平面向量的线性运算教学设计

《平面向量的线性运算》复习教学设计

高中数学北师大版

西安交通大学第二附属中学

刘正伟

§5.1平面向量的线性运算

【教学目标】

知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；

1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；

2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；

了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。

【教学重点、难点】

重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件；

难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。

【教具准备】

多媒体课件

【教学方法】

启发引导式；讲练结合

【教学设计】

（一）．复习导入

问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？

学生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算

那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题

（二）知识要点

1.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义) 运算律

加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c)

减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；(1)λ(μa)＝(λμ)a；

积的运算 (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb

2.向量共线的判定定理

a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得

b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →

，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →

)．

3.OA →＝λOB →＋μOC →

(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1.

题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算

例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13

c D.13b ＋23

c (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →

＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13

AC →

答案 (1)A (2)A

解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →

＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13

c .

(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →

)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →

＝－13AB →＋43AC →.

题型二

根据向量线性运算求参数

例2 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB

→

＋λ2AC →

(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →

，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →

，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－1

2，0 D.⎝⎛⎭

⎫－1

3，0 答案 (1)1

2

(2)D

解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →

＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →

， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.

(2)设CO →＝yBC →

， ∵AO →＝AC →＋CO →

＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)

＝－yAB →＋(1＋y )AC →.

∵BC →＝3CD →

，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭

⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭

⎫－1

3，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两

点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12

AD →，AK →＝λAC →

，则λ的值为( )

A.29

B.27

C.25

D.2

3 答案 A

解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，

∴AB →＝52

AE →，AD →＝2AF →

.

由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，