自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换

附录1. 拉普拉斯变换

附录1.1 拉氏变换的定义

如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式

()()st t F s f t e dt ∞

=⎰ A-1

式中s 为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；

（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3）

()st f t e dt ∞

<∞⎰

在实际工程中，上述条件通常是满足的。式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。为了表述方便，通常把式A-1记作

()[()]F s L f t =

如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数

1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞

-∞=⎰ （A-2） 式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。同样，为了表述方便，可以记作

1()[()]f t L F s -=

为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。

一些常用函数的拉氏变换

附录1.1.1 单位阶跃函数的拉氏变换

这一函数的定义为 0, 0

()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩

它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。单位阶跃函数的拉氏变换

为

0011

()[]st st F s e dt e s s

∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此

lim 0st t e -→∞

→

附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换

单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，

其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。其数学表达式为00, 0()1

lim 0 t t t t εε

δεε

→>>⎧⎪

=⎨<<⎪⎩和 其拉氏变换为

000022

0[()]()lim ()1

1

lim[]lim [1]1 lim [1()]1

1!2!

st st s L t s t e dt

e e s

s s s s ε

εεεεεεδδδεεεεε-→--→→→===⨯=-=-++=⎰

附录1.1.3 单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换

单位斜坡时间函数为0,0

(),0t f t t t <⎧=⎨>⎩

如图3-2所示，斜坡时间函数的拉氏变换为

022011

()[]st st st t F s te dt e e s s s

∞---∞==-+=⎰。Re[]0s > 同理单位抛物线函数为

21

()2

f t t =

其拉氏变换为3

1

()F s s =

，Re[]0s >。 附录1.1.4 正弦和余弦时间函数的拉氏变换

正弦函数的拉氏变换为

00()()0022

1[sin ]()sin ()211 22111

()

2 st j t

j t st s j t s j t

L t F s te dt e e e dt j

e dt e dt j j j s j s j s ωωωωωωωωω

ω∞

∞---∞∞---+===

-=-=--+=

+⎰⎰⎰⎰

同理求得余弦函数的拉氏变换为

22

[cos ]()L t F s s ω

ωω==

+

常用的拉氏变换法则（不作证明）

1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常

数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即(())()L af t aF s = 拉氏变换的叠加性是：若1()f t 和2()f t 的拉氏变换分别是1()F s 和2()F s ，则有

1212[()()]()()L f t f t F s F s +=+

2．微分定理 原函数的导数的拉氏变换为

()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

式中 (0)f ——()f t 在0t =时的值。 同样，可得()f t 各阶导数的拉氏变换是

222

()()(0)'(0)d f t L s F s sf f dt ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦

3323

()()()'(0)''(0)d f t L s F s s f s sf f dt ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦

121()()()'(0)(0)n n n n n n

d f t L s F s s f s s f f dt ---⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦

如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为

['()]()L f t sF s =

2[''()]()L f t s F s = 3['''()]()L f t s F s =

[()]()n n L f t s F s =

图1 平移函数

3．积分定理 原函数()f t 积分的拉氏变换为

(())()

()t f t dt F s L f t dt s

s

=⎡⎤=+⎣⎦

⎰⎰ 当初始值为零时

()

()F s L f t dt s

⎡⎤=⎣⎦

⎰ 4．时滞定理 如图A-1所示，原函数()f t 沿时间轴平移T ，平移后的函数为()f t T -。该函数满