小波分析第1部分插值

小波分析需要的数学概念，基础：
实变函数----函数空间从连续函数空间扩展 到可测空间，测度，可测函数，Lebesgue 积分； 插值,函数逼近----基函数,样条函数,最佳逼 近； 泛函----度量,范数,基底,赋范空间,正交, Fourier分析。

“函数逼近”简介
用“简单函数” “近似” “复杂函数” : “简单函数”：多项式，即只用加、减、 乘、除、乘方即可实现。 “近似”：刻划近似程度是“函数逼近” 的核 心问题。也是整个数值分析的核 心问题。 不同的“近似性”要求(提法)形成了插值、
线性空间举例
Ex. 3 集合 实数域R上全体次数不超过n的多项式
Hn a0 a1x an xn ai R, i 0,1,, n.


在多项式加法、数乘下做成n+1维线性空间。 Ex. 4 所有定义在[ a,b ]上的连续函数做成 的集合在函数加法、数乘下做成无穷维线 性空间，记为 C[a,b] 。
������
线性空间举例: n 维向量空间Rn
������
R (a1, a2 ,, an ) ai R, i 1,2,, n.
n
全体n 维实向量的集合
在向量加法、数乘下为n维线性空间.
线性空间举例 R
nn
实数域R上的所有n×n 阶矩阵在矩阵加法、 数乘矩阵下做成n2维线性空间；
Y
f ( x)
p ( x)
y0
y1
y2
yn 1
wenku.baidu.com
yn
X
x0 x1 x2
xn 1 xn
插值基本概念

x0 , x1 ,, xn 称为插值节点(互不相同)，
[a,b]称为插值区间，
f ( x) 称为被插函数， p ( x)称为插值多项式。

插值多项式的存在唯一性
存在唯一的n 次多项式
Pn ( x) a0 a1x an x
拉格朗日(Lagrange)插值
基本思想： 构造n+1个插值“基函数”j ( x) ( j l 满足：

0,1,, n.)
jk jk
l j ( xk ) jk
1, 0,
则所求插值多项式即为
Ln ( x) y j l j ( x)
j 0
n
拉格朗日(Lagrange)插值
Taylor展开举例
1 2 1 n e 1 x x x 2! n! ( x )
x
多项式逼近函数结果总结
C[a,b]上任一函数f(x)都可被某一有限次 多项式函数一致逼近到任意程度。 (Weierstrass定理) C[a,b]上某些函数f(x)可被准确地表示为 一无穷(多项式) 级数。 多项式逼近函数的实用提法为： 寻找在某种度量意义下对C[a,b]中每一 函数都“最优”(或“最佳”)近似的多项式 函数
其中 k ( x) 待定。
定理2证明
把 x 看作固定点，如下构造的关于变量 t 的函数 (t ) f (t ) Ln (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 )(t xn ) 在[a, b]上 (t ) 有n+2个零点
x, x0 , x1, , xn .
从中求出 k (x) 代入即得 Rn (x) 表达式。
数值实例
例．求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉 格朗日型插值多项式。 解：用4次插值多项式对5个点插值
空间H(x)与C[a,b]的关系

H(x)=span { 1,x1 ,…,xn ,…}为C[a,b]的无 限维子空间，但 { 1,x1 ,…,xn ,…}不为 C[a,b]的基底，故不能用 1,x1 ,…,xn ,… 的线性组合
a x lim a x
i i 1 i n i 1 i
基函数构造简记法：
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x xn ) n1 ( x) n 1 ( x j )
l j ( x) x xj xj xj
拉格朗日插值基本定理
每一 l j (x)为n次多项式，故拉格朗日插
值多项式 Ln (x)为n次多项式。 定理1 在Hn中，满足插值条件的多项 式是存在且唯一的。
f
(n)
(0) n n x ( x ) n!
Taylor级数

F(x)在[a,b]上满足一定条件，则可展为无穷级数
f ( n ) (a) f ( x) f (a) f ' (a)(x a) ( x a) n n!
f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f ' (0) x x n!
<<小波分析>> ----Wavelet Analysis
关于教材
小波分析的应用主要是信号处理，但数学 角度看是函数逼近方法，以泛函分析为理 论基础,需要相当的数学知识,如需要 Lebesgue积分,复变函数，Fourier分析等 数学基础。 教学安排：约6~8课时补充数学基础，讲清 楚直到泛函分析的数学基础内容； 约6~8课时讲小波分析理论； 约2~4课时分组展开小波应用讨论。
(1.2)
（1.2）为一个你n＋1未知量 ai 的线性方程组， 要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数 ai 存在且唯一，即只要证明其系数行列式不 为零即可。
方程组（1.2）的系数行列式为
1 Vn ( x0 , x1 , , xn ) x0
2 x0 n x0
1 x1
x12
x1n
2 n 1 xn xn xn
满足
1, j k l j ( xk ) jk 0, j k
的 l j ( x) ( j 0,1,, n.) 可由 l j ( x) A( x x0 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn )
及 l j ( x j ) 1 得出
此为范德蒙行列式。利用行列式性质可 得系数行列式为
Vn ( x0 , x1 , , xn ) ( xi x j )
i 1 j 0 n i 1
由于 i j 时xi xj ,故所有因子 xi xj 0 ， 于是
Vn ( x0 , x1 ,, xn ) 0
即插值多项式存在唯一。
定理2证明(续)
由罗尔(Rolle)定理(微分中值定理)： ( x )在 (a, b) 上至少有n+1个零点， (x) 在 (a, b) 上至少有n个零点，… ( n1) ( x) 在 (a, b) 上至少有1个零点，设为 ，即

( n1)
( ) f
( n1)
( ) (n 1)!k ( x) 0
线性空间基本概念
线性组合： ax+by+cz 线性相关、无关： 存在不同时为零的a,b,c∈R,使 ax+by+cz=0， 则称x,y,z线性相关，否则称x,y,z线性无关。

线性空间基本概念
子空间： (L，+，•)为线性空间，S为L的子集， (S，+，•)也形成线性空间，则称S为L的线 性子空间（S对+，•运算封闭 ),简称子空间。 生成子空间： 形式 {ax+by+cz ︱a,b,c ∈R} 的子空间称为由x,y,z生成的子空间，记为 span{x,y,z}
线性空间
设L是一个非空集合，K是实（或复）数域，并 可 在其上定义“加法”，“数乘”运算，而且满足以 下公理 ������ 加法交换律：x+y= y+x ������ 加法结合律：(x+y)+z= x+(y+z) ������ 存在零元：x+0=x ������ 存在逆元：x+(-x)=0 ������ 数乘：1x=x ������ a(bx)= (ab)x ������ (a+b)x=ax+bx ������ a(x+y)=ax+ay
拉格朗日插值基函数构造 √
l j ( x) ( x x0 ) ( x x j 1 )(x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )(x j x j 1 ) ( x j xn ) ( j 0,1, , n.)

Weierstrass定理

p62
多项式逼近基本定理： 设 f ( x) C[a, b] ,则对任何 0 ， 总存在某n及n次多项式 P( x) Hn ( x) ,使
max
x[ a ,b ]

f ( x) p( x)
即： C[a,b]上任一函数都可被某一多 项式函数(事先不能限定次数)一致逼近 到任意程度。 √

n
i
表示出C[a,b]中每一函数。
Taylor展开、 Taylor公式

Taylor公式
f ( n ) (a) n n f ( x) f (a) f ' (a)(x a) ( x a) ( x a ) n!

马克劳林公式
f ( x) f (0) f ' (0) x

线性空间基本概念
基底： 空间中任一向量都可以表示为某一组线性 无关向量的线性组合，则该组向量称为空 间的一个基底。 维数： 线性空间中线性无关向量组所含向量的最 大个数(任一基底所含向量的个数)。

线性空间Hn、 C[a,b]维数特性
Hn={ a0+a1 x1 +…+anxn | ai ∈R } =span { 1,x1 ,…,xn } 为n+1维空间， Hn的一“自然”基底为 { 1,x1 ,…,xn }。 空间C[a,b]为无穷维空间，任何有限个连 续函数都形不成其基底。自然地， 1,x1 ,…,xn 的线性组合(即一个n次多项式) 不能准确地表示出C[a,b]中每一函数。
拉格朗日插值余项与误差估计
称截断误差 Rn ( x) f ( x) Ln ( x) 为插值余项 。 f ( n) ( x) 在[ a, b]上连续， 定理2 设 ( n1) f ( x) 在 ( a, b)内存在，则 ( n 1) f ( ) Rn ( x) n1 ( x), (a, b) (n 1)!

n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
定理2证明
[证明]
设
因 Rn ( x j ) 0 ( j 0,1,, n),
Rn ( x) k ( x)n1 ( x)
k ( x)( x x0 )( x x1 )( x xn )
满足条件
Pn xi yi , i 0,1, , n.
n
证明：由待定系数法,可得
n a 0 a1 x0 an x0 y0 n a 0 a1 x1 an x1 y1 a a x a x n y n n n 0 1 n
拉格朗日插值基本定理证明

[证明] 只须证唯一性。
设另有 P( x) H n 也满足插值条件，则 多项式Ln ( x) P( x) H n且有n+1个零点 x0 , x1 ,, xn 而n次多项式至多有n个零点，故
Ln ( x) P( x) 0, Ln ( x) P( x).

插值法
在实际问题中，某些变量之间的函数 关系是存在的，但通常不能用式子表示只 能由实验、观测得到 y f x 在一系列离 散点上的函数值，即已知函数表
x
x0 y0
x1 y1

xn
x
i
xj ,i j

y
yn
插值问题的提法
已知函数 y f ( x) 在区间 a , b 上有 定义，且已知 yi f ( xi ), i 0,1, , n ， 其中 a x0 x1 xn b ，求一个多 项式 y P x ,使其满足 P( xi ) yi i 0 , 1, , n 即要求该多项式的函数曲线要经过 y f ( x) 上已知的n+1个点 x0 , y0 , x1 , y1 , , xn , yn ,