。
在微积分中，函数f(x)被称为在点x=a 处的等价无穷小，如果当x接近a时，f(x)和x-a相比趋近于零。
换句话说，等价无穷小可以近似看作一个非常小的量。
等价无穷小的概念对于研究函数的变化率、极限以及微分和积分的计算都具有重要的意义。
下面是几个常见的等价无穷小公式：1. x 接近于零时，sin(x)等价于 x这个公式表明，当 x 接近于零时，sin(x) 的值可以近似为 x，即sin(x)~x。
这个等价无穷小公式在计算极限时经常用到，特别是在计算泰勒级数展开式和微分的计算中。
2. x 接近于零时，tan(x)等价于 x类似于 sin(x)，tan(x) 在 x 接近于零时可以近似为 x，即tan(x)~x。
这个等价无穷小公式在研究函数的极限和微分时非常有用。
3. x 接近于零时，1-cos(x)等价于 (1/2)x^2这个公式表示，当 x 接近于零时，1-cos(x) 的值可以近似为(1/2)x^2、这个等价无穷小公式在计算极限和微分时经常用到。
4. x 接近于零时，1/(1+cos(x))等价于 (1/2)x^2类似于上述公式，1/(1+cos(x)) 在 x 接近于零时可以近似为(1/2)x^2、这个公式在计算极限和微分时非常有用。
5. x 接近于零时，ln(1+x)等价于 x这个公式表示，当 x 接近于零时，ln(1+x) 的值可以近似为 x。
这个等价无穷小公式在计算极限和微分时经常用到。
6.x接近于零时，e^x-1等价于x类似于上述公式，e^x-1在x接近于零时可以近似为x。
这个公式在计算极限和微分时非常有用。
以上是一些常见的等价无穷小公式，它们对于研究函数的极限、微分和积分等方面起到了重要的作用。
常用等价无穷小
常用等价无穷小一、无穷小在极限理论中，无穷小是一种特殊的数列，其绝对值在趋向某一极限时逐渐趋于零。
无穷小可以用于描述函数在某一点附近的行为，常用于极限的计算和证明。
对于数列 {a_n} 来说，如果当 n 趋于无穷大时，a_n 的绝对值趋于零，即 lim(a_n) = 0，则称 a_n 为无穷小。
符号上通常用小写字母 a, b, c, 表示无穷小。
二、常用等价无穷小在极限的计算中，经常会使用一些等价无穷小的性质和公式来简化计算过程。
以下是一些常用的等价无穷小：1. 当 x 趋于零时，有以下等价无穷小：x ≈ sin(x)x ≈ tan(x)x ≈ arcsin(x)x ≈ arctan(x)x ≈ e^x 1x ≈ ln(1 + x)x ≈ ln(1 x)2. 当 x 趋于无穷大时，有以下等价无穷小：x ≈ sin(x)x ≈ cos(x)x ≈ tan(x)x ≈ 1 cos(x)x ≈ 1 e^(-x)x ≈ e^(-x) 1这些等价无穷小具有类似的性质，在计算极限时可以相互替换，从而简化计算过程。
三、等价无穷小的证明对于等价无穷小的证明，通常需要使用泰勒展开式和极限的定义来进行推导。
以 x ≈ sin(x) 为例进行说明：根据泰勒展开式，我们有 sin(x) = x (x^3)/3! + (x^5)/5! (x^7)/7! +当 x 趋于零时，高阶项的绝对值会趋于零，只保留低阶项可以得到 x ≈ sin(x)。
同样地，对于其他的等价无穷小公式也可以通过泰勒展开式的推导来证明。
四、注意事项在使用等价无穷小进行计算时，需要注意以下几点：1. 在取等式时，需要注意等号两边的极限存在且相等。
2. 确保等价无穷小的适用范围，不可随意使用等价无穷小公式。
3. 需要注意一些特殊点，如函数的间断点、奇点等会影响等价无穷小的适用性。
4. 在推导等价无穷小时，要保证推导过程的合法性和准确性。
，等价无穷小是极限计算中常用的工具之一。