空间向量定比分点公式及应用.

边的中点 .求此三角形的重心 G的坐标.
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分析 : 三角形的重心 G 是三中线的交点 , 且G是分 向量Pi M i i 1,2,3定比
2的点.为确定G的
坐标, 需确定M i的坐标. M i是所在边的中点 ,即M i是分所在边
的向量定比 1的分点 . 连续使用两次定比分点 公式,即可确定
方法二(代数法) P 1 P PP 2 , 用坐标表示出 这些向量后 , 再化简就可以了 .
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由于P是分向量P 1P 2 定比为的分点,即 P 1 P PP 2,
又P 1P 2 P 1P PP 2, 所以 P P 1P 1P 2. 1 即 x x1 , y y1 , z z1 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1. 1
空间向定比分点坐 标公式
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问题6 P是P , ? 1P 2的中点 P的坐标是什么 ?
问题7 若P , -1, 1与P 2不重合 P ? 1、P、P 2有何关系
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为Pi xi , , yi , , zi i 1, 2, 3, M i为Pi 对应
例 取定某标架, 三角形的三顶点
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思考题 1. P与P2重合, ? 能否用此公式 求P的坐标?
2. P , ? 1、P 2重合, P不与它们重合 能否用此公式求得 P的坐标?
3. 中学里, 平面上点分线段的定比 分点公式是什么 ? 它与空间定比分点 公式有何联系与区别 ?
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4. 试用第4节例 1证明三角形三中线共点 .


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x, y, z , 则. 设P的坐标为
附 : 代数法确定定比分点坐 标公式
设P的坐标为x, y, z , 则 P , 1 P x x1 , y y1 , z z1 PP . 2 x2 x, y2 y , z 2 z
由于P 1P PP 2.
5. 试用第4节习题3的结论证明三角形 三中线共点 . 6. 试用第4节习题3的结论推导空间向量 定比分点坐标公式 . 7. 搜集一些现实生活中使 用定比分点的
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问题, 并尝试解决它 .
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作业 第33页第9、 10题.
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附 向量法确定三角形的重 心坐标 由于M 1是边P2 P3的中点, 所以
所以
x x1 , y y1 , z z1 x2 x, y2 y, z2 z.
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即
x x1 e1 y y1 e2 z z1 e3 x2 x e1 y2 y e2 z2 z e3 .
也就是
x x1 x2 x e1 y y1 y2 y e2 z z1 z 2 z e3 0.
P
P2 P2 P2 P P2
P1 P2 P 上一页 问题2 点P的位置与P把向量P P 分得的两个向量 1 2
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P 、 PP ? 1P 2的方向有何关系
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问题3. 无论点P的位置, 两个向量P 、 PP 1P 2 的有何位置关系?
定义 P为向量P , 1P 2所在直线上的一点 点P把向量P P PP2 , 1P 2分成两个共线向量 1 P、 如果PP2 0, 设 P 1 P PP 2 .称点P为分向量 P . 1P 2定比为的分点
1 P P 1M 1 1P 2 P 1P 3 , 2 又G是P , 1M 1定比 2的分点


2 所以 P P 1G 1M 1 , 3 1 从而 P P 1G 1P 2 P 1P 3 , 3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 即G , , . 返回 3 3 3
问题4. P的位置与的取值有何关系 ?
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问题5 取定标架 O; e1 , e2 , e3 , 点Pi的坐标 为xi , yi , zi .点P为分向量P . 1P 2定比为的分点 点P的坐标是什么 ? 分析 :


方法一(向量法) P 1 P PP 2 , 可以直接 用向量P P 1P 2来表示向量 1 P.
课程名称：解析几何 授课班级：12数学本科
授课地点： 4101
授课时间：2012年10月16日
数学和自然科学系 王琦
实验1 悬挂法测定三角形的重 心.
实验2 重心的作用 .
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问题1. 在向量P P, 1P 2所在直线上任取一点 点P可能出现在哪些位置 ?
P
P1 P P1 P1 P1
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G的坐标.
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解 : 由于M 1是边P2 P3的中点,即点M 1是 分向量P2 P3定比 1的分点,由定比分点 公式得M 1的坐标是
x2 1 x3 y2 1 y3 z2 1 z3 , , , 11 11 11 x2 x3 y2 y3 z2 z3 即M1 , , . 2 2 2
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也就是
x x x x , 1 2 1 1 y2 y1 , y y1 1 z z z z . 1 2 1 1
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从而 x y z x1 x2 , 1 y1 y2 , 1 z1 z 2 . 1
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又G是分向量P , 再由 1M 1定比 2的分点 定比分点公式得 G的坐标是
x2 x3 y2 y3 z 2 z3 y1 2 z1 2 x1 2 2 , 2 , 2 1 2 1 2 1 2 ,
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 即G , , . 3 3 3