从梯子的倾斜度谈起

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初中数学说课稿PPT课件(珍藏版)：从梯子的倾斜程度谈起

tanA=
∠A的邻边
说课主线——
6
1.tan B = AC
BC
3.交流分享得出定义 C
tan A = BC
A
B
AC
2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
C
tan∠ACD= AD
CD
┌
tanB= AC CD
A
DB
BC BD
说课主线——
说目标
再创造
情感态度与价值观
说课主线——
3
经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和正切与现实生活的联系，并能运用正切进行简单的计算。
经历操作、观察、猜想、推理等活动过程，培养从数学的角度提问题、分析和理解问题，在解决问题中促进学习、评价能力的提高。
进一步认识数学与生活的密切联系，体验数形之间的联系，感受数学的严谨性，让学生从自主探索、合作交流中获益。
AC EF BC FD
水平宽度一致时，铅直高度越高，梯子更陡一些。
说课主线——
6
3.交流分享得出定义
小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度，小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
说课主线——
6
创设情境引入新课 (2分钟）模拟情境
设疑激思
(20分钟）
交流分享
得出定义 (8分钟）
活化练习学以致用
(10分钟）
知识梳理共同成长 (4分钟）
布置作业分层提升 (1分钟）
说课主线——
6
1.创设情境引入新课

“从梯子的倾斜程度谈起”教学设计

同时也已经积累了大量的数学学习活动经验，因此，以在本节可
过程，感受合作学习的乐趣。
二、学任务分析教
教师通过引导学生对于现实生活中具体现象的思考，采用逐
层递进的方法，让学生真正感受到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而探索出直角三角形中，个锐角的对边一与邻边的比是随着锐角的大小变化而变化的。为后面学习正弦余弦做好方法铺垫，学生感受函数的变量之间的关系，使即倾斜角越大，对应的正切值越大，而为高中学习三角函数作出知识从
解：据题意：根
在Ｒ △ Ｃ中，Ｂ＝０Ｂ５ＡＣ：／Ｏ５：ｔＢＡ２０ｍ，Ｃ＝５ｍ，、２０一５
５
（）２如图，ＲＡＡＣ中，在ｔＢ锐角Ａ的对边和邻边同时扩大１０，０倍
ｍｎ的值Ａ（）
５８：２ｍｃ＝：￣．１．。ｎ莅０６以３６９０ａ４３Ａ．所２８
经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的概念，能够用正切进行简单的计算。（）二过程与方法１．经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。２体验数形之间的联系，步学习利用数形结合的思想分析．逐问题３思考：：你能得出什么结论？你能证明吗？
ｔｎａＡ＝
一
‘
８
Ａ的对边
Ａ的邻边
Ｃ
２１０２年９８日月
掌握ｔｎａＡ需注意的问题：

备选：从梯子的倾斜程度谈起

合适的倾斜角度应确保地面接触点之间的距离足够大，以分散梯子的重量，提高稳定性。
梯子倾斜角度与使用者的舒适度
梯子倾斜角度过大或过小都可能影响使用者的舒适度。角度过大会使使用者感到不稳定，角度过小则可能使使用者感到疲劳和不适。
使用者应根据实际需要调整梯子的倾斜角度，以找到一个既安全又舒适的平衡点。
梯子的防滑设计及其重要性
01
防滑材质
采用防滑材料制作踏板能够有效增加使用者的安全性，降低滑倒的风险。
防滑纹路
02
03
防滑把手
在踏板上设计防滑纹路可以增加脚底与踏板的摩擦力，防止使用者在上下梯子时滑倒。
在梯子的两端设置防滑把手有助于增加使用者的稳定性，提供额外的支撑力。
03 梯子的使用与维护
05 梯子安全事故案例分析
家用梯使用中的安全事故案例
案例一
某家庭主妇在使用家用梯子时不慎摔倒，导致腰部受伤。经调查发现，该梯子倾斜角度过大，稳定性不足。
案例二
一户人家在装修时，工人因梯子滑动而跌落，导致腿部骨折。事后发现，该梯子底部防滑垫损坏，未及时更换。
工业用梯的安全事故案例
案例一
某工厂在使用工业用梯时，一名工人失足从梯子上跌落，造成头部受伤。经调查，该梯子设计不合理，安全防护措施不足。
02 梯子的设计因素与安全性能
梯子的材质与结构对稳定性的影响
材质
金属、木质、塑料等不同材质的梯子在稳定性方面存在差异。金属梯子通常最为稳固，木质梯子次之，而塑料梯子较轻便但可能不太稳固。
结构
直梯、折叠梯、伸缩梯等不同结构的梯子对稳定性也有影响。直梯通常较为稳定，折叠梯和伸缩梯在打开或收起过程中可能存在摇晃的风险。

北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1从梯子的倾斜程度谈起教案

1.1从梯子的倾斜程度谈起（一）一、学情分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。

二、教学目标分析1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，能够用tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；2. 体验数形之间的联系，体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神；3. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

三、教学重难点分析教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比。

四、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、统计图的选择、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。

（一）引入新课♦ 1、直接从梯子的倾斜程度引入新课。

2、分析两幅图的两个问题，让学生学习探索梯子的倾斜程度。

问题：下列2个图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？教学目的：引导学生用边之比进行比较，从而引入新课边角关系3、思考♦直角三角形的边与角的关系（1）.Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?（3）如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3 )呢?5２５２.５ＡＢＥＦ图1 ４1.53.51.3ＡＢＥＦ图2B1 B（4）由此你得出什么结论?教学目的：让学生从实例中发现不同情况中对比梯子的倾斜程度需要除了观察还需要更多其他方法。

4、结论正切的定义（1）明确各边的名称。

（2）。

（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

4从梯子的倾斜程度谈起

❖
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年4月下午12时 48分21.4.2812:48Apri l 28, 2021
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16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021年4月28日星期三12时 48分5秒12:48:0528 April 2021
AC1 AC2
B
如果任意改变B2在梯子上的位置呢? 你有什么想法?
B1
∠A的大小确定, ∠A的对边与
邻边的比值不变。
B2
如果改变∠A 的大小,
∠A的对边与邻边的比值会
随之改变吗?
A
3
C2
C1
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值随之改变。
由此你得出什么结论?
当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比
第一章直角三角形的边角关系
从梯子的倾斜程度谈起
-
❖1.1 从梯子的倾斜程度谈起
梯子,地面与墙之间就形成一个直角三角形，梯子的铅直高度及梯子的水平距离可以看做是它的直角边，梯子可以看做是斜边。
研究直角三角形的边与角的关系，让我们就…
梯子与地面的夹角（倾斜角）
铅直高度水平距离
值也随之唯一确定；比值和三角形的大小无关，只
和倾斜角的大小有关。
在Rt△ABC中, 如果锐角A确定, 那么 ∠A的对边与邻边的比随之确定,
B
这个比叫做 ∠A的正切.
记作:tanA tanA=
∠A的对边
∠A的对边 ∠A的邻边

从梯子的倾斜程度谈起 (上课用的)

1
1、今天我们学习从梯子的倾斜程度谈起的第一课时，大家知道梯子是我们常见的物体，而使用梯子的时候，梯子的倾斜程度又是至关重要的。
2
2
3
你能比较两个梯子哪个更陡吗？
我们可以把斜靠在墙壁上的梯子看成什么图形呢？当学生回答是直角三角形时，老师引入下一张图片。
4
（1）如图，梯子AB和EF哪个更陡？
对 tanA是一个比值（直角边之比，是一个比值 3、tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺邻）；且tanA﹥ 无单位；序）；且tanA﹥0，无单位；
4、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三 tanA的大小只与∠ 的大小有关，的大小只与角形的边长无关。角形的边长无关。 5、角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等。则这两个锐角相等。
梯子EF更陡梯子更陡
A E 3.5m F 1.3m D
4m B 1.5m C
在实例3中，引导学生仿照前面两个例子进行变形，逐步引导学生会说出用比值来比较。当学生说出用比值是，老师可以问“如何 “ 用比值来比较”“为什么比值大的陡” ”“为什么比值大的陡用比值来比较”“为什么比值大的陡” 总结：我们大家通过这么多的讨论，咱们明确了，总结：我们大家通过这么多的讨论，咱们明确了，要想比较两个梯子哪个陡，我们可以通过什么来刻画（比值），），也就是说可以梯子哪个陡，我们可以通过什么来刻画（比值），也就是说可以通过两条直角边的比值来刻画梯子哪个更陡。通过两条直角边的比值来刻画梯子哪个更陡。马上引入下个话题
（√ ）
13
定义中应该注意的几个问题：定义中应该注意的几个问题：
1、tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角 tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角是在直角三角形中定义的,∠A 注意数形结合，构造直角三角形）（注意数形结合，构造直角三角形） 2、tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习 tanA是一个完整的符号，表示∠ 的正切，是一个完整的符号惯省去“ 惯省去“∠”；

1.1从梯子的倾斜程度谈起

C 200
A
┌ B
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos
求:AB,sinB.
B
12 A . 13
┐ C
10
A
怎样思考？
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
5
B
A
5
┌ 6 D C
பைடு நூலகம்
sin 2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
3 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA= , 5
求AC和BC.
A
11.在等腰△ABC中 ,AB=AC=13,BC=10, 求sinB,cosB.
B ┌ D C
小结
拓展
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
1.锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA= 斜边
由感性到理性
想一想
B2
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形AB2C2有什么关系?
B1C 1 B 2C 2 (2) 和有什么关系? AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
A C2 C1
∠A的正切
B
在Rt△ABC中, 如果锐角A确定,
那么∠A的对边与邻边的比
倾斜程度.
用数学去解释生活
驶向胜利的彼岸
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 老师提示: 坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.

从梯子的倾斜程度谈起教案

从梯子的倾斜程度谈起教案一、教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度的概念及其计算方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 引导学生发现生活中的数学现象，提高对数学的兴趣。

二、教学内容：1. 梯子倾斜程度的定义及计算方法。

2. 实际生活中的梯子倾斜现象分析。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：梯子倾斜程度的计算方法及应用。

2. 教学难点：如何将实际生活中的梯子倾斜现象与数学知识相结合。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用。

2. 案例分析法：分析实际生活中的梯子倾斜现象。

3. 小组讨论法：引导学生分组讨论，发现生活中的数学现象。

五、教学准备：1. 梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用的PPT。

2. 实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。

3. 练习题及答案。

第一章：梯子倾斜程度的定义1.1 引入：展示一张梯子图片，引导学生思考梯子的倾斜程度。

1.2 讲解：解释梯子倾斜程度的定义，即梯子与地面之间的夹角。

1.3 例子：展示实际生活中的梯子倾斜现象，让学生理解梯子倾斜程度的概念。

第二章：梯子倾斜程度的计算方法2.1 引入：提问如何计算梯子的倾斜程度。

2.2 讲解：详细解释梯子倾斜程度的计算方法，即使用三角函数。

2.3 例子：给出一个具体的梯子倾斜角度，让学生计算梯子的倾斜程度。

第三章：实际生活中的梯子倾斜现象3.1 引入：展示一些实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。

3.2 讲解：分析这些梯子倾斜现象，引导学生运用数学知识解决实际问题。

3.3 练习：让学生分组讨论，发现生活中的数学现象，并分享给大家。

第四章：梯子倾斜程度在实际应用中的重要性4.1 引入：讲解梯子倾斜程度在实际应用中的重要性。

4.2 例子：给出一些实际应用场景，如建筑工人使用梯子时，梯子的倾斜程度对安全的影响。

4.3 练习：让学生举例说明梯子倾斜程度在实际生活中的应用。

5.2 拓展：引导学生思考如何将梯子倾斜程度的知识应用到其他领域，如物理学、工程学等。

从梯子的倾斜程度谈起说课稿

《从梯子的倾斜程度谈起》说课稿尊敬的各位老师：你们好！我是八中的数学教师肖婧，这次我说课的内容是北师大版九年级数学下册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》。

下面根据我编写的教案，把我对本节课的教学设计进行说明，请各位评委、老师多提宝贵意见。

一、教材分析（一）地位和作用：《从梯子的倾斜程度谈起》是北师大版九年级数学下册第一章第一节，本节内容分二课时完成，本次课设计是第一课时的教学。

本章中介绍的直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之一。

锐角三角函数是在解决现实问题中有着重要的的作用。

如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中的边角关系问题。

本节从梯子的倾斜程度谈起，引入了第一个锐角三角函数一一正切。

因为相比之下，正切是生活中用的最多的三角函数概念，如物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是由正切类比出来的。

因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置。

（二）目标分析依据《数学课程标准》，结合教材分析，确定本节课的教学目标为以下三个方面：生活的联系。

能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算2•过程与方法目标：经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

3•情感与态度目标：学生在学习中能积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

（三）教学重点与难点1. 教学重点：①理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系；②会根据正切的定义进行计算求值。

依据《数学课程标准》的要求，本节课需要达到的知识与技能目标就是学习运用理解正切的意义和与现实生活的联系。

直角三角形的边角关系第一节从梯子的倾斜程度谈起

A
D
B
C
a
7
思考：在Rt△ABC中, ∠C=900， tan A和 tan B 有什么关系？
C
A
B
D
(1)tanA= ___=_____=______
(2)tanA=
3 4
,则tan∠ACD=__
(3)若tanA=
3 4
，AC=12,求AB,CD
a
8
作业：１习题1 . 1、（1）、（2）题２预习第２课时
a
9
第一章直角三角形的边角关系
第一节从梯子的倾斜程度谈起
a
1
哪个更陡？
（1）
a
画板
（2）2
∠A的正切
在Rt△ABC中, 如果锐角A确定,
B 那么∠A的对边与邻边的比便
随之确定, 这个比叫做
斜
∠A的正切. 记作:tanA 读？
边
∠A的对边
∠A的对边
A ∠A的邻边
C tanA ∠A的邻边
BC AC
甲A
D
乙
B
C
E
F
a
5
试一试
12m
在“红顶”工程
中，要求许多楼顶
挂红瓦装饰，现知
10m
道楼顶的坡度超过
1.3时瓦片挂不住。下图是某一建筑楼
顶的初步设计方案。
(楼顶的截面是等腰三角形）请你根据
图中数据说明这一
建筑的楼顶是否能
挂住红瓦？
a6Leabharlann 在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,AD=6, BC=14,s梯形ABCD=40,求tanB的值
a
3
正切也经常用来描述山坡的坡度.

从梯子的倾斜程度谈起

从梯子的倾斜程度谈起张玉清内容和内容解析1.内容理解正切的意义和与现实生活的联系2.内容解析本节主要从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数——正切，正切是生活中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等都使用正切。

本节的学习，为正弦和余弦的学习做好铺垫。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。

二、目标和目标解析1.目标（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.（2）能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.2.目标解析从现实情境中探索直角三角形的边角关系，学生更易理解正切的意义和与现实生活的联系，体会数形结合的重要性。

三、教学问题诊断分析本节课是学生第一次接触直角三角形的边角关系，且角的对边和邻边的比是角的正切，而对定义的理解学生不太容易，并且把边找错，所以把定义的理解和应用设计为难点。

四、教学过程设计1.创设情境，引入新课选哪个梯子好呢？10m 1m 5m 10m情景引入：小蜗牛摘葡萄（1）（2）哪个梯子更陡？问题1 游戏规则如下：最快取到葡萄的选手获胜.如果你是参赛选手，你会选择哪个梯子？为什么？问题2 我们来观察一下，你会发现两个梯子的倾斜程度是不一样的，哪个梯子更陡些？你是怎样判断的?设计意图：创设新颖的问题情境，使学生对所学内容——“梯子的倾斜程度”有初步的了解.激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力2.动手操作，合作探究活动一“高等底不等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？”看图，并回答下面的几个问题:(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?活动二“底等高不等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？”(2) 在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?设计意图：由学生熟悉的全等知识入手，由特殊到一般去探索新知识，使新知识顺利纳入旧知识结构中，顺利完成新旧知识的同化和顺应.活动三“底与高都不相等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？（3）哪个梯子更陡？（4）你能证明为什么角度一定，对边与邻边的比值一定吗？3.正切的定义如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA= .（强调∠A的邻边为直角边）4.坡度的定义坡面与水平面夹角称为坡角。

从梯子的倾斜的程度谈起

案例二
一家庭在装修房屋时，由于梯子摆放不稳，倾斜角度过大，导致使用梯子的家庭成员在攀爬过程中失去平衡，摔倒受伤。
案例三
一名维修工人在维修高处电线时，因梯子倾斜度不足，无法保持稳定，工人在作业过程中梯子突然侧翻，造成工人受伤。
事故原因分析
梯子倾斜度过大
当梯子的倾斜度超过安全范围时，其稳定性会大大降低，容易导致滑倒或侧翻。
THANKS
感谢您的观看
倾斜程度与稳定性的关系
支撑点
梯子的稳定性取决于其与地面的支撑点。当梯子倾斜时，支撑点发生变化，稳定性受到影响。
平衡状态
倾斜程度增加会使梯子更容易失去平衡，因为重力作用在梯子上的分力会使其向倾斜方向滑动。
倾斜程度与受力的关系
重力分量
侧向力
随着梯子倾斜程度的增加，重力沿梯子方向的分量增大，使得梯子更容易向下滑动。
倾斜度过大
STEP 03
合适的倾斜度
有助于保持梯子的稳定性和工作人员的安全，提高工作效率。
可能使工作人员难以保持平衡，增加工作难度和危险性。
倾斜度过小
可能导致梯子不稳定，增加滑倒和跌落的风险。
如何选择合适的梯子倾斜程度
01
02
03
考虑工作需求
根据工作的高度、距离等因素，选择合适的梯子类型和倾斜程度。
Part
04
梯子的安全使用与倾斜程度的关系
安全使用梯子的基本原则
稳定性
确保梯子在使用时始终保持稳定，不晃动或滑动。
合适的倾斜角度
根据工作需求和安全标准，选择合适的倾斜角度。
安全防护
使用安全带、防滑垫等安全设备，确保工作人员在梯子上的安全。

从梯子的倾斜程度谈起

从梯子的倾斜程度谈起11从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)教学知识点1经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2能够运用sinA、sA表示直角三角形两边的比3能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算4理解锐角三角函数的意义(二)能力训练要求1经历类比、猜想等过程发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点2体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力(三)情感与价值观要求1积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲2形成合作交流的意识以及独立思考的习惯教学重点1理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明2能用sinA、sA表示直角三角形两边的比3能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切教学方法探索——交流法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ创设情境，提出问题，引入新[师]我们在上一节曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ讲授新1正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB11和直角三角形AB22有什么关系?(2) 有什么关系? 呢?(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请同学们讨论后回答[生]∵A11⊥B1，A22⊥B2，∴A11//A22∴Rt△BA11∽Rt△BA22 (相似三角形对应边成比例)由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B 上的位置，上述结论仍成立由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变[师]我们会发现这是一个变化的过程对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的这是一种什么关系呢?[生]函数关系[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt△AB中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(sine)，记作sA，即sA=锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trignetrifuntin) [师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、sA、tanA都是之A的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应2梯子的倾斜程度与sinA和sA的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、sA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[:zu][生]如图所示，AB＝A1B1，在Rt△AB中，sinA= ，在Rt△A1B1中，sinA1=∵＜,即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，所以梯子的倾斜程度与sinA有关系sinA的值越大，梯子越陡正弦值也能反映梯子的倾斜程度[生]同样道理sA= sA1＝,∵AB=A1B1 ＞即sA>sA1，所以梯子的倾斜程度与sA也有关系sA的值越小，梯子越陡[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切3例题讲解多媒体演示[例1]如图，在Rt△AB中，∠B=90°，A＝200sinA＝06，求B的长分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA＝06，＝06解：在Rt△AB中，∠B＝90°，A＝200sinA＝06，即= 06，B＝A×06＝200×06=120思考：(1)sA＝?(2)sin＝？s＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB＝=160在Rt△AB中，B＝90°sA＝＝08，sin= =08，s＝＝06，由上面的计算可知sinA＝s＝6，sA＝sin＝08因为∠A+∠＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”[例2]做一做：如图，在Rt△AB中，∠=90°，sA＝，A＝10，AB等于多少?sinB呢?sB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝sA，s (90°-A)=sinA解：在Rt△AB中，∠＝90°，A=10，sA＝，sA＝,∴AB= ,sinB＝根据勾股定理，得B2＝AB2-A2＝( )2-102=∴B＝∴sB＝,[sinA＝可以得出同例1一样的结论∵∠A+∠B=90°，∴sinA：sB=s(90-A)，即sinA＝s(90°-A)；sA＝sinB＝sin(90°-A)，即sA＝sin(90°-A)Ⅲ随堂练习多媒体演示1在等腰三角形AB中，AB=A＝，B=6，求sinB，sB，tanB分析：要求sinB，sB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A作AD⊥B，D为垂足解：过A作AD⊥B，D为垂足∴AB=A，∴BD=D= B=3在Rt△ABD中，AB＝，BD=3，∴AD＝4sinB＝sB＝,tanB=2在△AB中，∠＝90°，sinA＝，B=20，求△AB的周长和面积解：sinA= ，∵sinA= ，B＝20，∴AB＝＝＝2在Rt△B中，A＝=1，∴AB的周长＝AB+A+B＝2+1+20＝60，△AB的面积：A×B= ×1×20＝10[:中考资网ZU]3(2003年陕西)(补充练习)在△AB中∠=90°，若tanA= ，则sinA=解：如图，tanA= =设B=x，A=2x，根据勾股定理，得AB=∴sinA=Ⅳ时小结本节我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应类比前一节的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义解决实际问题Ⅴ后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ活动与探究已知：如图，D是Rt△AB的斜边AB上的高，求证：B2＝AB•BD(用正弦、余弦函数的定义证明) [过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△AB中，D⊥AB所以图中含有三个直角三角形例如∠B既在Rt△BD中，又在Rt△AB中，涉及线段B、BD、AB，由正弦、余弦的定义得sB＝，sB=[结果]在Rt△AB中，sB＝又∵D⊥AB∴在Rt△DB中，sB＝∴= B2＝AB•BD板书设计§112 从梯子倾斜程度谈起(二)1正弦、余弦的定义在t△AB中，如果锐角A确定sinA＝[sA＝2梯子的倾斜程度与sinA和sA有关吗?sinA的值越大，梯子越陡sA的值越小，梯子越陡3例题讲解4随堂练习。

从梯子的倾斜程度谈起教学反思

从梯子的倾斜程度谈起教学反思恩格斯说，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。

数学与现实生活和人类社会息息相关，它源于生活，又服务于社会生活和生产实践。

在数学教学中，力求从学生熟悉的生活情形和社会现实动身，选择学生周围感爱好的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习数学的爱好和动力，培养他们联系实际，分析问题，解决问题的能力。

本节课的设计是从现实情形入手，以人们熟知的梯子的倾斜程度展开问题的讨论，通过实验，让学生从实践问题中选择处理加工信息与数据，把握数学认识结构，用数学的观点和方法去分析问题，解决问题，因此本节课提出的问题是：如何来判定梯子的倾斜程度？而让学生讨论的结果是：梯子的倾斜程度不仅与梯子的倾斜角的大小有关还与梯子与地面和墙面形成的两条边有关系。

那个结果也确实是我们本节课教学的目的：如何把生活知识转化成数学问题来解决。

我还设计本节课课堂教学方法以实验讨论为主，通过对小组式研究性学习，教师给出几幅不同且有对比价值的图，让学生利用观看、类比等活动探究梯子的倾斜程度与哪几个量有关系？同时设计如此的问题串：你是如何样判定出来的？你能用语言来描述吗？你能用数学知识来说明吗？找到运用数学说明现实生活的方法，探究出解决问题的一样规律，同时提高应用意识和能力。

为下面给出正切的定义做好铺垫，突破本节课的重点和难点。

这节课是概念探究型课，探究归纳概念的给出是重点而运用定义解决问题也是重点，因此本节课的另一任务是学以致用，建立数学模型解决问题，让学生体验学习中的成功与欢乐，在本节课的教学设计中我认为较突出的一点是为了让学生更准确的体会梯子的倾斜程度，与梯子与墙面地面形成的垂直高度和水平距离的比值有关系，我设计了如此一个环节让学生自己摆梯子，如何样摆梯子更陡？通过动手动脑实践加深了学生的明白得和体验，为本节课的难点做好了铺垫，更好的完成本节课的教学。

反思二：从梯子的倾斜程度谈起教学反思回想自己对三角函数的认识，只是明白它也以运算，而关于它还有其他什么用处，在没讲这节课之前确实不明白。