宁波大学671数学分析(B卷)2016年考研真题

2.若函数y f ( x )在x0的某领域内有定义,且在x0处可导,则一定存在x0的某个领域, 使f ( x )在该领域内连续. 3.若u n 0, ( n 1, 2,), 且
u n 1 1, 则 u n收敛. un n 1
4.若函数y f ( x )在区间I内连续, 则f ( x )在I内一定有原函数.
5.若f ( x, y )在点( x0 , y0 )处存在全微分,则f ( x, y )在( x0 , y0 )处沿任意方向的方向导数 均存在.
三.计算与证明题（每题 10 分，共 50 分）
1.计算二重积分 | x 2 y 2 1 |dxdy , 其中积分区域D={( x, y ) | 0 x 2, 0 y 2}.
3.设函数z f ( xy , yg ( x )), 其中函数f 具有二阶连续偏导数, 函数g ( x )可导, 且在x 1处取得极值g (1) 1. 求 2 z |x 1 . xy y 1

4.求曲面积分 ydzdx ( z 1)dxdy , 其中 是圆柱面x 2 y 2 被平面 x z 2和z 0所截部分的外侧. 1 1 1 1 5.求数项级数 的和. 2 5 8 11 四.证明题（共 55 分）
宁波大学 2016 年攻读硕士学位研究生 入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业: 数学分析 基础数学、应用数学 科目代码： 671
一.填空题（每题 5 分，共 15 分） 1. 函数y ln(1 3x )在x 0处的n阶导数为 2. ; ;

1
xdx (4 x 2 ) 1 x 2
3(15分)证明:若f ( x)在闭区间[a, b]上连续, 则f ( x) 在[a, b] 上一致连续. 4(15分).设f ( x)在闭区பைடு நூலகம்[1,2]上连续,在开区间(1,2)内可导,且f ( x) 0. 若极限 lim
x 1
f (2 x 1) 存在, 证明: x 1 (1)在(1, 2)内, f ( x) 0. (2)在(1, 2)内存在点 ,使
1(10分)(1)证明不等式
(2)设xn 1
2(15分).证明
1 2n 1 2n 1 2n 1
1 2n 1
n
1 ; 2n 1
1 3
0

1 5

2n 1, 证明 lim xn 存在.
cos x 2 dx关于p在( 1,1)内闭一致收敛. xp

2
1
f ( x)dx 3

f ( ) ; 2 2 2 f ( x) dx. 1 1
(3)在(1, 2)内存在与点 相异的点, 使3 f ()
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D
2.设函数f ( x) 连续, 且f (0) 0, 求极限lim
x 0
x
0
( x u ) f (u )du
x 0
x f ( x u )du
.
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宁波大学 2016 年攻读硕士学位研究生 入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业: 数学分析 基础数学、应用数学 科目代码： 671
1 1
0
=
3. lim( n n 1) ln n
n
;
二. 判断讨论题，正确的给出证明，错误的举出反例（每小题 6 分，共 30 分）
1.设{u n }为一实数列, p为任意的正整数, 若 lim | u n p u n | 0, 则 lim u n 0.
n n