人教版九年级上册数学第22章二次函数 22.1.3 二次函数图像和性质 教案
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22.1.3节的内容。
本节主要介绍二次函数的图象和性质，是学生在学习了二次函数的定义、标准式、顶点式的基础上进行的。
通过本节的学习，使学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质，为学生进一步解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有所了解。
但学生在学习过程中，对二次函数的图象和性质的理解还不够深入，尤其对一些概念的内涵和外延认识不清晰。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从直观的图象中感知二次函数的性质，让学生在动手实践、合作交流中理解知识，提高学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生从图象中感知二次函数的性质，提高学生的数学观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特征，二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.教学难点：二次函数性质的灵活运用，对一些特殊函数图象的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用“引导发现法”、“案例教学法”和“合作学习法”。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合学习卡、练习题等辅助教学手段。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解二次函数的图象特征，引导学生从图象中感知二次函数的性质。
通过典型案例，使学生了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
3.课堂练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
22.1.3二次函数的图像与性质课件PPT
7
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
2 y 3x2
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
2021/3/10
14
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
增减性
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k>0
k<0
k>0
k<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
2 可以得到抛物线
y 1 x2 3 ；
2
2.对于函数y= –x2+1，当x＜0 时，函数值y随
x的增大而增大；当x ＞0 时，函数值y随x的 增大而减小；当x =0 时，函数取得最 大 值, 为1 。
2021/3/10
13
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是(C )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
问题1：当自变量x取 同一数值时，这两个 函数的函数值之间有 什么关系?反映在图 象上，相应的两个点 之间的位置又有什么 关系?
7 6 5 4 3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
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4
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
二次函数图像和性质教学设计(3篇)
二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
（指名学生回答）。
师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。
（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
人教版九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质(教案)
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将二次函数应用于生活情境，提高数学建模素养；
4.培养学生逻辑推理和数学思维能力，通过分析不同参数对二次函数图像的影响，掌握二次函数性质，提升逻辑推理素养；
5.培养学生的团队合作意识和交流能力，通过小组讨论和分享，促进学生数学表达和交流，提高数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次函数y=a(x-h)²+k的图像与性质的理解和应用。；
- h、k对图像位置（顶点、对称轴、与y轴交点）的影响；
-二次函数的最大值和最小值及其求解方法；
-二次函数的对称性及其应用。
-重点强调：
-通过实例和图示，让学生直观感受二次函数图像的特点；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y=a(x-h)²+k的基本概念、图像和性质，以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数图像和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-对二次函数性质的应用不够灵活，如对称性在解题中的应用。
-突破方法：
-利用多媒体或实物演示，让学生观察图像的动态变化，增强直观感受；
-通过具体案例，引导学生逐步学会从实际问题中抽象出二次函数模型；
-设计不同难度的练习题，让学生通过反复练习，加深对二次函数性质的理解和运用；
-组织小组讨论和互评，鼓励学生表达自己的思考过程，相互借鉴，共同提高。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案 上;(0,1) 解析 根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个 单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平 移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号 图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
人教版九年级数学 上第22章二次函数 222 二次函数的图象和性质教案
北屯中学电子备课教学设计表学科：数学年级：九_ _年级_上 _册第22章单元（章）课题22.1.3二次函数y=a (x-h)2的图象和性质备课人备课人段秋玲审核人赵兰授课人课标解读与教材分析课标要求1.会用描点发画出二次函数图象，能通过图像认识二次函数性质。
2.会确定二次函数的图像顶点，开口方向和对称轴。
3.经历二次函数图象平移的过程。
教材分析二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的。
二次函数的图象是二次函数性质的直观体现，因此学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题是相当重要的，为后继学习研究函数打下一定的基础。
教学目标知识与技能: 使学生能利用描点法画出二次函数y＝()2a x h-的图象。
过程与方法: 让学生经历二次函数y＝()2a x h-性质探究的过程，理解函数y＝()2a x h-的性质，理解二次函数y＝()2a x h-的图象与二次函数y＝a2x的图象的关系。
情感态度与价值观:培养学生创造思维的能力和动手实践能力，突出辩证唯物主义观点。
重点会用描点法画出二次函数y＝()2a x h-的图象，理解其性质，理解它与y＝ax2的图象的关系。
难点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝()2a x h-的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。
教学课时 1 课时课前准备课件教学时间年月日教学设计教学增补主备课人备教学设计一、情境引入：1.我们已经了解到，函数y=ax2+k图象可以由函数y=ax2的图象上下平移得到，平移的规律是怎样的？2.二次函数y＝－12(x－1)2的图象，是否也可以由函数y=ax2的图象平移而得到呢？若是，应该怎样平移？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？3.引出课题——二次函数y=a (x-h)2的图象和性质设计意图：渗透类比学习的方法，使学生对将要进行学习的新内容进行猜想，同时激发学生学习的好奇心和求只欲。
人教版九年级数学上册第22章 数 二次函数 的图象和性质
( D)
. = − +
. =
−
−
. = − −
. =
−
+
例5：把二次函数 = − ²的图象向左平移6个单位长度后得到二次函
−
−
数 = − − ²的图象，则 = _____________,
. = _____________.
【题型三】抛物线y=a(x-h)2+k的图象与性质
例6:对于二次函数y=-5(x+4)²-1的图象和性质，下列说法正确的是
(D )
A.图象与y轴交点的坐标是(0,-1) B.图象的对称轴是直线x=4
C.图象的顶点坐标为(-4,1)
D.当x<-4时，y随x的增大而增大
构可以让水从公路的下面流过.
从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图象的解析式吗？
请大家在草稿纸上画出函数y=x2的图象的图象，同桌两个
将两张图象纸叠合，将其中一张纸分别向上、下、左、右
四个方向各平移一个单位长度.
你发现了什么？
自主探究
1. (1) 在同一直角坐标系中，画出 二次函数 =
=
思想.
如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓的示意图，它们是两条
抛物线，且关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4 cm，最低点C
在x轴上，高CH=1 cm，BD=2 cm.
你能求出右侧轮廓线DFE的函数解析式吗？
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍
交通，修筑于路面以下的排水孔道（过水通道），通过这种结
x的增大而减小
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
人教版数学九年级上册第二十二章《22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k》课件
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2的图象和性质
复习巩固：
y
O
y=ax2和y=ax2+k 的图象和性质
yy==axa2x2+k(k＞0)
重点关注5方面
x
yy==a-axx2+2 k(k＞0)
开口方向 对称轴
顶点坐标
增减性
最值
复习巩固 1、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象性质.
复习巩固
2、二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0)
两个函数图象沿什么方向平移，由一个函数得到另一 个？平移规律是什么？
上下平移规律：上加下减.
3、 函数 y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数 y=ax2 平移得到？
学习新知
x
··· -4 -2 0 2 4 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
x
··· -2 0 2 4 6 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口方 向
对称轴
顶点坐标
向上
y轴
(0,0)
函数
向上 直线x=2 (2,0)
的图象向右平移两个单位得到
的图象 .
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口 方向
对称轴 顶点坐标
向上 y轴
(0,0)
3.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C ) A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
22.1.3二次函数的图像和性质教案
22.1.3二次函数的图像和性质教案篇一：22.1.3二次函数的图像和性质(1)课题：二次函数y?ax2?k的图象与性质主备：宋忠保总课时数：周课时数：学习目标1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；3．知道二次函数y ＝ax2与y＝ax2＋k的联系．重难点预测：1．重点：从图象的平移变换的角度认识y?ax2?k与y?ax2的位置关系．22第1页第2页篇二：22.1.4二次函数的图像和性质教案22.1二次函数（6）教学目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点难点：重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－bb4ac－b2(－是教学的难点。
2a2a4a教学过程：一、提出问题1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x 的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)154．不画出图象，你能直接说出函数y＝－2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点22坐标吗?155．你能画出函数y＝－x2＋x－?22二、解决问题15由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x2215轴和顶点坐标。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质第1课时教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830-1038…2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2+1…9 5.53 1.51 1.53 5.59…y=2x2-1…7 3.51-0.5-1-0.51 3.57…然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =12-x 2向下x =0（0,0）y =12-x 2+2向下x =0（0,2）y =12-x 2-2向下x =0（0，-2）出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：231x y -=；23121--=x y ；23122+-=x y .学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6)函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷(0，2)，(0，0)，(0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）y=ax2+k a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－54.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2向上（0,0）y轴有最低点y=3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y=-4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 教案 2022-2023学年人教版九年级数学上册
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）^2的图象和性质教案一、教学目标本节课我们将学习二次函数y＝a（x－h）^2的图象和性质，包括： - 掌握二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点等特点的关系； - 能够通过二次函数的图象分析确定函数的零点与极值； - 能够应用二次函数的图象与性质解决实际问题。
二、教学内容1.二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系；2.二次函数的零点与极值的判断与求解；3.应用二次函数图象与性质解决实际问题。
三、教学重点1.掌握二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系；2.能够通过二次函数的图象分析确定函数的零点与极值。
四、教学步骤步骤一：复习二次函数的定义和基本性质•复习二次函数的定义：y＝a（x－ℎ）2，其中a、h均为常数，a≠0；•复习二次函数的对称轴与顶点的概念和求解方法；•复习二次函数的开口方向和对称性。
步骤二：讲解二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系1.首先，通过改变a的值观察图象的变化，引导学生观察a的变化对图象的影响；2.探讨当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下；3.引导学生思考，当a变化时，对称轴和顶点的位置是否发生变化，通过实际计算验证结论；4.引导学生总结二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系。
步骤三：讲解二次函数的零点与极值的判断与求解1.引导学生回顾一元二次方程的求解方法，通过解方程y＝a（x－ℎ）2＝0得出零点的概念；2.讲解求解零点时利用一元二次方程求根公式，引导学生完成练习题；3.引导学生思考，当a的值变化时，零点的位置如何变化，通过实际计算验证结论；4.引导学生回顾关于函数极值的概念，讲解求解极值的方法，引导学生完成练习题；5.引导学生思考，当a的值变化时，极值的位置如何变化，通过实际计算验证结论。
步骤四：应用二次函数图象与性质解决实际问题1.给出一些实际问题，如抛物线的高度求解、拱桥的设计等，引导学生利用二次函数的图象与性质解决；2.让学生分组进行讨论和解答，培养学生的团队合作和解决问题的能力；3.每组选择一种实际问题进行展示，并进行讨论。
22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教学设计
在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题：
(1)抛物线y＝－ x2，y＝－ (x＋1)2，y＝－ (x－1)2的形状和大小之间有什么关系？
(2)把抛物线y＝－ x2向左平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－ (x＋1)2.
(3)把抛物线y＝－ x2向右平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－ (x－1)2.
2.布置作业：
教材第35页练习.
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1.二次函数y＝ax2向右平移h个单位长度得y＝a(x－h)2.
2.二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质：
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
【变式训练】
1.关于抛物线y＝－2(x－1)2说法正确的是(B)
A.顶点坐标为(－2，1)
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C.当x＝0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x＝－2
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x－1和二次函数y＝－ (x－1)2的图象大致是(A)
A B C D
1.学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程，提高了思维能力.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？
教学说明：梳理二次函数的图象和性质，并与其他函数的图象和性质进行比较；总结函数图象的平移规律.
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情感态度与价值观 培养学生的创造型思维，突出体现辩证唯
物主义观点.
教学重 用描点法画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和通过配方确定
点 抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难 点
理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴,顶 点坐标分别是 x＝－2ba、(－2ba，4ac4－a b2)是教学的难点。。
第3页/共6页
当 x＝6 时，函数取得最大值，最大值 y＝3
三、探究： 1．请你按照上面的方法，你能得出函数 y＝-2x2－4x ＋1 的图象和性质吗?
根据以上分析你能对任意一个二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，可各组选派代表发言，全 班交流，达成共识；
四、课堂练习： P39 练习
第4页/共6页
五、小结： 通过学习二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数 a，b、c、
b2 4ac 的关系 ：
系数的符号
图像特征
a 的 a>0.
抛物线开口向
符号
a<0
抛物线开口向
b>0.
b 的符 b=0
式，并确定顶点坐标和对称轴。
解：(1)列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表；
x …3 4 5 6 7 8 9 …
y…
…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面
直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数 y=12x2 ＋6x+21 的图象。
说明：(1)列表时，应根据对称轴是 x＝6，以 x=6 为中 心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。
板书归纳： y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax)＋c ＝a[x2＋bax＋(2ba)2－
(2ba)2]＋c ＝a[x2＋bax＋(2ba)2]＋c－b42a ＝a(x＋2ba)2＋4ac4－a b2 当 a＞0 时，开口向上，当 a＜0 时，开口向下。 对称轴是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)
个交 个交 个交
六、作业：
第5页/共6页
板书设 计
教学反 思
第6页/共6页
教案
22.1.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
课题 和性质
课时及授 时
课
授课人
课时间
年月
日
知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数 y＝ax2＋bx＋c 的
图象并掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴
教学目 标 (学 习目标)
和顶点坐标. 过程与方法让学生经历探索二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的性质.
y＝－4x2 的图象向右平移 2 个单位再向上平移 1 个单位
得到的)
3．函数 y＝－4(x－2)2＋1 具有哪些性质?
(当 x＜2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x＞2
时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x＝2 时，函数取
得最大值，最大值 y＝1)
问题：不画出图象，你能直接说出函数 y=12x2＋6x+21 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 你能画出函数 y=21x2＋6x+21 的图象，并说明这个函数 具有哪些性质吗?——引出课题 二、解决问题
(2)直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定， 且允许 x 轴、y 轴选取的长度单位不同。所以要根据具 体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个 函数的性质；
当 x＜6 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x＞6 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；
号
b<0
抛物线对称轴在 y 轴的 侧 抛物线对称轴是 轴 抛物线对称轴在 y 轴的 侧
c>0. c 的符
C=0 号
c<0
抛物线与 y 轴交于 抛物线与 y 轴交于 抛物线与轴交于
b2 4ac
的 符 号 y
b2 4ac > 抛物线与 x 轴有 0. 点
b2 4ac = 抛物线与 x 轴有 0点
b2 4ac < 抛物线与 x 轴有 0点
教学用 幻灯片
具
教学方
法 (学 画图探究，自主学习，合作交流
习方法)
教 学 过 一、复习导入
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批注
程
1．你能说出函数 y＝－4(x－2)2＋1 图象的开口方
向、对称轴和顶点坐标吗？
2．函数 y＝－4(x－2)2＋1 图象与函数 y＝－4x2 的
图象有什么关系?
(函数 y＝－4(x－2)2＋1 的图象可以看成是将函数
师生共析：如果把 y=12x2＋6x+21 化成 y=a(x－h)2 ＋k 的形式，我们就容易确定相应的抛物线的开口方 向、对称轴和顶点坐标。然后我们一起采用描点法作图 的方法作出函数 y=12x2＋6x+21 的图象，进而观察得到
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这个函数的性质。 师生共析：将 y=21x2＋6x+21 化成 y=a(x－h)2＋k 形